«Моделирование обтекания тела сверхзвуковым потоком газа

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
Факультет Аэрофизики и Космических Исследований
Кафедра вычислительной математики
На правах рукописи
УДК 519.63
Мендель Михаил Александрович
«Моделирование обтекания тела сверхзвуковым потоком газа. Консервативная характеристическая схема сквозного счета с улавливанием разрывов»
Магистерская диссертация
Направление подготовки 010900 “Прикладные математика и физика”
Магистерская программа 511626 “Математическое и экспериментальное моделирование процессов в механике, гидродинамике и биомеханике”
Заведующий кафедрой
Холодов А.С.
/ _________________ /
Научный руководитель
Грудницкий В.Г.
/ ________________ /
Студент
Мендель М.А.
/ ________________ /
г. Москва
2013
Содержание
Содержание ...................................................................................................................................... 2
Введение ........................................................................................................................................... 3
1 Обзор литературы......................................................................................................................... 3
2 Постановка задачи........................................................................................................................ 5
3 Методика решения задачи ........................................................................................................... 5
3.1 Общая структура модели ...................................................................................................... 5
3.2 Численный метод................................................................................................................... 6
3.3 Методика проведения численных экспериментов ............................................................. 6
4 Уравнения модели ........................................................................................................................ 6
5 Нестационарное одномерное течение газа ................................................................................ 7
5.1
Тождественное
преобразование
нестационарных
законов
сохранения
к
консервативному характеристическому виду.................................................................................... 7
5.2 Консервативная характеристическая схема...................................................................... 12
5.3 Результаты численного эксперимента............................................................................... 14
5.4 Выводы ................................................................................................................................. 16
6 Плоское сверхзвуковое стационарное течение газа................................................................ 16
6.1 Тождественное преобразование стационарных законов сохранения............................. 16
6.2 Консервативная характеристическая схема...................................................................... 22
6.3 Результаты численного эксперимента ............................................................................ 23
6.4 Выводы ................................................................................................................................. 26
7 . Обтекание тела вращение гиперзвуковым потоком газа...................................................... 27
7.1 Численный алгоритм........................................................................................................... 27
7.2 Стационарное обтекание конуса гиперзвуковым потоком ............................................. 29
7.3 Стационарное гиперзвуковое обтекания вытянутого тела вращения ............................ 33
7.4 Выводы ................................................................................................................................. 38
8 Заключение.................................................................................................................................. 38
2
Введение
Данная работа относится к области численного моделирования задач газовой динамики.
В настоящее время существует тенденция к увеличению скоростей летательных аппаратов в
гиперзвуковую область. В связи с этим становится актуальной проблема разработки геометрий
корпусов, оптимизированных под большие числа Маха набегающих потоков. Для ее решения,
наравне с экспериментом используют численные методы. Из чего следует актуальность выполненной работы.
В работе представлена схема для моделирования струйных стационарных осесимметричных течений газа. Аналогичная схема для нестационарных одномерных течений была опубликована в [7]. Она относится к классу схем на подвижных сетках. Преимуществом данного алгоритма перед широко распространенными в настоящее время ENO, WENO и TVD схемами [3] является высокая локальность воспроизведение фронтов разрывов, и, связанная с этим, точность получаемой амплитуды разрывов. Кроме того, в отличие от большинства схем с выделением разрывов, подход прост в реализации, не требует априорной информации о расположении разрывов и
позволяет выделять и отслеживать разрывы, возникающие в процессе вычислений.
Численный алгоритм был предварительно апробирован на нестационарной одномерной и
стационарной двумерной задачах и показал хорошее согласование полученных результатов с
аналитическими решениями и альтернативными численными методами.
В работе получены теоретические результаты, заключающиеся в преобразовании стационарных законов сохранения в консервативную, характеристическую, квазилинейную форму (ХаКо форму). Этот подход был впервые предложен в работах [4]-[8] для нестационарных уравнений
газовой динамики. На основе ХаКо формы уравнений были установлены необходимые и достаточные условия устойчивости и монотонности численных схем, использующих дивергентную
форму законов сохранения.
Equation Section (Next)
1 Обзор литературы
Стремление получить высокоточные результаты при моделировании газодинамических течений привело к появлению большого количества численных схем с выделением разрывов. Согласно работе [3] наиболее распространённые подходы – это выделение разрывов на подвижных
3
сетках, выделение плавающих разрывов, рассмотрение разрыва как границы вычислительно области и использование подвижных сеток.
Рассмотрение разрыва как границы расчетной области является одним из первых методов
выделения разрывов для задач газовой динамики. Такой подход позволил получить высокоточные решения для задач обтекания тел сверхзвуковым потоком [12]. Здесь разрыв рассматривается
как поверхность, на которой подлежащие определению функции теряют непрерывность. Граничные условия, связывающие функции на скачке задаются соотношениями Гюгонио. Таким образом, для нахождения параметров течения между телом и разрывом решаются две связанные начально-краевые задачи. В настоящее время данных подход практически не используется из-за
сложности расчета течений с большим количеством разрывов.
Основная идея метода выделения плавающих разрывов [11] состоит в применении численных схем высокого порядка в областях, где решение является гладким и использовании метода
характеристик для выделения и отслеживания разрывов. Поскольку при этом производные не аппроксимируются через разрывы, то решение остается монотонным. Кроме того на разрывах
удовлетворяются соотношения Рэнкина-Гюгонио. Метод плавающих разрывов позволяет выделить все разрывы, присутствующие в вычислительной области, в том числе и появляющиеся из
монотонного решения, однако при этом процедура выделения сильно усложняется и требует
больших вычислительных затрат.
Метод выделения разрывов самоподстраивающимися сетками был впервые применен в работе [2]. В этом подходе расчетная область разбивается на ячейки, в каждой из которых выбирается точка таким образом, чтобы при усреднении параметров газа, приходящих с предыдущего
временного слоя, между ними “размазывание” волн распада было минимальным. При этом использовалось приближенное решение задачи о распаде разрыва методом Роу. Поскольку соотношения на одиночном разрыве по методу Роу выполняются точно, то при совпадении точки внутри отрезка с фронтом разрыва, он будет передаваться без размытия. Использование самоподстраивающихся сеток позволяет достичь высокой детальности решения, как на ударных волнах,
