НШ-816.2008.1
advertisement
АННОТАЦИЯ работ, выполненных в 2008 г. по гранту государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации НШ 816.2008.1 «Математическая физика Санкт-Петербургского университета» Цель работы Разработка современных методов математической физики и их применение для решения задач квантовой физики и теории распространения волн. В соответствии с Техническим Заданием работы велись по нескольким направлениям, в каждом из которых получены следующие результаты: А. Спектральная теория Активно продолжались начатые несколько лет тому назад исследования по теории гомогенизации (усреднения решений для уравнений в частных производных при наличии в коэффициентах быстрых периодических колебаний). Это направление отражено в огромной литературе и имеет многочисленные применения. В этом направлении в рамках плана работают в сотрудничестве профессора М. Ш. Бирман и Т.А. Суслина. В прошедшем году к ним присоединилась их ученица, студентка Е. Василевская. В течение прошедшего года были получены следующие результаты: в рамках развитой авторами мощной и оригинальной техники было показано, что включение в эллиптический оператор младших членов не является препятствием для подтверждения полученных ранее авторами результатов. Началось исследование гомогенизации для уравнений гиперболического типа. Были обнаружены возникающие при этом новые эффекты физического характера. Достаточно законченный характер приобрела теория усреднений для уравнений параболического типа. Н.Д. Филонов совместно с учеником М. Демченко разработал определение стационарного оператора Максвелла на компактном липшицевом многообразии произвольной размерности с краем. К этой работе позднее присоединился студент И. Венеаминов, который успешно включился в сотрудничество. Обоснована Вейлевская асимптотика для собственных значений. Филонов также изучал оператор Шредингера в волноводе с периодическим по продольной переменной координате. В совместной со студентом Качковским работе при слабых ограничениях на потенциал и границу области была доказана абсолютная непрерывность спектра оператора. Помимо работы под руководством Филонова И. Качковский, находясь в командировке в Университетском колледже Нарвика подготовил публикацию по вопросам сложности вычислений. В исследованиях В.А. Слоуща изучались интегральные операторы вида f ( x)Tg ( y ) , с операторнозначными весами f (x ) , g ( y ) , окаймляющими ограниченный интегральный оператор T . В сотрудничестве со студентом Ярошем А.С. были получены оценки (известного типа Цвикеля) сингулярных чисел операторов f ( x)Tg ( y ) . Б. Спектральная теория дифференциальных операторов. Аналитические методы. Работы В.С Буслаева развивались в нескольких направлениях. Прежде всего, можно отметить совместную с А. Пушницким работу по теории рассеяния в симплектической механике. Была отработана общая схема, определено оригинальное понятие матрицы рассеяния, и был изучен (физический) смысл топологических инвариантов этой матрицы. В совместной работе с К. Сюлем была отработана общая схема построения адиабатических асимптотик решения линейных уравнений, порождаемых операторами с непрерывным спектром. В течение последнего года проводилось изучение специальных моделей, к которым может быть применена общая схема. Началась реализация программы по выработке нового подхода к теории рассеяния для системы трех квантовых частиц с дальнодействующим (кулоновским) взаимодействием (В.С. Буслаевым, С.Б. Левин). За прошедший период изучались системы одномерных частиц вначале с быстро убывающим, а затем и с кулоновским взаимодействием. Конструировалась координатная асимптотика решений типа рассеянной плоской волны, которая обеспечивает быстро убывающую невязку. Это может быть базой и для теоретического оправдания свойств решений, и для их компьютерного вычисления. Эти построения, даже для одномерных частиц, могут иметь серьезные приложения, в том числе в области нанотехнологий. А.А. Федотов исследовал поточечное существование показателя Ляпунова для некоторых модельных почти периодических уравнений. Эти результаты удалось получить, применяя метод монодромизации, предложенный им ранее в сотрудничестве с В.С. Буслаевым. Это очень сильные результаты, которые могут иметь принципиальное значение для физики твердого тела. Как и в 50—60 – е годы, снова стало популярным исследование обратных спектральных задач. Это произошло под влиянием импульсов, которые были порождены связями этих задач с интегрируемыми нелинейными волновыми уравнениями. Возникли новые способы исследования обратных задач, в первую очередь связанные с их формулировкой на языке задачи Римана. Этой проблематикой активно занимается В.