Определение 2. Вращением v(L) ломаной L ∈ R доказать что
advertisement
Ïóñòü P âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê ñ ãðàíèöåé (÷àñòü ïîâåðõíîñòè îäíîñâÿçíîãî òåëåñíîãî ìíîãîãðàííèêà). Ïóñòü L ∈ P - ëîìàíàÿ, íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíû P . [Al, ñòð. 16] Îïðåäåëåíèå 1. Íàçîâåì ðàçâîðà÷èâàíèåì ëîìàíîé L ∈ P íà ïëîñêîñòü ëîìàíóþ 0 L ∈ R2 , ñîñòîÿùóþ èç òàêîãî æå êîëè÷åñòâà ðåáåð, ñ òåìè æå äëèíàìè è ñ òåìè æå óãëàìè ìåæäó ñîñåäíèìè ðåáðàìè, ÷òî è ó ëîìàíîé L â ñìûñëå âíóòðåííåé ìåòðèêè P . [Al, ñòð. 215] 2 Îïðåäåëåíèå 2. Âðàùåíèåì v(L) ëîìàíîé L ∈ R íàçîâåì ñóììó óãëîâ ìåæäó ñîñåäíèìè ðåáðàìè. Ïîä óãëîì ìåæäó ðåáðàìè li è li+1 áóäåì ïîíèìàòü ïîâîðîò óãîë ìåæäó ñîîòâåòñòâóþùèìè âåêòîðàìè, âçÿòûé òàê ÷òîáû åãî ìîäóëü áûë ìåíüøå π . Îïðåäåëåíèå ×èñëîì ïîëíûõ îáîðîòîâ çàìêíóòîé êðèâîé âîêðóã òî÷êè íàçîâåì... Îïðåäåëåíèå 3. Äèàìåòðîì ìíîæåñòâà X íàçûâàåòñÿ max(|xy|) äëÿ ∀x, y ∈ X . Îïðåäåëåíèå 4. Êðèâèçíîé curv(v) âåðøèíû v íàçûâàåòñÿ íåäîñòàòîê ïîëíîãî óãëà âåðøèíû äî 2π . Êðèâèçîé curv(P ) ìíîãîãðàííèêà P íàçûâàåòñÿ ñóììà êðèâèçí åãî âåðøèí. Óòâåðæäåíèå Íà ìíîãîãðàííèêå P ñ ãðàíèöåé çàäàíà ëîìàíàÿ L ñ ÷èñëîì âðàùåíèÿ k . Çàìêíåì ýòó ëîìàíóþ êðàò÷àéøåé. Òîãäà ÷èñëî îáîðîòîâ âîêðóã k+2π ïðîèçâîëüíîé òî÷êè X íå ïðåâûøàåò 2π−curv(P . ) Äåéñòâèòåëüíî, âðàùåíèå êðèâîé ïîñëå äîáàâëåíèÿ îòðåçêà èçìåíÿåòñÿ íå áîëåå ÷åì íà 2π . ... 0 Óòâåðæäåíèå 2. Ïóñòü äëÿ ëîìàíîé L áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé íà ïëîñêîñòè äèàìåòðîì ÿâëÿåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó êîíöàìè ýòîé ëîìàíîé. Òîãäà âðàùåíèå L0 íå ïðåâûøàåò π . äîêàçàòü Óòâåðæäåíèå 3. Ïóñòü êîíöû ëîìàíîé L áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé íàõîäÿòñÿ íà ãðàíèöå P , äèàìåòð ìíîãîãðàííèêà P d. È âðàùåíèå ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ òî÷êàìè X, Y ∈ L íå ïðåâûøàåò ...$pi. Òîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó êîíöàìè L0 íå ïðåâûøàåò 2decurv(P ) . À ðàññòîÿíèå ìåæäó B 0 è B 00 íå ïðåâûøàåò .... Ñîåäèíèì êîíöû A, B ëîìàíîé L êðàò÷àéøåé BA. Äîïîëíÿÿ L ýòîé êðàò÷àéøåé ïîëó÷èì çàìêíóòóþ ëîìàíóþ L◦ . Âîêðóã êàæäîé âåðøèíû v ìíîãîãðàííèêà P ýòà ëîìàíàÿ äåëàåò íå áîëåå îäíîãî îáîðîòà. äîêàçàòü Ïóñòü v1 , v2 , . . . , vk - òå âåðøèíû, äëÿ êîòîðûõ âðàùåíèå ? êðèâîé L◦ áûëî ïî ìîäóëþ ðàâíî 1. Ïóñòü L0 = AB, L1 , L2 , . . . Lk - íàáîð êðèâûõ ñ êîíöàìè â A, B , òàêèõ ÷òî ïðè îáúåäèíåíèè ñ êðàò÷àéøåé BA ïîëó÷åííàÿ çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ Li,◦ èìååò äëÿ âñåõ vj , j ≤ i òî æå ÷èñëî âðàùåíèÿ ÷òî è äëÿ L◦ , à äëÿ vj , j > i, ÷èñëî âðàùåíèÿ 0. äîêàçàòü ÷òî òàêîé íàáîð âîçìîæåí. Äîêàæåì ïî èíäóêöèè, ÷òî ×åáûøåâñêèé ðàäèóñ ðàçâåðíóòûõ ëîìàíûõ Pi curv(vj ) 0 j=1 Li íå ïðåâûøàåò 2de . À ðàññòîÿíèå ìåæäó Bi0 B00 íå ïðåâûøàåò 1 Pi Pi curv(vj ). Âîçüìåì ñåðåäèíó êðàò÷àéøåé AB - O è ïîñòðîèì ðàçâåðòêó R0 Âîðîíîãî (cut loci) ìíîãîãðàííèêà P . Êðàò÷àéøàÿ AB = L0 ïðè ýòîì ïåðåõîäèò â îòðåçîê A0 B 0 , è ëåæèò âíóòðè ðàçâåðòêè. Ðàññòîÿíèå îò ëþáîé òî÷êè ðàçâåðòêè äî O íå ïðåâûøàåò d. Çíà÷èò äèàìåòð R0 íå áîëåå 2de0 . 