так и на волнах разрежения, однако данный алгоритм является чрезвычайно трудоемким и сложным с точки зрения реализации и может быть обобщен на многомерный случай только при введении дополнительных предположений о структуре течения [10].
В отличие от описанных выше методов, сравнительной простотой реализации и универсальностью обладает алгоритм выделения разрывов в подвижных сетках [13]. В этом подходе ис-
4
пользуется схема Годунова на сетке, устроенной таким образом, чтобы каждому сильному разрыву решения на каждом шаге расчета соответствовала граница дискретной ячейки. Это достигается перемещением границ ячеек со скоростями, соответствующих им разрывов. При этом скорости вычисляются из точного решения задачи о распаде разрыва на границах ячеек. Данный подход позволяет не только выделять и точно передавать ударные волны и контактные разрывы,
первоначально существующие в решении, но и улавливать разрывы, появляющиеся из гладкого
решения при условии, что об их возникновении заранее известно.
Важнейшим критерием качества численных методов является устойчивость и монотонность
получаемого решения. Долгое время считалось невозможным установление необходимых и достаточных условий устойчивости и монотонности схем для задач газовой динамики. Эта проблема
для нестационарных уравнений была решена в работах [4]-[8] c помощью тождественного преобразования законов сохранения к консервативному, характеристическому квазилинейному виду. В
данной работе такой подход применен к стационарным уравнениям газовой динамики.
Консервативная характеристическая схема, предлагаемая в работе, относится к классу схем
на подвижных сетках, и с учетом необходимых и достаточных условий устойчивости и монотонности представляется предпочтительной для решения задач с большим количеством взаимодействий разрывов и расчета течений в областях со сложной геометрией.
2 Постановка задачи
Целью работы является разработка и исследование численной алгоритма для расчета стационарных струйных течений с высокой детальностью воспроизведения разрывов.
В работе проведено преобразование стационарной формы законов сохранения газовой динамики для струйного течения к консервативному характеристическому виду, а также построения консервативной характеристической схемы на их основе.Equation Section (Next)
Equation Section (Next)
3 Методика решения задачи
3.1 Общая структура модели
В работе используется модель идеального невязкого газа. Течение такого газа описывается
законами сохранения сплошной среды.
5
Система законов сохранения включает в себя уравнения переноса массы, импульса и энергии. Такое описание позволяет учесть основные характеристики течений газа, возникающих в
реальных задачах обтекания тел. Это ударные волны (УВ), контактные разрывы (КР) и волны
разрежения (ВР).
Пренебрежение вязкостью, несомненно, вносит некоторую ошибку в результаты, так как
запрещает возникновение турбулентных течений, тем не менее, такой подход позволяет моделировать большой класс задач с хорошей точностью.
3.2 Численный метод
В работе исследуется консервативная характеристическая схема на подвижных сетках [7],
переработанная для расчета стационарных струйных течений. Алгоритм использует идею автоматического перестроения сетки на каждом шаге расчета таким образом, чтобы фронты разрывов
совпадали с границами дискретных ячеек. При этом скорость движения границы ячейки определяется из точного решения задачи о распаде разрыва. Использование такого подхода позволяет
добиться полной локальности воспроизведения разрывов, и, как следствие, высокой точности получаемой амплитуды разрывов. Численная схема имеет первый порядок сходимости, является
устойчивой и монотонной.
3.3 Методика проведения численных экспериментов
Численный эксперимент был проведен на ряде тестовых задач одномерного нестационарного течения газа, а также плоского и осесимметричного стационарного течения со сверхзвуковыми
и гиперзвуковыми скоростями.
Рассчитывались параметры течения в расчетной области, такие как плотность, давление и
скорость газа. Схемы были исследованы на сходимость по сетке с использованием точного решения, для тех задач, где оно может быть найдено.Equation Section (Next)
4 Уравнения модели
Известно, что процессы, происходящие в идеальном невязком газе, описываются системой
уравнений законов сохранения (ЗС) [2].
Дивергентная форма ЗС одномерного нестационарного течения газа имеет следующий вид:
∂φ ∂ F
(4.1)
+
=0
∂t ∂x
6
T
T
где φ = {ρ , ρ u, ρ E} - вектор-функция консервативных переменных, F = {ρu, p + ρu 2 , ( p + ρ E )u}
- вектор-функция потока, ρ - плотность газа, u - скорость газа вдоль оси Ox , E = e +
u2
- энер2
гия, e - внутренняя энергия.
Первое уравнение описывает перенос массы газа, второе – перенос импульса и третье - энергии.
В работе рассматривается идеальный газ, уравнение состояния которого имеет вид e =
1 p
, где
γ −1 ρ
γ = 1, 4 - показатель адиабаты.
Для плоского нестационарного течения ЗС имеем следующее уравнение:
∂φ ∂Fy ∂Fx
(4.2)
+
+
=0
∂t ∂y
∂x
F x = {ρu, p + ρu 2 , ρuv, H ρ u}T
вектор-функция
потока
по
координате
x,
где
F y = {ρ v, ρuv, p + ρ v 2 , H ρ v}T - вектор-функция потока по координате y . Здесь u - скорость газа
вдоль оси x , v -скорость вдоль оси y , H = (
p
ρ
+ E ) - энтальпия газа.
Equation Section (Next)
5 Нестационарное одномерное течение газа
В главе приводится тождественное преобразование нестационарных одномерных законов
сохранения газовой динамики к консервативному характеристическому виду, описывается консервативная характеристическая схема на подвижных сетках, а также представлены результаты
численного эксперимента.
5.1 Тождественное преобразование нестационарных законов сохранения к
консервативному характеристическому виду
Долгое время считалось невозможным установление необходимых и достаточных условий
устойчивости и монотонности схем для задач газовой динамики.
Стандартным приемом является локальная линеаризация функций потоков в дивергентной
форме ЗС, в результате которой получаются уравнения Эйлера. Такой подход имеет один существенный недостаток – уравнения Эйлера не существуют на контактных разрывах (КР) и удар-
7
ных волнах (УВ), поскольку для дифференцирования функции требуется ее непрерывность. Это
означает, что на разрывных решениях нельзя говорить о необходимых и достаточных условиях
устойчивости и монотонности схем.
В работах [Ошибка! Источник ссылки не найден.]-[Ошибка! Источник ссылки не найден.] был разработан иной подход, позволивший преодолеть данную проблему. Ниже проделаны
выкладки, приводящие ЗС к квазилинейному виду.
Проинтегрируем систему законов сохранения (4.1) по пространству от x0 до x0 + h и по
времени от t0 до t0 +τ :
∆t φ * h + ∆x F *τ = 0
(5.1)
t0 +τ
x0 + h
t0 +τ x0 + h где ∆ x F = ∫ F (t , x0 + h) dt − ∫ F (t , x0 )dt , ∆ t φ = ∫ φ (t0 + τ , x) dx − ∫ φ (t0 , x ) dx . (Область интегриt0
t0
x0
x0
рования, вообще говоря, может быть произвольной, здесь [ x0 , x0 + h] × [t0 , t0 + τ ] взята для упрощения выкладок).
Для того чтобы преобразовать уравнение (5.1) к квазилинейному виду необходимо найти
связь между приращением потоков ∆ x F и приращением функции консервативных перемен-
ных ∆t φ .
Для этого рассмотрим, какие решения допускает система ЗС газовой динамики. Хорошо известно, что такими решениями являются УВ, КР и ВР. Все эти волны переносят вместе со своими фронтами скачки параметров газа. В случае УВ или КР это сильный разрыв, для волн из веера
ВР это бесконечно малый скачок, поскольку параметры на ней меняются непрерывно.
Произвольный скачок параметров газа неустойчив. В общем случае он распадается на множество устойчивых возмущений.
Допустим, что в начальный момент времени в некоторой точке пространства параметры газа терпят разрыв. Обозначим ∆F j , ∆φ j - соответственно скачок j-й компоненты вектор функции
потока и вектор функции консервативных переменных (в том числе и бесконечно малый). Заметим, что величина V j = ∆F j / ∆φ j имеет размерность скорости. Условие устойчивости такого
скачка.
V j (u + ε ) = V j (u) + ε
8
(5.2)
В (5.2) записано преобразование Галилея, которое связывает скорость V j (u) устойчивого
возмущения в лабораторной системе координат, с его скоростью, в системе координат движущейся относительно лабораторной со скоростью ε . Здесь V j =1 (u ) , V j =2 (u) , V j =3 (u) это скорости
переноса массы, импульса и энергии на скачке.
Подставив в (5.2) выражения для потока и консервативной переменной, получим следующую систему уравнений:
 ∆ ( ρ (u + ε )) ∆ ( ρu )
=
+ε

