В Е С Т

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
М атем ати ка. М е хан и ка. Ин форма тик а
2012
Вып.2(10)
УДК 531.36
Обеспечение устойчивости программного
движения электромеханического манипулятора
А. В. Соколов
Российский университет дружбы народов
Россия, 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
kaf-tm@sci.pfu.edu.ru; (495) 955-07-78
Исследуются вопросы обеспечения асимптотической устойчивости программного движения электромеханических систем с голономными и неголономными связями. Находятся
условия асимптотической устойчивости движения модели трехзвенного управляемого
электромеханического манипулятора.
Ключевые слова: движение системы тел; голономные и неголономные связи; асимптотическая устойчивость; трехзвенный электромеханический манипулятор.
Введение
1. Условия асимптотической
устойчивости движения управляемого
электромеханического манипулятора
Для изучения динамики манипуляционных роботов, определения конструктивных
параметров и законов управления необходимо
иметь расчетные механические модели, с достаточной точностью описывающие свойства
реальных роботов. Выбор расчетной модели в
каждом случае обусловлен кинематической
схемой манипулятора, механическими свойствами (инерционными, упругими, диссипативными и т.п.) его деталей и узлов, типом и
характеристиками приводов, а также необходимой точностью производимых расчетов.
С математической точки зрения расчетная модель манипуляционного робота представляет собой систему дифференциальных
уравнений. Эта модель может содержать
уравнения, описывающие также явления немеханической природы, например, электрические процессы в цепях электродвигателей
приводов.
Поставим задачу нахождения условий,
обеспечивающих асимптотическую устойчивость программного движения электромеханических систем с голономными и неголономными связями.
Для электродвигателя постоянного тока
с независимым возбуждением выполняются
соотношения [1]
L*
d
 R*   k 2 n*  ku ,
dt
2
M *  n*   I 0 n*  ,
(1.1)
(1.2)
где  – угол поворота ведомой шестерни редуктора; n* – передаточное число редуктора
(отношение числа зубьев ведомой и ведущей
шестерен); L* и R * – соответственно коэффициент индуктивности и электрическое
(омическое) сопротивление обмотки ротора
электродвигателя; u – управляющее электрическое напряжение;  – момент электромагнитных сил, создаваемых двигателем и приложенных к его ротору; I 0 – суммарный момент инерции ротора электродвигателя и ведущей шестерни редуктора относительно оси
вращения; M * – момент сил реакции, дей-
Работа выполнена при финансовой поддержке
РФФИ, код 10-01-00381.
© Соколов А. В., 2012
50
Обеспечение устойчивости программного движения…
ствующих на ведущую шестерню; k – коэффициент, зависящий от напряжения на входе
цепи возбуждения. Предположим, что это
напряжение постоянно. Тогда k = const.
При описании динамики манипуляционных роботов обычно используют уравнения
Лагранжа второго рода:
d  L  L
  
 M *.

dt  q  q
 *i   i ( * , q , q , t ),
*i   i ( * , * , q, q , q , t ),
 *  (1 ,..., m ,1 ,..., m ,1 ,..., r ) ,
 (0,0, q, q , q , t )  0.
 (0, q , q , t )  0 ,
где
Правые части уравнений (1.7) можно
выбрать так, чтобы их тривиальное решение
1  ...   m  1  ...   m  1  ...  m  1 
 ...   r  1  ...   r  0
было асимптотически или экспоненциально
устойчиво [4]. Будем считать, что из асимптотической или экспоненциальной устойчивости тривиального решения
(1.3)
Уравнения (1.1), (1.2) описывают электрические процессы, проходящие в электродвигателе звена манипулятора; (1.3) – динамику звена манипулятора. Аналогичные уравнения можно составить для каждого звена.
Уравнения типа (1.1), (1.2), (1.3) можно объединить в систему [2]:
 dq 
 dt  q ,

~
 dq
 M 1  n *    ,

 dt
 d
R*
k 2 n*
k
  *   * q  * u .

