П Р О Б

ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Нелин ейные динамические си стемы
Вып. 41
Межвузовский сборник научных трудов
2009
УДК 621.865.8–5
А.В. Соколов
г. Москва
ОБ УСЛОВИЯХ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ДВИЖЕНИЯ ТРЕХЗВЕННОГО УПРАВЛЯЕМОГО
ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОГО МАНИПУЛЯТОРА
Исследуются вопросы обеспечения асимптотической
устойчивости программного движения электромеханических систем с голономными и неголономными связями.
Находятся условия асимптотической устойчивости движения модели трехзвенного управляемого электромеханического манипулятора.
Для теоретического изучения динамики манипуляционных
роботов, определения конструктивных параметров и законов
управления необходимо иметь расчетные механические модели, с
достаточной точностью описывающие свойства реальных роботов. Выбор расчетной модели в каждом конкретном случае определяется кинематической схемой манипулятора, механическими
свойствами (инерционными, упругими, диссипативными и т.п.)
его деталей и узлов, типом и характеристиками приводов, а также
необходимой точностью производимых расчетов.
С математической точки зрения, расчетная модель манипуляционного робота представляет собой систему дифференциальных уравнений. Эта модель может содержать уравнения, описывающие также явления немеханической природы, например электрические процессы в цепях электродвигателей приводов.
© Соколов А. В., 2009
156
А.В. Соколов. Об условиях асимптотической устойчивости движения…
1. Исследование условий асимптотической устойчивости
движения управляемого электромеханического манипулятора
Поставим задачу нахождения условий, обеспечивающих
асимптотическую устойчивость программного движения электромеханических систем с голономными и неголономными связями.
Для электродвигателя постоянного тока, с независимым
возбуждением выполняются соотношения [1]:
L*
d
 R *   k 2 n*  ku ,
dt
(1.1)
M *   n *   I 0 n *  ,
2
(1.2)
где  – угол поворота ведомой шестерни редуктора; n – передаточное число редуктора (отношение числа зубьев ведомой и
ведущей шестерен); L* и R * – соответственно коэффициент
индуктивности и электрическое (омическое) сопротивление обмотки ротора электродвигателя; и - управляющее электрическое
напряжение;  – момент электромагнитных сил, создаваемых
*
двигателем и приложенных к его ротору; I 0 – суммарный момент инерции ротора электродвигателя и ведущей шестерни редуктора относительно оси вращения; M * – момент сил реакции,
действующих на ведущую шестерню; k – коэффициент, зависящий от напряжения на входе цепи возбуждения. Будем предполагать, что это напряжение постоянно. Тогда k = const.
При описании динамики манипуляционных роботов
обычно используют уравнения Лагранжа второго рода
d  L  L
  
 M*.
dt  q  q
(1.3)
Уравнения (1.1), (1.2) описывают электрические процессы, проходящие в электродвигателе звена манипулятора; (1.3)
описывают динамику звена манипулятора. Аналогичные уравнения можно записать для каждого звена. Уравнения типа (1.1),
(1.2), (1.3) можно объединить в систему [2]:
157
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2009
 dq 
 dt  q ,

~
 dq
 M 1  n *    ,

 dt
 d
R*
k 2 n*  k




q  * u.

L*
L*
L
 dt


(1.4)
Заданной программой движения манипуляционной системы можно считать ограничения, наложенные на обобщенные
координаты и скорости, которые в общем виде можно представить как совокупность уравнений голономных и неголономных
связей:
(1.5)
f (q , t )  0 ,
f (q , q , t )  0 ,
В работе [3] было показано, что для обеспечения асимптотической устойчивости интегрального многообразия (t ) , описываемого уравнениями (1.5), следует использовать вместо
уравнений связей (1.5) уравнения программных связей:
 f (q , t )   ,

