Показательные и логарифмические функции

1
С.А. Лавренченко
Лекция 13
Показательные и логарифмические функции
1. Понятие показательной функции
Определение 1.1. Показательной функцией называется функция вида
основание — положительная константа.
Функция y = ax при a > 1
, где
Функция y = ax при 0 < a < 1
Рис. 1. Графики показательной функции.
Область определения
. Множество значений
при
.
График показательной функции с основанием выглядит по-разному в трех случаях: (1)
, (2)
, и (3)
. Два из них изображены на рис. 1.
При
имеем
и
. На следующей лекции мы увидим, что
показательная функция при
имеем
и
возрастает быстрее, чем любая степень. При
. Таким образом, при
, ось
является
горизонтальной асимптотой графика показательной функции.
2. Применения показательных функций
Показательные функции часто возникают в математических моделях природы и
общества. Например, с их помощью моделируются рост популяции и радиоактивный
распад.
2
Пример 2.1.
— численность популяции бактерий через
часов.
Пример 2.2. Изотоп стронция
является радиоактивным с периодом полураспада
28,79 лет. Таким образом, если начальная масса некоторого количества стронция-90 равна,
например, 24 миллиграмма, то масса остающегося через лет количества будет равна
мг. (
образуется при ядерных взрывах и выбросах с АЭС.)
3. Число е
Определение 3.1. Число
определяется так:
.
В 3-м семестре будет доказано, что этот предел существует. Студентам рекомендуется
поработать с научным калькулятором, вычисляя значения выражения
, при
, и убедиться что эти значения стабилизируются около некоторого
определенного значения, которое и называется числом . Это иррациональное число; оно
представляется бесконечной непериодической десятичной дробью. Вычисления
показывают, что
.
Если в определении числа сделать замену
, получим эквивалентное
определение:
.
4. Второй замечательный предел
Мы скоро увидим, что показательная функция
при
играет особо важную
роль. Она называется экспонентой и имеет специальное обозначение:
. Таким
образом,
.
Теорема 4.1 (второй замечательный предел).
Доказательство:
нулю. Следовательно,
.
, причем эта аппроксимация тем точнее, чем ближе
,
и в пределе при
получится доказываемое равенство. ■
5. Производная экспоненты
к
3
Особая роль и исключительность функции
обуславливается следующей теоремой.
Теорема 5.1 (производная экспоненты). Производная экспоненты равна ей самой, т.е.
.
Доказательство: Используем определение производной и второй замечательный предел:
.■
Следствие 5.2.
.■
6. Логарифмические функции
Показательная функция
монотонно убывает при
она имеет обратную при
строго монотонно возрастает при
, и строго
. Значит, по теореме о существовании обратной функции,
.
Определение 6.1. Функция, обратная к показательной функции
называется логарифмической функцией по основанию и обозначается
. Область определения
при
, т.е.
и множество значений
.
Рис. 2. Графики логарифмической функции.
Графики логарифмической функции получаются из соответствующих графиков
показательной функции зеркальным отражением относительно прямой
. Кривые
при любом
(
) непрерывны и проходят через точку
. На
следующей лекции мы увидим, что при
логарифмическая функция возрастает
медленнее, чем любая степень. При
имеем
и
. Таким
образом, ось
является вертикальной асимптотой графика логарифма.
По определению обратной функции,
тогда и только тогда, когда
, где
,
и
. Таким образом, логарифм числа по основанию есть показатель,
в который надо возвести основание , чтобы получить . Законы сокращения для
показательной и логарифмической функций выглядят так:
для всех
,и
для всех
.
4
Часто используется логарифмы по основанию . Они называются десятичными
логарифмами и обозначаются
, т.е.
. Еще более важны логарифмы по
основанию , к изучению которых мы сейчас переходим.
7. Натуральные логарифмы
Наиболее удобным основанием логарифма служит число .
Определение 7.1. Логарифм числа
натуральным логарифмом, т.е.
Например,
,
по основанию
.
обозначается
.
Теорема 7.2 (производная натурального логарифма).
Доказательство: Запишем закон сокращения
. Получаем:
.
и продифференцируем обе части по
, откуда
Следствие 7.3.
Пример 7.4. Найти
и называется
.■
.■
.
Решение:
.■
Пример 7.5. Продифференцировать функцию
Решение:
Пример 7.6. Найти производную
.
.■
.
Решение:
.■
Теорема 7.7 (производная логарифма модуля).
при
Доказательство: По определению модуля имеем
.
.
5
Если
, имеем
. Если же
, получается тот же результат:
.■
8. Производные общих логарифмических и показательных функций
Теорема 8.1 (производная общей логарифмической функции).
Доказательство:
.
.■
Теорема 8.2 (производная общей показательной функции).
.
Доказательство:
.
Заметим, что формула справедлива и при
.■
9. Логарифмическое дифференцирование
Логарифмическое дифференцирование — это метод дифференцирования функции
, состоящий из следующих трех шагов.
Шаг 1: Взять натуральные логарифмы от обеих частей равенства
Шаг 2: Продифференцировать обе части по
. При этом
Шаг 3: Решить получающееся уравнение относительно
Замечание 9.1. Если
для некоторых
этом случае, пишем
.
.
.
, то логарифм
и используем формулу
не определен. В
из теоремы 7.7.
Этим методом докажем сейчас правило дифференцирования степени с произвольным
действительным показателем.
Теорема 9.2 (производная степени). Пусть
Тогда
.
Доказательство: Записываем функцию как
, откуда
— произвольное действительное число.
, откуда
, откуда
, если считать внешней функцией логарифм
6
модуля, а внутренней функцией — функцию
. Окончательно,
.■
Логарифмическое дифференцирование предоставляет возможность дифференцировать
функции, в выражении которых независимая переменная фигурирует как в основании
степени, так и в ее показателе. Такие функции ни степенные, ни показательные, и у нас
нет готовой формулы для их вычисления.
Пример 9.3. Продифференцировать функцию
.
Решение: Берем логарифмы от обеих частей:
части:
. Дифференцируем обе
. Упрощая и разрешая относительно
и, окончательно,
, получаем
.■
Упражнения для самопроверки
1. Изобразить график показательной функции
с основанием
.
2. Доказать следствие 5.2.
3. Найти пределы
и
при
необходимо рассматривать односторонним?
4. Доказать следствие 7.3.
. Почему второй предел