L
L
L
 dt


            0
уравнений (1.7) следует соответственно
асимптотическая
или
экспоненциальная
устойчивость интегрального многообразия
(t ) .
Подставим вместо
выражение
q
(1.4)
q  Q q ,q ,  , полученное из (1.4).Тогда будем иметь
 f (q , t )   ,

 f (q , q , t )   ,

(1.8)
 f (q , q , t )   ,
  
 f (q , q ,  , t )   ,
 

 f (q , q ,  , t )   .
Заданной программой движения манипуляционной системы можно считать ограничения, наложенные на обобщенные координаты и скорости, которые в общем виде можно
представить как совокупность уравнений голономных и неголономных связей:
f (q , t )  0 ,
f (q , q , t )  0 ,
(1.5)
Уравнения (1.7) подбираем так, чтобы
они удовлетворяли системе дифференциальных уравнений:
В [3] было показано, что для обеспечения асимптотической устойчивости интегрального многообразия (t ) , описываемого
уравнениями (1.5), следует использовать вместо уравнений связей (1.5) уравнения программных связей:
 f (q , t )   ,

 f ( q , q , t )   ,

 f (q , q , t )   ,
   
 f ( q , q , q , t )   ,
   

 f (q , q , q , t )   .
(1.7)
 d
 A11  A21  A31  A41   A51 ,

dt
(1.9)
 
 d   A 2  A 2  A 2  A 2   A 2 ,
1
2
3
4
5
 dt
где матрицы имеют размерности: A01 , A11 , A21 –
(mm), A31 , A41 – (mr), A02 , A12 , A22 – (rm),
(1.6)
A32 , A42 – (rr) – и состоят из коэффициентов,
которые подбираются исходя из условий
асимптотической устойчивости движения.
Рассмотрим более подробно поиск коэффициентов (матриц коэффициентов) Aij
в которых возмущения связей  , , , , 
рассматриваются как переменные, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям
i  1,2 , j  1,...,5 из (1.9), которые подбираются из условий асимптотической устойчивости
движения.
51
А. В. Соколов
2V   T  B    2 T  C    2 T  D   
(1.14)
  T  E     T  G    2 T  F   
T
T
T
    K     2   L        M   ,
Введем обозначения:
  
 
 
 
  
  
 ,
g    , g   
 
 
   
  
   
   
 
 
 0

 0
A   A11

 0
 A2
 1
1
0
A21
0
A22
0
1
A31
0
A32
0
0
A41
0
2
A4
где B,C,D,E,F,G,K,L,M – симметрические матрицы с постоянными коэффициентами. Сравнивая правые части в выражениях (1.12),
(1.13), (1.14) для функций V, получим
B C

C E
R  D F

0 0

0 0
0 

0 
A51 . (1.10)

1 
A52 
(1.11)
где в матрице A на соответствующих местах
находятся соответствующие блок-матрицы.
Функцию Ляпунова представим в виде
2V  g T  R  g ,
(1.12)
 R11 ... R15 


Rij ,
где
R   ... ... ...  ,
R  RT ,
R

 51 ... R55 
i, j  1,...,5 – блок-матрицы соответствующих
размерностей.
Так как векторы  , , , ,  и матрицы Rij , i, j  1,...,5 состоят из скалярных
функций и Rij 
равенства
RTji ,
0
K
0
L
  T  M   .
 и   выПодставим в (1.16) вместо 
ражения из (1.9):
то будут выполняться
V   T  B     T  C     T  C   
 T  D     T  D  ( A1  A1  A1 
  Rij      T  R ji   . Отсюда
T
1

 
A41
2
3
 )    E      F   
A51
T
 T
  T  F  ( A11  A21  A31  A41   A51 ) 
  T  G  ( A11  A21  A31  A41   A51 ) 
  T  K      T  L    
Перепишем функцию Ляпунова (1.12) с
учетом изложенного:
2V   T  R11     T  R22     T  R33   
  T  R      T  R     2 T  R   
55
(1.15)
   T  G  
 
(1.16)
  T  F     T  F  
  T  K      T  L      T  L    
 T  Rij      T  R ji    2 T  Rij    .
  T  L  ( A12  A22  A32  A42   A52 ) 
  T  M  A12  A22  A32  A42   A52 .
(1.17)
12
 2 T  R13    2 T  R14      T  R15    
(1.13)
 2 T  R23    2 T  R24    
 2 T  R     2 T  R    
25
G
0
0

0
0 .