∆ρ
∆ρ


2
∆ ( p + ρu2 )
 ∆ p + ρ (u + ε )
=
+ε

∆
u
ρ
∆
u
+
ρ
ε
(
)
(
)
(
)


 ∆ ( ( u + ε )( p + ρ * E (u + ε ) ) ) = ∆ ( u ( p + ρ E (u ) ) ) + ε

∆ ( ρ * E (u + ε ) )
∆ ( ρ E (u ) )

(
)
(5.3)
Первое уравнение системы (5.3) выполняется тождественно.
Преобразуем второе уравнение, помножив правую и левую части на ∆ ( ρ ( u + ε ) ) ∆ ( ρ u ) :
(
)
∆ p + ρ ( u + ε ) ∆ ( ρ u ) = ∆ ( p + ρ u 2 ) ∆ ( ρ ( u + ε ) ) + ε∆ ( ρ ( u + ε ) ) ∆ ( ρ u )
2
(5.4)
Раскроем скобки в (5.4), и упростим выражение.
∆ ( ρ u ) = ∆ρ∆ ( p + ρ u 2 )
2
(5.5)
2
∆ ( ρu ) ∆ ( p + ρu )
Из (5.5) следует, что
, это равносильно тому, что V j =1 (u) = V j =2 (u) .
=
∆ρ
∆ ( ρu )
Упростим теперь третье уравнение из (5.3):
∆( ( u +ε )( p + ρE(u +ε )) ) ∆( ρE(u)) =∆( u( p + ρE(u)) ) ∆( ρE(u +ε)) +ε∆( ρE(u +ε)) ∆( ρE(u))
(5.6)
Из (5.6) с учетом (5.5) следует, что
∆ ( p + ρu 2 )
∆ ( ρu )
=
∆ (u ( p + ρ E ))
∆(ρE)
(5.7)
Это равносильно тому, что V j =2 (u) = V j =3 (u) , таким образом:
V j =1 = V j =2 = V j =3 ≡ V = ∆F j / ∆φ j
(5.8)
Выражение (5.8) означает, что скорости переноса массы, импульса и энергии на устойчивом
скачке равны.
9
Соотношения (5.8) есть соотношения Гюгонио на разрыве. Заметим, что при выводе нигде
не накладывались ограничения на амплитуду скачка и величину скорости ε , поэтому он может
быть и бесконечно малым (тогда разность заменяется дифференциалом).
Следовательно, справедливо следующее соотношение:
∆i F = Vi * ∆i φ
(5.9)
где Vi - скорость i -го устойчивого разрыва, символ ∆ i - скачок функции на i -м разрыве.
Рассмотрим случай, когда скачок неустойчив, то есть не выполнено условие (5.8). Как было
сказано выше, в этой ситуации необходимо воспользоваться задачей Римана о распаде разрыва и
представить решение в виде суммы устойчивых скачков.
Пусть ∆F ≡ F N − F1 , где F1 - поток слева от скачка, а F N - справа. Тогда тождественно
можно записать следующее выражение:
∆ F ≡ F N − F N −1 + F N −1 − F N − 2 + ... + F 2 − F 1
(
) (
)
(
)
(5.10)
где F i , i = 2 : N − 1 найдены из задачи о распаде разрыва и скачки ∆i F = F i+1 − F i удовлетворяют
соотношению (5.9). Из выражений (5.9), (5.10) следует формула преобразования разности потоков:
N −1
∆ F ≡ ∑ Vi * ∆ i φ
(5.11)
i =1
Вернемся к интегральному уравнению (5.1). Преобразование (5.11) позволяет учесть все устойчивые возмущения, которые существуют в области интегрирования. Из единственно решения
задачи о распаде разрыва следует, что (5.1) преобразуется тождественно и единственным образом
к следующему уравнению:
τ N −1
∆t φ + ∑Vi * ∆i φ = 0
h i =1
(5.12)
Уравнение (5.12) – это консервативная характеристическая форма ЗС газовой динамики, записанная для области [ x0 , x0 + h] × [t0 , t0 + τ ] . Здесь Vi - устойчивых возмущений, которые присутствуют в области интегрирования. Величины Vi однозначно определяются из параметров газа на
скачке которых они переносят и могут быть вычислены из соотношений Гюгонио (в случае ВР
V = u ± c , в зависимости от того левая или правая ВР, сумма заменяется интегралом).
10
Консервативная характеристическая форма (5.12) – это интегральная форма законов сохранения, она имеет квазилинейный вид, поэтому применительно к конкретной схеме с помощью
нее могут быть установлены необходимые и достаточные условия устойчивости и монотонности.
Рис. 1 Ячейка схемы Годунова
Рассмотрим возможности консервативной характеристической формы ЗС на примере схемы
Годунова [1]. На рис. 1 изображена ячейка схемы Годунова (abcd). φcd -значение консервативной
переменной на новом временном слое, φ2 - на предыдущем временном слое. В точках a и b производятся распады разрывов. Функции φi , i = 1: N +1 – параметры газа, переносимые волнами распада со скоростями Vi , i = 1: N , τ , h -временной и пространственный шаг схемы.
τ N
Из ХаКо уравнения (5.12) следует, что φbc − φ2 + ∑Vi * φi +1 − φi = 0 .
h i =1
(
)
Следовательно
N
V1τ φ1 + ( h − V1τ − V2 τ )φ2 + ∑ ( Vi −1 τ − Vi τ ) φ i + VN τ φ N +1
i =3
φbc =
(5.13)
h
Из формулы (5.13) видно, что волны, возникающие при распаде, вытесняют начальное ре
шение φ 2 с максимальными по модулю скоростями возмущений направленных внутрь ячейки
(скоростями Vi ). Соответственно среднее значение функции φbc консервативных переменных
равно сумме значений функций, между волнами распада, взятых с весами, равными длинам отрезков, которые они занимают на новом временном слое.
Перепишем (5.13) в более компактном виде:
N +1
φbc = ∑ ai φi
i =1
11
(5.14)
где ai =
(V
i −1
τ − Vi τ )
h
, i = 3: N , aN +1 =
VN τ
(h − V1τ − V2 τ )
Vτ
, a1 = 1 , a2 =
.
h
h
h
N +1
Для устойчивости и монотонности схемы (5.14) необходимо и достаточно, чтобы
∑a
i
= 1,
i =1
ai ≥ 0 . Первое условие следует из дивергентной формы ЗС - поверхностного характера взаимодействия в невязком газе. Второе, вообще говоря, зависит от геометрии ячейки. Эти условия выполняются, в рассматриваемом здесь случае, если h − V1 τ − V2 τ ≥ 0 . Откуда получаем следующее ограничение на временной шаг:
τ≤
h
V1 + V2
(5.15)
Таким образом, для того, чтобы схема была устойчива и монотонна необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (5.15), то есть на отрезке [ x0 , x0 + h] за время τ волны распада не пересекались.
Это условие является общим и распространяется на любую схему типа Годунова и учтено
при построении консервативной характеристической схемы, описанной в следующем разделе.
5.2 Консервативная характеристическая схема
В разделе дано описание ХаКо схемы, которая позволяет локализовать фронты УВ и КР.
Схема имеет первый порядок аппроксимации и относится к классу методов на подвижных сетках. Идея метода заключается в перестроении сетки на каждом временном слое таким образом,
чтобы граница каждого сильного разрыва совпадала с границей ячейки. Подчеркнем, что траектории движения разрывов априори не известны и определяются из решения задачи о распаде разрыва на каждом временном слое. При этом количество ячеек на слое может меняться.
12
Рис. 2 Фрагмент сетки ХаКо схемы
На рис. 2 изображен фрагмент сетки ХаКо схемы.
n n
Здесь xin−1 , xin , xin+1 - узлы сетки на n - м временном слое, φ i −1 , φ i - значения функции консервативных переменных на отрезках [ xin−1 , xin ] , [ xin , xin+1 ] , а xin−+11 , xin +1 , xin++11 , xin++21 - узлы сетки на
n +1 n +1 n +1
n +1 - м временном слое, φ i −1 , φ i , φ i +1 - соответствующие значения функции.
