первая

ÃÅÎÌÅÒÐÈß ÏÀÐÍÛÕ ÑÐÀÂÍÅÍÈÉ
À. À. Çàñëàâñêèé
Ðàññìàòðèâàþòñÿ ïàðíûå ñðàâíåíèÿ n îáúåêòîâ ñ íè÷üèìè. Êàæäîé ìàòðèöå ïàðíûõ ñðàâíåíèé ñòàâèòñÿ
â ñîîòâåòñòâèå òî÷êà â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîëó÷åííàÿ êîíôèãóðàöèÿ òî÷åê îáðàáàòûâàåòñÿ ìåòîäàìè
âûïóêëîãî àíàëèçà è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
1. Ââåäåíèå
Ïàðíûå ñðàâíåíèÿ [1] ÿâëÿþòñÿ îäíèì èç âèäîâ ýêñïåðòíûõ îöåíîê. Ïðèìåíÿòüñÿ îíè íà÷àëè ðàíüøå
îñòàëüíûõ âèäîâ. Ñîîòâåòñòâåííî, â íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàçðàáîòàíî ìíîæåñòâî àëãîðèòìîâ àíàëèçà
ïàðíûõ ñðàâíåíèé. Îäíàêî, ïî ïðèìåíÿåìîìó ìàòåìàòè÷åñêîìó àïïàðàòó ýòè ìåòîäû äîâîëüíî áëèçêè
äðóã ê äðóãó, è íå èñêëþ÷åíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ äðóãèõ îáëàñòåé ìàòåìàòèêè ìîæåò ïðèâåñòè
ê èíòåðåñíûì ðåçóëüòàòàì.  äàííîé ðàáîòå íàìå÷àåòñÿ îäèí èç âîçìîæíûõ ïóòåé èñïîëüçîâàíèÿ äëÿ
îáðàáîòêè ïàðíûõ ñðàâíåíèé ìåòîäîâ âûïóêëîãî àíàëèçà è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïàðíûå ñðàâíåíèÿ n îáúåêòîâ ñ íè÷üèìè, ïðè êîòîðûõ ýêñïåðòó
ïðåäúÿâëÿþòñÿ âñå âîçìîæíûå ïàðû îáúåêòîâ, è ýêñïåðò ëèáî ñîîáùàåò, êàêîé èç íèõ
ïðåäïî÷òèòåëüíåå, ëèáî îáúÿâëÿåò îáúåêòû ðàâíîöåííûìè. Ðåçóëüòàòû ñðàâíåíèé áóäåì çàïèñûâàòü â
ìàòðèöó X (áåç äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ), òàê ÷òî, åñëè ýêñïåðò ïðåäïî÷åë i-é îáúåêò j -ìó, òî xij = 1
è xji = 0, à åñëè ýòè îáúåêòû ðàâíîöåííû, òî xij = xji = 1/2. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáûõ ðàçëè÷íûõ
P
i è j xij + xji = 1. Äëÿ êàæäîãî îáúåêòà íàéäåì ñóììó íàáðàííûõ èì î÷êîâ: si = j6=i xij . Áóäåì
ñ÷èòàòü îáúåêòû óïîðÿäî÷åííûìè ïî âîçðàñòàíèþ ýòèõ ñóìì, ò.å. s1 ≤ · · · ≤ sn .
Âîîáùå ãîâîðÿ, îòâåòû ýêñïåðòà ìîãóò ñîäåðæàòü ïðîòèâîðå÷èÿ, ò.å. â ìàòðèöå X ìîãóò áûòü
ïîäìàòðèöû 3 × 3 îäíîãî èç

−

 0

1
ñëåäóþùèõ âèäîâ:
 
 
1 0
−
1 1/2
−
 
 