L

M
V   T  B     T  C     T  C   
   T  E   
  T  D     T  D  
следует, что
44
0
0
Таким образом, R11  B , R12  R21  C ,
R13  R31  D ,
R22  E ,
R23  R32  F ,
R33  G , R44  K , R45  R54  L , R55  M ,
остальные Rij  0 .
Найдем производную V V . Для этого
продифференцируем выражение (1.14). Получим
Можно записать уравнения (1.9) в виде
g  A  g ,
D
F
Производная от функции Ляпунова V имеет
структуру вида
34
  T  R35     2 T  R45   .
V  g T  H  g .
Будем искать функцию Ляпунова V в виде [5]
Распишем подробнее (1.18):
52
(1.18)
Обеспечение устойчивости программного движения…


V   T , T , T , T , T 
 H 11

 H 21
  H 31

 H 41

 H 51
H 12
H 22
H 32
H 42
H 52
H 13
H 23
H 33
H 43
H 53
B C

T  T

где 2V1   , ,   C E
D F


H 15    
  
H 25    
H 35      
  
H 45     
  
H 55     
H 14
H 24
H 34
H 44
H 54

12

 DA11

  FA11
 1
 GA1
22
14

H
C  DA31
E  D  FA31
F  GA31
LA32
MA32
DA41
FA41
GA41
LA42
MA42
DA51 

FA51 

GA51 .
K  LA52 

L  MA52 
 i ( R)  0 ,
Тогда матрица Н будет иметь вид
H
 0

 0
0
0
0
0
0
LA42
MA42

0


0
.
0

K  LA52 

L  MA52 
(1.22)
Функцию Ляпунова V и ее производную

V можно записать еще так:










i  1,...,2m  r .
 i ( H )  0 , i – нечетное, i  [1;2m  r ] ,
 j ( H )  0 , j – четное, j [1;2m  r ] .
A41  0, A51  0, A12  0, A22  0, A32  0. (1.21)
C
E  D  FA31
F  GA31
0
0
K  LA52     
   . (1.23)
L  MA52     
(1.24)
2) Отрицательная определенность матрицы H : главные миноры матрицы H удовлетворяют условию
Рассмотрим случай, когда
DA31

1) Положительная определенность матрицы R : главные миноры матрицы R удовлетворяют условию
(1.20)
B  DA21
C  FA21
GA21
C  DA31    
  
E  D  FA31     ,

F  GA31    
По теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости будем добиваться положительной определенности функции V и отрицательной определенности функции V . Это
эквивалентно требованию положительной
определенности матрицы R и отрицательной
определенности матрицы H .
Перегруппируем слагаемые в выражении (1.17) к виду (1.19), тогда получаем вид
матрицы Н:
 DA11

 FA11
 1
 GA1

B  DA21
C  FA21
GA21
 LA 2
V2   T , T   42
 MA4
55
B  DA21
C  FA21
GA21
LA22
MA22
L    
   ,
M     
24
  T  H 34   T  H 44   T  H 54 )    
 ( T  H15   T  H 25   T  H 35   T  H 45 
  T  H )   .
 DA11

 FA11
 1
 GA1
 LA12

2
 MA1
D   
  
F     ,
G    
V1   T ,  T ,  T 
  T  H 32   T  H 42   T  H 52 )   
 ( T  H13   T  H 23   T  H 33   T  H 43 
(1.19)
  T  H )    ( T  H   T  H 
53

K
2V2   T , T  
L
 ( T  H11   T  H 21   T  H 31   T  H 41 
  T  H )    ( T  H   T  H 
51

T
(1.25)
Таким образом, мы будем иметь 2(2m  r )
условий (1.24), (1.25) типа неравенств, наложенных на искомые коэффициенты матриц
Aij , i  1,2 , j  1,...,5 , и на коэффициенты
матриц B,C,D,E,F,G,K,L,M.
В общем случае условий (1.24), (1.25)
недостаточно для однозначного нахождения
коэффициентов матриц Aij . Поэтому при решении конкретных задач произвольно выберем постоянные коэффициенты матриц
B,C,D,E,F,G,K,L,M, а также используем дополнительные условия задачи.


