Производная и неопределенный интеграл.

.
С. Р. Насыров
ПРОИЗВОДНАЯ
И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Казань – 2013
УДК 517.1
Печатается по решению Учебно-методической комиссии
Института математики и механики им. Н. И. Лобачевского КФУ
Научный редактор
кандидат физико-математических наук, доцент Р. Н. Гумеров
Насыров С.Р. Производная и неопределенный интеграл. – Казань:
Казанский (Приволжский) федеральный университет, 2013. – 68 с.
В настоящем учебном пособии излагаются основы дифференциального исчисления функций одной вещественной переменной и неопределенный интеграл. Материал соответствует курсу «Математический анализ»
для классических университетов (вторая половина 1-го семестра).
c Насыров С.Р., 2013
1
1.1
Производная и дифференциал
Определение производной
Пусть функций f определена на числовом промежутке I и точка
x0 ∈ I . Производной функции f в точке x0 называется предел
f (x) − f (x0 )
,
x→x0
x − x0
lim
если, конечно, он существует.
Число ∆x = x − x0 называется приращением аргумента, число
∆f = f (x) − f (x0 ) — приращением функции, соответствующим приращению аргумента ∆x. Производная функции f в точке x0 обозначается
f 0 (x0 ). Таким образом,
f (x) − f (x0 )
x→x0
x − x0
f 0 (x0 ) = lim
(1)
или
∆f
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
= lim
.
(2)
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x
Функция f называется дифференцируемой в точке x0 , если существует конечный предел (1), т. е. конечная производная f 0 (x0 ).
f 0 (x0 ) = lim
Теорема. Если функция f дифференцируема в точке x0 , то f
непрерывна в точке x0 .
Доказательство. Имеем
f (x) = f (x0 ) +
f (x) − f (x0 )
(x − x0 ).
x − x0
Если функция f дифференцируема в точке x0 , то существует
f (x) − f (x0 )
lim (x−x0 ) = f (x0 )+f 0 (x0 )·0 = f (x0 ).
x→x0
x→x0
x − x0
lim f (x) = f (x0 )+ lim
x→x0
Это означает непрерывность f в точке x0 .
Функция f называется дифференцируемой на числовом промежутке I , если f дифференцируема в любой точке x ∈ I . Если функция f
диффференцируема на I , то для любого x ∈ I существует конечная производная f 0 (x). Таким образом, на I определена функция f 0 : I → R,
которая называется производной функции f на числовом промежутке I .
Пример. Рассмотрим функцию f : R → R, заданную формулой
f (x) = x2 . Имеем
f (x) − f (x0 )
x2 − x20
= lim
= lim (x + x0 ) = 2x0
x→x0
x→x0 x − x0
x→x0
x − x0
f 0 (x0 ) = lim
существует в любой точке x0 ∈ R. Производная f 0 на R задается формулой f 0 (x) = 2x. В частности, f 0 (1) = 2.
Пусть функция f определена на I и x0 ∈ I . Предположим, что
существует ε > 0 такое, что [x0 , x0 + ε) ⊂ I . Если существует
f (x) − f (x0 )
,
x→x0 +0
x − x0
lim
то этот предел называется правосторонней производной функции f в
точке x0 и обозначается f+0 (x0 ). Аналогично определяется левосторонняя производная функции f в точке x0 :
f (x) − f (x0 )
.
x→x0 −0
x − x0
f−0 (x0 ) = lim
Правосторонняя и левосторонняя производные называются односторонними производными функции в точке x0 .
Очевидно, что для того чтобы функция была дифференцируемой
в точке x0 ∈ I 0 , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали конечные производные f+0 (x0 ), f−0 (x0 ) и выполнялось равенство
f+0 (x0 ) = f−0 (x0 ).
1.2
Геометрический смысл производной
Пусть M0 (x0 , f (x0 )) и M (x, f (x)) — две точки графика Γ функции
f , заданной на числовом промежутке I . Секущей графика называется
прямая, проходящая через точки M0 (x0 , f (x0 )) и M (x, f (x)). Обозначим
через β = β(x) угол наклона секущей к оси OX , т. е. угол между по−−−→
ложительным направлением оси абсцисс и вектором M0 M , если x > x0 ,
−−−→
угол между положительным направлением оси абсцисс и вектором M M0 ,
если x < x0 . Условимся для определенности считать, что |β| < π/2. Будем говорить, что график Γ функции f имеет касательную в точке M0 ,
если существует предел α = limx→x0 β(x). При этом угол α называется
углом наклона касательной к графику Γ функции f в точке M0 . Ясно,
что |α| ≤ π/2.
y
6
Γ
M
r
M0
rN
r
α β
r x0
rx
-
x
0
Рис. 1
Справедлива
Теорема (геометрический смысл производной). Функция f
дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда график Γ
функции f имеет касательную в точке M0 , наклоненную под углом
|α| < π/2. При этом
f 0 (x0 ) = tg α.
Доказательство. Будем для определенности считать, что x > x0 ,
f (x) ≥ f (x0 ). (Остальные возможные случаи рассмотрите самостоятельно!)
Из рассмотрения прямоугольного треугольника M0 M N на рис. 1
видно, что |M N | = ∆f , |M0 N | = ∆x и
tg β(x) =
∆f
.
∆x
(3)
С учетом (3) получаем, что функция f дифференцируема в точке x0 ⇐⇒ ∃f 0 (x0 ) = lim∆x→0 ∆f
∆x ∈ R ⇐⇒ ∃ limx→x0 tg β(x) ∈ R ⇐⇒
∃ limx→x0 β(x) ∈ R = α ∈ (−π/2; π/2). При этом
f 0 (x0 ) = lim tg β(x) = tg lim β(x) = tg α.
x→x0
Теорема доказана.
x→x0
Упражнение. Докажите самостоятельно, что f 0 (x0 ) = +∞
(f 0 (x0 ) = −∞) тогда и только тогда, когда график Γ функции f имеет
касательную в точке M0 , наклоненную под углом α = π/2 (α = −π/2).
1.3
Физический смысл производной
Пусть какой-то объект движется прямолинейно из пункта A в
пункт B . Обозначим через s = s(t), t1 ≤ t ≤ t2 путь, пройденный с
начального момента времени t1 до момента времени t. Фиксируем некоторый момент времени t0 , t1 < t0 < t2 и близкий к нему момент времени t. (Мы рассмотрим случай t > t0 , хотя возможен и случай t < t0 ).
За время ∆t = t − t0 , отсчитываемое с момента времени t0 , объект пройдет путь ∆s = s(t) − s(t0 ). Отношение ∆s/∆t характеризует среднюю
скорость объекта на указанном промежутке времени. При уменьшении ∆t
эта средняя скорость начинает все более точно характеризовать движение
объекта в момент времени t0 . Если существует предел
∆s
,
v(t0 ) = lim
∆t→0 ∆t
то этот предел называется мгновенной скоростью или просто скоростью
движения объекта в момент времени t0 . С другой стороны данный предел — это производная s 0 (t0 ).
Таким образом, производная функции s = s(t) в точке t0 равна
скорости движения в момент времени t0 :
v(t0 ) = s 0 (t0 ).
В этом состоит физический смысл производной.
Нетрудно сообразить, что в случае произвольных чисто математических функциональных зависимостей y = f (x) производная в точке характеризует скорость изменения (роста) функции в этой точке.
1.4
Основные правила вычисления производных
Теорема 1. Пусть функции f и g определены на числовом промежутке I и дифференцируемы в точке x0 ∈ I . Тогда
1) для любых α, β ∈ R функция αf + βg дифференцируема в точке x0 и
(αf + βg)0 (x0 ) = αf 0 (x0 ) + βg 0 (x0 );
2) функция f g дифференцируема в точке x0 и
(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 );
3) если g(x) 6= 0, x ∈ I , то функция f /g дифференцируема в точке x0 и
0
f
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
.
(x0 ) =
g
g 2 (x0 )
Доказательство. 1) Имеем ∆(αf +βg) = (αf (x)+βg(x))−(αf (x0 )+
+βg(x0 )) = α(f (x) − f (x0 )) + β(g(x) − g(x0 )) = α∆f + β∆g , откуда
α∆f + β∆g
∆(αf + βg)
= lim
=
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
(αf + βg)0 (x0 ) = lim
∆f
∆g
+ β lim
= αf 0 (x0 ) + βg 0 (x0 ).
∆x→0 ∆x
∆x→0 ∆x
2) Преобразуем выражение ∆(f g). Имеем
= α lim
∆(f g) = (f g)(x) − (f g)(x0 ) = f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 ) =
= (f (x) − f (x0 ))g(x) + f (x0 )(g(x) − g(x0 )) = ∆f · g(x) + f (x0 ) · ∆g.
Значит,
∆f
∆g
∆(f g)
= lim
lim g(x) + f (x0 ) lim
=
∆x→0 ∆x ∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x→0 ∆x
(f g)0 (x0 ) = lim
= f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ),
так как lim∆x→0 g(x) = g(x0 ) в силу непрерывности функции g в точке
x0 , которая является следствием дифференцируемости.
3) Используя элементарные преобразования, получаем
f
f (x) f (x0 ) f (x)g(x0 ) − f (x0 )g(x)
∆
=
−
=
=
g
g(x) g(x0 )
g(x)g(x0 )
(f (x) − f (x0 ))g(x0 ) − f (x0 )(g(x) − g(x0 )) ∆f · g(x0 ) − f (x0 ) · ∆g
=
,
g(x)g(x0 )
g(x)g(x0 )
откуда
0
∆f
∆g
f
∆(f /g)
∆x · g(x0 ) − f (x0 ) · ∆x
(x0 ) = lim
= lim
=
∆x→0
∆x→0
g
∆x
g(x)g(x0 )
=
=
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
.
g 2 (x0 )
Теорема 2 (дифференцирование обратной функции). Пусть
функция f является непрерывной строго монотонной функцией на числовом промежутке I и в точке x0 существует конечная производная
f 0 (x0 ) 6= 0. Тогда обратная функция f −1 является дифференцируемой в
точке y0 = f (x0 ) и
1
.
(f −1 )0 (y0 ) = 0
f (x0 )
Доказательство. Отметим, что в силу свойств монотонных функций
обратная функция является также непрерывной на f (I). Имеем
x − x0
f −1 (y) − f −1 (y0 )
=
= lim
x→x0 f (x) − f (x0 )
y→y0
y − y0
−1 −1
f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
1
= lim
= lim
= 0
.
x→x0
x→x0
x − x0
x − x0
f (x0 )
При обосновании этих равенств мы использовали замену переменных и
тот факт, что, в силу непрерывности функций f и f −1 , y → y0 тогда и
только тогда, когда x = f −1 (y) → f −1 (y0 ) = x0 .
(f −1 )0 (y0 ) = lim
Теорема 3 (дифференцирование сложной функции). Пусть
f : I → J , g : J → R, где I , J — некоторые числовые промежутки.
Если f дифференцируема в точке x0 , а g дифференцируема в точке y0 ,
то сложная функция g ◦ f дифференцируема в точке x0 и
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (y0 )f 0 (x0 ).
Доказательство. Имеем
g(f (x)) − g(f (x0 ))
.
x→x0
x − x0
(g ◦ f )0 (x0 ) = lim
Преобразуем последнюю дробь. Если f (x) 6= f (x0 ), то
g(f (x)) − g(f (x0 )) g(f (x)) − g(f (x0 )) f (x) − f (x0 )
=
.
x − x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
Если f (x) = f (x0 ), то
f (x) − f (x0 )
g(f (x)) − g(f (x0 ))
= 0 = g 0 (y0 ) · 0 = g 0 (y0 ) ·
.
x − x0
x − x0
При x → x0 величина y = f (x) → f (x0 ) = y0 , так как f дифференцируеума, следовательно, непрерывна в точке x0 . Итак,
g(f (x)) − g(f (x0 ))
f (x) − f (x0 )
= h(x)
,
x − x0
x − x0
где


 g(f (x)) − g(f (x0 )) , f (x) 6= f (x0 ),
f (x) − f (x0 )
h(x) =


g 0 (y0 ), f (x) = f (x0 ).
Ясно, что при x → x0 функция h(x) → g 0 (y0 ), а
завершает доказательство теоремы.
1.5
f (x)−f (x0 )
x−x0
→ f 0 (x0 ). Это
Производные основных элементарных функций
Для вычисления производных элементарных функций нужно кроме
правил дифференцирования, установленных в предыдущем пункте, знать
производные основных элементарных функций или так называемую таблицу производных. Выведем производные основных элементарных функций.
1) y = f (x) ≡ c = const, x ∈ R. Тогда ∆y = c − c = 0 и в любой
точке x ∈ R производная
∆y
= 0.
∆x→0 ∆x
(c)0 = lim
2) y = f (x) = xn , x ∈ R (n ∈ N). Имеем
(x + ∆x)n − xn
=
∆x→0
∆x
(xn )0 = lim
xn + Cn1 xn−1 ∆x + Cn2 xn−2 (∆x)2 + . . . + (∆x)n − xn
=
= lim
∆x→0
∆x
= lim [nxn−1 + ∆x(Cn2 xn−2 + Cn3 xn−3 ∆x + . . . + (∆x)n−1 )] = nxn−1 .
∆x→0
Обобщение на произвольные показатели см. ниже, п. 7).
3) y = ln x, x > 0. Имеем ∆y = ln(x + ∆x) − ln x = ln(1 +
ln(1 + ∆x
ln(1 + t)
1
x )
(ln x) = lim
= lim
= ,
t→0
∆x→0
∆x
xt
x
0
т. к. ln(1 + t) ∼ t, t → 0.
4) y = loga x, x > 0 (a > 0, a 6= 1).
0
ln
x
1
1
(loga x)0 =
(ln x)0 =
.
=
ln a
ln a
x ln a
∆x
x ),
5) y = ex , x ∈ R. Обратная к ней функция имеет вид x = ln y ,
y > 0. Применяя теорему о дифференцируемости обратной функции,
получаем
1
1
=
= y = ex .
(ex )0 =
0
(ln y)
1/y
6) y = ax , x ∈ R (a > 0). Так как y = eln a·x , то, используя правило
дифференцирования сложной функции и результат предыдущего пункта,
получаем (ax )0 = (eln a·x )0 = eln a·x (ln a · x)0 = eln a·x ln a = ax ln a.
7) y = xα , x > 0 (α ∈ R). Используя правило дифференцирования
сложной функции и подсчитанные в пп. 3) и 5) производные, получаем
0
(xα )0 = eα ln x = eα ln x (α ln x)0 = xα αx−1 = αxα−1 .
Отметим, что α может быть дробным и отрицательным. Например,
0
1
1
= (x−1 )0 = (−1) x−2 = − 2 ,
x
x
0
√
1
1 2
1
3
x = (x 3 )0 = x− 3 = √
.
3
3
3 x2
8) y = sin x, x ∈ R. Имеем, с учетом известной эквивалентности
sin x ∼ x, x → 0:
∆x
2x + ∆x
∆x
sin(x + ∆x) − sin x = 2 sin
cos
∼ ∆x cos x +
,
2
2
2
∆x → 0. Значит, в силу непрерывности функции y = cos x,
sin(x
+
∆x)
−
sin
x
∆x
(sin x)0 = lim
= lim cos x +
= cos x.
∆x→0
∆x→0
∆x
2
9) y = cos x, x ∈ R. С использованием формул приведения имеем
0
π
π
0
π
π
0
(cos x) = sin
−x
= cos
−x
− x = − cos
− x = − sin x.