Согласно идее, предложенной С.К. Годуновым [1] в узлах сетки на n - м слое производятся
распады разрыва. В ХаКо схеме мы предлагаем использовать информацию, извлеченную из распада для построения сетки на следующем временном слое.
На рис. 2 прямыми, выходящими из узлов сетки изображаются волны распада. Предположим, что из узла xin+1 выходит сильная ударная волна (скачок энтропии на которой больше некоторого критического значения). Тогда на следующем временном слое ставим узел сетки в точку,
куда придет УВ – узел xin++11 . Остальные узлы оставляем без изменения, чтобы сохранить равномерность сетки: xin−+11 = xin−1 , xin+1 = xin , xin++21 = xin+1 . Далее по формуле (5.13) вычисляем средние зна-
n +1 n +1 n +1
чения вектор-функции консервативных переменных φ i −1 , φ i , φ i +1 и производим распад разрыва. Чтобы не урезать временной шаг из-за введения дополнительной точки объединяем ячейки
[ xin−+11 , xin+1 ] , [ xin+1 , xin++11 ] , усредняем параметры на отрезке [ xin−+11 , xin++11 ] и выпускаем из узла xin +1 волну с нулевым скачком параметров и нулевой скоростью.
Как было установлено в предыдущем разделе, для устойчивости и монотонности схемы необходимо и достаточно, чтобы волны распада не пересекались, на временном отрезке между соседними временными уровнями. Это условие выполнено при соответствующем ограничении на
временной шаг.
13
5.3 Результаты численного эксперимента
Исследуем вычислительные свойства предложенного алгоритма на примере тестовой задачи о распаде произвольного разрыва.
1
В расчетной области x ∈ [0;1] заданы следующие газодинамические параметры: 0 ≤ x ≤ ,
2
ρ = 1, 4 , p = 1 , u = 0 ;
1
≤ x ≤ 1 , ρ = 1, 4 , p = 2 , u = 0 . Расчет проведен на 102 ячейках.
2
Точное решение задачи – это левая УВ и правая ВР, разделенные КР. Параметры газа между УВ и КР: ρ = 1,8560 , p = 1,4878 , u = -0,2926 . Параметры газа между КР и веером ВР :
ρ = 1,1333 , p = 1,4878 , u = -0,2926 .
На рис. 3, рис. 4 построен график плотности в моменты времени T = 0,1 и T = 0, 2 . Точками
(координаты которых совпадают с центрами ячеек) обозначено приближенное решение, непрерывной линией – точное решение. На графиках видно, что приближенное решение совпадает с
точным на УВ и КР и фронты разрывов передаются без “размытия”.
Рис. 3 Плотность газа в момент времени 0,1
14
Рис. 4 Плотность газа в момент времени 0,2
Рассмотрим, как меняется невязка в L 1 норме при измельчении сетки. В табл. 1 даны значения невязки ε в момент времени T = 0, 2 при различном среднем размере ячеек h .
h
0,2
0,1
0,005
0,0025
ε
0,0032
0,0018
0,00092
0,00047
Таблица 1
Рис. 5 График зависимости погрешности от шага сетки в логарифмическом масштабе
15
На рис. 5 построен график погрешности ε от h в логарифмическом масштабе. Точки ложатся на линию тренда с наклоном 0,93, следовательно ε ≈ C * h .
5.4 Выводы
Проведенные исследования показали, что ХаКо схема для нестационарной одномерной задачи является монотонной и устойчивой и разрешает ударные волны без размазывания фронтов.
Сравнение результатов численного эксперимента с точным решением позволило установить, что
схема сходится к точному решению с первым порядком. Таким образом, теоретические результаты, полученные с помощью ХаКо формы ЗС, подтверждаются расчетом.
Equation Section (Next)
6 Плоское сверхзвуковое стационарное течение газа
В широком классе задач интерес представляет стационарная картина сверхзвукового течения. Если скорость газа вдоль одной из координат больше скорости звука, возмущения вдоль нее
передаются в одном направлении, такая координата является гиперболической («струйное» течение). Этот факт позволяет решать стационарную систему уравнений, где сверхзвуковая координата эквивалентна времени - «маршевый метод».
В этом разделе проведено тождественно преобразование системы стационарных ЗС для
двух пространственных координат к квазилинейному консервативному виду. Далее на основе
преобразованных уравнений обоснована ХаКо схема для стационарной задачи, аналогичная приведенной в предыдущем разделе.
6.1 Тождественное преобразование стационарных законов сохранения
Выпишем дивергентную стационарную форму законов сохранения газовой динамики для
двумерного случая:
∂Fy
∂Fx
+
=0
∂y
∂x
(6.1)
где
F x = {ρu, p + ρu 2 , ρuv, H ρ u}T
вектор-функция
потока
по
координате
x,
F y = {ρ v, ρuv, p + ρ v2 , H ρ v}T - вектор-функция потока по координате y . Здесь u - скорость газа
16
p
вдоль оси x , v -скорость вдоль оси y , H = ( + E ) - энтальпия газа. Предполагается, что v
ρ
всюду больше скорости звука, тогда y назовем сверхзвуковой координатой.
Далее будем действовать по аналогии с доказательством для нестационарной задачи, с той
разницей, что в качестве функции консервативных переменных φ будет выступать функция по
тока F y .
Перепишем уравнение (6.1) в интегральном виде для объема [ x0 , x0 + hx ] × [ y0 , y0 + hy ] :
∆ y F * hx + ∆ x F x * hy = 0
(6.2)
y0 +hy
x +h
y0 +hy x +h где ∆x F x = ∫ F x ( y, x0 + hx )dy − ∫ F x ( y, x0 )dy , ∆ y F y = ∫ F y ( y0 + hy , x)dx − ∫ F y ( y0 , x)dx .
0
y0
y0
x
x0
0
x
x0
Найдем уравнения, связывающие F x , F y на скачке. Для этого обратимся к уравнению (4.2),
и найдем условия на устойчивом плоском нестационарном разрыве.
Будем искать решение уравнения (4.2) в виде плоской бегущей волны. Сделаем следующую
замену переменных:
ξ (i )t = x cos α − y sin α
(6.3)
Решение является автомодельным относительно переменных ξ (i ) , то есть F y = F y (ξ (i ) ) ,
F x = F x ( ξ (i ) ) , φ = φ ( ξ (i ) ) , i = 1: 4 .
Здесь ξ (i ) - имеет размерность скорости, α - угол между фронтом волны и осью Oy, q вектор скорости газа, θ угол между вектором скорости и осью y (рис.6).
17
Рис. 6 Фронт стационарного устойчивого разрыва
Заметим, что ξ (i ) вообще говоря, могут быть различными для каждого из четырех уравнений системы ЗС. Докажем, что для устойчивости разрыва необходимо, равенство этих величин.
Подставим замену (6.3) в уравнение (4.2), получим что
∂ ( Fx (i ) cos α − Fy (i ) sin α )
∂ξ (i )
= ξ (i )
∂φ ( i )
∂ξ ( i )
(6.4)
где (i ) означает i-ю компоненту вектора.
Проинтегрировав уравнение (6.4) вдоль поверхности разрыва, получим, что
ξ
(i )
=
∆ ( Fx (i ) cos α − Fy (i ) sin α )
∆φ (i )
(6.5)
Сделаем в уравнении (6.5) следующую замену v = q cos θ , u = q sin θ , где θ - угол между
осью Oy и направлением вектора скорости газа q , q - модуль скорости.
 (1) ∆ ( ρ q sin θ cos α − ρ q cos θ sin α )
ξ =
∆ρ