2de j=1 curv(vj ) Ðàçâåðòêó j=1 ìû áóäåì ïîíèìàòü êàê ìíîãîóãîëüíèê,â êîòîðîì ðàçðåçû äåéñòâèòåëüíî áûëè ðàçðåçàíû. Ïóñòü òåïåðü ó íàñ âûïîëíåí øàã èíäóêöèè i: 1. Ó íàñ åñòü ðàçâåðòêà Ri P(âîçìîæíî, èìåþùàÿ íàëîæåíèÿ íà ñåáÿ), äèàìåòð i êîòîðîé íå ïðåâûøàåò 2de j=1 curv(vj ) 2. Îáðàç L0i íå ïåðåñåêàåò ãðàíèöó Ri . Pi 3. Ðàññòîÿíèå ìåæäó Bi0 B00 íå ïðåâûøàåò 2de j=1 curv(vj ) Pi j=1 curv(vj ). Ïîêàæåì, ÷òî òîæå ñàìîå âåðíî è íà øàãå i + 1. Áåç èçìåíåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîíöàìè L0i+1 ìû ìîæåì ïåðåñòðîèòü ëîìàíóþ Li+1 òàê ÷òî îíà íå áóäåò ïåðåñåêàòü ãðàíèöó Ri çà èñêëþ÷åíèåì îêðåñòíîñòè òî÷êè vi+1 . ïî÷åìó? íåâåðíî, ìîãóò áûòü åùå ïåðåñå÷åíèÿ Ïðîâåäåì èç òî÷êè vi+1 äî ãðàíèöû P ëîìàíóþ íå ïåðåñåêàþùóþ Li è íå ïåðåñåêàþùóþ ðàçðåçîâ Ri îïÿòü æå ïî÷åìó ýòî ìîæíî. Ðàçðåæåì âäîëü ýòîé ëîìàíîé Ri íà äâå ÷àñòè. Ïîâåðíåì îäíó èç íèõ íà óãîë curv(vi+1 ) òàê, ÷òîáû ñîâìåñòèëàñü ïðåäûäóùàÿ ëèíèÿ ðàçðåçà, âûõîäÿùàÿ èç vi+1 . Ñêëåèâ ñîâìåùåííóþ ëèíèþ ìû ïîëó÷èëè íîâóþ ðàçâåðòêó Ri+1 .  ýòîé ðàçâåðòêå L0i+1 áîëüøå íå ïåðåñåêàåò ëèíèè ðàçðåçà Ri+1 . Ïðè ïåðåìåùåíèè êóñêà íåêîòîðàÿ òî÷êà x ∈ Ri ïåðåäâèíóëàñü íà ðàññòîÿíèå xvi+1 2sin(curv(vi+1 )/2). Çíà÷èò d(R i+1 ) ≤ d(Ri ) + d(Ri )2sin(curv(vi+1 )/2) ≤ d(Ri )(1 + Pi+1 curv(vj ) curv(vi+1 ) j=1 curv(vi+1 )) ≤ d(Ri )e ≤ 2de . 0 0 Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè Bi Bi+1 ðàâíî 2sin(curv(vj+1 )/2)r, ãäå r ðàññòîÿíèå 0 0 ìåæäó Bi+1 è vi+1 â ðàçâåðòêå Li . Pi+1 0 0 0 ≤ Òîãäà Bi Bi+1 ≤ 2de j=1 curv(vj ) curv(vj+1 ), à ðàññòîÿíèå B00 Bi+1 P P Pi P P i+1 i+1 i i+1 curv(v ) curv(v ) j j curv(vj+1 ) ≤ 2de j=1 2de j=1 curv(vj ) j=1 curv(vj ) + 2de j=1 j=1 curv(vj ) Èíäóêöèÿ çàâåðøåíà.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî äèàìåòð ëîìàíîé L00 íå ïðåâûøàåò 2decurv(P ) . Øåâåëåíèå íå èçìåíÿåò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîíöàìè, çíà÷èò A0 B 0 íå ïðåâûøàåò òîé æå âåëè÷èíû. À òàê æå ðàññòîÿíèå ìåæäó B 0 è B 00 = B00 íå ïðåâûøàåò 2dcurv(P )ecurv(P ) . Óòâåðæäåíèå 3. Ïóñòü íà ìíîãîãðàííèêå P ñ ãðàíèöåé çàäàíà ëîìàíàÿ L c êîíöàìè A, B íà ãðàíèöå P è ðàçâåðíóòàÿ ëîìàíàÿ - L0 , ïðè÷åì îáå ëîìàíûå íå èìåþò ñàìîïåðåñå÷åíèé. Åñëè êðèâèçíà P ðàâíÿåòñÿ curv(P ), à äèàìåòð d, òî äèàìåòð ëîìàíîé d . L0 íå ïðåâûøàåò 1−curv(P ) 2 Ïóñòü çàäàíà ëîìàíàÿ L íà ìíîãîãðàííèêå P ñ ãðàíèöå è ðàçâåðíóòàÿ ëîìàíàÿ - L0 , ïðè÷åì îáå ëîìàíûå íå èìåþò ñàìîïåðåñå÷åíèé. Åñëè êðèâèçíà P ðàâíÿåòñÿ curv(P ), à äèàìåòð d, òî äèàìåòð ëîìàíîé L0 íå ïðåâûøàåò d . 1−curv(P ) Ïóñòü êîíöû L - òî÷êè A, B . Ñîåäèíèì òî÷êè A, B êðàò÷àéøåé. Óòâåðæäåíèå 4. Ïóñòü çàäàíà ëîìàíàÿ L íà ìíîãîãðàííèêå P ñ ãðàíèöå è ðàçâåðíóòàÿ ëîìàíàÿ - L0 , ïðè÷åì îáå ëîìàíûå íå èìåþò ñàìîïåðåñå÷åíèé. Åñëè 2d êðèâèçíà F ðàâíÿåòñÿ α à äèàìåòð d, òî äèàìåòð ëîìàíîé L0 íå ïðåâûøàåò 2π−curv(P . ) Óòâåðæäåíèå 4. 1. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äèàìåòðîì ëîìàíîé L0 ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé êîíöû A0 , B 0 . Åñëè ýòî íå òàê, òî âñåãäà ìîæíî âçÿòü ÷àñòü êðèâîé, ÷òîáû ýòî âûïîëíÿëîñü. Òîãäà âðàùåíèå ëîìàíîé íå ïðåâûøàåò π . Åñëè íà êðèâîé L íå ñóùåñòâóåò òàêîé òî÷êè C , ÷òî âðàùåíèå íà ó÷àñòêå AC èëè BC ïðåâûøàåò ..., òî â ñèëó óòâåðæäåíèÿ 3, äèàìåòð L0 íå ïðåâûøàåò .... Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî òàêàÿ òî÷êà ñóùåñòâóåò. Òîãäà äîëæíà íàéòèñü òî÷êà A1 , òàêàÿ ÷òî C ëåæèò ïî ñåðåäèíå ìåæäó A è A1 , ÷òî âðàùåíèå íà LA,A1 ðàâíî íóëþ. Åñëè ìû ìîæåì ïðîâåñòè èç òî÷åê A è B îòðåçêè äî ãðàíèöû P áåç ïåðåñå÷åíèÿ ñ L, òî äèàìåòð ïîñëå ðàçâîðà÷èâàíèÿ ýòîé ëîìàíîé îãðàíè÷åí 2decurv(P ) . ×òî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ òåîðåìû. Ðàññìîòðèì îñòàëüíûå âàðèàíòû. Ïóñòü èç òî÷êè A íåëüçÿ ïðîâåñòè îòðåçîê äî ãðàíèöû P íå ïåðåñåêàÿ ëîìàíóþ. Îïðåäåëåíèå ðàçâåðòêè ðåáåðíîé ðàçâåðòêè. Äëÿ âñÿêîãî ëè âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà ñóùåñòâóåò ðåáåðíàÿ ñâÿçíàÿ ðàçâåðòêà? Òî åñòü òàêîé ïðîñòîé (áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé) ìíîãîóãîëüíèê è ïðàâèëà ñêëåèâàíèÿ åãî ðåáåð, ÷òî ïîñëå ñêëåèâàíèÿ ïîëó÷èòñÿ äàííûé ìíîãîãðàííèê, ïðè÷åì âñå ëèíèè ðàçðåçà/ñêëåéêè ïðîõîäÿò ñòðîãî ïî ðåáðàì. Ýòà êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à, ïåðâîå óïîìèíàíèå êîòîðîé áûëî îêîëî 500 ëåò íàçàä, â 1528 ãîäó Àëüáðåõòîì Äþðåðîì. Êîãäà âïåðâûå ñòàëêèâàåøüñÿ ñ ýòîé çàäà÷åé, ïîëîæèòåëüíûé îòâåò íà íå êàæåòñÿ î÷åâèäíûì. Áîëåå òîãî äîñòàòî÷íî ñëîæíî ïðèäóìàòü ìíîãîãðàííèê è õîòÿ áû îäíó åãî ðàçâåðòêó, êîòîðàÿ èìåëà áû ñàìîïåðåñå÷åíèå. Ïåðâûé ïðèìåð, ïîäîáíîé ðàçâåðòêè ïðåäúÿâëåí, íà ðèñóíêå 1. Ðàçáèðàÿñü â ýòîé ïðîáëåìå, ìíå óäàëîñü ïðèäóìàòü íàèáîëåå ïðîñòîé ïðèìåð ìíîãîãðàííèêà, ó êîòîðîãî èìååòñÿ ðàçâåðòêà ñ ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè ðèñ. 2. Ïðîäîëæàÿ èçó÷àòü äàëüøå ïðîáëåìó, ìíîãèì â òîì ÷èñëå è ìíå, êàçàëîñü ÷òî ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî ïðîñòîé óíèâåðñàëüíûé àëãîðèòì, êîòîðûé ðàçâîðà÷èâàåò âñå ìíîãîãðàííèêè. Îñíîâíàÿ èäåÿ ïîäîáíûõ àëãîðèòìîâ ñëåäóþùàÿ: âûêëàäûâàåì 3 öåíòðàëüíóþ ãðàíü íà ïëîñêîñòü, äàëåå ê íåé ïîñòåïåííî ïðèñòàâëÿåì ãðàíè ïî íåêîòîðîìó ïðàâèëó. Âñå ãðàíè, ñîñåäíèå ñ öåíòðàëüíîé, ëåãêî ðàçâîðà÷èâàþòñÿ íå îáðàçóþ ïåðåñå÷åíèé. Ýòî äàâàëî íàäåæäó íà òî, ÷òî ìîæíî ðàçâîðà÷èâàòü äàëüøå âñå ãðàíè ìíîãîãðàííèêà. Îäíàêî, ïåðåáèðàÿ âñåâîçìîæíûå àëãîðèòìû êîòîðûå ìîãëè áû ïîäîéòè íà ðîëü ðåøåíèÿ, êàæäûé ðàç îêàçûâàëîñü ÷òî äëÿ åãî ñóùåñòâóåò êîíòðïðèìåð. Ïðè ýòîì ñàì êîíòðïðèìåð ýëåìåíòàðíî ðàçâîðà÷èâàåòñÿ, íî äëÿ ýòîãî âñåãäà òðåáîâàëîñü íåêîòîðîå èçìåíåíèå àëãîðèòìà. Äëÿ èçó÷åíèÿ ýòî ïðîáëåìû ÿ ðåøèë ïðèäóìàòü íåêîòîðûé óíèâåðñàëüíûé "êîíòïðèìåð" ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ òîé ãðóïïû àëãîðèòìîâ êîòîðóþ ÿ ïåðåáèðàë. Äëÿ ýòîãî ñòàëî íåîáõîäèìûì èçó÷èòü ïðèðîäó âîçíèêàþùèõ ñàìîïåðåñå÷åíèé. Îñîáåííî ïðîáëåìà ñàìîïåðåñå÷åíèé ìåøàåò ðàçâîðà÷èâàòü ïåðâûå êîðîíû ãðàíåé, ïîêà êðèâèçíà äîñòàòî÷íî ìàëåíüêàÿ. Êîãäà æå ñóììàðíàÿ êðèâèçíà ñòàíîâèòñÿ áîëüøîé, òî "ùåëè" ìåæäó ðàçâåðíóòûìè ãðàíÿìè îêàçûâàþòñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèìè ÷òîáû îñîáûõ ïðîáëåì â òîì èëè èíîì ðàçìåùåíèè ãðàíåé íå áûëî. Âåðíåìñÿ ê ïðèìåðó 2. Íåìíîãî ïîèãðàâøèñü ñ íèì ìîæíî çàìåòèòü îïðåäåëåííîå ïðàâèëî, ïðè êîòîðîì îáÿçàòåëüíî ïðîèçîéäåò ñàìîïåðåñå÷åíèå ðàçâåðòêè ñ äîñòàòî÷íî ìàëîé êðèâèçíîé. Êàê âèäíî íà ðèñóíêå 3. Ïåðåñå÷åíèå âîçíèêàåò, òîãäà êîãäà α/2 + γ + β > π/2, ãäå α, β êðèâèçíû âåðøèí A, B , à γ 6 ABC . Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ α, β ãëàâíûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ, òî îñòðûì èëè òóïûì ÿâëÿåòñÿ óãîë γ . Ïðè ðàññìîòðåíèè ðàçâåðòêè ìíîãîãðàííèêà ñ ãðàíèöåé, ãðàôû ðàçðåçàíèÿ ðàñïàäàþòñÿ íà êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè. Êàæäàÿ êîìïîíåíòà èìååò îäèí èñòîê. Äëÿ äâóõ òî÷åê åñòåñòâåííî çàäàåòñÿ ÷àñòè÷íàÿ óïîðÿäî÷åííîñòü - âûøå èëè íèæå ïî òå÷åíèþ. Ëîìàíóþ ñîåäèíÿþùåå ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó ãðàôà ñ èñòîêîì, íàçîâåì ÷åì íàçîâåì? ñòîêîì?. Ïðèëåãàþùåå ê âåðøèíå ðåáðî íàçîâåì âûòåêàþùèì ðåáðîì. Íà ðàçâåðòêå ó êàæäîé òî÷êè çà èñêëþ÷åíèåì âåðøèí, ðîâíî äâà îáðàçà, îäèí åñòåñòâåííî îïðåäåëÿåòñÿ êàê ëåâûé, äðóãîé êàê ïðàâûé. Åñëè âåðøèíà íå èñòîê, òî ó íå¼ òàê æå ìîæíî çàäàòü ëåâûé è ïðàâûé îáðàç, âçÿâ ñîîòâåòñòâåííî îáðàçû âåðøèí íà ëåâîì è ïðàâîì îáðàçå âûòåêàþùåãî ðåáðà. Äëÿ êàæäîé ëåâîé èëè ïðàâîé òî÷êè îáðàçà ìîæíî çàäàòü íàïðàâëåíèå òå÷åíèÿ íàïðàâëåíèå, êóäà îòêëàäûâàåòñÿ âûòåêàþùåå ðåáðî. Íàçîâåì ïîòîêîì â òî÷êå X ∈ P , âåêòîð pX , ñîåäèíÿþùèé ëåâûé è ïðàâûé îáðàç ýòîé òî÷êè è ïîâåðíóòûé íà 90 ãðàäóñîâ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Òîãäà çàêîíîìåðíîñòü ñàìîïåðåñå÷åíèÿ, êîòîðóþ ìû îáíàðóæèëè, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: Òå÷åíèå è ïîòîê íå ìîãóò îáðàçîâûâàòü òóïîé óãîë. Èíà÷å âîçíèêàåò ñàìîïåðåñå÷åíèå. Íèæå ìû ñòðîãî äîêàæåì íåîáõîäèìûå â äàëüíåéøåì ôàêòû. Óòâåðæäåíèå Äëÿ äàííîãî ìíîãîãðàííèêà P îáîçíà÷èì ÷åðåç Pa = fa (P ), ãäå fa îòîáðàæåíèå ñæèìàþùåå âäîëü íåêîòîðîãî âåêòîðà e (äëÿ óäîáñòâà ýòî áóäåò íîðìàëü íåêîòîðîé ãðàíè F ìíîãîãðàííèêà P ) â a−1 ðàç. Îáîçíà÷èì ÷åðåç L ñåòü ðàçáèåíèÿ ïîëó÷àþùóþñÿ ïðè ïðîåêöèè P íà ïëîñêîñòü, 4 ïåðïåíäèêóëÿðíóþ âåêòîðó e. Îáðàç òî÷êè x ∈ P ïðè ýòîé ïðîåêöèè îáîçíà÷èì ÷åðåç xe . Ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó âåðøèíàìè ñåòêè ðàçáèåíèÿ L îáîçíà÷èì ÷åðåç r. Êîëè÷åñòâî âíóòðåííèõ âåðøèí P , à ñëåäîâàòåëüíî è L n. Äèàìåòð L d, äèàìåòð Pa da . Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé A, çàâèñÿùèé îò íà÷àëüíîãî P , ÷òî äëÿ ëþáûõ a < A, ìíîãîãðàííèê Pa áóäåò îáëàäàòü ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1. äëÿ ëþáîé ðàçâåðòêè ðàññòîÿíèå ìåæäó ðàçëè÷íûìè îáðàçàìè îäíîé òî÷êè íå ïðåâûøàåò dKcurv(Pa ), ãäå K íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. 2. Ëþáóþ ðàçâåðòêó R ìîæíî ñîâìåñòèòü ñ ïðîåêöèåé òàê, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîåêöèåé xe òî÷êè x è ëþáûì îáðàçîì x0 íå ïðåâûøàåò dKcurv(Pa ) << r. 3. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû v ìíîãîãðàííèêà P ñóùåñòâóåò ïðåäåë cv = lima→0 c curv(v ) Òàê æå äëÿ ëþáîé ïàðû òî÷åê v1 è v2 lima→0 curv(v1,a = cvv1 . 2,a ) curv(va ) . a2 2 4. Ïóñòü px ïîòîê, òî åñòü âåêòîð ìåæäó ëåâûì xL è ïðàâûì xR îáðàçîì íåêîòîðûé âåðøèíû x ∈ G â ðàçâåðòêå R, ïîâåðíóòûé íà 90 ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Òîãäà äëÿ îäíîñâÿçíîé ðàçâåðòêè px = X ve xe curv(va ) + o(curv(Pa )2 d), (1) ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîèñõîäèò ïî âñåì âåðøèíàì, âûøå ïî òå÷åíèþ x. 5. äëÿ íåîäíîñâÿçíîé. äîêàçàòåëüñòâî ... Ñàìîïåðåñå÷åíèå êîòîðîå ïðîèçîøëî â ñëó÷àå îïèñàííîãî âûøå óñëîâèÿ íàçîâåì ëîêàëüíûì ñàìîïåðåñåñ÷åíèåì. Îïðåäåëåíèå Óñòîé÷èâîñòüþ ëîêàëüíîãî ñàìîïåðåñå÷åíèÿ íàçîâåì ìèíèìàëüíóþ äëèíó âåêòîðà, ïîñëå äîáàâëåíèÿ êîòîðîãî ê îöåíêå ïîòîêà 1 ïîëó÷àåòñÿ âåêòîð äëÿ êîòîðîãî óñëîâèå ñàìîïåðåñå÷åíèÿ íå âûïîëíÿåòñÿ. Óòâåðæäåíèå Äëÿ ìíîãîãðàííèêà ñ ãðàíèöåé P c äèàìåòðîì d è êðèâèçíîé α äëÿ ëþáîé ðàçâåðòêè ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðîé îáðàçîâ íåêîòîðîé âåðøèíû íå ïðåâûøàåò ... Óòâåðæäåíèå Äëÿ ìíîãîãðàííèêà ñ ãðàíèöåé P ñ äèàìåòðîì d è äâîéñòâåííûì äèàìåòðîì d0 (ìàêñèìàëüíûì óãëîì ìåæäó íîðìàëÿìè ãðàíåé) ëþáóþ ðàçâåðòêó ìîæíî íàëîæèòü íà ïðîåêöèþ ìíîãîãðàííèöà, òàê ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè X ∈ P ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîåêöèåé p(X) è ëþáûì îáðàçîì X 0 íå ïðåâûøàåò ... Óòâåðæäåíèå Ïîòîê â òî÷êå X ðàâåí ñóììå âåêòîðîâ curv(V )V X , ïî âñåì âåðøèíàì V âûøå ïî òå÷åíèþ X , ñ òî÷íîñòüþ äî .... Îïðåäåëåíèå 5  ðàçâåðòêå ñ äàííûì ãðàôîì ðàçðåçàíèé G, âîçíèêàåò ñàìîïåðåñå÷åíèå, åñëè â íåêîòîðîé âåðøèíå v óãîë ìåæäó ïîòîêîì è íàïðàâëåíèåì òå÷åíèÿ ïðåâûøàåò π/2+curv(Pa ) è íå ïðåâûøàåò π−curv(Pa )−arctan(Kdcurv(Pa )/r) ??? . Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò íàì ïðåäñòàâëÿòü ìíîãîãðàííóþ øàïêó, êàê ñåòêó ðàçáèåíèÿ íà âûïóêëûå ìíîãîóãîëüíèêè ñ çàäàííûìè äëÿ êàæäîé âåðøèíîé ÷èñëàìè - êðèâèçíàìè, òî÷íåå îòíîñèòåëüíûìè êðèâèçíàìè ïðåäåëàìè cv . Òàê æå ó íàñ îïðåäåëåí îòíîñèòåëüíûé ïîòîê êàê ïðåäåë ñîîòíîøåíèÿ ïîòîêà ê êâàäðàòó a. Îòíîñèòåëüíûé ïîòîê òàê æå âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îòíîñèòåëüíóþ êðèâèçíó X px = ve xe cv (2) Óòâåðæäåíèå À óñëîâèå ñàìîïåðåñå÷åíèÿ - óãîë ìåæäó ïîòîêîì è íàïðàâëåíèåì òå÷åíèÿ ïðåâûøàåò π/2. Êîãäà ýòî íå áóäåò âûçûâàòü íåîäíîçíà÷íîñòè, ãîâîðÿ î ñåòêå ðàçáèåíèÿ ìû áóäåì ãîâîðèòü êðèâèçíà è ïîòîê, îïóñêàÿ ñëîâî îòíîñèòåëüíûé. Êàê âèäíî, ïðîñëåæèâàþòñÿ âïîëíå îïðåäåëåííûå ïðàâèëà ïðîâåäåíèÿ ïðàâèëüíûõ ðàçðåçîâ. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà êðèâèçíà â íåêîòîðîé âåðøèíå V ìíîãî áîëüøå ñóììû êðèâèçí âñåõ îñòàëüíûõ âåðøèí. Òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êå íèæå V ïî òå÷åíèþ, âåêòîð ïîòîêà ñîâïàäàåò ñ V X , à òîãäà ïðè äâèæåíèè âíèç ïî òå÷åíèþ îò V äî èñòîêà, ðàññòîÿíèå ìîíîòîííî íå óáûâàåò. Ìîæíî ñîçäàòü òàêóþ ñåòêó ðàçáèåíèÿ, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ñòîêà èç V ó íàñ áóäåò î÷åíü ìàëî ñâîáîäû. Ïåðâûé øàã ìîæåò áûòü ëþáûì, à âîò äàëüøå âîçìîæíûå íàïðàâëåíèÿ ïðîäâèæåíèÿ îãðàíè÷åíû óãëîì 1800 .  ñèëó âûïóêëîñòè â òàêîì óãëå îáÿçàòåëüíî íàéäåòñÿ îäíî ðåáðî, íî äâóì áûòü óæå íå îáÿçàòåëüíî. Íà ðèñóíêå 4 ïîêàçàí ïðèìåð, â êîòîðîì ñòîê êðîìå ïåðâîãî ðåáðà çàäàí îäíîçíà÷íî. Óòâåðæäåíèå Êîíñòðóêöèÿ ñïèðàëåâèäíîé ãàëàêòèêè ñ ÷åðíîé äûðîé ïî ñåðåäèíå. 1. Ýòà êîíñòðóêöèÿ ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ ýëåìåíòîâ: Öåíòðàëüíàÿ âåðøèíà O ñ îòíîñèòåëüíîé êðèâèçíîé 1. Ñóììàðíàÿ îòíîñèòåëüíàÿ êðèâèçíà âñåõ âåðøèí êðîìå O c. Ðàñïðåäåëåíèå ýòèõ êðèâèçí íàì íå âàæíî. Îñòàëüíûå âåðøèíû vi,j ðàçáèòû íà K ñëîåâ ïî N øòóê â êàæäîì. Ïåðâûé èíäåêñ íîìåð ñëîÿ, âòîðîé - íîìåð âåðøèíû â êîíêðåòíîì ñëîå. Äëÿ íåêîòîðûõ çàäàííûõ êîíñòàíò r, q1 , q2 . Êîîðäèíàòà êàæäîé âåðøèíû îïðåäåëÿåòñÿ ðàäèóñ âåêòîðîì, ãäå r(vi,j = r ∗ q1i−1 , à φ(vi,j ) = 2πj + q 2 i. N Òàêèì îáðàçîì, âñÿ êîíñòðóêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñïèðàëü c N ðóêàâàìè, â êàæäîì èç êîòîðûõ K âåðøèí. 