2
2
2
2
10) y = tg x, x ∈ R. Имеем
0
sin
x
(sin x)0 cos x − sin x(cos x)0
cos2 x + sin2 x
1
0
(tg x) =
=
=
=
.
cos x
cos2 x
cos2 x
cos2 x
11) y = ctg x, x ∈ R. С использованием формул приведения имеем
π
0
π
0
1
1
0
(ctg x) = tg
−x
−
x
.
=
=
−
2
sin2 x
cos2 π2 − x 2
12) y = arcsin x, x ∈ [−1; 1]. Обратная функция к ней есть x = sin y ,
y ∈ [−π/2; −π/2] и
(arcsin x)0 =
1
1
1
1
p
√
,
=
=
=
(sin y)0
cos y
1 − x2
1 − sin2 y
x ∈ (−1; 1). Заметим, что выбирается положительное значение радикала,
так как cos y ≥ 0, y ∈ [−π/2; −π/2].
13) y = arccos x, x ∈ [−1; 1]. Производная
π
0
1
0
, x ∈ (−1; 1).
(arccos x) =
− arcsin x = − (arcsin x)0 = − √
2
1 − x2
14) y = arctg x, x ∈ R. Используя правило дифференцирования
обратной функции, получаем
(arctg x)0 =
1
1
1
1
2
=
.
=
cos
y
=
=
(tg y)0
cos−2 y
1 + tg2 y
1 + x2
15) y = arcctg x, x ∈ R. Тогда
π
0
1
0
(arcctg x) =
.
− arctg x = − (arctg x)0 = −
2
1 + x2
Выпишем полученные производные.
Таблица производных основных элементарных функций.
(c)0 = 0,
1
(ln x)0 = ,
x
(ex )0 = ex ,
(sin x)0 = cos x,
1
(tg x)0 =
,
cos2 x
1
(arcsin x)0 = √
,
1 − x2
1
(arctg x)0 =
,
1 + x2
(xα )0 = αxα−1 ,
1
(loga x)0 =
,
x ln a
(ax )0 = ax ln a,
(cos x)0 = − sin x,
1
(ctg x)0 = − 2 ,
sin x
1
(arccos x)0 = − √
,
1 − x2
1
(arcctg x)0 = −
.
1 + x2
Эту таблицу обязательно нужно выучить наизусть! Кроме того, безусловно нужно знать установленные выше основные правила дифференцрования:
(αf + βg)0 = αf 0 + βg 0 ,
(f g 0 ) = f 0 g + f g 0 ,
0
f
f 0g − f g0
,
=
g
g2
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x).
1.6
Логарифмическое дифференцирование
Пусть f (x) строго положительна на некотором числовом промежутке
I и дифференцируема в точке x ∈ I , тогда
(ln f (x))0 =
1
· f 0 (x),
f (x)
откуда
f 0 (x) = f (x)(ln f (x))0 .
Данная формула называется формулой логарифмического дифференцирования. Ее часто применяют при дифференцировании степеней, произведений, выражений, у которых логарифм имеет более удобный вид для
дифференцирования, чем сама функция.
Примеры. 1) Пусть y = f (x)g(x) , где f и g дифференцируемы в
точке x и f > 0 в окрестности точки x. Тогда ln y = g(x) ln f (x) является
дифференцируемой в точке x как произведение двух дифференцируемых
функций и
0
f
(x)
y 0 (x) = f (x)g(x) (g(x) ln f (x))0 = f (x)g(x) g 0 (x) ln f (x) + g(x)
=
f (x)
= f (x)g(x) g 0 (x) ln f (x) + g(x)f (x)g(x)−1 f 0 (x).
Итак,
(f (x)g(x) )0 = f (x)g(x) g 0 (x) ln f (x) + g(x)f (x)g(x)−1 f 0 (x).
Из полученной формулы видно, что для того, чтобы продифференцировать функцию, являющуюся степенью, основание и показатель которой
зависят от переменной дифференцирования, нужно продифференцировать ее сначала как показательную, затем как степенную и результаты
сложить. Впрочем, эту формулу запоминать нет необходимости, можно
просто применять формулу логарифмического дифференцирования, как
это сделано в примере ниже.
2) y = xx , x > 0. Имеем (xx )0 = xx (ln xx )0 = xx (x ln x)0 = xx (ln x +
x · x1 ) = xx (ln x + 1).
√
√
√
3) y = x − 2 3 x − 3 4 x − 4, x > 4. Имеем
0
1
1
1
0
y =y
ln(x − 2) + ln(x − 3) + ln(x − 4) =
2
3
4
√
√
√
1
1
1
+
+
.
= x−23x−34x−4
2(x − 2) 3(x − 3) 4(x − 4)
1.7
Производные высших порядков
Пусть функция f дифференцируема на числовом промежутке I . Если функция f 0 , которая является ее производной, дифференцируема в
точке x0 , то ее производная (f 0 )0 (x0 ) в этой точке называется второй
производной функции f в точке x0 и обозначается f 00 (x0 ). Если функция f 0 дифференцируема в любой точке x ∈ I , то производная функции
f 0 на I называется второй производной функции f на числовом промежутке I и обозначается f 00 .
Аналогично по индукции определяются третья, четвертая, . . . , n-ая
производные функции f . Более подробно, пусть для некоторого натурального n > 1 определена (n − 1)-я производная f (n−1) функции f . Если
f (n−1) дифференцируема в точке x0 , то ее производная (f (n−1) )0 (x0 ) в этой
точке называется n-й производной функции f в точке x0 и обозначается
f (n) (x0 ). Если функция f (n−1) дифференцируема в любой точке x ∈ I , то
ее производная на I называется n-й производной функции f на числовом
промежутке I и обозначается f (n) . Для производных младших порядков (n ≤ 3) приняты обозначения f 0 , f 00 , f 000 . Для старших производных
в записи порядка n иногда вместо арабских используют римские числа,
например, f (IV ) вместо f (4) . По определению полагают, что производная
нулевого порядка — это сама функция.
Примеры. 1) Пусть y = f (x) = (1 + x)α , x > −1. Тогда
y 0 = α(1 + x)α−1 ,
y 00 = α(α − 1)(1 + x)α−2 ,
y 000 = α(α − 1)(α − 2)(1 + x)α−3 ,
... ... ...................................
y (n) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n .
2) y = ln(1 − x), x < 1. Имеем
y 0 = −(1 − x)−1 ,
y 00 = −(1 − x)−2 ,
y 000 = −2(1 − x)−3 ,
y (4) = −2 · 3(1 − x)−4 ,
... ... ....................
y (n) = −(n − 1)!(1 − x)−n .
3) y = ex , x ∈ R, y (n) = ex для любого натурального n.
4) y = ax , x ∈ R (a > 0). Имеем y 0 = ax ln a, y 00 = ax (ln a)2 ,
y 000 = ax (ln a)3 , . . . , y (n) = ax (ln a)n .
5) y = sin x, x ∈ R. Тогда y 0 = cos x = sin(x + π/2), y 00 =
= − sin x = sin(x + π), y 000 = − cos x = sin(x + 3π/2), y (4) = sin x =
= sin(x + 2π), . . . , y (n) = sin(x + nπ/2).
6) y = cos x, x ∈ R. Тогда y 0 = − sin x = cos(x + π/2), y 00 =
= − cos x = cos(x + π), y (3) = sin x = cos(x + 3π/2), . . . , y (n) = cos(x +
+nπ/2).
Функция f , заданная на числовом промежутке I , называется непрерывно дифференцируемой на I , если f дифференцируема на I и производная f 0 является непрерывной функцией на I .
Функция f , заданная на числовом промежутке I , называется n
раз непрерывно дифференцируемой на I , если функция f (n−1) дифференцируема на I и ее производная f (n) является непрерывной функцией
на I .
Функция f , заданная на числовом промежутке I , называется бесконечно дифференцируемой на I , если функция f дифференцируема на
I любое количество раз. Если f бесконечно дифференцируема на I , то
все ее производные дифференцируемы, следовательно, непрерывны на I .
1.8
Высшие производные линейной комбинации и произведения функций. Правило Лейбница.
1) Пусть функции f и g являются n раз дифференцируемыми
в точке x0 , тогда для любых констант α, β ∈ R линейная комбинация αf + βg является n раз дифференцируемой в точке x0 и
(αf + βg)(n) (x0 ) = αf (n) (x0 ) + βg (n) (x0 ).
Доказательство нетрудно провести с использованием метода полной
математической индукции.
2) Подсчитаем несколько производных от произведения функций:
(f g)0 = f 0 g + f g 0 , (f g)00 = f 00 g + 2f 0 g 0 + f g 00 , (f g)000 = f 000 g + 3f 00 g 0 +
+3f 0 g 00 + f g 000 . Из анализа этих формул можно заметить, что коэффициенты перед произведениями производных совпадают с биномиальными
коэффициентами. На самом деле, это верно для произвольного n.
Условимся под нулевой производной f (0) функции f понимать саму
функцию f .
Правило Лейбница. Пусть функции f и g являются n раз дифференцируемыми в точке x0 , тогда произведение f g является n раз
дифференцируемой функцией в точке x0 и
(n)
(f g) (x0 ) =
n
X
Cnk f (n−k) (x0 )g (k) (x0 ).
k=0
Доказательство. Для простоты обозначений точку, в которой берутся производные, указывать не будем. Доказательство проведем индукцией
по n. При n = 1, 2, 3 справедливость утверждения теоремы установлена
выше. Предположим, что оно верно для некоторого n = m:
(m)
(f g)
=
m
X
k (m−k) (k)
Cm
f
g .
k=0
Докажем, что оно справедливо и при n = m + 1. Дифференцируя предыдущее соотношение и используя правила дифференцирования линейной
комбинации и произведения, а также известное соотношение для биномиk
k−1
k
альных коэффициентов Cm
+ Cm
= Cm+1
, получаем
!0
m
X
k (m−k) (k)
Cm
f
g
(f g)(m+1) =
=
k=0
=
m
X
k (m−k+1) (k)
Cm
f
g
+
=
= f (m+1) g +
k=0
m
X
k (m−k+1) (k)
Cm
f
g
+
k (m−k+1) (k)
Cm
f
g +
k=1
=f
(m+1)
k (m−k) (k+1)
Cm
f
g
=
k=0
k=0
m
X
m
X
m+1
X
k=1
m
X
k−1 (m−k+1) (k)
Cm
f
g =
k−1 (m−k+1) (k)
Cm
f
g + f g (m+1) =
k=1
g+
m
X
k
k−1 (m−k−1) (k)
(Cm
+ Cm
)f
g + f g (m+1) =
k=1
=f
(m+1)
g+
m
X
k
Cm+1
f (m−k−1) g (k)
+ fg
k=1
(m+1)
=
m+1
X
k
Cm+1
f (m−k−1) g (k) ,
k=0
что и требовалось доказать.
Пример. Пусть f (x) = (x2 + 3x + 1)ex . Найдем f (100) . Имеем
(x2 + 3x + 1)0 = 2x + 3, (x2 + 3x + 1)00 = 2, (x2 + 3x + 1)(n) = 0,
n ≥ 3.
Используя правило Лейбница, получаем
0
1
2
f (100) (x) = C100
(x2 + 3x + 1)ex + C100
(2x + 3)ex + C100
2ex =
= [(x2 + 3x + 1) + 100(2x + 3) + 9900]ex = (x2 + 203x + 10201)ex .
1.9
Дифференциал функции
Рассмотрим примеры.
1) Пусть функция y = x2 , x ∈ R. Рассмотрим приращение этой
функции в точке x0 :
∆y = (x0 + ∆x)2 − x20 = 2x0 · ∆x + (∆x)2 = 2x0 · ∆x + o(∆x),
∆x → 0.
Таким образом, приращение функции представимо в виде суммы функции, линейно зависящей от ∆x, и величины, которая стремится к нулю
быстрее, чем ∆x. Например, при x0 = 1 получаем
∆y = 2∆x + o(∆x),
∆x → 0.
2) Пусть функция y = x2 , x ∈ R. Ее приращение
∆y = (x0 + ∆x)3 − x30 = 3x20 ∆x + 3x0 (∆x)2 + (∆x)3 = 3x20 ∆x + o(∆x),
∆x → 0. В частности, в точке x0 = −1 имеем ∆y = 3∆x + o(∆x),
∆x → 0.
Теперь установим критерий дифференцируемости функции в точке.
Теорема. Функция f , заданная на числовом промежутке I , дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда приращение функции в этой точке ∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) можно представить в виде
суммы
∆f = A∆x + o(∆x), ∆x → 0.
(∗)
где A не зависит от ∆x. При этом A = f 0 (x0 ).
Доказательство. Необходимость. Пусть f дифференцируема в точке x0 . Тогда, по определению, существует конечный предел
∆f
∆x→0 ∆x
A = lim
и A = f 0 (x0 ). Следовательно,
∆f − A∆x
= 0,
∆x→0
∆x
т. е. ∆f − A∆x = o(∆x), ∆x → 0, откуда следует (∗).
lim
Достаточность. Пусть имеет место (∗). Тогда
o(∆x)
∆f
=A+
→ A, ∆x → 0.
∆x
∆x
Это означает, что существует конечная производная f 0 (x0 ), равная A.
Теорема доказана.
Из теоремы следует, что можно дать другое определение дифференцируемости функции в точке: функция дифференцируема, если ее приращение представимо в виде (∗). Слагаемое A∆x называется главной линейной частью приращения или дифференциалом функции f в точке x0 .
Также вводится понятие дифференциала dx независимой переменной x:
по определению, dx = ∆x.
Дифференциал функции в точке x0 обозначается df (x0 ). В отличие от дифференциала независимой переменной, дифференциал функции, вообще говоря, не совпадает с приращением, он отличается от него
на величину o(∆x):
∆f (x0 ) = df (x0 ) + o(∆x),
∆x → 0.
Из доказанной теоремы следует, что df (x0 ) = A∆x = Adx, где
константа A = f 0 (x0 ). Из этих соотношений следует, что в точке x дифференцируемости функции f справедливы классические равенства
df (x) = f 0 (x)dx,
df (x)
.
dx
Часто выражение в правой части последнего равенства рассматривают
не как частное дифференциалов, а как единое целое. Это дает еще одно
обозначение для производной. Такое обозначение использовал Лейбниц,
а обозначение производной f 0 идет от Ньютона.
Покажем на рисунке отличие дифференциала функции от ее приращения и установим геометрический смысл дифференциала.
f 0 (x) =
y
6
Γf
C
r
rB
M r
r x0
rA
rx
-
x
0
Рис. 2
Пусть функция f дифференцируема в точке x0 , строго возрастает в
окрестности точки x0 и пусть ∆x > 0. Проведем касательную M B через
точку M графика функции f , соответствующую значению аргумента
x0 . Тогда прирашение функции, соответствующее приращению аргумента
∆x, есть длина отрезка AC , дифференциал есть длина отрезка AB , а
длина отрезка BC является величиной, бесконечно малой по сравнению
с ∆x (длиной отрезка M A).
1.10
Техника нахождения дифференциалов
Из свойств производных вытекают следующие равенства для дифференциалов:
d(αf + βg) = αdf + βdg,
d(f g) = df · g + f · dg,
df · g − f · dg
f
=
.
d
g
g2
Установим справедливость, например, второй формулы. Имеем
d(f g) = (f g)0 dx = (f 0 g + f g 0 )dx = f 0 dx · g + f · gdx = df · g + f · dg .
Примеры. 1) Найти df (2), если f (x) = x sin πx. Имеем df (x) =
= dx sin πx + xd(sin πx) = sin πxdx + πx cos πxdx = (sin πx + πx cos πx)dx,
df (2) = 2πdx.