∆ ( p cos α + ρ q 2 sin θ (sin θ cos α − cos θ sin α ) )
ξ (2) =

∆ ( ρ q sin θ )

2
 (3) ∆ ( ρ q cos θ ( sin θ cos α − cos θ sin α ) − p sin α )
ξ =
∆ ( ρ q cos θ )

 (4) ∆ ( ρ qH sin θ cos α − ρ qH cos θ sin α )
ξ =
∆(ρE)

18
(6.6)
Из системы (6.6) следует, что
 (1) ∆ ( ρ q sin (θ − α ) )
ξ =
∆ρ


∆ p cos α + ρ q 2 sin θ sin (θ − α ) )
ξ (2) = (

∆ ( ρ q sin θ )

2
 (3) ∆ ( ρ q cos θ sin (θ − α ) − p sin α )
ξ =
∆ ( ρ q cos θ )


∆ ( ρ qH sin (θ − α ) )
ξ (4) =
∆(ρE)

(6.7)
Очевидно, что уравнения (6.7) должны быть инвариантны относительно поворота системы
координат на произвольный угол β , то есть ξ (i ) (θ + β ,α + β ) = ξ (i ) (θ ,α ) . Для ξ (4) , ξ (1) это условие
выполняется автоматически.
Применим его к ξ (2) : ξ (2) (θ + β , α + β ) = ξ (2) (θ , α ) , следовательно
∆ ( p cos α + ρ q 2 sin θ sin (θ − α ) )
∆ ( ρ q sin θ )
=
∆ ( p cos(α + β ) + ρ q 2 sin(θ + β ) sin (θ − α ) )
∆ ( ρ q sin(θ + β ) )
(6.8)
С учетом постоянства β из (6.8) следует, что
(ξ ∆ ( ρ q sin θ ) − ∆ ( p cos α ) − ∆ ( ρ q sin θ sin (θ − α ) ) ) cos β =
= ( ∆ ( ρ q cos θ sin (θ − α ) ) − ∆ ( p sin α ) − ξ ∆ ( ρ q cos θ ) ) sin β
2
2
(6.9)
2
2
Подставим ξ (2) =
∆ ( p cos α + ρ q 2 sin θ sin (θ − α ) )
∆ ( ρ q sin θ )
в (6.9), получим что

∆ ( p cos α + ρ q 2 sin θ sin (θ − α ) )
(2)
ξ =
∆ ( ρ q sin θ )


2
 (2) ∆ ( ρ q cos θ sin (θ − α ) − p sin α )
ξ =
∆ ( ρ q cos θ )

следовательно ξ (2) = ξ (3) .
Из системы (6.10) следует, что
19
(6.10)
(
)
2

∆ p + ρ q 2 sin (θ − α )
(2)
ξ =
∆ ( ρ q sin(θ − α ) )


 (2) ∆ ( ρ q 2 cos(θ − α ) sin (θ − α ) )
ξ =
∆ ( ρ q cos(θ − α ) )

(6.11)
Обозначим параллельную и перпендикулярную поверхности разрыва составляющие скорости газа соответственно q/ / = q cos (θ − α ) q⊥ = q sin (θ − α ) , тогда соотношения на разрыве примут
следующий вид:
 (1) ∆ ( ρ q⊥ )
ξ =
∆ρ


∆ ( p + ρ q⊥ 2 )
ξ (2) =

∆ ( ρ q⊥ )

ξ (3) = ∆ ( ρ q⊥ q/ / )

∆ ( ρ q// )

 (4) ∆ ( ρ q⊥ H )
ξ =
∆(ρE)

(6.12)
Воспользуемся для системы (6.12) преобразованием Галилея:
ξ (i ) (q/ / , q⊥ + ε ) = ξ (i ) (q/ / , q⊥ ) + ε
(6.13)
Для переменной ξ (1) равенство (6.13) выполняется автоматически. Применим это условие к ξ (4) :
2
2

p
1 p q/ / + ( q⊥ + ε )
∆  ρ ( q⊥ + ε )  +
+
 ρ γ −1 ρ

2
∆ ( ρ q⊥ H )

+ε = 
∆(ρE)
  1 p q 2 + ( q + ε )2  
⊥
∆ρ 
+ //


  γ −1 ρ
2






  , следовательно
 
 


ε 2 
ε 2 
ε 2 
∆ ( ρ q⊥ H ) ∆  ρ  E + ε q⊥ +   + ε∆ ( ρ E ) ∆  ρ  H + ε q⊥ +   = ∆ ( ρ E ) ∆  ρ ( q⊥ + ε )  H + ε q⊥ +   .
2 
2 
2 

 
 

Для того чтобы равенство выполнялось при любых ε необходимо приравнять члены стоящие при разных степенях ε к нулю. Следовательно:
20
 ∆ ( p + ρ q⊥ 2 ) ∆ ( ρ q )
⊥

=
∆
q
∆
ρ
ρ
(
)

⊥

2
 ∆ ( ρ q⊥ q// ) ∆ ( p + ρ q⊥ )
=

∆ ( ρ q⊥ )
 ∆ ( ρ q// )

2
 ∆ ( p + ρ q⊥ ) = ∆ ( ρ q⊥ H )
 ∆ ( ρ q⊥ )
∆(ρE)

(6.14)
Из уравнений (6.14) следует, что ξ (1) = ξ (2) = ξ (3) = ξ (4) ≡ ξ .