V  V  , , , ,   V1  , ,  V2  ,  ,
V  V  , , , ,   V1  , ,  V2  ,  ,
53
А. В. Соколов
Уравнения (1.8) примут вид
2. Исследование условий
асимптотической устойчивости
движения трехзвенного управляемого
электромеханического манипулятора
Найдем коэффициенты матриц
 f 1 (q , t )   1 ,
 
 f 1 (q , q , t )   1 ,
 f (q , q , t )   ,
2
 2


 f 3 (q , q , t )   3 ,
  
 f 1 (q , q ,  , t )  1 ,
 f (q , q ,  , t )  
2
 2


 f 3 (q , q ,  , t )   3 .
Aij ,
обеспечивающих асимптотическую устойчивость движения, в задаче попадания схвата
трехзвенного электромеханического манипулятора из произвольной точки X 0 ( x0 , y0 ) рабочей зоны – полуплоскость левее прямой x =
6 в точку X * (6,5) , минуя препятствие, которое ограничено замкнутой кривой  :
( x  3) 2  ( y  3) 2  1  0 . К тому же потребуем, чтобы схват манипулятора во время движения был параллелен оси Ox .
(2.2)
Уравнения (1.9) примут вид
1  a11 1  a12 1  a131  a14 2 

 a   a   a  ,
16 2
17 3
 15 3
2  a 21 1  a 22 1  a 231  a 24 2 
(2.3)




a


a


a

,
25
3
26
2
27
3

3  a 31 1  a 32 1  a 331  a 34 2 

 a 35 3  a 36 2  a 37 3 .
Уравнения (1.10) примут вид
1
0
0
0
0
0 
 0


0
1
0
0
0
0 
 0
a
a
a13 a14 a15 a16 a17 
 11 12

A 0
0
0
0
0
0
1 . (2.4)
 0
0
0
0
0
0
1 

 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 26 a 27 


 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 36 a 37 
Пример задания ограничения на движение
схвата манипулятора
Связи голономные и неголономные,
накладываемые на движения манипулятора,
имеют вид [6]
Будем искать функцию Ляпунова V в
виде (1.14)
f1  Cos(q1  q 2  q3 )  1  0,
2V  1  b  1  21  c  1  21  d  1 
1
f 2  x  ( x  6)( (( x  3) 2  ( y  3) 2  1) 
8
 ( y  3)(2 x  3 y  3))  0,
1
f 3  y  (2 x  3 y  3)( (( x  3) 2  ( y  3) 2  1) 
24
1
 (( x  3) 2  ( y  3) 2  1)( x  6)  0.
3
(2.1)
 1  e  1  1  f  1  21  g  1   T  K     (2.5)
 2 T  L      T  M   ,
 2 
где,      , b, c, d, e, f, g – постоянные ко 3 
l 
 k11 k12 
l
 , L   11 12  ,
k 22 
 l 21 l 22 
эффициенты, K  
 k 21
где координаты схвата x и y выражаются с
использованием кинематики через обобщенные координаты q  (q1 , q2 , q3 ) :
m
M   11
 m21
m12 
 – матрицы с постоянными
m22 
коэффициентами,
причем
k12  k 21 ,
l12  l 21 , m12  m21 .
 x  L1Cosq1  L2 Cos(q1  q2 )  L3Cos(q1  q2  q3 )

 y  L1Sinq1  L2 Sin(q1  q2 )  L3 Sin(q1  q2  q3 ).
54
Обеспечение устойчивости программного движения…
В уравнении (1.12)
матрица R будет иметь вид
b

c
d

R 0
0

0

0
d
0
0
0
e
f
f
g
0
0
0
0
0
0
0
0
k11
k12
l11
0
0
0
0
k 21
l11
k 22
l12
l 21
m11
0
0
l 21
l 22
m 21
0 

0 
0 

l12 
l 22 
m12 

m 22 
0
.
R2 
H
 da11 b  da12

 fa11 c  fa12
 ga
ga12
 11
0
 0

0
 0
(2.6)
1
 и   выПодставим в (2.7) вместо 
ражения из (2.3). Производная от функции
V
Ляпунова
имеет структуру вида
T
V  g  H  g , где из (1.20) получаем матрицу Н вида
0
LA42
MA42
1
1
2
a15  , A51  a16
(2.10)
 1
2
3
2
b