2. Ðåáðà â ýòîé ñåòêå áóäóò ñîñòîÿòü èç òðåõ ãðóïï: êîëüöåâûå ñîåäèíÿþùèå âñå ñîñåäíèå â ñëîå âåðøèíû ri,j è ri,j+1 ; ñïèðàëüíûå ñîåäèíÿþùèå âñå ñîñåäíèå â îäíîì ðóêàâå âåðøèíû ri,j è ri+1,j à òàê 6 æå âåðøèíó O ñ êàæäîé âåðøèíîé ïåðâîãî ñëîÿ; ïðîòèâîñïèðàëüíûå ñîåäèíÿþùèå êàæäóþ âåðøèíó ri,j ñ âåðøèíîé ri+1,j−1 (ðèñ galaxy1). Ðàçëè÷íûå êîëüöà íå äîëæíû ïåðåñåêàòüñÿ, äëÿ ýòîãî cos(π/N − q2 )q1−1 > 1 3. Òîãäà ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ íà N, K, c, r, q1 , q2 ãðàô ðàçðåçîâ áóäåò îáÿçàòåëüíî ñîäåðæàòü îäèí èç ðóêàâîâ (ðèñ. galaxy2). Óñëîâèÿ: N > 10; q2 < π/2N ; 1 < q1 < 1 + π 2 /2N 2 ; c < π/N ; c < (π 2 /N 2 )/4q1K . 4. Âî ïåðâûõ, ïðè çàäàííûõ óñëîâèÿõ cos(π/N − q2 )q1 < q1 cos(π/2N ) < (1 + π 2 /2N 2 )(1 − π 2 /4N 2 ) < 1. Òî åñòü çàäàííàÿ ñåòêà ðàçáèåíèÿ êîððåêòíà. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñòîê èç âåðøèíû O.  ñèëó ñèììåòðè÷íîñòè ïåðâîå ðåáðî ñòîêà ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî, íàïðèìåð Or1,1 . Äàëåå ñòîê ìîæåò ïîéòè ïî îäíîìó èç òðåõ ñëåäóþùèõ ðåáåð: êîëüöåâûì r1,1 r1,2 èëè r1,1 r1,N , ñïèðàëüíîìó r1,1 r2,1 èëè ïðîòèâîñïèðàëüíîìó r1,1 r2,N . P Âåêòîð ïîòîêà ðàâåí p = pO + ci,j ri,j r1,1 , ãäå pO = (sin(2π/N, cos(2/pi/N ) ïîòîê èç âåðøèíû O, à ñóììèðîâàíèå ïðîèñõîäèò ïî âñåì âåðøèíàì âûøå ïî òå÷åíèþ. Âòîðóþ ÷àñòü ñóììû ìû ìîæåì îöåíèòü ñâåðõó âåëè÷èíîé c2rq1K−1 . 5. Óãîë ìåæäó pO è êîëüöåâûì âåêòîðîì ðàâåí π/2 + π/N . Çíà÷èò åñëè òå÷åíèå ïðîõîäèò ïî ýòèì ðåáðàì, òî îáÿçàòåëüíî ïðîèñõîäèò ñàìîïåðåñå÷åíèå. Óñòîé÷èâîñòü ïîòîêà pO ïî êîëüöåâûì âåêòîðàì ñîñòàâëÿåò r ∗ sin(π/N ) > r/2N . Ðàññìîòðèì àíòèñïèðàëüíîå ðåáðî. Äëèíà Or2,N = rq1 , óãîë 6 r2,N r1,1 r2,1 = 2π/N − q2 . Ðàññòîÿíèå îò O äî ïðîåêöèè r2,N íà ïðÿìóþ Or1,1 ðàâíî rq1 cos(2π/N − q2 ). cos(2π/N − q2 ) < cos(3π/2N ) < 1 − π 2 /N 2 , rq1 (1 − π 2 /N 2 ) < r(1 + π 2 /2N 2 )(1 − π 2 /N 2 ) < r(1 − π 2 /2N 2 )r. 0 Çíà÷èò ýòà òî÷êà r2,N ëåæèò âíóòðè îòðåçêà, òîãäà óãîë ìåæäó ïîòîêîì è àíòèñïèðàëüíûì ðåáðîì áîëüøå π/2 (ðèñ. galaxy3). 0 Óñòîé÷èâîñòü ñàìîïåðåñå÷åíèÿ ïî ýòîìó ðåáðó ðàâíà ðàññòîÿíèþ r2,N r1,1 ÷òî 2 2 áîëüøå rπ /2N . Ìèíèìàëüíàÿ óñòîé÷èâîñòü ðàâíà rπ 2 /2N 2 . 2crq1K−1 < rπ 2 /4N 2 . Òàêèì îáðàçîì óñòîé÷èâîñòü pO îêàçàëîñü äîñòàòî÷íîé è ïîòîê â òî÷êå r1,1 îêàçûâàåòñÿ ïðîòèâ òå÷åíèÿ,Þ â íå çàâèñèìîñòè îò òîãî êàê óñòðîåí ãðàô ðàçðåçàíèÿ G. 7 Òàêèì îáðàçîì åäèíñòâåííûé âàðèàíò, ïî êîòîðîìó ìîæíî äâèãàòüñÿ ýòî ñïèðàëüíîå ðåáðî. Íà âñåõ ïîñëåäóþùèé ðåáðàõ îöåíêà îñòàåòñÿ òà æå. Òàêèì îáðàçîì ñòîê ïðîäîëæàåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì - ïî ñïèðàëè (ðèñ. galaxy4) 6. Èç óñëîâèé íà ïàðàìåòðû âèäíî, ÷òî ìû ìîæåì ïîäîáðàòü ñîîòâåòñòâóþùèå c, q1 , q2 äëÿ ïðîèçâîëüíûõ N, K, r. Ïðè÷åì q1 íå çàâèñèò îò K . Ïîòîìó ìû ìîæåì âûáðàòü òàêîå K , ÷òîáû q1 K áûëî ëþáûì íàïåðåä çàäàííûì çíà÷åíèåì. Òî åñòü ðàçðåç ïîâîðà÷èâàëñÿ íà ëþáîé çàäàííûé óãîë, äåëàÿ ëþáîå íàïåðåä çàäàííîå êîëè÷åñòâî ïîëíûõ îáîðîòîâ. Îòìåòèì âàæíûé ìîìåíò, ÷òî ìû âñåãî ëèøü ïîñòðîèëè ñåòü, è åñëè äëÿ òàêîé ñåòè ñóùåñòâóåò ìíîãîãðàííèê P , ïðîåêöèÿ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ ýòîé ñåòüþ è ñîîòíîøåíèå êðèâèçí â ïðåäåëå ïîä÷èíÿåòñÿ çàäàííûì óñëîâèÿì, òî òîãäà íà÷èíàÿ ñ êàêîãî òî a < A ó ìíîãîãðàííèêà Pa íå áóäåò ñóùåñòâîâàòü ñâÿçíîé ðàçâåðòêè áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé. Òàêèì îáðàçîì âîçíèêàåò âîïðîñ, êîãäà äëÿ çàäàííîé ñåòè L è îòíîñèòåëüíûì êðèâèçíàì cv ñóùåñòâóåò Pa , è êàê åãî ïîñòðîèòü. Ðàññìîòðèì ñôåðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ìíîãðàííèêà Pa . Ïëîùàäü îáëàñòè ñîîòâåòñòâóþùåé âåðøèíå va ðàâíà êðèâèçíå ýòîé âåðøèíû. Ðàññìîòðèì òàê æå ïëîñêîå èçîáðàæåíèå, ïðîåêöèþ ñôåðè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ íà ïëîñêîñòü, êàñàþùóþñÿ åäèíè÷íóþ ñôåðó â òî÷êå e. Ïëîñêîå èçîáðàæåíèå ïðè óìåíüøåíèè a óìåíüøàåòñÿ ãîìîòåòè÷íî è ïðîïîðöèîíàëüíî a. Äåéñòâèòåëüíî åñëè äëÿ íåêîòîðîé ãðàíè F íîðìàëü ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê nF = v1 + v2 , ãäå hv1 , v2 i = 0, è v1 k e, òî íîðìàëü ê ãðàíè Fa êîëëèíåàðíà v1 + av2 .  