√
2) Вычислить приближенно значение 1, 0001. Имеем
p
p
1, 0001 = 1 + 0, 0001 = f (x + ∆x),
√
где f (x) = x, x = 1, ∆x = 0, 0001. Имеем
√
dx
f (x + ∆x) − f (x) = ∆f (x) ≈ df (x) = d( x) = √ ,
2 x
поэтому f (x + ∆x) ≈ f (x) +
√
1, 0001 ≈ 1, 00005.
1.11
dx
√
2 x
= 1+
1
2
· 0, 0001 = 1, 00005. Итак,
Инвариантность формы 1-го дифференциала
Если f — дифференцируемая функция независимой переменной x,
то
df (x) = f 0 (x) dx.
(1)
Предположим теперь, что x является функцией от некоторой переменой t. Найдем дифференциал сложной функции g(t) = f (x(t)). Имеем
dg(t) = g 0 (t)dt = f 0 (x(t))x0 (t)dt = f 0 (x(t))dx(t). Итак,
d(f (x(t))) = f 0 (x(t)) dx(t).
(2)
Сравнивая (1) и (2), получаем, что df = f 0 dx и в случае, когда x — независимая переменная, и когда x = x(t) — функция другой переменной t.
Это свойство называется инвариантностью формы 1-го дифференциала.
1.12
Дифференциалы высших порядков
Рассмотрим дифференциал функции f точке x0 :
df (x0 ) = f 0 (x0 ) dx,
где dx = ∆x = x − x0 . При фиксированном x0 дифференциал является функцией от dx = ∆x. Если же f дифференцируема на числовом
промежутке I , то для любого x ∈ I имеем df (x) = f 0 (x) dx, следовательно дифференциал зависит еще и от x. В этом случае df (x) является
функцией двух переменных — dx и x.
Рассмотрим теперь дифференциал df (x) как функцию от точки x
при фиксированном dx. Если эта функция дифференцируема по x в точке x0 , то ее дифференциал называется вторым дифференциалом функции в точке x0 и обозначается d2 f (x0 ). Подсчитаем его через производные
функции:
d2 f (x0 ) = d(df )(x0 ) = (df )0 (x0 )dx = (f 0 (x)dx)0 |x=x0 dx = f 00 (x0 )dx2 .
Мы видим, что как функция от dx второй дифференциал является квадратичной формой. При этом,
d2 f (x0 )
f (x0 ) =
.
dx2
00
Как и в случае первой производной, выражение в правой части можно
принять за другое обозначение второй производной (по Лейбницу).
Аналогично определяются дифференциалы произвольного порядка. Если дифференциал (n − 1)-го порядка dn−1 (x) = f (n−1) (x) dxn−1 как
функция переменной x является дифференцируемой функцией в точке
x0 (при фиксированном dx!), то ее дифференциал называется дифференциалом n-го порядка в точке x0 и обозначается dn f (x0 ). Имеем
dn f (x0 ) = d(dn−1 f )(x0 ) = (dn−1 f )0 (x0 ) dx =
= (f (n−1) (x) dxn−1 )0 |x=x0 dx = f (n) (x0 ) dxn .
Итак,
dn f (x)
d f (x) = f (x) dx , f (x) =
.
dxn
Теперь покажем, что, в отличие от первого дифференциала, форма
дифференциала второго порядка не обладает свойством инвариантности.
Найдем второй дифференциал сложной функции g(t) = f (x(t)).
Имеем dg(t) = f 0 (x(t))x0 (t) dt,
n
(n)
n
(n)
d2 g(t) = (f 0 (x(t))x0 (t)dt)0 dt = [f 00 (x(t))(x0 (t))2 + f 0 (x(t))x00 (t)]dt2 =
= f 00 (x(t))(dx(t))2 + f 0 (x(t))d2 x(t),
что не совпадает с f 00 (x(t))(dx(t))2 .
1.13
Дифференцирование функций, заданных
параметрически
√
Рассмотрим функцию y = 1 − x2 , |x| ≤ 1. Зависимость y от x
можно задать не в явном виде, а параметрически, используя третью переменную t (параметр):
x = cos t, y = sin t,
0 ≤ t ≤ π.
Такое задание функции называется параметрическим. Дадим общее определение.
Пусть на числовом промежутке I заданы функции x = x(t), y =
= y(t), t ∈ I . Если x = x(t) непрерывна и строго монотонна на I , то
существует обратная к ней функция t = t(x) на x(I) и тогда y = y(t(x))
определяет на x(I) некоторую функцию. Для краткости, как это обычно
делается на практике, будем обозначать эту функцию через y = y(x),
хотя, строго говоря, это не совсем корректно. Будем говорить, что
x = x(t), y = y(t),
t ∈ I,
является параметрическим заданием функции y = y(x).
В механике и физике часто в качестве параметра t берут время, а
в качестве x и y — декартовы координаты движущейся материальной
точки.
Найдем производную функции, заданной неявно. Используем инвариантность формы первого дифференциала:
yx0
yt0 dt
yt0
dy
=
= .
=
dx x0t dt x0t
Здесь нижний индекс означает переменную, по которой производится
дифференцирование. Отсюда выводим, что дифференцирование по x равносильно дифференцированию по t и делению на x0t . С использованием
этого замечания можно легко находить производные более высоких порядков. Например, вторая производная от y по x равна
0 0
yt
0 0
0
x
yt002 x0t − yt0 x00t2
(yx )t
t t
00
0 0
.
=
yx2 = (yx )x = 0 =
xt
x0t
(x0t )3
Для произвольного n
(n)
yxn =
(n−1)
yxn−1
x0t
0
t
.
Пример. Пусть
x = cos t, y = sin t,
Имеем
yx0 (x)
0 ≤ t ≤ π.
yt0 (t)
cos t
= 0
=
= − ctg t,
xt (t) − sin t
yx002 (x)
(− ctg t)0t
1
=
=− 3 ,
0
(cos x)t
sin t
где t = arccos x.
2
Основные теоремы дифференциального
исчисления
Теорема Ферма. Пусть функция f задана на отрезке [a; b] и в
некоторой внутренней точке c ∈ (a; b) достигает своего минимума или
максимума. Если в точке c существует производная, то f 0 (c) = 0.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда c —
точка максимума функции f . Тогда f (c) ≥ f (x), x ∈ [a; b]. Так как c —
внутренняя точка [a; b], существует ε > 0 такое, что Oε (c) ⊂ [a; b].
Пусть в точке c существует производная. Если c < x < c + ε, то
x − c > 0, f (x) − f (c) ≤ 0, поэтому
f (x) − f (c)
f (x) − f (c)
≤ 0 =⇒ f 0 (c) = lim
≤ 0.
x→c+
x−c
x−c
Аналогично, если c − ε < x < c, то x − c < 0, f (x) − f (c) ≤ 0, поэтому
f (x) − f (c)
f (x) − f (c)
≥ 0 =⇒ f 0 (c) = lim
≥ 0.
x→c−
x−c
x−c
Таким образом, f 0 (c) = 0. Теорема доказана.
Теорема Ролля. Пусть функция f является непрерывной на отрезке [a; b] и имеет производную в любой точке интервала (a; b). Если
f (a) = f (b), то существует точка c ∈ (a; b) такая, что f 0 (c) = 0.
Доказательство. Если функция f ≡ const на [a; b], то в любой точке
x ∈ (a; b) имеем f 0 (x) = 0.
Если f 6≡ const на [a; b], то по теореме Вейерштрасса существуют
точки c, d ∈ [a; b] такие, что f (c) = max[a;b] f , f (d) = min[a;b] f , при этом
f (c) > f (d). Значит, либо f (c), либо f (d) не совпадает с f (a) = f (b).
Предположим для определенности, что f (c) 6= f (a) = f (b). Тогда c 6= a,
c 6= b, таким образом, c ∈ (a, b). Применяя теорему Ферма, получаем, что
f 0 (c) = 0. Теорема доказана.
Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).
Пусть f непрерывна на отрезке [a; b] и имеет производную в любой
точке интервала (a; b). Тогда существует точка c ∈ (a, b) такая, что
f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a).
(∗)
Доказательство. Пусть g(x) = (f (b) − f (a))x − (b − a)f (x). Эта
функция непрерывна на [a; b], имеет производную в любой точке интервала (a; b) и g(b) = g(a) = f (b)a − f (a)b. По теореме Ролля существует
точка c ∈ (a; b) такая, что g 0 (c) = 0. Но g 0 (x) = (f (b)−f (a))−(b−a)f 0 (x).
Таким образом, (f (b) − f (a)) − (b − a)f 0 (c) = 0, откуда следует формула
(∗). Теорема доказана.
Замечания. 1) Поясним название «формула конечных приращений». Дело в том, что производная есть предел отношения приращения
функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:
f (x) − f (x0 )
→ f 0 (x0 ), x → x0
x − x0
Формулу (∗) можно записать в виде
f (b) − f (a)
= f 0 (c).
(∗∗)
b−a
Дробь в левой части последнего равенства можно трактовать как отношение приращения функции к приращению аргумента, при этом приращение аргумента равно b − a и к нулю не стремится, т. е. является
конечным. Тем не менее, без операции предельного перехода это отношение равняется производной функции f , правда, в некоторой, вообще
говоря, неизвестной точке c, промежуточной между a и b.
2) Дадим геометрическую интерпретацию формулы конечных приращений. Она эквивалентна (∗∗). Левая часть (∗∗) представляет собой
тангенс угла наклона β секущей к графику функции f , проходящей через
точки M (a, f (a)) и N (b, f (b)), к оси абсцисс. Правая часть есть тангенс
угла наклона α касательной к графику функции f в точке L(c, f (c)) к
оси абсцисс. Таким образом, (∗∗) эквивалентно равенству tg β = tg α,
откуда следует, что β = α (если мы будем фиксировать значения углов
в пределах (−π/2; π/2)). Итак, теорема Лагранжа утверждает, что если
график функции имеет касательную в любой внутренней точке отрезка [a; b], то существует касательная, параллельная секущей, проходящей
через концевые точки графика с абсциссами a и b (рис. 3).
y
6
Γ
N r r M L
r a
r
rc
rb
-
x
0
Рис. 3
3) Формулу конечных приращений можно записать по другому.
Пусть θ = c−a
b−a . Ясно, что θ ∈ (0; 1) и c = a + θ(b − a). В новых обозначениях формула конечных приращений принимает вид
f (b) − f (a) = f 0 (a + θ(b − a))(b − a),
θ ∈ (0; 1),
или
f (a + h) − f (a) = f 0 (a + θh)h,
2.1
θ ∈ (0; 1).
Свойства функций, которые являются
производными
Теорема. Пусть функция f является непрерывной на [a; b) (на
(a; b]) и имеет производную в любой точке x ∈ (a, b). Если существует
limx→a+ f 0 (x) (limx→b− f 0 (x)), то существует правая производная f+0 (a)
в точке a (левая производная f−0 (b) в точке b ), при этом
f+0 (a) = lim f 0 (x) (f−0 (b) = lim f 0 (x)).
x→a+
x→b−
Доказательство. Рассмотрим для примера первый случай. Предположим, что существует limx→a+ f 0 (x). Пусть x ∈ (a, b). Тогда по формуле
конечных приращений
f (x) − f (a)
= f 0 (tx ),
x−a
(∗)
где tx — некоторая точка интервала (a, x). Пусть x → a+, тогда по
теореме о двух милиционерах tx → a+. Следовательно, существует
limx→a+ f 0 (tx ) = limx→a+ f 0 (x). В силу (∗) существует
f (x) − f (a)
= lim f 0 (tx ) = lim f 0 (x).
x→a+
x→a+
x→a+
x−a
lim
По определению, в точке a существует правая производная f+0 (a) и
f+0 (a) = limx→a+ f 0 (x). Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть функция непрерывна на интервале (a; b) и
имеет производную в любой точке (a; b), за исключением, быть может, точки x0 ∈ (a, b). Если существует limx→x0 f 0 (x), то в точке x0
существует производная и f 0 (x0 ) = limx→x0 f 0 (x).
Следствие 2. Если функция f дифференцируема на (a; b), то любая точка разрыва функции f 0 — точка разрыва второго рода.
√
Примеры. 1) Пусть y = 3 x. Если x 6= 0, то существует y 0 (x) =
(1/3)x−2/3 . Если x → 0, то y 0 (x) → +∞. Значит существует y 0 (0) = +∞.
√
3
2) Пусть y =
x2 . Если x 6= 0, то существует y 0 (x) =
= (2/3)x−1/3 . Существуют односторонние пределы
lim y 0 (x) = +∞,
x→0+
lim y 0 (x) = −∞.
x→0−
0
Значит, в точке x = 0 существуют односторонние производные y+
(0) =
0
= +∞, y−
(0) = −∞, но обычная производная не существует.
3) Функция y = sign x не является производной никакой функции
на R.
4) Функция

 x2 sin 1 , x 6= 0,
x
y=

0, x = 0,
дифференцируема в любой точке x 6= 0 и
y 0 (x) = 2x sin
1
1
− cos .
x
x
Отметим, что не существует предела функции y 0 (x) при x → 0, так как
1
2x sin → 0 (как произведение ограниченной функции и функции, стреx
мящейся к нулю), в то время как cos x1 предела не имеет. Геометрически
это означает, что угол наклона касательной не стремится ни к какому
пределу при x → 0. Однако существует производная y 0 (0) = 0, т. е. график этой функции имеет касательную в начале координат. Докажем это.
Действительно, по определению,
f (x) − f (0)
1
= lim x sin = 0.
x→0
x→0
x
x
f 0 (0) = lim
Этот пример показывает, что из существования касательной к графику
функции в точке (существует предельной положение секущей) не следует
непрерывность угла наклона касательной в соответствующей точке.
Теорема Дарбу (о промежуточном значении производной).
Пусть функция f имеет производную в любой точке x ∈ [a; b]. Тогда
функция f 0 принимает на [a; b] любое значение, промежуточное между
f 0 (a) и f 0 (b).
Доказательство. Можно считать, что f 0 (a) 6= f 0 (b).
1) Рассмотрим сначала случай, когда f 0 (a) и f 0 (b) имеют разные
знаки. Пусть, для определенности, f 0 (a) < 0 < f 0 (b). Покажем, что существует такая точка c ∈ (a; b), что f 0 (c) = 0. Так как
f (x) − f (a)
< 0,
x→a+
x−a
f 0 (a) = lim
существует ε > 0 такое, что
f (x) − f (a)
< 0,
x−a
x ∈ (a, a + ε).
Значит, f (x) − f (a) < 0, т. е. f (x) < f (a), x ∈ (a; a + ε). Аналогично
показываем, что в силу того, что f 0 (b) < 0, существует ε0 > 0 такое,
что f (x) < f (b), x ∈ (b − ε0 ; b). По теореме Вейерштрасса функция f
принимает минимальное значение на [a; b], т. е. существует точка c ∈ [a; b]
такая, что f (c) = min[a;b] f . Так как f (x) < f (a) вблизи точек a и b, то
c 6= a, c 6= b. Следовательно, c ∈ (a; b). По теореме Ферма f 0 (c) = 0.
2) Теперь рассмотрим общий случай. Пусть, для определенности,
f 0 (a) < f 0 (b). Фиксируем некоторое число γ такое, что f 0 (a) < γ < f 0 (b).
Покажем, что существует такая точка c ∈ (a; b), что f 0 (c) = γ . Чтобы
свести дело к предыдущему случаю рассмотрим функцию g(x) = f (x) −
−γx. Эта функция непрерывна на [a; b] и в любой точке x ∈ [a; b] имеет
производную g 0 (x) = f 0 (x) − γ . Имеем
g 0 (a) = f 0 (a) − γ < 0 < f 0 (b) − γ = g 0 (b).
В пункте 1) доказано, что в этом случае существует такая точка c ∈ (a; b),
что g 0 (c) = 0. Значит, f 0 (c) = γ . Теорема доказана.