1    c
d

c
e
f
d   1 
  
f     1 ,
g   1 
 k11

k
  12
l
 11
l
 12
dA51 

fA51 

gA51 .
K  LA52 

L  MA52 
(2.8)
k12
l11
k 22
l12
l12
m11
l 22
m12
3
l12    2 
  
l 22    3 

,
m12    2 
  
m22    3 
(2.11)
V1   1  1 1  
 da 11 b  da 12

  fa11 c  fa12
 ga
ga 12
 11
Здесь
A41  a14
0 
.
H 2 
2V2   2  3  2  3  
H
dA41
fA41
gA41
LA42
MA42
1
где 2V1   1
    L        M   .
T
b  da12
c  da13
c  fa12 e  d  fa13
ga12
f  ga13
2
LA2
LA32
MA22
MA32
f  ga13
0
0




0

K  LA52 

L  MA52 
0
0
V  V  1 ,  1 , 1 ,  2 ,  3 ,  2 ,  3  
 V1  1 ,  1 , 1   V2  2 ,  3 ,  2 ,  3 ,
V  V  1 ,  1 , 1 ,  2 ,  3 ,  2 ,  3  
 V  ,  ,    V  ,  ,  ,  ,
1
 da11

 fa11

 ga11
 LA12

2
 MA1
0
0
Функцию Ляпунова V и ее производ
ную V можно записать еще так:
V  1  b  1  1  c  1  1  c  1  1  d  1 
 1  d  1  1  e  1  1  f  1  1  f  1 
(2.7)
   g     T  K      T  L    
T
c  da13
e  d  fa13
H
H   1
 0
или
Найдем производную V . Для этого
дифференцируем выражение (2.5).
Получим
1
(2.9)
Тогда матрица Н будет иметь вид
c
R
R   1
0
или
A41  0, A51  0, A12  0, A22  0, A32  0.
2V  g T  R  g ,
a17  ,
V2   2
a 
a 
a 
A12   21  , A22   22  , A32   23  ,
 a 31 
 a 32 
 a 33 
a 25 
a 27 
a
a
 , A52   26
 .
A42   24
 a34 a35 
 a36 a37 
где
Рассмотрим случай, когда
55
 3  2
 H112
 2
 H 21
H 2 : H2   2
 H 31
H2
 41
c  da 13    1 
  
e  d  fa13     1 ,
f  ga 13   1 
 2 
 
 
 3   H 2   3  .

 2
  
 3
H122
H 222
H 322
H 422
H132
H 232
H 332
H 432
H142 

H 242 
,
H 342 
H 442 
А. В. Соколов
H 112  l11a24  l12 a34
H 122  l11 a 25  l12 a 35
H 212  l12 a24  l22 a34
H 222  l12 a 25  l 22 a 35
H 312  m11a24  m12 a34
H 322  m11 a 25  m12 a 35
H 412  m12 a24  m22 a34 ,
H 422  m12 a 25  m 22 a 35 ,
H132  k11  l11a26  l12a36
H 142  k12  l11 a 27  l12 a 37
H 232  k12  l12a26  l22a36
H  k 22  l12 a 27  l 22 a 37
Найдем частное решение задачи поиска
коэффициентов a ij , обеспечивающих асимптотическую устойчивость заданного движения манипулятора. Выберем коэффициенты b,
c, d, e, f, g:
b = 8, c = 3, d = 2, e = 4, f =1, g =5. (2.14)
Матрица R1 будет иметь вид
2
24
 8 3 2


R1   3 4 1 .
 2 1 5


H  l11  m11a26  m12a36 H  l12  m11 a 27  m12 a 37
2
33
2
34
H 432  l12  m12a26  m22a36 , H 442  l 22  m12 a 27  m 22 a 37 .
По теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости будем добиваться положительной определенности функции V и отрицательной определенности функции V . Это
эквивалентно требованию положительной
определенности матрицы R и отрицательной
определенности матрицы H . Так как
V  V1  V2 и V  V1  V2 , будем добиваться
положительной и отрицательной определенности квадратичных форм V1 ,V2 и V1 ,V2 , имеющих вид (2.11) и содержащих коэффициенты
Условия положительной определенности матрицы R1 в (2.12) выполняются.
Матрица H 1 будет иметь вид
 2a 11 8  2a12