 f (q , q , t )   ,
 
 f (q , q , t )   ,
   
 f (q , q , q , t )   ,
   
 f (q , q , q , t )   ,
(1.6)
в которых возмущения связей  ,  ,  ,  ,   рассматриваются как
переменные, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям
 * i   i ( * , q , q , t ) , * i   i ( * ,  * , q, q , q , t ) , (1.7)
 *  ( 1 ,...,  m , 1 ,...,  m ,  1 ,...,  r ) ,  (0, q , q , t )  0 ,
 (0,0, q, q , q , t )  0 .
Правые части уравнений (1.7) можно выбрать так, чтобы
их тривиальное решение
1  ...   m  1  ...   m  1  ...  m  1  ...   r  1  ...   r  0
158
А.В. Соколов. Об условиях асимптотической устойчивости движения…
было асимптотически или экспоненциально устойчиво [4].
Будем считать, что из асимптотической или экспоненциальной
устойчивости
тривиального
решения
            0 уравнений (1.7) следует соответственно асимптотическая или экспоненциальная устойчивость
интегрального многообразия (t ) .
Подставим вместо q выражение, полученное из (1.4),
q  Q q , q ,   . Тогда получим
 f (q , t )   ,

 f (q , q , t )   ,
 
 f (q , q , t )   , ,
  
 f (q , q ,  , t )   ,
 
 f (q , q ,  , t )   .
(1.8)
Уравнения (1.7) подбираем так, чтобы они удовлетворяли
системе дифференциальных уравнений
 d
1
1 
1 
1
1 
 dt  A1   A2  A3  A4   A5 ,
(1.9)
 

d

2
2
2
2
2

 A1   A2   A3   A4    A50 ,
 dt
где матрицы имеют размерности: A01 , A11 , A21 – (mm), A31 , A41 –
(mr), A02 , A12 , A22 – (rm), A32 , A42 – (rr) и состоят из коэффициентов, которые подбираются из условий асимптотической
устойчивости движения.
Рассмотрим более подробно поиск коэффициентов (матриц
коэффициентов) Aij i  1,2 , j  1,...,5 из (1.9), которые подбираются из условий асимптотической устойчивости движения.
Введем обозначения:
159
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2009
  
 0
 
 

 
  
 0
  





 , A   A11
g   , g  
 

 
   
 0
  
 A2
   
   
 1
 
 
1
0
A21
0
A22
0
1
A31
0
A32
0 

0 
A51 .

1 
A52 
0
0
A41
0
2
A4
(1.10)
Тогда можно записать уравнения (1.9) в виде
(1.11)
g  A  g ,
где в матрице Р на соответствующих местах находятся соответствующие блок-матрицы.
Функцию Ляпунова возьмем в виде
(1.12)
2V  g T  R  g ,
 R11 ... R15 


где R   ... ... ...  , R  RT ; Rij , i, j  1,...,5 – блок R ... R 
55 
 51
матрицы соответствующих размерностей.
Распишем подробнее (1.12):




 
  
  
  
   
   .
2V   T  R11   T  R21   T  R31   T  R41   T  R51
  T  R12   T  R22   T  R32   T  R42   T  R52
  T  R13   T  R23   T  R33   T  R43   T  R53
  T  R   T  R   T  R   T  R   T  R
14
T
Так
24
34
44
54
 R15   T  R25   T  R35   T  R45   T  R55
как
вектора
 ,  ,  ,  ,  
и
(1.13)
матрицы Rij ,
i, j  1,...,5 состоят из скалярных функций и Rij  RTji , то будут
выполняться равенства  T  Rij      T  R ji   .
Отсюда следует:
 T  Rij     T  R ji   2 T  Rij   .
160
А.В. Соколов. Об условиях асимптотической устойчивости движения…
Перепишем выражение (1.13) с учетом вышеизложенного:
2V   T  R11     T  R22     T  R33     T  R44      T  R55    
 2 T  R12    2 T  R13    2 T  R14      T  R15     2 T  R23   
 2 T  R24     2 T  R25     2 T  R34      T  R35     2 T  R45   .
(1.14)
Будем искать функцию Ляпунова V в виде [5]:
2V   T  B    2 T  C    2 T  D     T  E     T  G   
(1.15)
 2 T  F     T  K     2 T  L      T  M   ,
где B,C,D,E,F,G,K,L,M – симметрические матрицы с постоянными коэффициентами. Сравнивая правые части в выражениях
(1.12), (1.13), (1.15) для функций V, получим
B C

C E
R  D F

0 0
0 0

D 0
F 0
G 0
0 K
0 L
0

0
0 .