− 1 
1 
, 0 −
 ,  1/2
0 −
1/2 0
−
0

1/2
1

1/2 
.
1/2 −
−
Åñëè X íå ñîäåðæèò òàêèõ ïîäìàòðèö, òî îáúåêòû ìîæíî ðàçáèòü íà íåñêîëüêî êëàññîâ, ïðè÷åì
ýêñïåðò îáúåêòû èç îäíîãî êëàññà ñ÷èòàåò ðàâíîöåííûìè, à îáúåêò èç êëàññà ñ áîëüøèì íîìåðîì
ïðåäïî÷èòàåò îáúåêòó èç êëàññà ñ ìåíüøèì íîìåðîì. Òàêèå ìàòðèöû áóäåì íàçûâàòü òðàíçèòèâíûìè.
Âîçüìåì òåïåðü â n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå äëÿ êàæäîé ìàòðèöû X òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (s1 , . . . , sn )
è ïîñòðîèì âûïóêëóþ îáîëî÷êó M ýòèõ òî÷åê. Íàøà öåëü èññëåäîâàíèå ñòðóêòóðû ìíîæåñòâà M .
2. Ñâîéñòâà ìíîæåñòâà M
Ýòîò ðàçäåë ñòàòüè ïîñâÿùåí, ïðåæäå âñåãî, äîêàçàòåëüñòâó ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ, îïèñûâàþùåãî
ñòðîåíèå ìíîæåñòâà M .
Óòâåðæäåíèå. M ÿâëÿåòñÿ (n − 1)-ìåðíûì ìíîãîãðàííèêîì, êîìáèíàòîðíî ýêâèâàëåíòíûì
ñîîòâåòñòâóþùåìó êóáó, à åãî âåðøèíû ñîîòâåòñòâóþò òðàíçèòèâíûì ìàòðèöàì.
1
Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî s1 , . . . , sn óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì:
s1 + · · · + sn
=
s1 + · · · + sk
≥
Äåéñòâèòåëüíî, s1 +· · ·+sn =
k(k−1)
,
2
P
i6=j
xij =
n(n−1)
,
2
k(k−1)
,
2
P
(1)
k = 1, . . . , n − 1.
i<j (xij +xji )
=
n(n−1)
,
2
s1 +· · ·+sk ≥
P
i<j≤k (xij +xji )
=
ïðè÷åì, âî âòîðîì ñîîòíîøåíèè ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà xij = 0 äëÿ
âñåõ i ≤ k , j > k , ò.å. êîãäà ïðè âñåõ ñðàâíåíèÿõ îáúåêòà ñ íîìåðîì, ìåíüøèì k , è îáúåêòà ñ íîìåðîì,
áîëüøèì k , ýêñïåðò ïðåäïî÷èòàåò îáúåêò ñ áîëüøèì íîìåðîì. Èç ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî
âñå îòìå÷åííûå òî÷êè ëåæàò â (n − 1)-ìåðíîé ãèïåðïëîñêîñòè.
Çàáóäåì âðåìåííî, ÷òî si ïîëóöåëûå, è ðàññìîòðèì óñëîâèÿ (1) è si ≤ si+1 . Îíè îïðåäåëÿþò
âûïóêëûé ìíîãîãðàííèê, â âåðøèíàõ êîòîðîãî, ïî êðàéíåé ìåðå, n − 1 èç ðàñìàòðèâàåìûõ óñëîâèé
îáðàùàþòñÿ â ðàâåíñòâà. Ïðè ýòîì, åñëè s1 + · · · + sk =
k(k−1)
,
2
òî xij = 0, xji = 1 äëÿ âñåõ i ≤ k , j > k .
Ñëåäîâàòåëüíî, sk ≤ k −1 è sk+1 ≥ k , ò.å. â êàæäîé èç n−1 ïàð óñëîâèé sk ≤ sk+1 è s1 +· · ·+sk ≥
k(k−1)
2
â ðàâåíñòâî îáðàùàåòñÿ ðîâíî îäíî. Âûáðàòü ýòî óñëîâèå ìîæíî 2n−1 ñïîñîáîâ, êàæäîìó èç êîòîðûõ
ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà âèäà s1 = · · · = sk1 =
· · · = sn = k1 + · · · + kl +
n−1−k1 −···−kl
,
2
k1 −1
2 ,
sk1 +1 = · · · = sk1 +k2 = k1 +
k2 −1
2 , . . . , sk1 +···+kl +1
=
à êàæäîé òàêîé òî÷êå ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå
òðàíçèòèâíóþ ìàòðèöó, ïîðîæäàþùóþ ðàçáèåíèå îáúåêòîâ íà l + 1 êëàññ ÷èñëåííîñòüþ k1 , . . . , kl è
(n − k1 − · · · − kl ).
Åñòåñòâåííûì îáðàçîì èíòåðïðåòèðóþòñÿ òàêæå ðåáðà ìíîãîãðàííèêà M . Äâå âåðøèíû ñîåäèíåíû
ðåáðîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäíî èç ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ðàçáèåíèé ïîëó÷àåòñÿ èç äðóãîãî
"ñêëåèâàíèåì"äâóõ ñîñåäíèõ êëàññîâ â îäèí.
Îïèøåì òåïåðü íåêîòîðûå äðóãèå ñâîéñòâà M .
1. M èìååò ]n/2[-ìåðíóþ ïëîñêîñòü ñèììåòðèè, çàäàâàåìóþ óðàâíåíèÿìè s1 + sn = s2 + sn−1 = · · · =
n − 1. Äåéñòâèòåëüíî, ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ýòîé ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò çàìåíå ðåçóëüòàòîâ âñåõ
ñðàâíåíèé íà ïðîòèâîïîëîæíûå.
n−1
2. M âïèñàí â ñôåðó, äèàìåòðîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê ìåæäó òî÷êàìè ( n−1
2 ,..., 2 ) è
(0, 1, · · · , n − 1). Îáå ýòè òî÷êè ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè M , ïåðâàÿ ñîîòâåòñòâóåò ðàâíîöåííîñòè âñåõ
îáúåêòîâ, âòîðàÿ èõ ñòðîãîìó óïîðÿäî÷åíèþ. Öåíòð ñôåðû O çàäàåòñÿ óñëîâèÿìè s2 − s1 = s3 − s2 =
· · · = sn − sn−1 = 1/2. Ïðè íå÷åòíîì n êîîðäèíàòû öåíòðà îêàçûâàþòñÿ ïîëóöåëûìè è, ñëåäîâàòåëüíî,
ñóùåñòâóåò ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìàòðèöà ïàðíûõ ñðàâíåíèé. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ïîëó÷àåòñÿ
íåïîñðåäñòâåííûì âû÷èñëåíèåì ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè O äî ëþáîé âåðøèíû M .
3
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî îáúåì ìíîãîãðàííèêà M çàäàåòñÿ êðàñèâîé ôîðìóëîé V (M ) = nn− 2 . Ïîëó÷èòü
åå ìîæíî, âûïèñàâ ðåêóððåíòíîå ñîîòíîøåíèå, âûðàæàþùåå îáúåì ìíîãîãðàííèêà äàííîé ðàçìåðíîñòè
÷åðåç îáúåìû ìíîãîãðàííèêîâ ìåíüøèõ ðàçìåðíîñòåé. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé îíî ïðèâîäèòñÿ ê
ñîîòíîøåíèþ, ñâÿçûâàþùåìó êîëè÷åñòâà äåðåâüåâ ñ ðàçëè÷íûìè êîëè÷åñòâàìè ïîìå÷åííûõ âåðøèí.
Ïîñêîëüêó ÷èñëî òàêèõ äåðåâüåâ ñ n âåðøèíàìè ðàâíî nn−2 , äëÿ îáúåìà M ïîëó÷àåòñÿ ïðèâåäåííàÿ
ôîðìóëà. Êàêèì îáðàçîì îáúåì ìíîãîãðàííèêà îêàçûâàåòñÿ ñâÿçàí ñ ÷èñëîì äåðåâüåâ, ìíå íåèçâåñòíî.
2
3. Âîçìîæíûå ïðèìåíåíèÿ ñâîéñòâ M
 ïðàêòè÷åñêèõ ýêñïåðòèçàõ, êàê ïðàâèëî, îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ äàþò íåñêîëüêî ýêñïåðòîâ,
ïîñëå ÷åãî èõ ìíåíèÿ àãðåãèðóþòñÿ. Ïîëó÷åíèå àãðåãèðîâàííîãî ìíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé
ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷åé, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðîé ðàçðàáîòàíî ìíîæåñòâî ìåòîäîâ. Áîëüøèíñòâî ýòèõ
ìåòîäîâ îñíîâàíî íà ââåäåíèè íåêîòîðîé ìåðû áëèçîñòè ìåæäó îòâåòàìè ýêñïåðòîâ è ìèíèìèçàöèè
ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ ýòîé ìåðû ìåæäó èòîãîâîé îöåíêîé è îòâåòàìè ýêñïåðòîâ.  ÷àñòíîñòè, â ìåòîäå
ïàðíûõ ñðàâíåíèé ÷àùå âñåãî ïðèìåíÿåòñÿ ìåòðèêà Êåìåíè [2]. Ïðè åå èñïîëüçîâàíèè, åñëè îòâåòàì
e îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëó
ýêñïåðòîâ ñîîòâåòñòâóþò ìàòðèöû X 1 , . . . , X N , òî èòîãîâàÿ ìàòðèöà X
áîëüøèíñòâà:



 1
x
eij =
1
2


 0
PN
l
l=1 xij
PN l
l=1 xij
PN l
l=1 xij
>
=
<
PN
l=1
xlji
l=1
xlji
l=1
xlji .
PN
PN
e ìîæåò îêàçàòüñÿ íåòðàíçèòèâíîé äàæå ïðè òðàíçèòèâíûõ X 1 , . . . , X N .
Èçâåñòíî, ÷òî ìàòðèöà X
Ïîýòîìó, åñëè ðåçóëüòàò ýêñïåðòèçû äîëæåí áûòü òðàíçèòèâíûì, òî âîçíèêàåò çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ
e .  ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ â êà÷åñòâå ìåðû áëèçîñòè
òðàíçèòèâíîé ìàòðèöû, áëèæàéøåé ê X
ìåòðèêè Êåìåíè ýòà çàäà÷à îêàçûâàåòñÿ â âû÷èñëèòåëüíîì îòíîøåíèè âåñüìà ñëîæíîé [3]. Ïîýòîìó
ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïåðñïåêòèâíûì ñëåäóþùèé "ãåîìåòðè÷åñêèé"ïîäõîä.
e , è áóäåì èñêàòü áëèæàéøóþ ê P âåðøèíó
Ïîñòðîèì òî÷êó P ∈ M , ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòðèöå X
M . Íàäî ñêàçàòü, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîãîãðàííèêà ýòà çàäà÷à êðàéíå ñëîæíà. Íî, òàê êàê M
âïèñàí â ñôåðó, îíà äîïóñêàåò äîâîëüíî ïðîñòîå ðåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò,
â êîòîðîé O ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì, ñôåðà, îïèñàííàÿ âîêðóã M , èìååò åäèíè÷íûé ðàäèóñ, à êîîðäèíàòû
òî÷êè P ðàâíû (0, . . . , 0, y0 ), ãäå 0 < y0 < 1. Òîãäà äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ñôåðû X ñ êîîðäèíàòàìè
(y1 , . . . , yn èìååì
2
XP 2 = y12 + · · · + yn−1
+ (yn − y0 )2 = 1 − 2yn y0 + y02 ,
ò.å. ðàññòîÿíèå XP åñòü ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ yn . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî áëèæàéøåé ê P áóäåò
âåðøèíà, ïðîåêöèÿ êîòîðîé íà îñü OP ìàêñèìàëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ìàêñèìèçàöèè
ëèíåéíîé ôóíêöèè íà ìíîæåñòâå âåðøèí âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà M èëè, ÷òî òî æå ñàìîå íà
âñåì ìíîãîãðàííèêå. Òàêèì îáðàçîì, èòîãîâîå ìíåíèå ýêñïåðòîâ ìîæåò áûòü íàéäåíî, êàê ðåøåíèå
ñòàíäàðòíîé çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Ïîêà
íåÿñíî,
íàñêîëüêî
ñèëüíî
íàéäåííîå
ðåøåíèå
áóäåò
îòëè÷àòüñÿ
îò
ïîëó÷åííîãî
òðàäèöèîííûìè ìåòîäàìè ïîèñêà ìåäèàíû Êåìåíè. Ñêîðåå âñåãî, ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêîé
ñîãëàñîâàííîñòè èñõîäíûõ ýêñïåðòíûõ îöåíîê îòëè÷èå áóäåò íåâåëèêî, õîòÿ îêîí÷àòåëüíûé îòâåò íà
ýòîò âîïðîñ ìîæåò äàòü òîëüêî ñåðèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