ξ


ξ


ξ



ξ

=
=
=
=
∆ ( ρ q⊥ )
∆ρ
∆ ( p + ρ q⊥ 2 )
∆ ( ρ q⊥ )
∆ ( ρ q⊥ q// )
(6.15)
∆ ( ρ q// )
∆ ( ρ q⊥ H )
∆(ρE)
Уравнения (6.15) – это условия Гюгонио на плоском разрыве, где ξ - скорость движения разрыва.
Вернемся к системе уравнений (6.6). Т.к. ξ (1) = ξ (2) = ξ (3) = ξ (4) , то
ξ=
∆ ( Fx ( i ) cos α − Fy (i ) sin α )
∆φ ( i )
(6.16)
Поскольку нас интересует стационарное решение, то примем ξ = 0 , тогда из уравнения
(6.16) следует, что tan α =
∆Fx (i )
∆Fy (i )
.
Введем обозначение k ≡ tan α , тогда имеем следующее выражение, связывающее потоки на
стационарном разрыве
∆F x = k∆F y
(6.17)
Аналогично тому, как это было сделано в предыдущей главе рассмотрим случай неустойчивости скачка параметров газа. Воспользуемся задачей Римана о распаде стационарного разрыва. Решение этой задачи существует и единственно [2]
21
Пусть ∆Fx ≡ Fx N − Fx 1 , где Fx 1 - поток слева от скачка, а Fx N - справа. Тогда тождественно
можно записать следующее выражение:
∆ Fx ≡ Fx N − Fx N −1 + Fx N −1 − Fx N − 2 + ... + Fx 2 − Fx 1
(
) (
)
(
)
(6.18)
где Fx i , i = 2 : N − 1 найдены из задачи о распаде разрыва и скачки функции потока на разрыве
∆i Fx ≡ Fx i+1 − Fx i удовлетворяют соотношению (6.17). Из выражений (6.17), (6.18) следует формула преобразования потоков:
N −1
∆ x Fx ≡ ∑ ki * ∆i Fy
(6.19)
i =1
Подставив (6.19) в уравнение (6.2), получим, что
hy
∆y F +
hx
*
∆
k
∑ i i Fy = 0
N −1
(6.20)
i =1
Уравнение (6.20) аналогичны (5.12) и представляет собой квазилинейную ХаКо форму стационарных законов сохранения. С его помощью можно установить необходимые и остаточные
условия устойчивости и монотонности схем. Как и в случае нестационарной задачи, оно заключается в выборе шага hy таким образом, чтобы избежать пересечения волн распада между соседними слоями сетки.
6.2 Консервативная характеристическая схема
В разделе представлена модификация схемы описанной выше (координата y гиперболиче
ская и эквивалента времени, соответственно Fy эквивалентна φ ).
Рис. 7 Фрагмент сетки ХаКо схемы
22
Как и в алгоритме для нестационарной задачи мы перестраиваем сетку на каждом новом
слое, добавляя ячейки таким образом, чтобы на пути сильной УВ или КР всегда стояла граница
одной из ячеек ( xin++11 ).
Кроме того, остальные ячейки перестраиваются так, что их границы на новом слое совпадают с положением КР (штриховые линии), приходящих с предыдущего слоя сетки, даже если
скачок функции на них нулевой. Например, угол наклона прямой проходящей через точки xin−1 ,
xin−+11 , равен углу наклона КР, выходящего из xin−1 .
Введение такого алгоритма перестроения сетки оказалось чрезвычайно удобным для решения задач с граничными условиями типа жесткая стенка. Это связано с тем, что при использовании виртуальных ячеек на границах, параметры в них выбираются таким образом, чтобы после
проведения распада положение КР совпадало с границей области. Таким образом, геометрию области можно задавать, подстраивая параметры газа в виртуальных ячейках. Кроме того, границы
ячеек, лежащих внутри области, перемещаются (в смысле продвижения по сверхзвуковой координате) в направлении течения газа. За счет этого достигается сгущение сетки в областях с более
сложным течением.
6.3 Результаты численного эксперимента
Предлагаемый численный алгоритм был использован для решения задачи сверхзвукового
стационарного течения в плоском канале с клином в начале канала.
Рис. 8 Геометрия расчетной области, плоский канал с клином
На рис. 8 изображена геометрия расчетной области. Через левую границу входит поток газа
с числом Маха M = 2 , ρ = 1, 4 , p = 1 , u = 0 , v = M * c . Угол наклона клина θ = 100 , Y1 = 0 ,
Y2 = 1 , Y3 = 5 , X 1 = 1 , X 2 = 0,8237 . Параметры газа в расчетной области ρ = 1, 4 , p = 1 , u = 0 ,
23
v =0.
Количество расчетных ячеек равно 10 0 × 17 00 . На горизонтальные стенки области по-
ставлено граничное условие непротекания.
На рис. 9 дана картина установившегося течения в канале (от начала клина). Градиентной
заливкой обозначены числа Маха потока в плоскости течения. Ломаная линия, выходящая из
точки начала клина представляет собой фронт стационарной УВ, многократно отраженной от
стенок канала. Из точки спрямления клина выходит веер ВР, которая взаимодействует с УВ и отражается от границ области.
Рис. 9 Распределение числа Маха в плоскости течения
24
Рис. 10 Полное давление вдоль канала на расстоянии 0,15 от верхней стенки
На рис. 10 изображен профиль полного давления (нормированный на полное давление
входного потока ( Ptot )in ) газа вдоль канала на расстоянии ∆ X = 0,15 от верхней стенки канала.
γ
1
 ( γ − 1)
 γ −1  γ p 1−γ
* H  *  γ  . Эта велиПолное давление вычисляется по следующей формуле: Ptot = 
ρ 
 γ