L
M 
(1.16)
Таким образом, R11  B , R12  R21  C , R13  R31  D ,
R22  E , R23  R32  F , R33  G , R44  K , R45  R54  L ,
R55  M , остальные Rij  0 .
Найдем производную V . Для этого продифференцируем
выражение (1.15). Получим
   T  E   
V   T  B     T  C     T  C     T  D     T  D  
   T  G  
   T  K      T  L      T  L   ,
  T  F     T  F  
  T  M   .
(1.17)
 и   выражения из (1.9):
Подставим в (1.17) вместо 
161
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2009
V   T  B     T  C     T  C     T  D   
  T  D  A11  A21  A31  A41   A51    T  E     T  F   
  T  F  A11  A21  A31  A41   A51  
(1.18)
  T  G  A11  A21  A31  A41   A51    T  K      T  L    
  T  L  A12  A22  A32  A42   A52  
  T  M  A12  A22  A32  A42   A52 .
Производная от функции Ляпунова V имеет структуру вида
(1.19)
V  g T  H  g .
Распишем подробнее (1.19):
 H11 H12 H13 H14 H15    

  
 H 21 H 22 H 23 H 24 H 25    
V   T , T , T , T , T   H 31 H 32 H 33 H 34 H 35      

  
 H 41 H 42 H 43 H 44 H 45    
H
  
 51 H 52 H 53 H 54 H 55    
 T  H   T  H   T  H   T  H   T  H   



 
 
 
 

11
21
31
41
51





 H 12   T  H 22   T  H 32   T  H 42   T  H 52   
T
 H 13   T  H 23   T  H 33   T  H 43   T  H 53   
T
 H 14   T  H 24   T  H 34   T  H 44   T  H 54    
T
 H 15   T  H 25   T  H 35   T  H 45   T  H 55   .
T
(1.20)
Перегруппируем слагаемые в выражении (1.18) к виду
(1.20), тогда получаем вид матрицы Н:
 DA11 B  DA21
C  DA31
DA41
DA51 


FA51 
 FA11 C  FA21 E  D  FA31 FA41
H   GA11
GA21
F  GA31
GA41
GA51 . (1.21)

 LA12
LA22
LA32
LA42 K  LA52 


2
MA22
MA32
MA42 L  MA52 
 MA1
162
А.В. Соколов. Об условиях асимптотической устойчивости движения…
Рассмотрим случай:
A41  0, A51  0,
A12  0, A22  0, A32  0.
(1.22)
Тогда матрица Н будет иметь вид
 DA11
 1
 FA1
H   GA11

 0

 0


C  FA21 E  D  FA31
0
0

. (1.23)
1
1
GA2
F  GA3
0
0

0
0
LA42 K  LA52 

0
0
MA42 L  MA52 
Функцию Ляпунова V и ее производную V можно запиB  DA21
C  DA31
0
0
сать еще так:
где
V  V  , , , ,   V1  , ,   V2  ,  ,
V  V  , , , ,   V1  , ,   V2  ,  ,
 B C D   

  
2V1   T , T , T   C E F    ,
 D F G   

  
 K L    
   ,
2V2   T , T  
 L M    




 DA11

V1   T ,  T ,  T   FA11
 GA1
 1


B  DA21
C  FA21
GA21
 LA2
V2   T , T   42
 MA4


C  DA31   
  
E  D  FA31    ,
F  GA31   
K  LA52    
   .
L  MA52    
(1.24)
По теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости,
будем добиваться положительной определенности функции V и
отрицательной определенности функции V . Это эквивалентно
требованию положительной определенности матрицы R и отрицательной определенности матрицы H .
163
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2009
1. Положительная определенность матрицы R :
главные миноры матрицы R удовлетворяют условию
i  1,...,2m  r .
(1.25)
 i ( R)  0 ,
2. Отрицательная определенность матрицы H :
главные миноры матрицы H удовлетворяют условию
i – нечетное, i  [1;2m  r ] ,
i (H )  0 ,
 j (H )  0 ,
j – четное,
j  [1;2m  r ] . (1.26)
Таким образом, мы будем иметь 2( 2m  r ) условий
(1.25), (1.26) типа неравенств, наложенных на искомые коэффициенты матриц Aij , i  1,2 , j  1,...,5 и на коэффициенты матриц B,C,D,E,F,G,K,L,M.
В общем случае условий (1.25), (1.26) недостаточно для
однозначного нахождения коэффициенты матриц Aij . Поэтому
при решении конкретных задач используется произвол при выборе постоянных коэффициентов матриц B,C,D,E,F,G,K,L,M, а
также дополнительные условия задачи.
2. Исследование условий асимптотической устойчивости
движения трехзвенного управляемого электромеханического
манипулятора
Найдем коэффициенты матриц
Aij , обеспечивающих
асимптотическую устойчивость движения, при попадании схвата трехзвенного электромеханического манипулятора из произвольной точки X 0 ( x0 , y0 ) рабочей зоны, полуплоскость левее
прямой x = 6, в точку X * (6,5) , минуя препятствие, которое
ограничено замкнутой кривой  : ( x  3) 2  ( y  3) 2  1  0 . К
тому же потребуем, чтобы схват манипулятора во время движения был параллелен оси Ox (см. рисунок).
164
А.В. Соколов. Об условиях асимптотической устойчивости движения…
Связи, голономные и неголономные, накладываемые на движения манипулятора, имеют вид [6]:
f1  Cos(q1  q2  q3 )  1  0,