В. Суханов (в сотрудничестве с Р.Г. Штеренбергом). На языке задачи Римана ими была изучена задача рассеяния для уравнения Шредингера на полуоси, и аналогичная по идейной постановке, но отнюдь не по технике, задача для уравнения 4-ого порядка. Эта же линия связи между обратной задачей, сформулированной на языке проблемы Римана, и нелинейными волновыми уравнениями изучалась в работам А.М. Будылина (в сотрудничестве с В.С. Буслаевым). На языке задачи Римана можно очень явно поставить вопрос об асимптотике решений нелинейных уравнений при больших временах. В цитируемых исследованиях разработан новый, гораздо более эффективный по сравнению с существующими, подход к асимптотике решения задачи Римана при больших временах. Результаты А.А. Пожарского относятся к тонкой области отыскания достаточно свободных условий, при которых спектр оператора Шредингера является абсолютно непрерывным. Связи с физикой твердого тела очевидны. В частности, изучено одномерное возмущенное уравнение Штарка. Предполагалось, что возмущение в некотором смысле убывающая функция. Получены достаточные условия абсолютной непрерывности спектра, которые дают возможность учесть одновременно как свойства гладкости возмущения, так и его свойства убывания. При достаточно свободных предположениях о возмущении описано асимптотическое поведение решений уравнения при больших значениях аргумента В исследованиях С.Н. Набоко были изучены модели эрмитовых неограниченных матриц (операторов) Якоби с конечным числом интервалов непрерывного спектра. В окрестности множества, на котором обнуляется спектральная плотность (псевдолакуны), исследована. спектральная функция оператора Шредингера с возмущением типа Вигнера фон Неймана . Эти модели также апелируют к задачам физики твердого тела. А.В. Киселев в соавторстве с С.Н. Набоко продолжил исследование спектральных свойств оператора несамосопряженной, недиссипативной матричной модели (аддитивного возмущения ранга два самосопряженного оператора). Получен ряд новых результатов в данной области, в частности, доказано так называемое почти спектральное разложение для оператора с почти эрмитовым спектром. Исследовалась возможность получения эффективных оценок для норм функций широкого класса от операторов. В исследованиях М.М. Фаддеева получен ряд новых результатов о спектральных свойствах непрерывного и дискретного операторов Шредингера с PT-симметричными потенциалами, а также с чисто мнимыми потенциалами с нулевым средним значением В исследованиях С.А. Симонова изучалось поведение спектральной функции непрерывного оператора Шредингера с потенциалом Вигнера-фон Неймана и суммируемым возмущением. Также изучалась модель дискретного оператора Шредингера с потенциалом Вигнера-фон Неймана, который является непосредственным дискретным аналогом рассмотренной ранее задачи. В. Краевые задачи математической физики В работах Б.А Пламеневского исследовался обширный круг разнообразных вопросов как принципиально-теоретического, так и выраженно-прикладного характера. Что касается результатов теоретического характера, они относятся к весьма общей задаче о структуре алгебры псевдодифференциальных операторов с негладкими символами на гладких многообразиях. Для широкого класса таких операторов было доказано, что эта операторная алгебра разрешима. Таким образом, дан ответ на трудный теоретический вопрос. Результаты прикладного характера имеют нацеленность на область нанотехнологий.1) Исследовались нановолноводы и была разработана аналитическая техника, позволяющая эффективно в терминах геометрии волноводов контролировать их волноводные параметры, спектральные зоны туннелирования и запирания. Эти результаты были получены в сотрудничестве с О.В. Сарафановым. 2) Изучались также свойства теплопроводности нановолокон. Полученные в этих двух направлениях результаты находят технологические применения, о чем свидетельствует и успешная патентная активность в отношении этих результатов, см. список публикаций. В работах М.В. Перель получены формулы, описывающие зависимость вейвлетпреобразования по пространственным переменным многомасштабного решения волнового уравнения от времени, не требующие предварительного определения самого решения. Ею также проведено обоснование этих интегральных представлений решений волнового уравнения с точки зрения теории обобщенных функций В работах А.