2.2
Обобщенная формула конечных приращений
Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений). Пусть функции f и g непрерывны на отрезке [a; b], имеют производные в любой точке x ∈ (a; b), причем по крайней мере одно из чисел
f 0 (x), g 0 (x) конечно. Тогда существует такая точка c ∈ (a; b), что
(f (b) − f (a))g 0 (c) = (g(b) − g(a))f 0 (c).
Доказательство. Рассмотрим функцию
h(x) = (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x).
Как и при доказательстве обычной формулы конечных приращений показываем, что существует точка c ∈ (a; b), в которой h0 (c) = 0. Последнее
равенство равносильно доказываемому.
2.3
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя дает очень простой и эффективный способ вычисления пределов функции h в точке x0 в случае, когда h представима в
виде отношения двух дифференцируемых функций, стремящихся одновременно к нулю (случай 00 ) или к бесконечности (случай ∞
∞ ) в данной
точке. Функция f на конечном или бесконечном интервале, за исключением быть может самой точки x0 , при этом точка x0 является либо
внутренней точкой, либо концевой точкой интервала.
Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f и g дифференцируемы на интервале (a; b) за исключением, быть может, точки
x0 , предельной для (a; b). Пусть функции g и g 0 не обращаются в нуль
на (a; b) за исключением, быть может, точки x0 . Предположим, что
выполняется одно из условий:
1) limx→x0 f (x) = limx→x0 g(x) = 0 (случай 00 ),
∞
2) limx→x0 f (x) = (±) ∞, limx→x0 g(x) = (±) ∞ (случай ∞
).
0
f (x)
Если существует предел limx→x0 g0 (x) , то существует предел
limx→x0
f (x)
g(x)
и
f (x)
f 0 (x)
lim
= lim 0 .
x→x0 g(x)
x→x0 g (x)
Доказательство. Рассмотрим для примера случай, когда x0 = a.
Пусть
f 0 (x)
α = lim 0 .
x→a+ g (x)
Можно считать, что α 6= +∞. Докажем, что для любого r > α
существует br ∈ (a; b) такое, что
f (x)
< r,
g(x)
x ∈ (a; br ).
(1)
Фиксируем число p ∈ (α; r). Так как
f 0 (x)
lim
= α < p,
x→a+ g 0 (x)
(2)
то существует b0 ∈ (a; b) такое, что
f 0 (x)
< p,
g 0 (x)
x ∈ (a; b0 ).
Рассмотрим любые точки x, y ∈ (a; b0 ) такие, что g(x) 6= g(y). По теореме
Коши существует точка t, лежащая между x и y , такая, что
f (x) − f (y) f 0 (t)
= 0 .
g(x) − g(y)
g (t)
(3)
Так как x, y ∈ (a; b0 ), то и t ∈ (a; b0 ). Из (2) и (3) тогда следует, что
f (x) − f (y)
< p.
g(x) − g(y)
(4)
1) Рассмотрим сначала случай 00 . Фиксируем x ∈ (a, b0 ). Так как
g(x) =
6 0 и g(y) → 0, y → a+, то то существует b00 ∈ (a; b0 ) такое,
что g(x) 6= g(y), y ∈ (a; b00 ). Таким образом, для любого y ∈ (a; b00 )
имеет место (4). Переходя к пределу в (4) при y → a+ с учетом условий
теоремы, получаем, что
f (x)
f (x) − f (y)
= lim
≤ p < r,
g(x) y→a+ g(x) − g(y)
и (1) установлено с br = b0 .
2) Теперь рассмотрим случай
∞
∞.
x ∈ (a; b0 ),
Фиксируем y ∈ (a; b0 ). Так как
g(x) − g(y)
g(y)
= 1 − lim
= 1 > 0,
x→a+
x→a+ g(x)
g(x)
lim
то существует b00 ∈ (a; b0 ) такое, что
g(x) − g(y)
> 0,
g(x)
x ∈ (a; b00 ).
Умножив обе части (4) на положительное выражение
g(x)−g(y)
,
g(x)
получаем
f (x) − f (y)
g(x) − g(y)
<p
,
g(x)
g(x)
откуда следует, что
f (x)
f (y) − pg(y)
<p+
,
g(x)
g(x)
x ∈ (a; b00 ).
(6)
Так как
f (y)−pg(y)
g(x)
→ 0, x → a+, то существует b000 ∈ (a; b00 ) такое, что
f (y) − pg(y)
< r − p,
g(x)
x ∈ (a; b000 ).
(7)
Из (6) и (7) следует (1) с br = b000 .
∞
Итак, (1) доказано и для случая 00 , и для случая ∞
. Совершенно аналогично доказывается, что если α > −∞, то для любого s < α
существует bs ∈ (a; b) такое, что
f (x)
> s,
g(x)
x ∈ (a; bs ).
(8)
Из (1) и (8) следует утверждение теоремы. Действительно, если α ∈
R, то для любого ε > 0, беря в качестве r число α + ε, а в качестве s —
число α − ε, получаем:
α−ε<
f (x)
< α + ε,
g(x)
x ∈ (a; eb), eb := min{br , bs },
откуда
f (x)
f 0 (x)
lim
= α = lim 0 .
x→a+ g(x)
x→a+ g (x)
Если α = −∞, то из (1) легко вывести, что
f (x)
f 0 (x)
lim
= −∞ = lim 0 .
x→a+ g(x)
x→a+ g (x)
Наконец, случай α = +∞ рассматривается аналогично случаю α = −∞
с использованием (8).
Примеры. 1) Найдем limx→+∞ exx . Так как limx→+∞ x =
∞
= limx→+∞ ex = +∞, имеем неопределенность типа ∞
. Предел отношения производных существует и равен
(x) 0
1
=
lim
= 0,
x→+∞ (ex ) 0
x→+∞ ex
lim
следовательно,
x
= 0.
x→+∞ ex
Заметим, что на практике часто применяют правило Лопиталя эвристически, сводя предел отношения функций к пределу отношения производных, в надежде, что он существует. Существование последнего оправдывает предыдущие вычисления. Часто правило Лопиталя приходится
применять несколько раз.
lim
2) Правило Лопиталя можно применять и для вычисления предела
произведения функций. Приведем пример, когда неопределенность типа
0 · ∞ сводится к неопределенности типа ∞
∞:
x−1
ln x
= − lim x = 0.
lim (x ln x) = lim −1 = lim
x→0+ −x−2
x→0+
x→0+
x→0+ x
3) Правило Лопиталя иногда применяют для вычисления предела
суммы или разности функций. Правило Лопиталя полезно сочетать с другими приемами вычисления пределов, например, заменяя выражения в
числителе или знаменателе на эквивалентные выражения:
1
cos x 1
x cos x − sin x
= lim
= lim
lim ctg x −
−
=
x→0 sin x
x→0
x→0
x
x
x sin x
x cos x − sin x
cos x − x sin x − cos x
1
=
lim
=
−
lim sin x = 0.
x→0
x→0
x2
2x
2 x→0
= lim
2.4
Формула Тейлора
Формула Тейлора дает способ приближенного вычисления значения
функции f в окрестности некоторой точки. Этот способ основан на замене
функции на некоторый достаточно близкий многочлен — так называемый
многочлен Тейлора.
Пусть функция f определена в окрестности точки a и n раз дифференцируема с точке a. Многочленом Тейлора n-го порядка функции f
в точке a называется многочлен
f 00 (a)
f (n) (a)
2
Pn (x) := f (a) + f (a)(x − a) +
(x − a) + . . . +
(x − a)n .
2!
n!
Отметим, что коэффициенты Pn очень просто определяются через производные функции f в точке a. Вычисление многочлена в точке x сводится
к выполнению основных арифметических операций — сложения и умножения, поэтому приближенная формула
0
f (x) ≈ Pn (x)
часто является весьма эффективной.
Сначала отметим интересное свойство многочлена Тейлора.
Лемма. Имеют место равенства
Pn(k) (a) = f (k) (a),
0 ≤ k ≤ n.
(∗)
Эти равенства проверяются непосредственным дифференцированием.
Известно несколько вариантов формулы Тейлора в зависимости от
формы остатка (абсолютной погрешности) rn (x) = f (x) − Pn (x).
Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа). Пусть функция f является n раз дифференцируемой на
конечном или бесконечном интервале (c; d) и в любой точке x ∈ (c; d)
существует ее (n + 1)-я производная. Пусть точка a ∈ (c; d). Тогда для
любого x ∈ (c; d) существует точка x
e , лежащая между a и x такая,
что
f (n+1) (e
x)
(x − a)n+1 ,
(∗∗)
f (x) = Pn (x) +
(n + 1)!
где
n
X
f (k) (a)
(x − a)k
Pn (x) =
k!
k=0
— многочлен Тейлора n-го порядка функции f в точке a.
Доказательство. Фиксируем точку x ∈ (c; d). Рассмотрим на (c; d)
функцию
f (x) − Pn (x)
g(t) = f (t) − Pn (t) −
(t − a)n+1 .
n+1
(x − a)
Найдем производные функции g . При 0 ≤ k ≤ n имеем
g (k) (t) = f (k) (t) − Pn(k) (t) −
f (x) − Pn (x)
(n +1)n · . . . · (n − k +2)(t − a)n−k+1 .
n+1
(x − a)
Из последнего равенства с учетом (∗) следует, что
g (k) (a) = 0,
0 ≤ k ≤ n.
Теперь заметим, что
g(x) = f (x) − Pn (x) −
f (x) − Pn (x)
(x − a)n+1 = 0.
n+1
(x − a)
Из равенств g(x) = g(a) = 0 и теоремы Ролля следует, что существует точка x1 , лежащая между a и x, такая, что g 0 (x1 ) = 0. Из равенств
g 0 (x1 ) = g 0 (a) = 0 аналогично выводим, что существует точка x2 , лежащая между a и x1 , такая, что g 00 (x2 ) = 0. Продолжая этот процесс,
получаем, что для любого k , 1 ≤ k ≤ n + 1 существует точка xk , лежащая между a и xk−1 , такая, что g (k) (xk ) = 0. Ясно, что точка x
e := xn+1
лежит между a и x и g (n+1) (e
x) = 0. С другой стороны,
g (n+1) (t) = f (n+1) (t) −
f (x) − Pn (x)
(n + 1)!,
(x − a)n+1
поэтому
f (x) − Pn (x)
(n + 1)! = 0,
(x − a)n+1
откуда следует (∗∗). Теорема доказана.
f (n+1) (e
x) −
Замечания. 1) Формулу Тейлора при a = 0 называют часто формулой Маклорена. Она имеет вид
f (x) =
n
X
f (k) (0)
k=0
k!
f (n+1) (e
x) n+1
x +
x .
(n + 1)!
k
2) Если f (n+1) ограничена в некоторой окрестности точки a, то остаточный член
f (n+1) (e
x)
(x − a)n+1 = o((x − a)n ),
(n + 1)!
x → a.
Формулу Тейлора с такой формой остатка называют локальной формулой
Тейлора или формулой Тейлора с остатком в форме Пеано. Мы докажем
этот вариант формулы Тейлора ниже при более слабых предположениях.
Если известна оценка |f (n+1) (x)| ≤ M , x ∈ (c; d), то тогда можно оценить
остаток
(n+1)
f
M |x − a|n+1
(e
x
)
n+1 (x
−
a)
(n + 1)!
≤ (n + 1)!
в явном виде. Такая оценка важна для оценки погрешности приближенной формулы с учетом того, что точка x
e , как правило, неизвестна.
3) Поскольку точка x
e лежит между x и a, то ее можно записать в
виде x
e = a + θ(x − a), где θ ∈ (0, 1).
Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано). Пусть функция f дифференцируема (n − 1) раз в некоторой
окрестности точки a и в точке a существует конечная n-ая производная. Тогда утверждается, что
f (x) = Pn (x) + o((x − a)n ),
x → a,
где Pn — многочлен Тейлора n-го порядка функции f в точке a.
Доказательство. Требуется доказать, что f (x)−Pn (x) = o((x−a)n ),
x → a, т. е. что
f (x) − Pn (x)
lim
= 0.
x→a
(x − a)n
Для вычисления этого предела применим (n − 1) раз правило Лопиталя.
При этом, воспользуемся равенствами (∗). Имеем при 0 ≤ k ≤ n − 1
lim (f (x) − Pn (x))(k) = lim (f (k) (x) − Pn(k) (x)) = f (k) (a) − Pn(k) (a) = 0
x→a
x→a
в силу того, что f (k) и P (k) дифференцируемы, следовательно, непрерывны в точке a. Таким образом, раскрывая неопределенности типа 00 ,
получаем
f (x) − Pn (x)
f 0 (x) − Pn0 (x)
f 00 (x) − Pn00 (x)
lim
= lim
= lim
= ···
x→a
x→a n(x − a)n−1
x→a n(n − 1)(x − a)n−2
(x − a)n
(n−1)
f (n−1) (x) − Pn
(x)
f (n−1) (x) − f (n−1) (a) − f (n) (a)(x − a)
· · · = lim
= lim
=
x→a
x→a
n!(x − a)
n!(x − a)
1
f (n−1) (x) − f (n−1) (a)
1
=
lim
− f (n) (a) = (f (n) (a) − f (n) (a)) = 0.
n! x→a
x−a
n!
При этом мы воспользовались равенством
Pn(n−1) (x) = f (n−1) (a) + f (n) (a)(x − a)
и, при обосновании предпоследнего равенства, определением производной. Теорема доказана.
2.5
Представление по формуле Тейлора некоторых элементарных функций
1) Рассмотрим функцию y = ex , x ∈ R. Представим ее по формуле
Тейлора в точке a = 0. Функция y = ex бесконечно дифференцируема
и y (n) (x) = ex . Поэтому для любого x ∈ R и любого n ∈ N имеет место
равенство
x2 x3
xn
x
e =1+x+
+
+ ... +
+ rn (x),
2!
3!
n!
где
ex̃
rn (x) =
xn+1 .
(n + 1)!
Здесь x
e — некоторая точка, лежащая между 0 и x. Если x > 0, то
x̃ e ≤ ex и
ex
|rn (x)| ≤
xn+1 .
(n + 1)!
x̃ Если x < 0, то e ≤ 1 и
|x|n+1
|rn (x)| ≤
.
(n + 1)!
2) Рассмотрим функцию y = sin x, x ∈ R. Представим ее по формуле Тейлора в точке a = 0. Имеем y (n) (x) = sin(x + π2 n),
(
0, n = 2k,
πn
y (n) (0) = sin
=
2
(−1)k , n = 2k + 1.
Таким образом, многочлен Тейлора в точке a = 0 содержит только нечетные степени и
2k+1
x3 x5 x7
k x
sin x = x −
+
−
+ . . . + (−1)
+ r2k+2 (x),
3!
5!
7!
(2k + 1)!
где
sin θx + π2 (2k + 3) 2k+3
r2k+2 (x) =
x
.
(2k + 3)!
Ясно, что
|x|2k+3
|r2k+2 | ≤
.
(2k + 3)!
3) Аналогично получаем разложение функции y = cos x, x ∈ R.
Учитывая, что y (n) (x) = cos(x + π2 n), получаем
cos x = 1 −
x2k
x2 x4 x6
+
−
+ . . . + (−1)k
+ r2k+1 (x),
2!
4!
6!
(2k)!
где
cos θx + π2 (2k + 2) 2k+2
r2k+1 (x) =
x
,
(2k + 2)!
|x|2k+2
|r2k+1 | ≤
.
(2k + 2)!