чина постоянна на ВР, терпит скачок на УВ и имеет размерность давления. Красной линией изображено точное решение, вычисленное с помощью соотношений на стационарном разрыве (6.17),
желтой, зеленой и синей, линиями обозначено приближенное решение, полученное в расчете при
различной мелкости сетки.
Скачки полного давления на рис. 10 соответствуют переходу через фронт УВ. Первые два
скачка, возникшие до взаимодействия отраженной от стенки УВ с ВР, передаются точно и совпадают с аналитическим решением. Решение между вторым и четвертым скачками также получено
с достаточно высокой точностью, даже при крупной сетке и отличается от точного с погрешность
25
не более 0, 2% амплитуды входного потока. Это связано с накоплением численной погрешности
при расчете ВР, которая уменьшается при измельчении сетки.
Большая ошибка на выходе из канала ( Y / Ymax > 0,8 ) связана с тем, что амплитуда УВ сильно уменьшилась после многократного отражения от стенок области. Несмотря на то, что ее
фронт по-прежнему удается передавать без размазки, больший вклад в точность решения вносит
ВР. При этом, численное решение приближается к точному при увеличении количества ячеек.
Улучшения качества решения здесь можно добиться увеличением порядка схемы на гладких участках решения, а также измельчением сетки.
На рис.11 изображено полное давление в расчетной области. Как было упомянуто выше, эта
величина постоянна в области непрерывного течения. Из рис.11 видно, что в численном решении
это свойство нарушается рядом с нижней границей канала и в области занимаемой сильной ВР.
Данный эффект связан с численной погрешность схем, приводящей к колебаниям энтропии на
ВР.
Рис. 11 Распределение полного давления в плоскости течения
6.4 Выводы
ХаКо схема, построенная на основе преобразования стационарных законов сохранения к
квазилинейному консервативному виду, показала высокое качество расчетов на задаче с многократным взаимодействием разрывов. Метод не размазывает фронты УВ и дает хорошее согласование с аналитическим решением.
Equation Section (Next)
26
7 . Обтекание тела вращение гиперзвуковым потоком газа
7.1 Численный алгоритм
Выпишем стационарную систему ЗС для осесимметричного случая.
∂Fy ∂Fr
+
= − fr
∂y
∂r
(7.1)
ρ
где F r = {ρu, p + ρu 2 , ρuv, H ρu}T , F y = {ρ v, ρuv, p + ρ v2 , H ρ v}T , f r = {u, uv, u 2 , Hu}T , u - радиr
альная составляющая скорости газа, v - составляющая скорости параллельная оси симметрии тела (предполагается большей скорости звука во всем течении), r - расстояние от точки до оси
симметрии.
Уравнение (7.1) имеет вид аналогичный системе для двумерного стационарного случая (6.1)
, т.к. F r эквивалентно F x . Отличие заключается в наличии члена ( − f r ) в правой части уравнения. Следовательно, по аналогии с преобразованием в главе 6.1, это уравнение может быть приведено к характеристическому виду.
hy
∆ y Fy +
hr
1 k
*
∆
f r dV = 0
∑
i
i Fy +
hr ∫
i =1
N −1
(7.2)
где ∆i Fr = ki ∆i Fy , и ki находятся из решения задачи о распаде стационарного разрыва, член
∫ f r dV зависит от параметров газа в области, для которой записано уравнение (7.2).
Возвращаясь непосредственно к численному алгоритму, отметим, что построение и эволюция сетки проводится эквивалентно пункту 6.2 (рис.7). Однако в данном случае необходимо учи
тывать неконсервативный член ( − f r ) при проведении процедуры вычисления параметров в
ячейках на новом пространственном слое по координате y .
Рассмотри некоторую ячейку на n-м слое и выведем формулу для вычисления потока Fy
( )
в ней на слое n+1. Применив уравнение (7.2) к выбранному объему, получим, что
n
n +1 ( hr )i Fy
1 i
Fy
=
+ ∫ f r dV
hr
hr
( )
( )
27
(7.3)
n +1
где Fy
( )
n
i
- параметры потока между волнами распада, возникающими на границах ячейки n-го
слоя, ( hr )i - длины отрезков, которые занимают эти параметры в выбранной ячейке на n+1
слое.
Преобразуем вектор-функцию f r , выразив ее через Fy :
1 fr = K * F y
r
(7.4)
где K = u {1,1, 1 ,1}T .
p
v
1+ 2
ρv
Из (7.4) следует, что
1 1 1 f r dV = ∫ K * F y dV . Аппроксимируем этот интеграл следующим
∫
hr
hr r
образом:
1 1 1 k k +1
K
*
F
hy K F y F y
y dV hr ∫ r
r*
( )
(7.5)
Из уравнений (7.3), (7.5) получим следующий итерационный процесс по k
n
k +1 ( hr )i Fy
1 k k +1
i
Fy =
− * hy K F y F y
hr
r
( )
k =1 ( hr )i Fy
где F y ≡
hr
( )
( )
(7.6)
n
i
, r * -некоторое значение координаты r в выбранной ячейке. Следователь-
но
k +1
Fy =
1
1 k
1 + * hy K F y
r
n
( hr )i ( Fy ) i
( )
(7.7)
hr
k +1 k
Если max F y − F y < δ , то итерационный процесс прекращается и F y
( )
n +1
k +1
= Fy .
Отметим, что если радиальная составляющая скорости газа u = 0 , то K = 0 и уравнение
(7.7) переходит в уравнения для плоского течения газа, что соответствует физике описываемого
процесса.
28
Заметим, что сумма коэффициентов при членах Fy
( )
n
i
равна
1
. Это связано с
1 k
1 + * hy K F y
r
тем, что уравнение (7.1) имеет правую часть. Если u < 0 , то K < 0 и
( )
1
>1, то есть
1 k
1 + * hy K F y
r
( )
решение становится неустойчивым.
Все дальнейшие расчеты проведены с использованием формулы (7.7) на подвижных сетках
улавливающих разрывы.
7.2 Стационарное обтекание конуса гиперзвуковым потоком
В этом разделе рассматривается задача обтекания бесконечного конуса гиперзвуковым потоком газа под нулевым углом атаки. Расчеты, проведенные по консервативной характеристической схеме, сравниваются с численным решением данной задачи на подробной сетке с использованием автомодельных свойств решения.
Кратко опишем алгоритм вычисления эталонного решения, приведенный в [3].
Рис. 12 Автомодельное течение между ударной волной и поверхностью конуса
На рис.12 представлена картина обтекания бесконечного конуса сверхзвуковым потоком газа. Здесь OS обозначена ударная волна, присоединенная к телу, aa – линия тока, θ - угол между
лучом, выходящим из вершины конуса O, и осью конуса.
В этой задаче нельзя выделить характерный линейный размер, поэтому при растяжении или
сжатии картины течения относительно вершины конуса в произвольное число раз картина не изменяется, т.е. остаётся подобной самой себе. Все безразмерные характеристики течения — отно-
29
сительные скорости, давления и т.д. зависят от одной независимой геометрической переменной –
угла θ .
Приведенные соображения позволяют существенно упростить задачу нахождения течения
между ударной волной и границей тела, сведя ее к системе двух уравнений от одной переменной,
с граничными условиями на поверхности конуса и на присоединённой конической ударной волне.
γ −1 
dv  
dv  
 dv
2vr + vθ ctgθ + θ   1 − ( vr 2 + vθ 2 ) − vθ  vr r + vθ θ   = 0