H 1   a 11
3  a12
 5a
5a 12
 11
a11 , a12 , a13 , a24 , a25 , a26 , a27 , a34 , a35 , a36 , a37 .
1) Для положительной определенности
квадратичной формы V1 и отрицательной
определенности квадратичной формы V
необходима положительная и отрицательная
определенность матриц R1 и H1 . Из этих
условий следует
a11  3 , a12  2 , a13  1 .
Тогда
4
5
 6


H1    3
1
7 .
  15  10 6 


(2.15)
Пусть
k11  6 , k 22  5 , k12  2 , l11  1,
l 22  1 , m11  4 , m22  3 , l12  m12  0 . (2.16)
(2.12)
Матрица R2 будет иметь вид
6

2
R2  
1

0

2) Для положительной определенности
квадратичной формы V2 и отрицательной
определенности квадратичной формы V
2
необходима положительная и отрицательная
определенность матриц R 2 и H 2 . Из этих
условий следует
1 ( R2 )  0
1 ( H 2 )  0
 ( R )  0
 ( H )  0
 2 2
 2 2
и 
.

3 ( R2 )  0
3 ( H 2 )  0
4 ( R2 )  0
4 ( H 2 )  0
Пусть
Условия отрицательной определенности матрицы H 1 в (2.12) выполняются.
1
1 ( R1 )  0
1 ( H 1 )  0


2 ( R1 )  0 и 2 ( H 1 )  0 .
 ( R )  0
 ( H )  0
 3 1
 3 1
3  2a 13 

6  a13  .
1  5a 13 
2
5
0
1
1
0
4
0
0

1
.
0

3 
Условия положительной определенности матрицы R 2 в (2.13) выполняются.
Матрица H 2 будет иметь вид
 a 24

a
H 2   34
4a
 24
 3a
 34
(2.13)
56
a 25 6  a 26 2  a 27 

a35 2  a36 5  a37 
.
4a 25 1  4a 26
4a 27 

3a35
3a36
1  3a37 
Обеспечение устойчивости программного движения…
Пусть
Список литературы
a 24  7 , a25  0 , a 26  4 , a 27  2 ,
a34  2 , a35  6 , a36  0 , a 37  2 . (2.17)
1. Чиликин М.В., Ключев В.И., Сандлер А.С.
Теория автоматизированного электропривода. М.: Энергия, 1979.
2. Соколов А.В. Об управлении движением
электромеханического манипулятора //
Проблемы механики и управления. Пермь,
2003. Вып. 35. С. 136–151.
3. Мухарлямов Р.Г. Математическое моделирование динамики несвободных механических систем // Вестн. Рос. ун-та дружбы
народов. Сер.: Прикл. математика и информатика. 1996. № 1. С.31–37.
4. Мухарлямов Р.Г. О построении множества
систем дифференциальных уравнений
устойчивого движения по интегральному
многообразию // Дифференц. уравнения,
1969. Т. 5, № 4. С. 688–699.
5. Программное движение механических систем / под. ред. А.С.Галиуллина. М., 1971.
158 с.
6. Соколов А.В. Управление программным
движением многозвенного манипулятора //
Проблемы механики и управления. Пермь,
2002. Вып. 34. С. 76–93.
Условия отрицательной определенности матрицы H 2 в (2.13) выполняются.
Таким образом, мы нашли все искомые
коэффициенты a ij , i  1,2,3 , j  1,...,7 , при
помощи которых будет обеспечиваться
асимптотическая устойчивость заданного
движения (2.1) трехзвенного электромеханического манипулятора. В результате матрица
коэффициентов a ij из (2.4) примет вид
1
 0

0
 0
 3  2

A 0
0
 0
0

 0
0

0
 0
0
1
1
0
0
0
0
0 

0
0
0
0 
0
0
0
0 

0
0
0
1 . (2.18)
0
0
0
1 
 7 0  4  2

2  6 0  2
0
0
0
The stability movement of the electromechanical
manipulator
A. V. Sokolov
Peoples’ Friendship University of Russia, 117198, Moscow, Miklukho-Maklay st., 6
kaf-tm@sci.pfu.edu.ru; (495) 955-07-78
Questions of asymptotical stability of program movement of electromechanical robots are designed. Dynamics described by systems of the equations of the third order. Influence of resistance
of environment is considered at control of the electromechanical manipulator.
Key words: dynamics; stability; manipulating systems.
57