Решение и геометрическая интерпретация игровых моделей

1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 4
Решение и геометрическая интерпретация игровых
моделей размера 2 x 2, 2 x n, m x 2
В решении игр используется следующая теорема: если один из
игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию, то его
выигрыш равен цене игры  вне зависимости от того, с какими
частотами будет применять второй игрок стратегии, вошедшие в
оптимальную.
Решение игры начинается с исключения заведомо невыгодных и
дублирующих стратегий, т.е. исходную матрицу можно упростить,
если исключить доминирующие столбцы, т.е. все элементы которых
больше остальных и оставить доминирующие строки.
После этого, упрощенную матрицу проверяют на наличие
седловой точки, что позволяет сразу определить решение и цену игры.
Если седловой точки нет, то переходят к определению
оптимальных смешанных стратегий.
  1 2
 .
Пример 1. Исследовать и решить игру, заданную матрицей 
3
1


Решение.
1) Проверим наличие седловой точки:
 1 2  1


 1
 3 1 1
3 2
 2
   , седловойто чкинет, причем 1    2, .
2) Найдем оптимальные смешанные стратегии. Пусть для игрока A
стратегия задается вектором P  p1 , p 2  и цена игры  .
Тогда, на основании теоремы, при применении игроком B чистой
стратегии B1 или B 2 игрок A получит средний выигрыш, равный цене
игры, т.е.
2
 1  p1  3  p 2   (при B1 )

(при B 2 )
 2  p1  p 2  
 p  p 1
1
2

2
3
7
следовательно, p1  , p 2  ,   .
5
5
5
Аналогично, для игрока B, причем цена игры уже найдена, значит
можно
решить
всего
два
уравнения
7 (при A )

 q1  2  q 2 
1

5
 q1  q 2  1
1
4
откуда q1  , q 2  .
5
5
*
Ответ: P  2 , 3 , Q*  1 , 4 ,   7 .
5 5
5 5
5
Для геометрической интерпретации игры построим следующий график:
в системе координат XOY отложим по оси OX отрезок A1A 2
единичной длины, каждой точке x которого будет отвечать некоторая
смешанная стратегия p   p1 , p 2    p1 ,1  p1 
B2
B1




M
 a 12
ν2
B1
0 a 11
A1
B2
ν
ν1
a 22
1
p2
p*2
p1
p1*
a 21

A2
Так, точке A1 , для которой p 2  0, p1  1, отвечает стратегия A1 , точке
A 2 , для которой p1  0, p 2  1 - стратегия A 2 .
При применении стратегии A 1 выигрыш равен a 11 , если второй игрок
применяет B1 , и a 12 , если второй игрок применяет B 2 . Следовательно,
получим две точки B1 и B 2 .
3
Соответственно, при применении стратегии A 2 выигрыш может быть
a 21 (при B1 ) или a 22 (при B 2 ) (они показаны двумя точками на
перпендикуляре, восстановленном в точке A 2 ).
Средний выигрыш ν 1 при любом сочетании стратегий A 1 и A 2 (с
вероятностью p1 и p 2 ) и стратегии B1 второго игрока равен
и
геометрически
определяется
ординатой,
ν1  p1a 11  p 2 a 21 ,
восстановленной в точке p до пересечения с отрезком B1B1 .
Аналогично, средний выигрыш при применении стратегии B 2 будет
определяться ординатами точек, лежащих на отрезке B2 B2 .
Ординаты точек, лежащих на ломаной B1MB 2 характеризуют
минимальный выигрыш игрока A при использовании любой
смешанной стратегии p на участке B1M против стратегии B 2 .
Следуя принципу максимина, получим, что оптимальное решение
определяет точку M, в которой этот минимальный выигрыш достигает
максимума. Ей отвечает на оси абсцисс точка p*  p1* , p*2  , а ее ордината
равна цене игры ν .
По цене игры находится оптимальная стратегия для игрока B,
решением системы линейных уравнений:
q1*a 11  q *2 a 12  ν (при A1 )

*
*
 q1  q 2  1
На этом чертеже можно показать нижнюю α и верхнюю β цену игры.
Если матрица имеет седловую точку, то получим следующие графики:
I.
B2
B1
B2
B1
a 21
a 22  α  β  ν
a 12
a 11
*
p
A1
A2
Решением игры является чистая стратегия A2 (для B-B2), т.е. P*=(0,1) и
Q*=(0,1).
II.
B2
B2
B1
a 12
a 12
B1
a 11
a 21  ν
4
Решение игры соответствует т. B1 и задается векторами P*=(0,1) и
Q*=(1,0).
Пример 2. Решить и дать геометрическую интерпретацию игры,
1 5
 .
 4 2
заданной матрицей 
Решение:
1) Исследуем игру на седловую точку
1 5 1


 2
 4 2 2
4
5
 4
   , седловойто чкинет, причем 2    4, .
2) Составляем систему уравнений
 p 1  4p 2  ν (ппр B 1 )

5p 1  2p 2  ν (ппр B 2 )
 p p 1
2
 1
1
3
1 2
Имеем p1  , p2  ,   3 , т.е. P *   , 
3
3
 3 3
Для II игрока:
q1  5q 2  3
1
1
1 1
, q1  , q 2  , Q *   , 

2
2
 2 2
 q1  q 2  1
3) Строим график
B2 5
B2
 3
5B
1
M
B2
1B2
B1 1
A1
p2=2/3
p1=1/3
A2
 2 3
 .
 1 2
Пример 3. Решить и дать геометрическую интерпретацию игры 
5
Решение:
1)
 2 3 2