 2 
dθ  
dθ  
 dθ

v = dvr
 θ dθ
(7.8)
где vr , vθ - составляющие относительной скорости газа в полярной системе координат r , θ .
Уравнение (7.8) решается известными методами с учетом граничных условий на стенке и
ударной волне.
На рис. 13 представлена геометрия рачетной области. Где Y1 = 1 , Y2 = 1 , максимальное
значение радиуса rmax = 1 , угол полураствора конуса α = 100 . Заданы следующие параметры
набегающего потока газа: ρ = 1, 4 , p = 1 , число маха потока M = 9 . Число ячеек вдоль оси r
равно 200, число шагов по координате y равно 418.
Рис. 13 Геометрия расчетной области, бесконечный конус
30
Расчет консервативной характеристическо схемой проведен в области [0, r1 ] ×[ y1, y2 ] ,
начальные данные на слое y = y1 взяты из решения автомодельной задачи (7.8).
На рис. 13 изображен срез давления и плотности поперек расчетной области при y = y2 .
Зелеными и синими точками обозначены соответсвено давление и плотность в центрах ячеек,
расчитанные ХаКо схемой, непрерывной черной линией – эталонное решение.
4
3.5
Ro
3
2.5
2
1.5
0.36
0.38
0.4
0.42
0.44
0.46
0.48
0.5
r
Рис. 14 Сравнение давления и плотности с эталонным решением
На рис. 14 видно, что решения совпадают с хорошей точностью, кроме того, значение давления на ударной волне (точка x = 0, 447 ) полученное по характеристической схеме совпадает с
эталонным решением и фронт ударной волны сохраняется.
Исследуем схему на сходимость. В табл.3 дана невязка ε для давления в L1 норме в зависимости от количества N x ячеек на слое при Y = 2 .
ε
0,0130
0,0066
0,0044
0,0033
Nx
100
200
300
400
Таблица 3
31
Рис. 15 График погрешности в логарифмическом масштабе
На рис.15 представлен график погрешности в логарифмическом масштабе. Наклон прямой равен
0,95, следовательно, схема сходится с первым порядком.
Рис. 16 Векторное поле скоростей и изолинии числа Маха в плоскости течения
На рис.16 изображена картина течения в расчетной области. Векторами обозначено направление скорости газа, изолинии соответствуют числам маха потока. В нижней части рисунка на-
32
ходится фрагмент обтекаемого тела, изолинии совпадают с положением ударной волны, скорость
газа у границы тела направлена параллельно стенкам, что соответствует условию непротекания.
Сравним коэффициент лобового сопротивления тела Cx с эталонным значением. Коэффициент сопротивления рассчитывается по следующей формуле:
Fy
Cx =
(7.9)
q*S
1
где Fy – сила, действующая на тело вдоль направления течения, q = γ pM 2 - скоростной напор,
2
S - площадь поверхности тела.
Для вычисления Fy воспользуемся следующей формулой:
Fy = ∑ ( Pgr ) * S i * sin (α i )
i
(7.10)
где ( Pgr ) - давление у границы тела в i-м сегменте, Si - площадь поверхности сегмента, αi - угол
i
между границей и осью тела.
Проведенный расчет показал, что значение коэффициент сопротивления тела равен 0,0835,
эталонное значение - 0,0838 . Таким образом, имеем совпадение с теоретическим значением с
точностью 0, 3% . Кроме того, наблюдается сходимость Cx по сетке с первым порядком точности.
7.3 Стационарное гиперзвуковое обтекания вытянутого тела вращения
В настоящем разделе представлен расчет обтекания вытянутого тела вращения гиперзвуковым потоком идеального газа. Тело представляет собой затупленный конус, переходящий в цилиндр (рис. 17).
Рис. 17 Геометрия расчетной области, вытянутое тело вращения
33
Радиус затупления конуса равен 1 (1-н калибр). Длина носовой части Y1 равна 10 калибров,
длина тела Y2 равна 70 калибрам, α = 100 . Заданы следующие параметры набегающего потока:
M = 8 , ρ = 1 , p = 1 , u = 0 , v = M *c , где c - скорость звука в набегающем газе. Нерасчетность
потока на выходе из сопла равна 4, скорость выходящего газа v = 4*c , u = 0 , плотность ρ = 0, 47 .
Задача решена в постановке цилиндрической симметрии в области r ∈ [ 0; 24, 795] ,
y ∈ [ 0;100 ] . В плоскости носка тела вдоль координаты r использовано 250 ячеек, в области за
телом 350 ячеек. “Начальные” данные для расчета на слое y = 1 взяты из таблиц [12] для обтекания затупленного конуса. Поскольку в таблицах заданы параметры газа в отдельных точках меж
ду УВ и границей тела, то для вычисления функции потока F y на отрезках, эти данные были интерполированы полиномами шестого порядка и проинтегрированы по ячейкам ХаКо схемы.
На рис. 18-20 изображено распределение соответственно плотности, давления и числа Маха в плоскости течения. Результаты приведены при y > 1 , в области за носком обтекаемого тела.
Рис. 18 Плотность газа
34
Рис. 19 Давление газа
Рис. 20 Число Маха потока
Из расчетов видно, что рядом с телом образовалась присоединенная ударная волна. Фронт
волны искривляется под воздействием газа, заключенного между ней и поверхностью тела и угол
ее наклона к оси Y уменьшается. В области невозмущенного газа число Маха имеет максимальное значение 8, и падает при переходе через границу присоединенной УВ. Давление максимально
у передней части тела и постепенно падает при увеличении Y .
На рис. 21-22 дано давление и плотность газа в области за телом в увеличенном масштабе.
Из сопла ( Y = 70 ), соответствующего правой границе тела, выходит поток газа. При взаимодействии с ним набегающего слева потока образуется висячий скачок – ударная волна.
35
Рис. 21 Давление газа в плоскости за обтекаемым телом
Рис. 22 Плотность газа в плоскости за обтекаемым телом
36
На рис 23-24 изображено давление в поперечном сечении расчетной области на прямых
y = 5 , и y = 10 . Сравнение с таблицами [12] показало, что погрешность вычисления давления на
ударной волне не превысила 0,5 % ее амплитуды и уменьшалась при продвижении вдоль координаты y . Это связано со сгущением сетки между ударной волной и границей тела. Ошибка в
положении фронта отошедшей УВ не превышает двух ячеек сетки в области рядом с фронтом и
не увеличивается при продвижении вдоль оси симметрии тела. Кроме того, погрешность уменьшается с первым порядком при измельчении сетки в области “начальных” данных y = 1 .
6
5.5
5
4.5
P
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
r
Рис. 23 Давление вдоль прямой
4
3.5
3
P
2.5
2
1.5
1
3
3.5
4
4.5
r
Рис. 24 Давление вдоль прямой
37
5
7.4 Выводы
Расчеты, проведенные в главе, показали высокое качество результатов ХаКо схемы для осесимметричных задач. Схема дает решение, совпадающее с высокой точностью с эталонным решением для задачи обтекания конуса, а также с таблицами [12] на носке вытянутого тела вращения. Кроме того, в расчете удалось уловить все сильные разрывы, возникающие в решении, а
именно присоединенную ударную волну и висячий скачок уплотнения на заднем срезе тела.
8 Заключение
В работе реализованы и исследованы численные схемы для расчета нестационарных одномерных и стационарных плоских сверхзвуковых и осесимметричных гиперзвуковых течений.
Расчеты показали, что описанные выше алгоритмы способны, практически без искажения, передавать фронты сильных разрывов, а также имеют первый порядок сходимости. Установлены необходимые и достаточные условия устойчивости и монотонности решений с помощью характеристической, консервативной, квазилинейной формы законов сохранения. В дальнейшем планируется применить предложенный подход для расчета трехмерных стационарных задач маршевым
методом, а также реализовать схемы для случая двумерного нестационарного течения.
38
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Годунов С.К. Разностный метод расчёта ударной волны. УМН, 1957г, т.12, вып.1.
2.
Harten A. Self-Adjusting grid method for one-dimensional hyperbolic conservation laws,
Journal of Computational Physics, 1982.
3.
Куликовский А.Г., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения ги-
перболических уравнений – Физматлит, 2001, С. 240-249.
4.
Грудницкий В.Г. Обобщённые характеристики для системы уравнений Эйлера - Сб.
«Алгоритмы для численного исследования разрывных течений», Тр. ВЦ РАН, 1993.
5.
Грудницкий В.Г Достаточное условие устойчивости при явном построении разрыв-
ных решений системы уравнений Эйлера. - Доклады Академии Наук, т.362, №3, 1998.
6.
Grudnitsky V.G. Sufficient conditions of stability for discontinuous solutions of the Euler
equations. Computational Fluid Dynamics Journal, vol.10, no.2, 2001.
7.
Грудницкий В.Г. Прямой обобщённо-характеристический метод для расчёта раз-
рывных решений законов сохранения газовой динамики - Мат. моделирование, т. 16, №1,
C. 90-96, 2004.
8.
Грудницкий В.Г. О достаточных условиях устойчивости для схемы С.К. Годунова -
Мат. моделирование, т. 17, № 12, C. 119-128, 2005.
9.
Рахматулин Х.А., Газовая динамика – Изд-во Высшая Школа - Москва, 1965 г.
10.
Каменецкий В.Ф., Семенов А.Ю., Самосогласованное выделение разрывов при
сквозных расчетах газодинамических течений – Журнал вычислительной математики и
вычислительной физики – т. 34, №10, С. 1489-1502, 1994.
11.
Moretti G., Floating shock fitting technique for imbedded shocks in unsteady
multшdimensional flows, mProc. 1974 Heat Transfer and Fluid Meek Inst., Corvallis, Ore, 184201, Univ. Press, Stanford, CA.
12.
Любимов А.Н., Русанов В.В., Течения газа около тупых тел – Изд-во Наука, ч. I-II,
1970.
13.
Алалыкин Г.Б., Годунов С.К. и др., Решение одномерных задач газовой динамики в
подвижных сетках, – Изд-во Наука, 1970.
39