С. Благовещенского были изучены две задачи: 1) Обратная задача для случайно-слоистой среды, параметры которой отличались случайными малыми возмущениями от детерминированных. Была разработана техника решения обратной задачи, позволяющая восстановить регулярную часть параметров и мрменты возмущений. Эти результаты уже получили приложения в задачах геофизики. 2) Кроме того, Благовещенский сумел явно описать спектр д’Аламбертиана на компактифицированном по Пенроузу пространстве-времени. Эти результаты могут найти применения к конформной теории поля. Д. Асимптотические методы для задач математической физики М.А. Лялиновым году получена формальная асимптотика электромагнитного поля, рассеянного полупрозрачной конической поверхностью (с краевыми условиями импедансного типа), вдали от сингулярной точки границы. Предложены новые аналитические формулы, представляющие диаграмму рассеяния сферической волны от вершины конуса. На основе асимптотического анализа выведены формулы для поверхностных волн, расходящихся от вершины. Кроме того, им разботана процедура редукции задачи дифракции акустических волн на круговом прозрачном конусе к сингулярному интегральному уравнению и исследованы свойства этого уравнения. Существенное значение этих результатов для приложений ясно из постановки задачи. В работах А.П. Киселева изучались различные актуальные аспекты теории распространения волн в упругих средах. Автор является признанным специалистом в этой области. Г. Методы квантовой теории поля и интегрируемые системы Л.Д. Фаддеев в совместной работе с А.Ю. Волковым изучил дискретную эволюцию для нулевых мод квантовой модели Лиувилля. А.А. Багаев, аспирант Л. Д. Фаддеева, провел двухпетлевые вычисления эффективного действия матричной $\sigma$-модели в формализме фонового поля. В Исследованиях А.В. Цыганова были продолжены работы по классификации полиномиальных пуассоновых структур, имеющих одинаковые симплектические слоения с каноническими тензорами, работы по изучению второй группы когомологий в когомологии Лихнеровича-Пуассона малоразмерных алгебр Ли с целью их последующего квантования, а также работы по изучению свойств соответствующих би-интегрируемых систем в классической механике. В рамках этого направления проведена полная классификация согласованных линейных скобок Ли-Пуассона на дуальных пространствах алгебр Ли e(3) и so(4). Соответствующие би-гамильтоновы системы являются вращающимися волчками, отвечающими классическим случаям интегрируемости уравнений Эйлера, уравнений Кирхгофа и уравнений Пуанкаре-Жуковского. Проведена полная классификация квадратичных бивекторов Пуассона на многообразиях so(4) и e(3) имеющих общее слоение на симплектические листы с каноническим бивектором Ли-Пуассона. Найдены новые переменные разделения для нескольких соответствующих би-интегрируемых систем с интегралами третьей и четвертой степени. Построены три несовместных би-гамильтоновых структуры для волчка Лагранжа и соответствующие переменные Дарбу-Нийенхейса, исследована топология соответствующих вещественных накрытий алгебраических кривых, порождаемых разделенными уравнениями. Построены два семейства скобок Пуассона совместных с линейной r-матричной алгеброй, алгеброй Склянина и алгеброй уравнения отражения. Как следствие, получены новые би-гамильтоновы структуры для волчка Ковалевской, волчка Горячева-Чаплыгина, обобщенного магнетика Гейзенберга, обобщенных цепочек Тоды, модели димера, модели трех волн и некоторых других моделей. Исследованы математические подходы к построению, классификации и исследованию суперинтегрируемых систем, обладающих полиномиальными дополнительными интегралами движения. Исследована возможность применения теорем сложения Эйлера, Абеля и др. для классификации суперинтегрируемых систем типа Штеккеля. В классическом случае траектории движения суперинтегрируемых систем замкнуты, а в квантовом случае часть спектра суперинтегрируемых систем может быть построена алгебраически, а соответствующие волновые функции являются комбинациями классических, нео-классических и q-деформированных ортогональных полиномов. Д. Математические и вычислительные методы в квантовой задаче нескольких тел. С.Л. Яковлев, Е.А. Яревский, С.