4) y = (1 + x)α , x ∈ R (α ∈ R). Имеем
y(x)
y 0 (x)
y 00 (x)
y 000 (x)
=
=
=
=
(1 + x)α ,
y(0)
α(1 + x)α−1 ,
y 0 (0)
α(α − 1)(1 + x)α−2 ,
y 00 (0)
α(α − 1)(α − 2)(1 + x)α−3 , y 000 (0)
=
=
=
=
1,
α,
α(α − 1),
α(α − 1)(α − 2).
По индукции найдем
y (n) (x) = α(α − 1) · . . . · (α − n + 1)(1 + x)α−n ,
y (n) (0) = α(α − 1) · . . . · (α − n + 1).
Таким образом, получаем
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
x +
x + ...
2!
3!
α(α − 1) · . . . · (α − n + 1) n
... +
x + o(xn ), x → 0.
(∗)
n!
Отметим, что если α — натуральное число, то коэффициенты полинома Тейлора при xk совпадают с биномиальными коэффициентами Cαk
при 0 ≤ k ≤ α и равны нулю при k > α. При любом n ≥ α в этом
случае полином Тейлора совпадает с многочленом (1 + x)α , а остаточный
член равен нулю. Поэтому формулу (∗) иногда называют обобщенным
биномом Ньютона.
(1 + x)α = 1 + αx +
Упражнения. 1) Запишите остаточный член в (∗) в форме Лагранжа и оцените его.
2) Найдите условия, при которых остаточные члены в приведенных
выше разложениях стремятся к нулю, если степень многочлена Тейлора
стремится к бесконечности.
3) Докажите, что
n
x2 x3 x4
n+1 x
+
−
+ . . . + (−1)
+ o(xn ),
ln(1 + x) = x −
2
3
4
n
3
x → 0.
Исследование функций с помощью производных
Теорема 1. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b). Для того чтобы функция f была
постоянной на [a; b], необходимо и достаточно, чтобы f 0 ≡ 0 на (a; b).
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность.
Пусть f 0 ≡ 0 на (a; b). Рассмотрим любые точки x1 и x2 ∈ [a; b]. По
формуле конечных приращений существует точка c ∈ (a; b) такая, что
f (x1 ) − f (x2 ) = f 0 (c)(x1 − x2 ). Так как f 0 (c) = 0, из этого равенства получаем f (x1 ) − f (x2 ) = 0, следовательно, значения функции в любых двух
точках отрезка [a; b] совпадают и f = const на [a; b]. Теорема доказана.
Следствие. Пусть функции f и g непрерывны на [a; b] и дифференцируемы на (a; b). Если f 0 = g 0 на (a; b), то f и g отличаются на
константу на [a; b].
Пример. Пусть f (x) = arcsin x, g(x) = − arccos x, x ∈ [−1; 1]. Эти
функции дифференцируемы на [−1; 1] и
f 0 (x) = g 0 (x) = √
1
,
1 − x2
x ∈ (−1; 1).
Следовательно, f (x) = g(x) + C , C = const, x ∈ [−1; 1]. Для нахождения константы заметим, что C = f (0) − g(0) = π/2. Итак, arcsin x =
= − arccos x + π/2, x ∈ [−1; 1].
Теорема 2. Пусть функция f непрерывна на (a; b) и для всех
x ∈ (a; b) существует производная f 0 (x). Для того чтобы функция f
была монотонно возрастающей (убывающей) на (a; b), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие f 0 (x) ≥ 0 (f 0 (x) ≤ 0), x ∈ (a; b).
Доказательство. Необходимость. Пусть, для определенности, функция f возрастает на (a; b). Для любого x0 ∈ (a; b) имеем
f (x) − f (x0 )
.
x→x0
x − x0
f 0 (x0 ) = lim
Если x ∈ (x0 ; b), то f (x) ≥ f (x0 ) и x − x0 > 0, откуда
f (x) − f (x0 )
≥ 0.
x − x0
По теореме о переходе к пределу в неравенствах получаем при x → x0 +,
что f 0 (x0 ) ≥ 0.
Достаточность. Пусть, для определенности, f 0 (x) ≥ 0, x ∈ (a; b).
Рассмотрим любые две точки x1 , x2 ∈ (a; b) такие, что x1 < x2 . По
формуле конечных приращений существует такая точка c ∈ (a; b), что
f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (c)(x2 − x1 ). Так как f 0 (c) ≥ 0, x2 − x1 > 0, получаем,
что f (x2 ) − f (x1 ) ≥ 0, т. е. f (x2 ) ≥ f (x1 ). Это означает, что функция f
монотонно возрастает на (a; b). Теорема доказана.
Теорема 3. Пусть функция f непрерывна на (a; b) и для любого
x ∈ (a; b) существует производная f 0 (x). Для того чтобы функция f
была строго монотонно возрастающей (убывающей) на (a; b), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие f 0 (x) ≥ 0 (f 0 (x) ≤ 0),
x ∈ (a; b) и множество A = {x ∈ (a; b) | f 0 (x) = 0} не содержало
никакого интервала.
Доказательство. Необходимость. Предположим, для определенности, что f строго монотонно возрастает на (a; b). По теореме 2 для любого
x ∈ (a; b) имеет место неравенство f 0 (x) ≥ 0. Докажем, что множество
A не содержит никакого интервала. Предположим противное, т. е. что
некоторый интервал (x1 ; x2 ) ⊂ A, x1 < x2 . По теореме 1 тогда f ≡ const
на (x1 ; x2 ). Это противоречит строгой монотонности f на (a; b).
Достаточность. Пусть, для определенности, f 0 (x) ≥ 0, x ∈ (a; b), и
множество A не содержит никакого интервала. Тогда по теореме 2 функция f монотонно возрастает на (a; b). Предположим, что f не является
строго монотонно возрастающей на (a; b). Тогда существуют точки x1 ,
x2 ∈ (a; b) такие, что x1 < x2 и f (x1 ) = f (x2 ). В силу монотонного возрастания f для любого x ∈ (x1 ; x2 ) имеем f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) = f (x1 ),
откуда f (x) ≡ f (x1 ) на (x1 ; x2 ). По теореме 1 f 0 (x) ≡ 0, x ∈ (x1 ; x2 ).
Следовательно, (x1 ; x2 ) ⊂ A — противоречие с нашими предположениями. Теорема доказана.
Примеры. 1. Рассмотрим функцию y = x3 , x ∈ R. Имеем y 0 (x) =
= 3x2 ≥ 0, x ∈ R, поэтому наша функция монотонно возрастает. При
этом множество A = {0} не содержит никакого интервала, поэтому функция строго монотонно возрастает.
2. Рассмотрим функцию y = x2 , x ∈ R. Имеем y 0 (x) = 2x, x ∈ R.
Если x > 0, то y 0 (x) > 0, если x < 0, то y 0 (x) < 0, Таким образом, рассматриваемая функция строго монотонно возрастает на (0; +∞) и строго
монотонно убывает на (−∞; 0).
3. Пусть y = 3x2 + 2x3 , x ∈ R. Имеем y 0 (x) = 6x + 6x2 . При
этом y 0 (x) > 0 тогда и только тогда, когда x ∈ (−∞; −1) ∪ (0; +∞);
y 0 (x) < 0 тогда и только тогда, когда x ∈ (−1; 0). Таким образом, y =
y(x) строго монотонно возрастает на интервалах (−∞; −1) и (0; +∞) и
строго монотонно убывает на (−1; 0).
3.1
Точки локального экстремума функции
Пусть функция f непрерывна на интервале (a; b). Точка x0 ∈ (a; b)
называется точкой локального максимума (минимума) функции f , если существует такая окрестность Oε (x0 ) точки x0 , лежащая в (a; b), что
для любого x ∈ Oε (x0 ) выполняется неравенство f (x) ≤ f (x0 ) (f (x) ≥
≥ f (x0 )). Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума функции f . В дальнейшем слово «локальный» часто будем опускать.
Теорема 1 (необходимое условие экстремума функции).
Пусть функция f непрерывна на (a; b) и x0 — точка локального экстремума функции f . Тогда либо производная f 0 (x0 ) не существует, либо
f 0 (x) = 0.
Доказательство. Достаточно применить теорему Ферма на любом
отрезке, содержащем внутри точку x0 .
Точка x0 называется критической точкой функции f , если либо
не существует f 0 (x0 ), либо f 0 (x) = 0. Теорема 1 утверждает, что любая
точка экстремума функции f является критической точкой f .
√
3
Примеры. 1) Пусть y = x2 , x ∈ R. Тогда f 0 (x) = (2/3)x−1/3
(x 6= 0). Нетрудно видеть, что точка x = 0 является точкой локального
минимума функции, при этом производной y 0 (0) не существует.
2) Пусть y = x3 , x ∈ R. Тогда y 0 (x) = 3x2 существует для любого
x и y 0 (x) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0. Таким образом, единственная критическая точка — это точка x = 0. Но эта точка не является
точкой экстремума, так как функция y = x3 строго монотонно возрастает
на R.
Пусть функция f определена в окрестности точки x0 и существует
ε > 0 такое, что f (x) < 0 при x ∈ (x0 − ε; x0 ) и f (x) > 0 при x ∈
∈ (x0 ; x0 + ε). Тогда говорят, что функция f меняет знак с «−» на «+»
при переходе через точку x0 . Аналогично определяется перемена знака
функции с «+» на «−» при переходе через точку x0 .
Если f (x) 6= 0 в некоторой проколотой окрестности точки x0 и либо
строго положительна, либо строго отрицательна, то будем говорить, что
при переходе через точку x0 функция f знак не меняет.
Теорема 2 (первое достаточное условие экстремума функции). Пусть функция f определена в окрестности точки x0 и в этой
окрестности существует производная f 0 . Если производная f 0 меняет
знак с «−» на «+» (с «+» на «−» ) при переходе через точку x0 , то
x0 — точка локального минимума (максимума) функции f . Если функция f 0 не меняет знак при переходе через точку x0 , то x0 не является
точкой локального экстремума функции f .
Доказательство. Предположим, для определенности, что f 0 меняет
знак с «−» на «+» при переходе через точку x0 . Тогда существует ε > 0
такое, что f 0 (x) < 0 при x ∈ (x0 − ε; x0 ) и f 0 (x) > 0 при x ∈ (x0 ; x0 + ε).
Значит, f строго монотонно убывает на (x0 − ε; x0 ] и строго монотонно возрастает на [x0 ; x0 + ε]. Тогда для любого x ∈ (x0 − ε; x0 + ε), не
равного x0 , имеем f (x) > f (x0 ). Таким образом, x0 — точка локального
минимума функции f .
Если f 0 не меняет знак при переходе через точку x0 , то в силу критерия строгой монотонности функция f либо строго монотонно возрастает,
либо строго монотонно убывает в некоторой окрестности точки x0 , поэтому точка x0 не может быть точкой локального экстремума функции
f . Теорема доказана.
Пример. Рассмотрим функцию y = x ln x, x > 0. Эта функция
непрерывна. Найдем ее производную. Имеем y 0 (x) = ln x+1. Производная
обращается в нуль только в точке x = 1/e. При x ∈ (0; 1/e) производная
y 0 (x) < 0, в то время как y 0 (x) > 0 при x ∈ (1/e; +∞). Итак, при переходе
через точку 1/e производная меняет знак с «−» на «+», поэтому x = 1/e
точка локального минимума рассматриваемой функции.
Теорема 3. (второе достаточное условие экстремума функции). Пусть функция f определена в окрестности точки x0 , дифференцируема в этой окрестности, f 0 (x0 ) = 0 и существует f 00 (x0 ). Если
f 00 (x0 ) > 0, то x0 — точка локального минимума функции f . Если
f 00 (x0 ) < 0, то x0 — точка локального максимума функции f .
Доказательство. Пусть, для определенности, f 00 (x0 ) > 0. Тогда
f 0 (x) − f 0 (x0 )
f 0 (x)
= lim
.
0 < f (x0 ) = lim
x→x0
x→x0 x − x0
x − x0
00
Следовательно, существует окрестность Oε (x0 ) такая, что
f 0 (x)
> 0,
x − x0
x ∈ Oε (x0 ).
Значит, f 0 (x) > 0, x ∈ (x0 ; x0 + ε); f 0 (x) < 0, x ∈ (x0 − ε; x0 ). Итак,
производная f 0 меняет знак при переходе через точку x0 с «−» на «+».
По теореме 2 точка x0 — точка локального минимума. Теорема доказана.
Примеры. 1) Рассмотрим функцию y = x2 , x ∈ R. Имеем y 0 (x) =
= 2x = 0 ⇐⇒ x = 0, y 00 (0) = 2 > 0. Таким образом, точка x = 0 — точка
локального минимума.
2) Пусть y = x ln x, x > 0. Имеем y 0 (x) = ln x + 1 = 0 ⇐⇒ x =
= 1/e, y 00 (x) = 1/x, y 00 (1/e) = e > 0. По теореме 2 точка x = 0 — точка
локального минимума.
3) Рассмотрим функцию y = x4 , x ∈ R. Имеем y 0 (x) = 4x3 = 0 ⇐⇒
⇐⇒ x = 0. Так как y(x) = x4 > 0(0), x 6= 0, точка x = 0 — точка локального минимума. Но y 00 (x) = 12x2 , y 00 (0) = 0. Таким образом, теорема 3 в
этом случае не применима.
4) Пусть y = x3 , x ∈ R. Тогда y 0 (x) = 3x2 = 0 ⇐⇒ x = 0, y 00 (x) =
= 6x, y 00 (0) = 0. Итак, как и в предыдущем примере y 0 (0) = y 00 (0) = 0.
Однако функция y = x3 строго монотонно возрастает, поэтому точка
x = 0 не является точкой локального экстремума.
После рассмотрения двух последних примеров возникает естественный вопрос: как в случае f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = 0 определить, является ли
точка x0 точкой экстремума функции f или нет? Частичный ответ на
это дает следующая
Теорема 4. Пусть функция f дифференцируема (n−1) раз в некоторой окрестности точки x0 и в точке x0 существует конечная производная f (n) (x0 ) (n ≥ 2). Предположим, что
f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0, но f (n) (x0 ) 6= 0.
(∗)
Если n — четное число, то x0 — точка локального минимума функции
f , если f (n) (x0 ) > 0, и локального максимума, если f (n) (x0 ) < 0. Если
n — нечетное число, то x0 не является точкой локального экстремума
функции f .
Доказательство. Запишем локальную формулу Тейлора для производной функции f в точке x0 :
f (n−1) (x0 )
f 000 (x0 )
2
(x−x0 ) +. . .+
(x−x0 )n−2 +
f (x) = f (x0 )+f (x0 )(x−x0 )+
2!
(n − 2)!
0
0
00
f (n) (x0 )
+
(x − x0 )n−1 + o((x − x0 )n−1 ),
(n − 1)!
С учетом (∗) получаем
x → x0 .
f (n) (x0 )
f (x) =
(x − x0 )n−1 + o((x − x0 )n−1 ),
(n − 1)!
0
x → x0 .
Запишем остаточный член o((x − x0 )n−1 ) в виде α(x)(x − x0 )n−1 , где
α(x) → 0, x → x0 . Тогда
f 0 (x) = ϕ(x)(x − x0 )n−1 , где ϕ(x) =
f (n) (x0 )
+ α(x).
(n − 1)!
Отметим, что
f (n) (x0 )
lim ϕ(x) =
6 0.
=
x→x0
(n − 1)!
Предположим, что n четно. Если f (n) (x0 ) > 0, то limx→x0 ϕ(x) > 0,
следовательно, ϕ(x) > 0 в некоторой ε-окрестности точки x0 . Кроме
того, (n − 1) нечетно, поэтому (x − x0 )n−1 > 0, x > x0 ; (x − x0 )n−1 < 0,
x < x0 . Отсюда выводим, что f 0 (x) = ϕ(x)(x − x0 )n−1 > 0 при x ∈
∈ (x0 ; x0 + ε); f 0 (x) = ϕ(x)(x − x0 )n−1 < 0 при x ∈ (x0 − ε; x0 ). Итак, f 0
меняет знак с «−» на «+» при переходе через точку x0 , следовательно,
по теореме 2 точка x0 — точка локального минимума функции f .