1

f 2  x  x  6 ( x  3) 2  ( y  3) 2  1   y  32 x  3 y  3  0,
8

(2.1)
 1

2
2

f 3  y  2 x  3 y  3
( x  3)  ( y  3)  1  x  3x  6 
 24

1
 ( x  3) 2  ( y  3) 2  1 x  6  0,
3
где координаты схвата x и y, используя кинематику, выражаются
через обобщенные координаты q  (q1 , q2 , q3 ) :




 x  L1Cosq1  L2 Cos(q1  q 2 )  L3 Cos(q1  q 2  q3 ) .

 y  L1 Sinq1  L2 Sin (q1  q 2 )  L3 Sin (q1  q 2  q3 )
Уравнения (1.8) примут вид
 f1 (q , t )  1 ,

 f1 (q , q , t )  1 ,
 f (q , q , t )   ,
2
 2
 
 f 3 (q , q , t )   3 ,
  
 f1 (q , q ,  , t )  1 ,
 f (q , q ,  , t )  
2
 2


 f 3 (q , q ,  , t )   3 .
(2.2)
165
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2009
Уравнения (1.9) примут вид
1  a111  a121  a131  a14 2  a15 3  a16 2  a17 3 ,


2  a211  a221  a231  a24 2  a25 3  a26 2  a27 3 , (2.3)
  a   a   a   a   a   a   a  .
31 1
32 1
33 1
34 2
35 3
36 2
37 3
 3

Обозначим вектора g, g и матрица A
1
 1 
 1 
 0
 

 
0
 1 
 0
 1 
  

a
 
a
 1
 11 12
 1
g   2 , g    2 , A   0
0
  
 0
 
0
 3

 3
 2 
 a 21 a 22
 2 
 

 
 3 
 a31 a32
  3 
0
1
0
0
0
0
0
0
a13
a14
a15
a16
0
0
0
0
0
0
0
0
a 23 a 24
a 25
a 26
a33
a35
a36
a34
0 

0 
a17 

1 .
1 
a 27 

a37 
(2.4)
Тогда можно записать
g  P  g .
Будем искать функцию Ляпунова V в виде (1.15):
2V  1  b  1  21  c  1  21  d  1  1  e  1  1  f  1 
(2.5)
 21  g  1   T  K     2 T  L      T  M   ,
 2 
 ; b, c, d, e, f, g – постоянные коэффициенты,
 3 
k 
l 
m12 
k
m
l
 – матрицы с
K   11 12  , L   11 12  , M   11
 k21 k22 
 m21 m22 
 l21 l22 
постоянными
коэффициентами,
причем
k12  k21 ,
l12  l21 , m12  m21 .
В уравнении (1.12) 2V  g T  R  g матрица R будет иметь
где,    
вид
166
А.В. Соколов. Об условиях асимптотической устойчивости движения…
b

c
d

R 0
0

0

0
или
c
d
0
0
0
e
f
f
g
0
0
0
0
0
0
0
0
k11
k12
l11
0
0
0
0
k 21
l11
k 22
l12
l 21
m11
0
0
l 21
l 22
m21
0 

