Домашнее задание к 14.11.2012. Львовская, среда. Сколько

Домашнее задание к 14.11.2012. Львовская, среда.
1. Сколько существует маршрутов длины 13 по линиям клетчатой сетки
из одного узла в соседний с ним узел? Смотри о блуждании по
плоскости у Виленкина в «Популярной комбинаторике» - с.91-96.
2. Доказательство теоремы Чевы через формулу площади с синусом. См.
также доказательство теоремы Чевы у Понарина.
3. Чертежи: 2.1-2.6.
4. Даны 2005 отрезков длиной 1, 2, 3, …, 2005. Два
игрока по очереди берут себе по одному отрезку,
пока не останется ровно 3 отрезка. Если из этих
трёх оставшихся отрезков можно сложить
треугольник, то выигрывает первый игрок, если
нельзя – то второй. Кто выигрывает при
правильной игре?
(Нижегородская городская математическая
олимпиада школьников, 2005 год, 8 класс)
5. На столе лежат 2006 карточек с целыми числами
от 1 до 2006 (каждое число встречается по
одному разу). Два игрока по очереди берут себе
по одной карточке. Если после того, как все
карточки будут разобраны, сумма чисел на
карточках первого игрока будет делиться нацело
на 3, то победителем считается первый игрок, иначе победителем считается второй игрок. Кто
выиграет при правильной игре? (Нижегородская городская математическая олимпиада
школьников, 2006 год, 8 класс)
6. Имеются 9 карточек, на которых написаны числа: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. Двое по очереди
берут одну из карточек и кладут её в одну из двух кучек (любую). Выигрывает тот, после чьего
хода в одной из кучек найдутся три карточки с нулевой суммой чисел на них. Кто выиграет
при правильной игре? (Нижегородская
городская
математическая олимпиада
школьников, 2006 год, 9 класс)