Б. Левин 1. Получены фундаментальные результаты в задаче рассеяния позитрона на связанном состоянии протона и электрона (атом водорода) при энергиях выше порога образования связанного состояния позитрона и электрона (атом позитрония). Дано полное описание процессов упругого рассеяния, перестройки и аннигиляции в обоих открытых каналах. Построены математически корректные сечения аннигиляции, как в прямом канале, так и в канале перестройки. Проведены численные расчеты прямого процесса аннигиляции позитрона. 2. Получены фундаментальные результаты по строению координатной асимптотики волновой функции трех частиц для энергий выше порога развала системы на три частицы. В частности, получено представление с конечным членом слагаемых в асимптотике волновой функции трех заряженных частиц в случае рассеяния частицы на заряженной паре частиц. Найдено замкнутое представление для проектора на бесконечномерное подпространство дискретного спектра кулоновского гамильтониана. Это представление позволяет преобразовать асимптотическую часть волновой функции системы трех заряженных частиц к виду, содержащему лишь конечное число слагаемых. Последнее открывает путь к разработке методов решения задачи рассеяния в системе трех заряженных частиц при энергиях выше порога ионизации, когда бесконечное число открытых каналов кулоновского возбуждения мишени приводит к появлению бесконечного числа слагаемых в асимптотике, что приводило к практической неразрешимости задачи. 3. Разработаны методы параллельного программирования для расчетов в Методе Конечных Элементов (МКЭ), методы использования МКЭ для изучения связанных состояний и резонансов в трехчастичных молекулярных системах. Построен формализм, позволяющий проведение сследований роли и проявлений резонансных состояний в многоканальном рассеянии. Исследованы эффективность параллельных алгоритмов расчета трехчастичных квантовых систем. В качестве примера был выбран тример неона. Эта система может быть описана с помощью трехмерного уравнения Шредингера. Если система обладает ненулевым угловым моментом, описывающее ее уравнение превращается в систему трехмерных уравнений Шредингера. В нашем подходе, такая система уравнений сводится, с помощью метода конечных элементов (МКЭ) и метода комплексных вращений, к обобщенной задаче на собственные значения для вещественных симметричных (для поиска спектра системы) или для комплексно-симметричных неэрмитовых (для поиска резонансов) матриц. Применение метода для расчета реальных физических систем требует вычисления подмножеств собственных значений (до нескольких десятков и более) матриц размерности порядка 100 000 и выше, являющихся относительно разреженными. Созданная ранее программа для МКЭ высоких порядков была распараллелена в критических по времени выполнения участках алгоритма с использованием технологий OpenMP и MPI. Было проведено исследование эффективности параллельной реализации алгоритма, трудоемкости обоих подходов, а также влияние архитектуры процессоров на достигаемое ускорение. Была также изучена возможность и эффективность совместного использования обеих технологий. Были рассмотрены слабосвязанный комплекс Ne-ICl и тример неона. Для первой системы, с использованием метода комплексного вращения были вычислены вращательно-колебательные резонансные состояния для углового момента J=0-5. Были исследованы влияние кориолисовых сил на спектр резонансов, зависимости положений и ширин резонансов от углового момента и структура резонансных функций. Было обнаружено, что ширина резонанса слабо зависит от полного углового момента системы.. Для тримера неона, был вычислен полный спектр колебательно-вращательных уровней основного электронного состояния для всех возможных симметрий: A1, A2 и E. Была проанализирована структура волновых функций для различных симметрий, в частности среднеквадратичные радиусы и примесь линейной конфигурации в полной волновой функции. Полученные результаты сравниваются с другими доступными данными. Разложение Миттаг-Лефлера может быть использовано для идентификации вклада различных резонансов в сечение рассеяния для двухчастичных квантовых систем. В данной работе мы расширили применение этого разложения для случая многоканальных систем. Мы также проанализировали различие сечений, определенных с помощью вычетов S-матрицы и Брейт-Вигнеровского приближения. Получено интегральное представление для проектора на подпространство, отвечающее дискретному спектру двухчастичного кулоновского гамильтониана. Основываясь на этом интегральном представлении.