Если f (n) (x0 ) > 0, то применяем предыдущие рассуждения к функции (−f ). В результате получаем, что x0 — точка локального минимума
функции (−f ), т. е. локального максимума функции f .
Наконец, рассмотрим случай, когда n нечетно. Тогда (n − 1) четно
и (x − x0 )n−1 > 0, x 6= x0 . Поскольку ϕ не меняет знак в некоторой
ε-окрестности точки x0 , производная f 0 (x) = ϕ(x)(x − x0 )n−1 > 0 также
не меняет знак в этой окрестности. По теореме 2 точка x0 не является
точкой локального экстремума функции f . Теорема доказана.
Примеры. 1) Пусть y = x4 , x ∈ R. При x = 0 имеем y 0 (0) =
= y 00 (0) = y 000 (0) = 0, но y (4) (0) 6= 0. Применяя теорему 4 для n = 4,
получаем, что x = 0 — точка локального минимума этой функции.
2) Пусть y = x3 , x ∈ R. При x = 0 имеем y 0 (0) = y 00 (0) = 0, но
= y 000 (0) 6= 0. Применяя теорему 4 для n = 3, получаем, что x = 0 не
является точкой локального экстремума данной функции.
3.2
Исследование выпуклости функций с помощью
производных.
Пусть функция f определена на (a; b) и имеет производную в каждой
точке этого интервала. Говорят, что функция f выпукла вниз (вверх) на
(a; b), если для любого x0 ∈ (a; b) касательная к графику этой функции
в точке (x0 ; f (x0 )) лежит строго ниже (выше) этого графика, за исключением точки касания.
Теорема (критерий выпуклости). Пусть функция f дифференцируема на (a; b). Для того чтобы функция f была выпуклой вниз
(вверх) на (a; b), необходимо и достаточно, чтобы f 0 строго монотонно возрастала (убывала) на (a; b).
Доказательство. Необходимость. Пусть, к примеру, f выпукла вниз
на (a; b). Возьмем любые две точки t1 , t2 ∈ (a; b) такие, что t1 < t2 . В
силу строгой выпуклости вниз функции f касательные к графику f в
точках (t1 ; f (t1 )) и (t2 ; f (t2 )) лежат строго ниже графика, за исключением точек касания.
Уравнения касательных в этих точках имеют вид:
y = g1 (x) := f 0 (t1 )(x − t1 ) + f (t1 ) и y = g2 (x) := f 0 (t2 )(x − t2 ) + f (t2 ).
По условию выпуклости
f (t1 ) > g2 (t1 ) = f 0 (t2 )(t1 −t2 )+f (t2 ),
f (t2 ) > g1 (t2 ) = f 0 (t1 )(t2 −t1 )+f (t1 ).
Складывая два последних неравенства, получаем
f (t1 ) + f (t2 ) > f 0 (t2 )(t1 − t2 ) + f (t2 ) + f 0 (t1 )(t2 − t1 ) + f (t1 ),
откуда
0 > (f 0 (t1 ) − f 0 (t2 ))(t2 − t1 ).
Следовательно, f 0 (t1 ) − f 0 (t2 ) < 0, так как t2 − t1 > 0. Значит,
t1 < t2 =⇒ f 0 (t1 ) < f 0 (t2 ).
Это доказывает строгое монотонное возрастание производной на (a; b).
Достаточность. Пусть, к примеру, f 0 строго монотонно возрастает
на (a; b). Фиксируем точку t ∈ (a; b) и запишем уравнение касательной к
графику функции f в точке (t, f (t)):
y = g(x) := f 0 (t)(x − t) + f (t).
Требуется доказать, что касательная лежит строго ниже графика за исключением точки касания, т. е. для любого s ∈ (a; b) выполняется неравенство f (s) > g(s). Преобразуем разность f (s) − g(s) с использованием
формулы конечных приращений:
f (s) − g(s) = f (s) − f (t) − f 0 (t)(s − t) = (f 0 (c) − f 0 (t))(s − t),
(∗)
где точка c лежит между t и s.
Если t < s, то t < c < s и f 0 (t) < f 0 (c) в силу строго возрастания f 0 .
Следовательно, f 0 (c) − f 0 (t) > 0, s − t > 0, откуда в силу (∗) имеем
f (s) − g(s) > 0, т. е. f (s) > g(s). Аналогично разбирается случай t > s.
Теорема полностью доказана.
Замечание. Строгое возрастание (убывание) f 0 означает, что касательная к графику функции f в точке (x, f (x)) поворачивается против
часовой стрелки (по часовой стрелке) при увеличении x.
Теорема (достаточное условие выпуклости). Пусть функция
f дважды диффференцируема на (a; b). Если f 00 > 0 (f 00 < 0) на (a; b),
то функция f строго выпукла вниз (вверх) на (a; b).
Доказательство. Если f 00 > 0 на (a; b), то f 0 строго монотонно возрастает на (a; b). По предыдущей теореме функция f выпукла вниз на
(a; b). Аналогично исследуется случай f 00 < 0.
Примеры. 1) Пусть y = x ln x, x > 0. Имеем y 0 (x) = ln x + 1,
y 00 (x) = 1/x > 0, x > 0. Таким образом, функция y(x) строго выпукла
вниз на (0; +∞).
2) Пусть y = xn , x ∈ R, где n ∈ N, n ≥ 2. Имеем y 0 (x) = nxn−1 ,
y 00 (x) = n(n − 1)xn−2 .
Если n — четное число, то y 00 (x) > 0, x 6= 0, поэтому в силу критерия строгой монотонности y 0 строго монотонно возрастает на R, откуда
следует, что y выпукла вниз на R.
Если n — нечетное число, то y 00 (x) > 0 при x > 0; y 00 (x) < 0 при
x < 0. Таким образом, y выпукла вниз на (0; +∞) и выпукла вверх на
(−∞; 0). Отметим, что в точке x = 0 меняется направление выпуклости
функции.
3.3
Точки перегиба
Пусть функция f имеет производную в любой точке интервала (a; b).
Точка x0 ∈ (a; b) называется точкой перегиба функции f , если в этой
точке меняется направление выпуклости функции f , т. е. существует
число ε > 0 такое, что Oε (x0 ) ⊂ (a; b) и функция f выпукла вниз
(или вверх) на (x0 − ε; x0 ) и выпукла вверх (соответственно вниз) на
(x0 ; x0 + ε).
Теорема (необходимое условие точки перегиба). Пусть
функция f непрерывно дифференцируема на интервале (a; b) и x0 —
точка перегиба функции f . Тогда либо f 00 (x0 ) не существует, либо
f 00 (x0 ) = 0.
Доказательство. Предположим, для определенности, что функция f
выпукла вниз на (x0 −ε; x0 ) и выпукла вверх на (x0 ; x0 +ε) для некоторого
малого ε > 0. В силу критерия выпуклости это значит, что f 0 строго возрастает на (x0 −ε; x0 ) и строго убывает на (x0 ; x0 +ε). По условию теоремы
f 0 непрерывна, поэтому x0 — точка локального максимума функции f 0 .
В силу необходимого условия экстремума, если f 00 (x0 ) = (f 0 )0 (x0 ) существует, то f 00 (x0 ) = 0. Теорема доказана.
Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция f имеет производную в любой точке (a; b) и дважды дифференцируема на интервале (a; b), за исключением, быть может, точки x0 . Если
f 00 меняет знак при переходе через точку x0 , то x0 — точка перегиба
функции f . Если f 00 не меняет знак при переходе через точку x0 , то
x0 не является точкой перегиба функции f .
Доказательство. Пусть, для определенности, функция f 00 меняет
знак с «−» на «+» при переходе через точку x0 . Тогда для некоторого малого ε > 0 функция f выпукла вверх на (x0 − ε; x0 ) и выпукла
вниз на (x0 ; x0 + ε). Таким образом, в точке x0 меняется направление
выпуклости функции f , т. е. x0 — точка перегиба.
Если f 00 не меняет знак при переходе через точку x0 , то для некоторого ε > 0 функция f либо выпукла вниз на (x0 − ε; x0 ) ∪ (x0 ; x0 + ε),
либо выпукла ввверх на этом множестве. Значит, x0 не является точкой
перегиба функции f . Теорема доказана.
√
Пример. Пусть y = 3 x, x ∈ R. Тогда y 0 = (1/3)x−2/3 , x 6= 0. Так
как существует limx→0 y 0 (x) = +∞, то существует y 0 (0) = +∞. Кроме
того, y 00 = −(2/9)x−5/3 , x 6= 0. Если x > 0, то y 00 (x) < 0; если x < 0,
то y 00 (x) > 0. Таким образом, в точке x = 0 вторая производная меняет
знак, т. е. x = 0 является точкой перегиба.
3.4
Асимптоты
Пусть в точке x0 существует по крайней мере один из пределов
limx→x0 − f (x), limx→x0 + f (x) и этот предел равен +∞ или −∞. Тогда
говорят, что прямая x = x0 является вертикальной асимптотой графика функции f . Если оба предела существуют и равны +∞ или −∞, то
асимптота называется двусторонней, в противном случае — односторонней.
Предположим что при x → +∞ или x → −∞ имеет место асимптотика f (x) = kx + b + o(1) (k и b — некоторые константы), т. е.
limx→(±) ∞ (f (x) − kx − b) = 0, то говорят, что прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f при x → +∞ или
x → −∞. Если прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f и при x → +∞, и при x → −∞, то она называется
двусторонней асимптотой. Если k = 0, то асимптоту y = b называют
горизонтальной асимптотой.
Теорема. Для того чтобы прямая y = kx + b являлась асимптотой к графику функции f при x → (±) ∞, необходимо и достаточно,
чтобы существовали конечные пределы
f (x)
= k,
x→(±) ∞ x
lim
lim (f (x) − kx) = b.
x→(±) ∞
(∗)
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай x → +∞.
Необходимость. Пусть f (x) = kx + b + o(1), x → +∞. Тогда
f (x) − kx = b + o(1),
f (x)
b 1
= k + + · o(1) x → +∞,
x
x x
откуда следует (∗).
Достаточность. Пусть существуют пределы (∗). Тогда
lim (f (x) − kx − b) = 0,
x→+∞
откуда следует, что прямая y = kx + b является асимптотой к графику
функции f при x → +∞. Теорема доказана.
Замечание. Если f (x) → (±) ∞, когда x → (±) ∞, и существует конечный предел limx→(±) ∞ f 0 (x), то по правилу Лопиталя существует
конечный предел
f (x)
k = lim
= lim f 0 (x).
x→(±) ∞ x
x→(±) ∞
4
Первообразная и неопределенный интеграл
Пусть функция f определена на числовом промежутке I и для некоторой функции F на I имеет место равенство
F 0 (x) = f (x),
x ∈ I.
Тогда функция F называется первообразной функции f на I .
Примеры. 1) (sin x)0 = cos x, x ∈ R. Поэтому функция y = sin x
является первообразной функции y = cos x на R.
2) (ln x)0 = x1 , x > 0, поэтому функция y = ln x является первообразной функции y = x1 на {x > 0}.
Справедлива
Теорема 1. Если функция f является непрерывной на числовом
промежутке I , то она обладает первообразной на I .
Эта теорема будет доказана позже. Установим, что представляет из
себя множество первообразных функции f на числовом промежутке I .
Теорема 2. Если функция G является первообразной функции f
на числовом промежутке I , то функция F является первообразной f
на I тогда и только тогда, когда выполняется равенство
F (x) − G(x) ≡ const,
x ∈ I.
(∗)
Доказательство. Если функции F и G являются первообразными
функции f на I , то
(F (x) − G(x))0 = F 0 (x) − G0 (x) = f (x) − f (x) = 0,
x ∈ I.
Отсюда следует, что F (x) − G(x) — постоянная функция на I .
Обратно, пусть имеет место (∗). Тогда F (x) ≡ G(x)+const, x ∈ I , и
F 0 (x) ≡ G0 (x) = f (x), x ∈ I . Таким образом, F является первообразной
для f на I . Теорема доказана.
Примеры. Имеем (x2 ) 0 = 2x, x ∈ R. Поэтому одной из первообразных функции y = 2x на R будет функция y = x2 . Кроме того, первообразной функции y = 2x будет любая функция вида y = x2 + const,
например, y = x2 +1, y = x2 +e, y = x2 −π и т. д. Других первообразных
у этой функции нет.
Совокупность всех первообразных функции f на числовом промежутке I называется неопределенным интегралом функции f и обознаR
чается f (x) dx. Если F — одна из первообразных функции f , то
Z
f (x) dx = F (x) + C,
где C — произвольная константа.
Свойства неопределенных интегралов
0
R
1)
f (x)dx = f (x).
R
2) d f (x) dx = f (x) dx.
R
R
3) Если существуют f (x) dx и g(x) dx, то для любых α, β ∈ R
существует
Z
Z
Z
(αf (x) + βg(x)) dx = α f (x)dx + β g(x) dx.
Доказательство. Равенства 1) и 2) следуют сразу из определения
неопределенного интеграла. Равенство 3) следует из линейности операции
дифференцирования:
Z
0
Z
α f (x) dx + β g(x) dx =
0
Z
=α
f (x) dx
0
Z
+β
g(x) dx
= αf (x) + βg(x).
4.1 Таблица основных неопределенных интегралов
Z
Z
xα+1
α
+ C (α 6= −1),
1 dx
= x + C,
x dx
=
α+1
Z
Z
dx
= ln |x| + C,
ex dx
= ex + C,
x
Z
Z
x
a
ax dx
=
+ C,
sin x dx = − cos x + C,
ln a
Z
Z
dx
cos x dx = sin x + C,
= tg x + C,
cos2 x
Z
Z
dx
dx
√
= arcsin x + C,
=
−
ctg
x
+
C,
2
sin2 x
1
−
x
Z
Z
1 1 + x dx
dx
= arctg x + C,
=
+ C.
ln
1 + x2
1 − x2
2 1 − x
4.2
Способы интегрирования элементарных функций
1. Способ разложения. При нахождении первообразных можно
использовать линейность интеграла:
Z X
Z
n
n
X
ak fk (x) dx =
ak fk (x) dx.
k=1
k=1
Примеры.
Z 2
Z
Z x dx
(x2 + 1 − 1) dx
1
1)
=
=
1−
dx = x − arctg x + C.
x2 + 1
x2 + 1
1 + x2
Z
Z
Z
Z
dx
dx
dx
1 sin2 x + cos2 x
2)
=
=
=
dx =
1 − cos 4x
2 sin2 2x
8 sin2 x cos2 x 8
sin2 x cos2 x
Z
Z
1
dx
dx
1
=
=
+
(tg x − ctg x) + C.
2
8
cos2 x
8
sin x
2. Замена переменных в интеграле
Теорема. Пусть функция x = ϕ(t) строго монотонна на числовом промежутке I , ϕ(I) = J , и является дифференцируемой на I ,
причем ϕ0 (t) 6= 0, t ∈ I . Если функция y = f (x) имеет первообразную
F на числовом промежутке J , т. е.
Z
f (x) dx = F (x) + C, x ∈ J,
(1)
то
Z
f (ϕ(t))ϕ0 (t) dt = F (ϕ(t)) + C,
t ∈ I.
(2)
Обратно, из (2) следует (1).
Доказательство. Пусть имеет место (1). Тогда F 0 (x) = f (x), x ∈ J .
Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем
F (ϕ(t))0t = F 0 (x)|x=ϕ(t) ϕ0 (t) = f (x)|x=ϕ(t) ϕ0 (t) = f (ϕ(t))ϕ0 (t),
откуда следует (2).
Обратно, если справедливо (2), то
(F (ϕ(t)))0t = f (ϕ(t))ϕ0 (t).
(3)
В силу того, что функция x = ϕ(t) строго монотонна, на J существует обратная функция t = ϕ−1 (x). Так как функция x = ϕ(t) дифференцируема на I , причем ϕ0 (t) 6= 0, t ∈ I , то обратная функция ϕ−1
дифференцируема на J и
(ϕ−1 )0x =
1
,
ϕ0 (t)
где t = ϕ−1 (x).
Используя (3), получаем
F 0 (x) = (F ◦ ϕ ◦ ϕ−1 (x))0x = (F ◦ ϕ)0t · (ϕ−1 (x))0 x =
= f (ϕ(t))ϕ0 (t) ·
1
= f (ϕ(t)) = f (x).
ϕ0 (t)
Следовательно, справедливо (1). Теорема доказана.
Замечание. Равенство (2) можно записать в виде
Z
f (ϕ(t)) dϕ(t) = F (ϕ(t)) + C, t ∈ I.
R
Это объясняет обозначение неопределенного интеграла f (x) dx (точнее,
наличие в нем сомножителя dx после функции f (x), от которой интеграл
берется). Этот сомножитель напоминает о необходимости умножать подинтегральное выражение f (ϕ(t)), полученное после замены переменной
в функции f (x), на производную ϕ0 (t)!
R
Примеры. 1) Рассмотрим cos 2x dx. Сделаем замену переменных
в этом интеграле t = 2x, x = t/2, dx = dt/2. Тогда
Z
Z
Z
1
1
dt 1
cos t dt = sin t + C = sin 2x + C.
cos 2x dx = cos t =
2
2
2
2
2) Подсчитаем интеграл, преобразуя подинтегральное выражение:
Z
Z
Z
d(cos x)
d(2 + cos x)
sin xdx
=−
=−
= − ln(2 + cos x) + C.
2 + cos x
2 + cos x
2 + cos x
Отметим, что в этом примере мы не вводили явно новую переменную
t = 2 + cos x. На практике часто применяют такой прием.
3. Интегрирование по частям.
Теорема. Пусть функции f и g дифференцируемы на числоR
вом промежутке I и существует g(x) f 0 (x) dx. Тогда существует
R
f (x) g 0 (x) dx и
Z
Z
f (x) g 0 (x) dx = f (x)g(x) − g(x) f 0 (x) dx.
(1)
Доказательство. Найдем производную от функции, стоящей в правой части (1). Имеем
0
Z
0
f (x) g(x) − g(x) f (x) dx = (f (x)g(x))0 − g(x)f 0 (x) =
= f 0 (x) g(x) + f (x) g 0 (x) − g(x) f 0 (x) = f (x) g 0 (x).
Таким образом, справедливо (1). Теорема доказана.
Замечание. Формулу интегрирования по частям можно записать
в виде
Z
Z
f (x) dg(x) = f (x) g(x) − g(x) df (x).
R
R
R
Примеры. 1) xex dx = x d(ex ) = xex − ex dx = xex − ex + C .
2
R
R
R 2
2
2
2) x ln x dx = ln x d x2 = ln x · x2 − x2 d(ln x) = x2 ln x−
−
R
x
2 dx
=
x2
2
ln x −
x2
4
+ C.
R x
3) Найдем I = e sin xdx. Имеем
Z
Z
Z
x
x
x
x
I = sin x d(e ) = sin x · e − e d(sin x) = sin x · e − ex cos x dx =
x
Z
x
x
Z
cos x d(e ) = sin x · e − cos x · e + ex d(cos x) =
Z
x
x
= sin x · e − cos x · e − ex sin x dx = sin x · ex − cos x · ex − I.
= sin x · e −
x
Отметим, что последнее равенство справедливо с точностью до произвольной константы. Из него следует, что 2I = sin x · ex − cos x · ex , откуда
I = 21 (sin x − cos x)ex + C .
4.3
Интегрирование рациональных функций
Рациональной функцией называется функция, которая представима
в виде отношения двух многочленов:
y=
P (x)
.
Q(x)
В частности, многочлены являются рациональными функциями. Примерами рациональных функций являются
y=
x2 + 1
,
x3 − x
y=
1
,
x
y = x3 + 3x2 .
Одной из основных задач теории интегрирования является задача
нахождения первообразной элементарной функции, которая также является элементарной. К сожалению, эта задача не всегда разрешима. Если
функция f имеет элементарную первообразную, то говорят, что интеграл
R
f (x) dx берется в конечном виде. Примерами интегралов, которые не
R
R
2
берутся в конечном виде, являются интегралы e−x dx, lndxx и др.
Нашей ближайшей задачей будет доказательство того, что интеграл
от любой рациональной функции берется в конечном виде.
Интегрирование простейших рациональных функций
Простейшими рациональными функциями будем называть функции вида
1
,
(x − a)n
γx + δ
,
(ax2 + bx + c)n
n ∈ N, a, b, c, γ, δ ∈ R,
а также многочлены. Начнем с интегрирования дробей вида
Если n = 1, то
Z
dx
= ln |x − a| + C.
x−a
При n > 1 имеем
Z
(x − a)1−n
dx
=
+ C.
(x − a)n
1−n
1
(x−a)n ,
n ∈ N.
Теперь займемся интегрированием дробей (ax2αx+β
+bx+c)n , n ∈ N,
a, b, c, α, β ∈ R, при условии, что a 6= 0 и дискриминант ∆ = b2 −4ac < 0,
т. е. квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет действительных корней.
Имеем
"
#
2
2
b
b − 4ac
ax2 + bx + c = a x +
−
.
2a
4a2
Обозначим
t=x+
b
,
2a
r
α=
−∆
> 0.
4a2
Тогда
Z
(γx + δ)dx
γ
= n
2
n
(ax + bx + c)
a
Z
t dt
2aδ − bγ
+
2
2
n
(t + α )
2an+1
Z
(t2
dt
.
+ α2 )n
Таким образом, достаточно вычислить интегралы
Z
Z
t dt
dt
и
.
(t2 + α2 )n
(t2 + α2 )n
Первый интеграл вычисляется с помощью замены переменной:

1

Z
Z

ln(t2 + α2 ) + C,
n = 1,
2
2
t dt
1 d(t + α )
2
=
=
1
(t2 + α2 )n
2
(t2 + α2 )n 
−
+ C, n > 1.
2(n − 1)(t2 + α2 )n−1
Теперь покажем, как вычислить интеграл
Z
dt
In =
.
(t2 + α2 )n
Если n = 1, то
Z
I1 =
1
dt
=
t2 + α2
α
Z
d(t/α)
=
(t/α)2 + 1
1
t
1
x + b/(2a)
arctg + C = arctg
+ C.
α
α
α
α
Пусть n > 1. Покажем, как свести вычисление In к вычислению
In−1 . Применяя метод разложения и интегрирование по частям, получаем
Z
Z
Z
dt
1
[(t2 + α2 ) − t2 ] dt
1
dt
In =
=
=
−
(t2 + α2 )n
α2
(t2 + α2 )n
α2
(t2 + α2 )n−1
Z
Z
t2 dt
1
1
1
1
= 2 In−1 + 2
t·d
− 2
=
α
(t2 + α2 )n
α
α 2(n − 1)
(t2 + α2 )n−1
Z
1
t
dt
1
−
= 2 In−1 + 2
=
α
α 2(n − 1) (t2 + α2 )n−1
(t2 + α2 )n−1
1
1
t
1
In−1 + 2
.
= 2 1−
α
2(n − 1)
2α (n − 1) (t2 + α2 )n−1
Итак, получаем рекуррентную зависимость
1
1
1
t
In = 2 1 −
In−1 + 2
.
α
2(n − 1)
2α (n − 1) (t2 + α2 )n−1
=
Многочлены легко интегрируются с использованием метода разлоR
жения и табличного интеграла от степенной функции xn dx.
Интегрирование рациональных функций общего вида
R (x)
Рассмотрим интеграл от рациональной функции PQmn (x)
dx, где подинтегральная функция является отношением двух многочленов порядков m и n соответственно. Можно считать, что n ≥ 1. Если m ≥ n, то,
деля Pm (x) на Qn (x) с остатком, получаем, что существуют многочлены
Rn−m (x), Sr (x), r < n, такие, что
Pm (x)dx
Sr (x)dx
= Rm−n (x) +
.
Qn (x)
Qn (x)
Поскольку интеграл от Rm−n (x) вычисляется легко, достаточно подсчиR
тать интеграл SQr (x)dx
.
n (x)
представляет собой правильную
Рациональная функция SQr (x)dx
n (x)
дробь (r < n). Для ее интегрирования воспользуемся известными фактами из алгебры.
1) Многочлен Qn можно представить в виде произведения
k
l
Y
Y
δj
Qn (x) =
(x − aj )
(αi x2 + βi x + γi )εi .
j=1
(1)
i=1
Здесь aj — попарно различные числа, которые являются корнями многочлена Qn кратностей δj ∈ N. Квадратичные трехчлены αi x2 + βi x + γi
имеют отрицательные дискриминанты ∆j = βi2 − 4αi γi , причем никакие два из них не пропорциональны, а числа εi ∈ N. Отметим, что
комплекcные нули квадратичного трехчлена αi x2 + βi x + γi являются
комплексными нулями многочлена Qn кратности εi .
2) В курсе алгебры доказывается, что правильную дробь
но представить в виде суммы простейших дробей
k
δj
l
Sr (x)
Qn (x)
мож-
ε
i
X X Ajr
XX
Sr (x)
Bis x + Cis
=
+
.
r
2 + β x + γ )s
Qn (x)
(x
−
a
)
(α
x
j
i
i
i
j=1 r=1
i=1 s=1
(2)
Если известно разложение (1), то для интегрирования левой части (2)
методом разложения требуется найти неизвестные коэффициенты Ajr ,
Bis и Cis в правой части (2).
Для их определения обе части равенства (2) умножаются на Qn (x) и
оно переходит в равенство двух многочленов. Можно сравнить коэффициенты при разных степенях переменной x в этих многочленов и получить
систему линейных уравнений для определения Ajr , Bis и Cis . Иногда
к этим уравнениям присоединяют равенства, которые получаются, если
вместо x поставить какое-то конкретное значение, например, x = aj для
некоторого j . Часто такие равенства позволяют гораздо быстрее решить
систему линейных уравнений. После определения констант Ajr , Bis и Cis
задача в силу (2) сводится к интегрированию простейших дробей.
Пример. Найти
Z
x2 + x + 1
dx.
x3 − 2x2 + x
Прежде всего отметим, что дробь является правильной, так как степень
числителя меньше степени знаменателя. Разложим знаменатель на множители. Имеем
Q3 (x) = x3 − 2x2 + x = x(x − 1)2 .
Таким образом, подинтегральная функция представима в виде суммы
A11
A21
A22
x2 + x + 1
=
+
+
.
x3 − 2x2 + x
x
x − 1 (x − 1)2
Найдем константы A11 , A21 и A22 . Для их определения умножим обе
части последнего равенства на Q3 (x) = x3 − 2x2 + x = x(x − 1)2 . Тогда
получим
x2 + x + 1 = A11 (x − 1)2 + A21 x(x − 1) + A22 x
(3)
или
x2 + x + 1 = A11 (x2 − 2x + 1) + A21 (x2 − x) + A22 x.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях многочленов в левой
и правой частях, получаем систему для определения A11 , A21 и A22 :


= 1,
 A11 +A21
(4)
2A11 +A21 − A22 = −1,

 A
= 1,
11
откуда A11 = 1, A21 = 0, A22 = 3. После определения коэффициентов
получаем
Z
Z
x2 + x + 1
dx
3
3
dx =
+
= ln |x| −
+ C.
3
2
2
x − 2x + x
x
(x − 1)
x−1
Отметим, что можно было бы сразу найти значения A11 и A22 , не прибегая к системе (4). Для этого можно было бы подставить значения x = 0
и x = 1 в (3).
Подводя итог проведенным в последних двух пунктах исследованиям, сформулируем следующий результат.
Теорема. Интеграл от любой рациональной функции берется в
конечном виде.
4.4
Метод рационализации
Выше мы уже отмечали важность задачи вычисления интегралов в
конечном виде. Суть метода рационализации заключается в том, чтобы
R
с помощью замены переменных свести интеграл f (x) dx к интегралу
R
f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt, где подинтегральная функция f (ϕ(t)) ϕ0 (t) является
R
рациональной. Далее интеграл f (ϕ(t)) ϕ0 (t) dt берется в конечном виде,
R
что позволяет вычислить и исходный интеграл интеграл f (x) dx.
Напомним, что рациональной функцией нескольких переменных u1 ,
u2 ,. . . , un называется функция
q(u1 , u2 , . . . , un ) =
P (u1 , u2 , . . . , un )
,
Q(u1 , u2 , . . . , un )
где P (u1 , u2 , . . . , un ) и Q(u1 , u2 , . . . , un ) — многочлены от n переменных
u1 , u2 ,. . . , un . Очевидно, что если r1 (t), r2 (t),. . . , rn (t) — рациональные
функции переменной t и функция q(u1 , u2 , . . . , un ) — рациональная функция переменных u1 , u2 ,. . . , un , то q(r1 (t), r2 (t), . . . , rn (t)) — рациональная
функция от переменной t.
4.5
Интегрирование тригонометрических функций
1) Рассмотрим сначала задачу нахождения интегралов вида
Z
R(sin x, cos x) dx,
(1)
где R(u1 , u2 ) — рациональная функция двух переменных.
Пример. Интеграл
sin x + cos2 x
dx
2 sin x cos x + 1
является интегралом такого типа, поскольку в данном случае
Z
u1 + u22
R(u1 , u2 ) =
2u1 u2 + 1
рациональная функция двух переменных.
а) Универсальная подстановка t = tg x2
Теорема 1. Если R(u1 , u2 ) — рациональная функция двух переменных, то интеграл (1) рационализируется заменой переменных t = tg x2 .
Доказательство. Если t = tg x2 , то
2 tg x2
2t
sin x =
=
,
1 + tg2 x2
1 + t2
1 − tg2 x2
1 − t2
cos x =
=
.
1 + tg2 x2
1 + t2
Кроме того,
x = 2 arctg t =⇒ dx =
2 dt
.
1 + t2
В результате получаем
Z
Z
1 − t2
2t
2 dt
R(sin x, cos x)dx = R
,
,
1 + t2 1 + t2 1 + t2
где подинтегральная функция является рациональной от переменной t.
Теорема доказана.
Пример. Вычислить
Z
I=
ctg x dx
.
sin x + cos x − 1
Поскольку ctg x = cos x/ sin x, подинтегральная функция является рациональной от sin x и cos x, поэтому интеграл рационализируется универсальной подстановкой. Имеем
1 − t2
cos x =
,
1 + t2
2t
sin x =
,
1 + t2
ctg x =
1 − t2
,
2t
dx =
2dt
,
1 + t2
поэтому
Z
I=
1−t2
2t
2t
1+t2
+
2 dt
1+t2
1−t2
1+t2 −
·
Z
1
=
(1 − t2 ) dt 1
=
2t2 (1 − t)
2
Z
(1 + t)dt
=
t2
x 1
1
1
x
=
− + ln |t| + C =
− ctg + ln tg + C.
2
t
2
2
2
Замечание. Универсальная подстановка всегда рационализирует
интегралы вида (1), но часто приводит к сложным вычислениям. поэтому
наряду с ней применяются и другие подстановки, которые рационализируют интегралы (1) не всегда, а только если функция R удовлетворяет
дополнительным условиям.