ïðåäåëå ñôåðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ñòðåìèòñÿ ê ïëîñêîìó è ïîýòîìó ñîîòíîøåíèå ïðåäåëîâ êðèâèçí äâóõ âåðøèí ðàâíî ñîîòíîøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïëîùàäåé â ïëîñêîì èçîáðàæåíèè. Êðîìå ýòîãî ïëîñêîå èçîáðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äóàëüíûé ãðàô ñåòè L. Ïîä äóàëüíîñòüþ ìû ïîíèìàåì âçàèìîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå âåðøèíû - ãðàíè, ãðàíè âåðøèíû, ðåáðà ðåáðà, çà èñêëþ÷åíèåì ãðàíè÷íûõ âåðøèí â L. Ïðè ýòîì ðåáðî â L ïåðïåíäèêóëÿðíî ñîîòâåòñòâóþùåìó ðåáðó â L0 . Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû äëÿ ñåòè ðàçáèåíèÿ è çàäàííûõ îòíîñèòåëüíûõ êðèâèçí ñóùåñòâîâàëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Pa , íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë äóàëüíûé ãðàô L0 , ñîîòíîøåíèå ïëîùàäåé â êîòîðîì ñîâïàäàåò ñ ñîîòíîøåíèåì îòíîñèòåëüíûõ êðèâèçí. Ïî ñóùåñòâóþùèì L è L0 ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîãîãðàííèê ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîð e = z , à ñåòü ðàçáèåíèÿ íàõîäÿùåéñÿ íà ïëîñêîñòè OXY . Çàäàäèì ìíîãîãðàííèê Pa êàê ôóíêöèþ âûñîòû h íàä ñåòüþ ðàçáèåíèÿ L. Äëÿ êàæäîé òî÷êè x ∈ L îïðåäåëåíà äóàëüíàÿ åé x0 ∈ L0 . Ïóñòü ãðàäèåíò ∇h(x) ðàâåí ax0 . 8 ∇h(x) êîíñòàíòà íà êàæäîì ìíîãîóãîëüíèêå Pi ∈ L, îòîáðàæàþùåìñÿ â îäíó òî÷êó v i ∈ L0 . Âäîëü êàæäîãî ðåáðà r ∈ E h0 ïåðâîîáðàçíàÿ h îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü x1 , x2 ∈ r, à ðåáêî r îáùå ðåáðî ìíîãîóãîëüíèêîâ P1 è P2 äóàëüíûõ âåðøèíàì v1 , v2 ∈ L0 , ñîåäèíÿþùèõñÿ äóàëüíûì ðåáðîì r0 hx2 −x1 , v1 −v2 i = 0, òàê êàê r è r0 ïåðïåíäèêóëÿðíû. Òîãäà hx2 −x1 , av1i = hx2 x1 , av2i, çíà÷èò îïðåäåëåíèå h êàê ïåðâîîáðàçíîé ∇h îêàçûâàåòñÿ îäíîçíà÷íûì.  ñèëó òîãî, ÷òî Pa îêàçàëñÿ ïîñòðîåííûì, óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ L0 îêàçûâàåòñÿ è äîñòàòî÷íûì. Ïîïðîáóåì ïîäîáðàòü ñîîòâåòñòâóþùèé äâîéñòâåííûé ãðàô L0 äëÿ ñïèðàëüíîé ãàëàêòèêè(ðèñ. galaxy5). Äëÿ íà÷àëà, íåîáõîäèìûå ïàðàìåòðû ãðàôà L: p âû÷èñëèì íåêîòîðûå i−1 p i−1 i 2 2 − 2rq ri,j ri+1,j = (rq1i−1 )2 + (rq1i )p rq cos(q ) = rq 1 + q 2 1 1 1 1 − 2q1 sin(q2 ); àíàëîãè÷íî, ri,j ri+1,j−1 = rq1i−1 1 + q12 − 2q1 sin(2Π/N − q2 ); 6 ri,j+1 ri,j ri+1,j = 6 Ori,j ri+1,j − (π/2 − π/N ) = (π − arcsin( π/2 + π/N − q1ri,j ri,j+1 )) sin(q2 ) − (π/2 − π/N ) = q1ri,j ri,j+1 arcsin( sin(q )); 2) q1r r i,j i,j+1 ri,j−1 ri,j ri+1,j−1 = π/2 + π/N − arcsin( sin(2π/N )); −q2 ) Ìåæäó äâóìÿ êîëüöàìè âåðøèí â L áûëî 2N òðåóãîëüíèêîâ, ïîýòîìó â L0 â îäíîì 0 00 êîëüöå áóäåò äâà òèïà âåðøèí vi,j è vi,j . Ðåáðà, êîòîðûå èõ ñîåäèíÿþò: r1, r1,j+1 ; ri,j ri+1,j ; ri,j ri+1,j ; ri,j ri+1,j−1 . Ìíîãîóãîëüíèêè, íà êîòîðûå ðàçáèâàåòñÿ L0 ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé: 1 N -óãîëüíèê, ñîîòâåòñòâóþùèé òî÷êå O; îäíî êîëüöî èç N 5-óãîëüíèêîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàì v1,j ; K − 1 ñëîé ïî N 6-óãîëüêîâ, ñîîòâåòñâóþùèõ òî÷êàì vi,j , i > 1. 