 2
 1 2 1
2
3
 2
      2,
Игра имеет седловую точку.
2) Решение игры: P*=(1,0) и Q*=(1,0)
3)
B2
B1
B2
B1
A1
A2
из графика видно, что стратегия B2 заведомо невыгодна и A1 лучше A2.
Пример 4. Найти графики решения и цену игры с матрицей (2x4)
2 1 5 3

1.
1 3 4

2

Решение.
1) Исследуем матрицу на наличие седловой точки:
2 1 5

1 3 4

2 3 5
3 1
11

2  2   1,    , 1    2 , седловой точки нет.
3
2) Строим график
B4
B3
B3
B2
M
B1
B2
A1
p2
N
p1
B1
B4
A2
Ломаная B2MNB4 даёт нижнюю границу выигрыша, находим
максимальную точку – M, в которой пересекаются чистые стратегии B2
и B1 и найдем координаты точки M как пересечение 2-х прямых B1B1 и
B2B2:
6
2p1  p 2  ν (по I столбцу) при B1

p1  3p 2  ν (по II столбцу) при B 2
 p  p 1
2
 1
2
1
5
Имеем p1  , p2  ,  
3
3
3
Для II игрока:
(по I строке) при A1
2q1  q 2  5 / 3

 q1  q 2  1
2
1
q1  , q 2  , т.к. B3 и B4 не выгодно использовать, значит q3=0, q4=0.
3
3
Ответ: P*=(2/3,1/3), Q*=(2/3,1/3,0,0), =5/3.
Пример 5.
Сделать тоже для игры с матрицей (4x2).
2

7
3

4

5

1
7

6 
Решение
2

7
3

4

5 2

1 1
7 3

6  4
  , 4  v  7
  4.
седловой точки нет
1) 7 7
 7
2)
A2
M
A4
A3
A1
A3
A4
A1
N
M
A2
B1
q2
q1
B2
Ломаная A2MNA3 даёт верхнюю границу проигрыша, находим
максимальную точку – M, в которой пересекаются чистые стратегии A2
и A4 и найдем координаты точки M :
7
 7q1  q 2  ν (по II строке) при A 2

4q1  6q 2  ν (по IV строке) при A 4
 q  q 1
2
 1
5
3
19
Имеем q1  , q2  ,  
8
8
4
Для I игрока по элементам a21 и a41 строим систему:
7 p 2  4 p 4  19 / 4
1
3
p2  , p4  ,

4
4
 p2  p4  1
Ответ: P*=(0,1/4,0,3/4), Q*=(5/8,3/8), =19/4.
Задание: 1. решить графическим методом игру размером 2*3
2. решить графическим методом игру размером 3*2
Варианты заданий:
1)
3)
5)
7)
9)
11)
16 17 


13 19 
 20 11 


а)
14 13 20 

 б)
17
19
12


а)
 7 5 11

 9 10 2
а)
3 6 

3 1 8  

 б)  2 7 
6 7 4  9 4 


а)
3 6 

3 8 9  

 б)  8 2 
6 7 4  4 5 


а)
17 19 12 

 б)
14 13 20 
а)

 б)

6 9 


 5 10 
12 4 


17 14 


18 13 
12 19 


2 6 

2 5 3  

 б)  9 7 
6 3 4  5 2 


2)
4)
6)
8)
10)
12)
а)
 4 2 11 

 б)
7
9
4


4 7 


3 9 
11 2 


а)
 4 2 10 

 б)
7
11
3


4 7 


3 9 
10 3 


а)
 7 10 

7 4 9  

 б)  6 11 
10 11 7   9 8 


а)
 5 4 10 

 б)
6 8 1 
5 6

4 7
10 3

а)
 5 4 10 

 б)
6 8 1 
5 6 


2 8 
10 4 


а)
 7 10
7 6 9  

 б)  6 11
 9 10 5   9 8











8
а)
 4 3 10

7 8 3
15)
а)
4 8 5

8 7 4
17)
а)
13)
19)
21)
23)
25)
4 7 


1 8 
10 2 



 б)

4 9 

 
 б)  8 7 
 5 2 


9 2 

10 7 5  

 б)  7 3 
 2 4 11   5 11 


а)
3 8 5

5 3 2
3 4 

 
 б)  9 3 
 5 2 


а)
5 4 8

8 9 3

 б)

а)
 2 1 10

5 7 3
а)
6 4 

7 9 2  

 б)  9 5 
 4 3 10   2 10 


5 8 


4 9 
10 3 



 б)

2 5 


1 7 
8 1 


27) а)
 6 10 

 7 4 10  

 б)  6 14 
10 8 7   5 8 


29) а)
17 19 10

15 13 20

 б)

17 14 


18 13 
10 22 


а)
14)
16)
а)
18)
а)
2 9 

2 4 7  

 б)  4 7 
10 7 4   7 5 


8 5 

8 7 9  

 б)  7 8 
 6 8 8  10 8 


4 6 

 
 б)  2 7 
 8 3 


а)
3 2 8

6 7 1
а)
 5 4 11

 6 10 3
а)
3 4 5

6 7 2
20)
22)
24)
3 4 

 
 б)  4 7 
 5 2 


3 4 6

4 8 2

 б)

5 6 


 4 10 
10 2 


3 6 

 
 б)  2 7 
 5 1 


6 5 


1 7 
8 3 


26) а)
 2 7 10

5 7 3

 б)

28) а)
4 9 5

8 7 3
5 9 

 
 б)  8 4 
 5 2 


30)
а)
4 8 5

5 3 1

 б)

3 4

12 3
5 1