Теорема 2. Пусть R(u1 , u2 ) — рациональная функция двух переменных.
1) Если R(u1 , −u2 ) ≡ −R(u1 , u2 ) то интеграл (1) рационализируется заменой переменных t = sin x.
2) Если R(−u1 , u2 ) ≡ −R(u1 , u2 ) то интеграл (1) рационализируется заменой переменных t = cos x.
3) Если R(−u1 , −u2 ) ≡ R(u1 , u2 ) то интеграл (1) рационализируется заменой переменных t = tg x.
Доказательство. 1) Из равенства R(u1 , −u2 ) ≡ −R(u1 , u2 ) следует,
что функция R(uu12,u2 ) как функция от второй переменной является четной.
Следовательно, эта функция содержит u2 только в четных степенях, т. е.
e от переменных u1 и u22 :
является рациональной функцией R
R(u1 , u2 )
e 1 , u2 ).
≡ R(u
2
u2
Используя этот факт, получаем, что
Z
Z
R(sin x, cos x)
R(sin x, cos x)dx =
cos x dx =
cos x
Z
Z
2
e
e 1 − t2 )dt.
= R(sin
x, cos x)d sin x = R(t,
e 1 − t2 ) является рациональной функцией от переменной t
Функция R(t,
и, таким образом, замена переменных t = sin x рационализирует интеграл (1).
2) Этот случай разбирается аналогично случаю 1).
3) Рассмотрим рациональную
Q(v, u2 ) := R(v · u2 , u2 ). Тогда
функцию
двух
переменных
Q(v, −u2 ) = R(−v · u2 , −u2 ) = R(v · u2 , u2 ) = Q(v, u2 ).
Таким образом, Q(v, u2 ) содержит переменную u2 только в четных стеe от переменных v и u2 :
пенях, т. е. является рациональной функцией Q
2
e u22 ).
Q(v, u2 ) ≡ Q(v,
С учетом этого получаем:
Z
Z
R(sin x, cos x) dx = R(tg x cos x, cos x) dx =
Z
=
Z
Q(tg x, cos x) dx =
e x, cos2 x) dx.
Q(tg
Сделаем в последнем интеграле замену переменных t = tg x. Имеем
cos2 x =
1
1
=
,
1 + tg2 x 1 + t2
dx = d arctg t =
dt
,
1 + t2
поэтому
Z
Z
R(sin x, cos x)dx =
e t, 1
Q
1 + t2
dt
.
1 + t2
e t, 1 2 1 2 является рациональной от переменной t, поэтоФункция Q
1+t
1+t
му замена переменных t = tg x рационализирует интеграл (1). Теорема
доказана.
Примеры. 1) Рассмотрим интеграл
Z
cos3 x dx
.
1 + sin x
Подинтегральная функция меняет знак при замене cos x на (− cos x).
Согласно теореме 2 интеграл рационализируется заменой t = sin x. Имеем
Z
Z
Z
Z
cos2 x d sin x
(1 − sin2 x) d sin x
(1 − t2 ) dt
cos3 x dx
=
=
=
=
1 + sin x
1 + sin x
1 + sin x
1+t
Z
t2
sin2 x
= (1 − t) dt = t − + C = sin x −
+ C.
2
2
2) Найдем интеграл
Z
sin x cos x dx
.
sin4 x + cos4 x
Этот интеграл подпадает под случай 3) теоремы 2, следовательно, берется
заменой t = tg x. Имеем
Z
Z
Z
Z
sin x cos x dx
tg x cos2 x dx
tg x d(tg x)
t dt
=
=
=
=
(tg4 x + 1) cos4 x
tg4 x + 1
t4 + 1
sin4 x + cos4 x
Z
1
d(t2 )
1
1
2
=
=
arctg
t
+
C
=
arctg tg2 x + C.
2
2
2 (t ) + 1 2
2
3) Заменой t = tg x вычислим интеграл
Z
Z 4
Z 4
Z t dt
(t − 1) + 1dt
1
4
2
tg x dx =
=
=
t −1+
dt =
1 + t2
1 + t2
1 + t2
t3
tg3 x
= − t + arctg t + C =
− tg x + x + C.
3
3
Указанные подстановки можно сочетать с другими способами вычисления интегралов, описанными выше.
4.6
Интегрирование иррациональных функций, содержащих
радикалы
1. Интегрирование выражений вида
mn 1 mn 2
mn k !
1
2
ax + b
ax + b k
ax + b
,
,...,
R x,
,
cx + d
cx + d
cx + d
где R — рациональная функция (k + 1) переменных, mj и nj —
некоторые целые числа, nj > 0.
Теорема. Интеграл
mn 1 mn 2
mn k !
Z
1
2
ax + b
ax + b
ax + b k
dx
,
,...,
I = R x,
cx + d
cx + d
cx + d
рационализируется заменой
t=
ax + b
cx + d
N1
,
где N — наименьшее общее кратное чисел n1 , n2 , · · · , nk .
Mi
i
Доказательство. Для любого 1 ≤ i ≤ k имеем m
ni = N , где Mi ∈ Z.
Следовательно,
mi
ax + b ni
= tMi
cx + d
является рациональной функцией от переменной t. Кроме того,
dtN − b
ax + b
= tN =⇒ x =
,
cx + d
a − ctN
следовательно,
(ad − bc)N tN −1
dt = r(t) dt,
(a − ctN )2
где r(t) — рациональная функция. Окончательно имеем
N
Z
dt − b M1 M2
I= R
, t , t , . . . , tMk r(t) dt,
N
a − ct
dx =
где подинтегральная функция является рациональной. Теорема доказана.
Пример.
Z
dx
√
√ =
x+ 3x
Z
1
1
R(x 2 , x 3 ) dx,
где R — рациональная функция, берется заменой x = t6 . Имеем
Z
Z
Z
Z 3
Z 3
d(t6 )
dx
t5 dt
t dt
(t + 1) − 1
√
√
=
=
6
=
6
=
6
dt =
t3 + t2
t3 + t2
t+1
t+1
x+ 3x
3
Z 1
t2
t
2
t −t+1−
dt = 6
− + t − ln |t + 1| + C =
=6
t+1
3
2
√
√
√
√
= 2 x − 3 3 x + 6 6 x − 6 ln 6 x + 1 + C.
2. Подстановки Эйлера
Рассмотрим интегралы вида
Z
p
R(x, ax2 + bx + c) dx,
где R — рациональная функция двух переменных (a 6= 0).
Если подкоренное выражение ax2 + bx + c > 0 по крайней мере для
одного x, то выполняется по крайней мере одно из условий: a > 0, c > 0
или ∆ = b2 − 4ac > 0. В последнем случае ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ),
где x1 и x2 — корни квадратного трехчлена.
Теорема (Эйлер). Интеграл вида
Z
p
R(x, ax2 + bx + c) dx,
где R — рациональная функция двух переменных, рационализируется по
крайней мере одной подстановкой t = t(x):
√
√
1) если a > 0, то t ± ax = ax2 + bx + c;
√
√
2) если c > 0, то xt ± c = ax2 + bx + c;
p
√
2
3) если ∆ > 0, то t(x−x1 ) = ax + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ).
Доказательство. Рассмотрим для примера случай 3) (случаи 1) и 2)
рассмотрите самостоятельно!).
p
√
Если t(x−x1 ) = ax2 + bx + c = (x − x1 )(x − x2 ), то t2 (x−x1 )2 =
= a(x − x1 )(x − x2 ), откуда t2 (x − x1 ) = a(x − x2 ). Из последнего соотношения находим
x1 t2 − ax2
x=
= r(t),
t2 − a
таким образом, x = r(t) — рациональная функция от t. Кроме того,
dx = r0 (t) dt, где r0 (t) — также рациональная функция, и
p
ax2 + bx + c = t(x − x1 ) = t(r(t) − x1 )
— рациональная функция от t. Учитывая это, получаем
Z
Z
p
R(x, ax2 + bx + c) dx = R (r(t), t(r(t) − x1 )) r0 (t) dt,
т. е. указанная подстановка Эйлера рационализирует рассматриваемый
интеграл. Теорема доказана.
Пример. Рассмотрим интеграл
Z
dx
√
I=
.
x + x2 + 2x + 3
Поскольку a = 1 > 0, можно применить первую подстановку Эйлера
√
√
√
t ± x = x2 + 2x + 3. Знак перед x лучше выбрать «−», так как
√
в этом случае знаменатель дроби x + x2 + 2x + 3 совпадает с новой
переменной t и вычисления получаются гораздо проще. Итак,
p
t = x + x2 + 2x + 3,
√
откуда t − x = x2 + 2x + 3, t2 − 2tx + x2 = x2 + 2x + 3 и
t2 − 3
x=
,
2(t + 1)
t2 + 2t + 3
dx =
.
2(t + 1)2
С учетом этих вычислений получаем
Z
1 (t2 + 2t + 3) dt
.
I=
2
t(t + 1)2
Разложим подинтегральное выражение на простейшие дроби:
(t2 + 2t + 3) A
B
C
=
+
+
,
t(t + 1)2
t
t + 1 (t + 1)2
где A, B и C — неизвестные константы. Умножив обе части равенства
на t(t + 1)2 , получаем
t2 + 2t + 3 = A(t + 1)2 + Bt(t + 1) + Ct.
Из последнего соотношения при t = 0 получаем, что A = 3, а при t = −1
— что C = −2. Сравнивая коэффициенты при t2 , получим A + B = 1,
откуда B = −2. Окончательно имеем
Z 1
3
2
2
1
2
I=
−
−
=
3 ln |t| − 2 ln |t + 1| +
+C =
2
t t + 1 (t + 1)2
2
t+1
p
p
3 2
2
= ln x + x + 2x + 3 − ln x + 1 + x + 2x + 3 +
2
1
√
+
+ C.
x + 1 + x2 + 2x + 3
Замечание. Использование подстановок Эйлера часто приводит к
сложным вычислениям. Поэтому иногда вместо них используют другие
подстановки, в которые входят тригонометрические или гиперболические
функции. Используя равенство
"
#
2
2
b
b
−
4ac
ax2 + bx + c = a x +
−
2a
4a2
b
, легко свести интеграл
и линейную замену x1 = x + 2a
Z
p
R(x, ax2 + bx + c) dx,
к интегралу
Z
R1 (x1 ,
q
±x21 ± α2 ) dx1 ,
где R1 — рациональная функция, знаки в подкоренном выражении зависят от знака коэффициента a и дискриминанта ∆ = b2 − 4ac. Поэтому
достаточно научиться вычислять интегралы вида
Z
p
R(x, ±x2 ± α2 ) dx,
где R — рациональная функция.
1) Рассмотрим интегралы вида
Z
p
R(x, α2 − x2 ) dx.
Для их вычисления можно применять подстановки вида x = α sin x, x =
= α cos t, x = chα t , x = α th t.
2) B интегралах вида
Z
p
R(x, α2 + x2 ) dx
можно делать замены переменных x = α tg t, x = α sh t, x =
3) Для интегралов
Z
p
R(x, x2 − α2 ) dx
α
sh t .
α
α
используют замены x = cos
t , x = sin t , x = α ch t, x = α cth t.
После проведения этих замен исчезают радикалы и интегралы сводятся к интегралам от рациональных функций от тригонометрических
или гиперболических функций. Докажите это самостоятельно!
Пример. Делая замену x = sh t, получаем
Z
Z
Z
dx
d(sh t)
√
p
= dt = t + C = arcsh x + C.
=
2
1 + x2
1 + sh t
Найдем arcsh x. Если x = sh t, то x = (et −e−t )/2, откуда e2t −2xet +1 = 0,
√
et = x ± x2 + 1. Выбираем перед радикалом знак «+», так как et > 0.
√
Окончательно получаем t = arcsh x = ln(x + x2 + 1) и
Z
p
dx
√
= ln(x + x2 + 1) + C.
1 + x2
Интегрирование дифференциального бинома.
Теорема (Чебышев). Рассмотрим интеграл
Z
xm (a + bxn )p dx, (a 6= 0, b 6= 0)
где m, n и p — рациональные числа. В следующих трех случаях этот
интеграл рационализируется указанными подстановками.
1) Если p — целое число, то используется подстановка t = x1/s ,
где s — наименьшее общее кратное знаменателей дробей, представляющих собой рациональные числа m и n.
n 1/s
2) Если m+1
, где s знаменатель
n — целое число, то t = (a + bx )
дроби, представляющей собой рациональное число p.
−n
3) Если m+1
+ b)1/s , где s знамеn + p — целое число, то t = (ax
натель дроби, представляющей собой рациональное число p.
Доказательство. Рассмотрим для примера случай 3) (остальные случаи рассмотрите самостоятельно!).
Пусть t = (ax−n + b)1/s . Тогда ts = ax−n + b, откуда xn = tsa−b .
Таким образом, xn = r(t), где r(t) — рациональная функция. Имеем
ndx r0 (t)dt
=
,
x
r(t)
поэтому
Z
Z
Z
dx
m
n p
m+np
−n
p
x (a + bx ) dx = x
(ax + b) dx = xm+np+1 (ax−n + b)p
=
x
Z
Z
m+1
m+1
dx
r0 (t)dt
= (r(t)) n +p tps
.
= (xn ) n +p (ax−n + b)p
x
nr(t)
Последний интеграл представляет собой интеграл от рациональной функции от переменной t. Теорема доказана.
Замечание. П. Л. Чебышев на самом деле доказал также, что в
остальных случаях интеграл в конечном виде не берется.
Список литературы
[1] Никольский С.М. Курс математического анализа, изд. 6-е., стер. –
Москва: Физматлит, 2001. – 591 с.
[2] Зорич В.А. Математический анализ, ч. I, – изд 4-е, испр. – М.:
МЦНМО, 2002. – 657 с.
[3] Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу, изд.
4-е. – Казань: КГУ, 2005. – 373 с.
[4] Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, т. 1. – М.: Высшая школа,
1973. – 614 с.
[5] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1, изд. 8-е. – Москва: Физматлит, 2003. – 679 с.
[6] Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу: учебное пособие для вузов. – Москва: АСТ, 2010. – 558 с.
[7] Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. – М.: Мир, 1967.
– 251 с.
Содержание
1 Производная и дифференциал
1.1 Определение производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . .
1.3 Физический смысл производной . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Основные правила вычисления производных . . . . . . . .
1.5 Производные основных элементарных функций . . . . . .
1.6 Логарифмическое дифференцирование . . . . . . . . . . .
1.7 Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Высшие производные линейной комбинации и произведения
функций. Правило Лейбница. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Техника нахождения дифференциалов . . . . . . . . . . .
1.11 Инвариантность формы 1-го дифференциала . . . . . . . .
1.12 Дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Дифференцирование функций, заданных
параметрически . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Основные теоремы дифференциального
исчисления
2.1 Свойства функций, которые являются
производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Обобщенная формула конечных приращений . . . . . . . .
2.3 Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Представление по формуле Тейлора некоторых элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Исследование функций с помощью производных
3.1 Точки локального экстремума функции . . . . . . .
3.2 Исследование выпуклости функций с помощью
производных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
6
6
9
12
13
15
16
19
19
20
21
22
25
27
28
31
34
. . . .
36
39
. . . .
. . . .
. . . .
43
45
46
4 Первообразная и неопределенный интеграл
4.1 Таблица основных неопределенных интегралов . . . . . . .
4.2 Способы интегрирования элементарных функций . . . . .
4.3 Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . .
4.4 Метод рационализации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Интегрирование тригонометрических функций . . . . . . .
4.6 Интегрирование иррациональных функций, содержащих
радикалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
49
49
52
56
57
61