0 
0 

l12 
l 22 
m12 

m22 
R 0 
 .
(2.6)
R   1
 0 R2 
Найдем производную V . Для этого продифференцируем
выражение (2.5). Получим
V  1  b  1  1  c  1  1  c  1  1  d  1  1  d  1  1  e  1  1  f  1
(2.7)
   f      g     T  K      T  L      T  L      T  M   .
1
1
1
1
 и   выражения из (2.3).
Подставим в (2.7) вместо 
Производная от функции Ляпунова V имеет структуру вида
V  g T  H  g , где из (1.21) мы получаем вид матрицы Н:
 da11

 fa11
H   ga11

 LA12

2
 MA1
Здесь
b  da12
c  da13
dA41
c  fa12
ga12
e  d  fa13
f  ga13
fA41
gA41
LA22
MA22
LA32
MA32
LA42
MA42
A41  a14
a15  ,
a 
A12   21  ,
 a31 
a25 
a27 
a
 , A52   26
 .
a35 
 a36 a37 
A51  a16
a 
a 
a
A22   22  , A32   23  , A42   24
 a32 
 a33 
 a34


fA51 
gA51 . (2.8)
K  LA52 

L  MA52 
dA51
a17  ,
167
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2009
Рассмотрим случай
A41  0, A51  0,
A12  0, A22  0, A32  0.
(2.9)
Тогда матрица Н будет иметь вид
 da11 b  da12

 fa11 c  fa12
H   ga11
ga12

0
 0
 0
0

c  da13
e  d  fa13
0
0
f  ga13
0
0
LA42
0
MA42
H
H   1
 0
или




0

K  LA52 
L  MA52 
0
0
0 
.
H 2 
(2.10)
Функцию Ляпунова V и ее производную V можно записать еще так:
V  V 1 , 1 , 1 ,  2 ,  3 ,  2 ,  3   V1 1 , 1 , 1   V2  2 ,  3 ,  2 ,  3  ,
V  V 1 ,1 , 1 , 2 , 3 , 2 , 3   V1 1 ,1 ,1   V2  2 , 3 , 2 , 3  ,
где
2V1  1 1
2V2   2  3  2
V1  1 1
168
b

1    c
d

 k11

k
 3    12
l
 11
l
 12
c
e
f
k12
k 22
l12
l 22
 da11 b  da12

1    fa11 c  fa12
 ga
ga12
 11
d  1 
  
f   1 ,
g  1 
l11
l12
m11
m12
l12    2 
  
l 22    3 

,
m12    2 
  
m22    3 
c  da13  1 
  
e  d  fa13   1 ,
f  ga13  1 
А.В. Соколов. Об условиях асимптотической устойчивости движения…
V2   2  3  2
 2 
 
 
 3   H 2   3  ,

 2
  
 3
(2.11)
где H 2 имеет вид
l11a25  l12a35
k11  l11a26  l12a36 k12  l11a27  l12a37 
 l11a24  l12a34


l12a25  l22a35 k12  l12a26  l22a36 k 22  l12a27  l22a37 
 l12a24  l22a34
H2  
.
m a m a m a m a l m a m a l m a m a 
 11 24 12 34 11 25 12 35 11 11 26 12 36 12 11 27 12 37 
m a  m a m a  m a l  m a  m a l  m a  m a 
 12 24 22 34 12 25 22 35 12 12 26 22 36 22 12 27 22 37 
По теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости, будем
добиваться положительной определенности функции V и отрицательной определенности функции V . Это эквивалентно требованию положительной определенности матрицы R и отрицательной определенности матрицы H . Так как V  V1  V2 и
V  V1  V2 , то будем добиваться положительной и отрицательной определенности квадратичных форм V ,V и V ,V , имею1
2
1
2
щих вид (2.11) и содержащих коэффициенты
a11 , a12 , a13 , a24 , a25 , a26 , a27 , a34 , a35 , a36 , a37 .
1. Для положительной определенности квадратичной
формы V1 и отрицательной определенности квадратичной формы V1 необходима положительная и отрицательная определенность матриц R1 и H 1 . Из этих условий следует:
1 ( R1 )  0

 2 ( R1 )  0
 ( R )  0
 3 1
и
1 ( H1 )  0

 2 ( H 1 )  0
 ( H )  0
 3 1
(2.12)
2. Для положительной определенности квадратичной
формы V2 и отрицательной определенности квадратичной фор169
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2009
мы V2 , необходима положительная и отрицательная определенность матриц R2 и H 2 . Из этих условий следует:
 1 ( R2 )  0
 ( R )  0
 2 2