0 0 Âûïèøåì òåïåðü êîîðäèíàòû òî÷åê v 0 , v 00 : r(vi,j ) = xj−1 , φ(vi,j ) = Π/2 + 2πj + q2 j , N 2πj 00 j−1 0 r(vi,j ) = q3 x , φ(vi,j ) = Π/2 + N + q2 j . Ãäå q3 ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð áîëüøèé 1, à Ïàðàìåòð x äîëæåí áûòü âûáðàí òàê, ÷òîáû 00 0 00 0 vi,j vi+1,j áûë ïåðïåíäèêóëÿðåí vi,j vi+1,j , à vi,j vi+1,j−1 áûë ïåðïåíäèêóëÿðåí vi,j vi+1,j−1 . 6 Ýòî äàåò íàì ñîîòíîøåíèå x = sin(6 ri,j−1 ri,j ri+1,j−1 ) sin(6 ri,j−1 ri,j ri+1,j−1 −(2π/N −q2 )) sin(6 ri,j+1 ri,j ri+1,j ) sin(6 ri,j+1 ri,j ri+1,j −q2 ) èëè x = Êàê âèäèì, íàì óäàëîñü ïîñòðîèòü äâîéñòâåííóþ ñåòü L0 , îäíàêî â íåé óæå æåñòêî çàäàíî ñîîòíîøåíèå ïëîùàäåé âíóòðåííåãî N -óãîëüíèêà, êî âñåé ñåòè. Òî åñòü íàø ïàðàìåòð c âåäåò ñåáÿ êàê 1 − xK , è íå ìîæåò áûòü àâòîìàòè÷åñêè ñâåäåí ê íóëþ. 9 Âèäíî, ÷òî ñâîáîäû òàì äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íà êàæäîì øàãå ÷óòü ÷óòü ïîâîðà÷èâàòü ñòîê, äåëàÿ åãî ñïèðàëåâèäíûì, ñ ëþáûì íàïåðåä çàäàííûì ÷èñëîì îáîðîòîâ. Ýòî äàåò ïðèìåð òîãî ñàìîãî óíèâåðñàëüíîãî êîíòðïðèìåðà, êîòîðûé íå äàâàë ñäåëàòü ïðîñòî "æàäíûé" àëãîðèòì. Äåéñòâèòåëüíî åñëè ìû íà÷íåì ðàçâîðà÷èâàòü èç íåêîòîðîé òî÷êè è ðàçðåç ïðîéäåò ÷åðåç âåðøèíó V , òî äàëüøå ðàçðåç çàäàåòñÿ äîñòàòî÷íî æåñòêî è äîëæåí ñäåëàòü íåñêîëüêî îáîðîòîâ âîêðóã V , íî òîãäà îí ïåðåñå÷åò óæå ñäåëàííûé ðàçðåç. Òàêèì îáðàçîì ðàçðåç çàâèñèò îò òåõ òî÷åê, â êîòîðûå îí ïîïàäåò â äàëüíåéøåì, ÷òî íå ïîçâîëÿåò ïðèäóìàòü íåêîòîðûé íåñëîæíûé àëãîðèòì. Ïîïûòêè êàê-òî çàäàòü íåêîòîðûé åñòåñòâåííûé ïîðÿäîê âåðøèí â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì ìîæíî ðàçâîðà÷èâàòü è íå ïðèäåòñÿ ïåðåñòðàèâàòü óæå ñäåëàííûå ðàçðåçû íè ê ÷åìó íå ïðèâåë. Õîòÿ, ïî ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ ýòî âîçìîæíî. Åñëè âñå óãëû îñòðûå - òî ìîæíî çàäàòü íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå è ðàçâîðà÷èâàòü âäîëü íåãî. Òîãäà ó íàñ âñåãäà ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü âåñòè ðàçðåç îòêëîíÿÿñü îò çàäàííîãî íàïðàâëåíèÿ íå áîëåå ÷åì íà 45 ãðàäóñîâ, ÷òî îáåñïå÷èâàåò îòñóòñòâèå çàöèêëèâàíèé ðàçðåçîâ. Ýòî ïîçâîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùóþ ãèïîòåçó. Ãèïîòåçà Âñå âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè ñ îñòðîóãîëüíûìè ãðàíÿìè èìååò íàòóðàëüíóþ ðàçâåðòêó. Îòìåòèâ ýòîò èíòåðåñíûé ìîìåíò, áóäåì äâèãàòüñÿ äàëüøå è ïîïðîáóåì âñå òàêè ðàçîáðàòüñÿ ñ îáùèì ñëó÷àåì. Íåóäà÷íûå ïîïûòêè, êàê-ëèáî óïîðÿäî÷èòü âåðøèíû ïðèâåëè ê ìûñëè, ÷òî, âîçìîæíî, ñóùåñòâóåò êîíòðïðèìåð, â êîòîðîì íåëüçÿ çàäàòü ãðàô ðàçáèåíèÿ áåç ñàìîïåðåñå÷åíèé. Äëÿ íà÷àëà óäàëèì òó ñâîáîäó êîòîðàÿ åùå îñòàâàëàñü â ñïèðàëåâèäíîé ãàëàêòèêå.  ñàìûé íà÷àëüíûé ýòàï ó íàñ áûëî íåñêîëüêî âàðèàíòîâ ñïèðàëè. Ìîæíî òàê ìîäèôèöèðîâàòü êîíñòðóêöèþ, ÷òî âñå ýòè âàðèàíòû ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ íà÷èíàþò ñîâïàäàòü. (ðèñ.) Òåïåðü ìîæíî ñîáðàòü ïðèìåð, ñîñòîÿùèé èç äâóõ ñïèðàëåâèäíûõ ãàëàêòèê, êîòîðûé óæå íå ðàçâîðà÷èâàåòñÿ. Ïðè ïîñòðîéêå ïðèìåðîâ ìû äîëæíû ó÷èòûâàòü, ÷òî íå êàæäîé ñåòêå ñ çàäàííûìè êðèâèçíàìè ñîîòâåòñòâóåò ìíîãîãðàííèê. 10 Bibliography [1] À.Ä.Àëåêñàíäðîâ, Âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè, Ì.-Ë., (1949). 11
