Андрющенко Е.А.

Самосогласованное решение интегро-дифференциальных уравнений Шредингера и
Пуассона
Андрющенко Е.А.
Студент
Грачев М.В.
Студент
Рязанский государственный радиотехнический университет, кафедра высшей
математики, Рязань, Россия
katyunchigg@mail.ru
Электрон–электронные взаимодействия являются ключевыми в кинетических
явлениях. В их число входят эффекты горячих электронов, квантовые поправки к
проводимости и затухание квантования Ландау в низкоразмерных полупроводниковых
структурах с вырожденными электронами [1].
Зонные диаграммы исследуемых наноструктур были рассчитаны методом
самосогласованного решения уравнений Шредингера
с граничными условиями:
 2 d2

 E  z   j  z   E j  j  z 

2
 2m dz

(1)
 j  0  0 ,  j     0 ,
(2)
и Пуассона
E  z   eV  z  , 
с граничными условиями:
d 2V 4  z 

,

dz 2
(3)
V  z     0 , eV ( z  0)  E0 .
(4)
Решение данной системы интегро–дифференциальных уравнений является сложным
с математической точки зрения, так как необходим точный учет потенциального
профиля квантовой ямы. В большинстве работ потенциальная яма аппроксимируется
прямоугольным профилем. Однако попытка применения аналитических результатов в
данном случае оказывается неудачной. Самосогласованное решение системы (1)-(4)
является затруднительным из-за неопределенного распределения плотности заряда ( z )
В ряде работ уже предпринимались попытки рассчитать зонные структуры
гетеропереходов, однако применялся только численный метод, а аналитическое решение
не было получено. Кроме того, в решении системы (1)-(4) существуют различного рода
расходимости, которые оказывают значительное влияние на конечный результат.
Наиболее простая аппроксимация, которая позволяет получить численный результат,
удобный для подстановки в интегро-дифференциальное уравнение Больцмана, имеет
вид:

z
3/2 
( z )  eN 0 1   , z  D,
 D

( z )   A( z  D)exp  ( z  D) / a  , z  D.

(6)
Применение данной аппроксимации позволяет получить аналитические выражения,
которые в дальнейшем используются для нахождения температурных зависимостей
времени электрон-элетронного взаимодействия в гетероструктурах и позволяют
объяснить аномалии, наблюдаемые в ходе экспериментов. [2]
Авторы выражают благодарность зав. каф. высшей математики РГРТУ, доц.
Бухенскому К.В., к.ф.-м.н., доц. Кучерявому С.И., к.ф.-м.н., доц. Дюбуа А.Б. и научному
руководителю, асс. Сафошкину А.С.
Литература
1. Дюбуа А.Б., Зилотова М.А., Кучерявый С.И., Сафошкин А.С. – Кинетические
процессы в умеренно легированном гетеропереходе. – Вестник РГРТУ. – 2013. – №3(45).
– С. 88-92.
2. Ambartsumyan V.A., Andryushchenko E.A., Bukhenskyy K.V., Dubois A.B.,
Dvoretskova E.A., Gordova T.V., Kucheryavyy S.I., Mashnina S.N., Safoshkin A.S. – Channels
of electron-electron interactions in highly doped heterojunction. – Nanosystems: physics,
chemistry, mathematics. – 2014. – Vol. 5, Issue 3. – pp 343-353.