4. Äàëüíåéøèå íàïðàâëåíèÿ èññëåäîâàíèé
Ðàçâèòèå ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíûì ïðè ðåøåíèè ñëåäóþùèõ òðàäèöèîííûõ
äëÿ àíàëèçà ïàðíûõ ñðàâíåíèé çàäà÷.
3
1.
Îïðåäåëåíèå
ñòåïåíè
ïðîòèâîðå÷èâîñòè
êàæäîãî
ýêñïåðòà.
Â
êà÷åñòâå
ïîêàçàòåëÿ
ïðîòèâîðå÷èâîñòè îáû÷íî áåðåòñÿ êîëè÷åñòâî íåòðàíçèòèâíûõ òðîåê. Äëÿ ñðàâíåíèé ñ íè÷üèìè
öåëåñîîáðàçíî ïðèïèñûâàòü òðîéêàì ðàçëè÷íîãî âèäà ðàçíûå âåñà [4,5]. Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ
âûÿñíåíèå ñâÿçè ìåæäó óðîâíåì íåòðàíçèòèâíîñòè ìàòðèöû è ïîëîæåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè â
ìíîãîãðàííèêå M .
2. Îöåíêà ñîãëàñîâàííîñòè ýêñïåðòîâ ìåæäó ñîáîé è âûäåëåíèå ïîäãðóïï ñîãëàñîâàííûõ ýêñïåðòîâ.
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ áëèçîñòè ýêñïåðòîâ äàñò íîâûå èíñòðóìåíòû äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷.
3. Â ðÿäå èññëåäîâàíèé ýêñïåðòó ïðè ñðàâíåíèè äâóõ îáúåêòîâ ïðåäëàãàëîñü íå òîëüêî
îòâåòèòü, êàêîé èç íèõ ïðåäïî÷òèòåëüíåå, íî è óêàçàòü ñòåïåíü ýòîãî ïðåäïî÷òåíèÿ. Â ýòîì
ñëó÷àå ýëåìåíòû ìàòðèöû X ìîãóò ïðèíèìàòü íå òðè, à áîëüøåå ÷èñëî çíà÷åíèé. Ïîñòðîåíèå è
ñîäåðæàòåëüíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáðàçîâ òàêèõ ìàòðèö ìîãëè áû ñòàòü ïîäòâåðæäåíèåì
ïåðñïåêòèâíîñòè ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
[1] Äýâèä Ã. Ìåòîä ïàðíûõ ñðàâíåíèé. Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1978.
[2] Êåìåíè Äæ., Ñíåëë Äæ. Êèáåðíåòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ì.: Ñîâåòñêîå ðàäèî, 1972.
[3] Ãèëüáóðä Ì. Ì. Îá ýâðèñòè÷åñêèõ ìåòîäàõ ïîñòðîåíèÿ ìåäèàíû â çàäà÷àõ ãðóïïîâîãî âûáîðà.
Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà, 1988, N 7, ñ.131-136.
[4] Êàçàíñêàÿ Ò. À. Ðàñïðîñòðàíåíèå êîýôôèöèåíòà Êåíäàëëà-Ñìèòà íà ïàðíûå ñðàâíåíèÿ ñî
ñâÿçÿìè.  êí.: Ýêñïåðòíûå îöåíêè â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ/ ÈÏÓ ÀÍ ÑÑÑÐ. Ì., 1982, ñ.42-50.
[5] Çàñëàâñêèé À. À. Î ëîãè÷íûõ è íåëîãè÷íûõ òóðíèðàõ. Êâàíò, 1997, N 5, ñ.11-13.
GEOMETRY OF PAIRED COMPARISONS
A.Zaslavsky
The paired comparisons with draws of n objects are considered. Each matrix of comparisons is in accordance with a point in Rn . Resulting conguration is treated by the methods of convex analysis and linear
programming.
4