 3 ( R2 )  0
 4 ( R2 )  0
и
 1 ( H 2 )  0
 ( H )  0
 2
2

 3 ( H 2 )  0
 4 ( H 2 )  0
(2.13)
Найдем частное решение задачи поиска коэффициентов
aij , обеспечивающих асимптотическую устойчивость заданного
движения манипулятора.
Возьмем коэффициенты b, c, d, e, f, g:
b = 4, c = 1, d = 1, e = 2, f =1, g =2.
Матрица R1 будет иметь вид
(2.14)
4 1 1


R1   1 2 1 .
 1 1 2


Условия положительной определенности матрицы R1 в
(2.12) выполняются.
Матрица H1 будет иметь вид
 a11 4  a12 1  a13 


H1   a11 1  a12 3 a13  .
 2a

 11 2a12 1  2a13 
Условия отрицательной определенности матрицы H1 :
a11  0 , a12  0 , a13  0 , a12a13  a11  0 .
a13  2 .
Пусть
a11  1,
a12  2 ,
Тогда
(2.15)
  1 2  1


H1    1  1 1  .
  2  4  3


Условия отрицательной определенности матрицы H1 в
(2.12) выполняются.
170
А.В. Соколов. Об условиях асимптотической устойчивости движения…
Пусть: k12  0 , l12  0 , m12  0 , k11  3 , k22  2 , l11  1 ,
l22  1 , m11  2 , m22  1.
3 0

0 2
Матрица R 2 будет иметь вид R2  
1 0

0 1

(2.16)
1
0
2
0
0

1
.
0

1 
Условия положительной определенности матрицы R2 в
(2.13) выполняются.
Матрица H 2 будет иметь вид
a 25 3  a 26
a 27 
 a 24


a35
a36
2  a37 
 a34
.
H2  
2a 24 2a 25 2a 26
2a 27 


a
a35
a36
a37 
 34
Пусть a25  0 , a27  0 , a34  0 , a36  0 , a24  2 ,
(2.17)
a26  1 , a35  2 , a37  1 .
Условия отрицательной определенности матрицы H 2 в
(2.13) выполняются.
Таким образом, мы нашли все искомые коэффициенты
aij , i  1,2,3 , j  1,...,7 , при помощи которых будет обеспечиваться асимптотическая устойчивость заданного движения (2.1)
трехзвенного электромеханического манипулятора. В результате матрица коэффициентов aij из (2.4) примет вид
1
0
0
0
0
0
 0


0
1
0
0
0
0
 0
1  2  2 0
0
0
0


A 0
0
0
0
0
0
1 .
 0
0
0
0
0
0
1 

 0
0
0  2 0 1 0 


0
0
0  2 0  1
 0
(2.18)
171
ПРОБЛЕМЫ МЕ ХАНИКИ И УПРАВЛЕНИЯ – 2009
Библиографический список
1. Чиликин М.В. Теория автоматизированного электропривода / М.В.Чиликин, В.И.Ключев, А.С.Сандлер.
М.: Энергия, 1979.
2. Соколов А.В. Об управлении движением электромеханического манипулятора / А.В.Соколов // Проблемы механики и управления: межвуз. сб. науч. тр.
Пермь, 2003. Вып. 35. С.136–151.
3. Мухарлямов Р.Г. Математическое моделирование
динамики несвободных механических систем /
Р.Г.Мухарлямов // Вестн. РУДН. Сер. Прикладн. матем.
и информ. 1996. № 1. С.31–37.
4. Мухарлямов Р.Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию / Р.Г.Мухарлямов
// Дифференц. уравнения. 1969. Т.5, № 4. С.688–699.
5. Программное движение механических систем /
под ред. А.С.Галиуллина. М., 1971. 158 с.
6. Соколов А.В. Управление программным движением многозвенного манипулятора / А.В.Соколов //
Проблемы механики и процессов управления: межвуз.
сб. науч. тр. Пермь, 2002. Вып. 34. С.6–93.
7. Черноусько Ф.Л. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация / Ф.Л.Черноусько,
Н.Н.Болотник, В.Г.Градецкий. М.: Наука, 1989. 368 с.
172