

Колебания шарика вблизи дна сферической полости

m
Найти дифференциальное
уравнение определяющие
колебания шарика вблизи
дна сферической полости.
Определить частоту малых
колебаний. Считать, что
система консервативна,
моментом инерции шарика
пренебречь
Сила
F1  F2  F3  0


 

 F1 sin    F2 cos   F3  0
2
F2

F3   F3   mg sin  

F3
F3
F1  mg
Момент движения
J  M  F3  
 mg sin  

g
 


J  m
2
m   mg sin  
2
0
2
F3
sin    
g
    0

Линейное движение

F1  F2  F3  0

ось x

F1  0  F2 sin    F3  0

F3  F2 sin  

F3
ось y
F2
 F1  F2 cos   0

sin  
F3   F3  mg
cos 

F3
x
F1  mg
Линейное движение
sin  
F3   mg
 mg
cos 

x
mx  mg


1   x 
 
x
2
x

1   x 
 
2
0
g
x  x  0

x
g
 

2
0
Энергия
T  P  const
mV
T
2
2
J
T
2
2
2

LI
LQ
T

2
2
2
P  mgh
2
x
Pk
2
2
1Q
P
C 2
Энергия
J
T
2


2
J  m
2
P  mgh
h     cos 
h
Энергия
2

m 
 mg 1  cos   const
2
2

g
 1  cos   const
2 
2

g
2  sin    0
2

g
    0

g
  sin    0

g
 

2
0
Крутильный маятник
h
Вид сверху
L
Однородный стержень
подвешен за свои
концы на
нерастяжимых нитях.
Определить частоту
малых крутильных
колебаний считая, что
система
консервативна.
1
2
J  mL
12
Энергия


P  mgh1 cos 
h

L
2

L
 
2h
Энергия

 L 
P  mgh1  cos   
 2h  

J 2

 L 
 mgh 1  cos     C
2
 2h  


L
L 

J 2  mgh sin    0
2
2h  2h 
2
1
L
2
mL   mg   0
12
4h
g
 3
h
2
0
g
  3   0
h
Маятник
l
l
m
W
Определить частоту малых колебаний бусины массы
m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити.
Движением груза M и потерями пренебречь.
F2
l
Маятник
x
l
m
F3
F1

W
x  l
x  l
Mg
Mg
F1 y  F2 y 
cos 
2
F3  F1 x  F2 x   Mg sin  
ml  Mg sin    0
Mg
 
sin    0
ml
Mg
 
ml
2
0
шахта
m
R

Определить частоту
собственных колебаний груза,
брошенного в шахту,
проходящую через центр
однородной сферической
планеты
m1m2
F  2
r
q1q2
F   0 2
r
x
шахта
3
R

4R
V
3
4R 3
m2 
3
4mR 3
F  
3x 2
x
шахта
3
R
х

4x
V
3
4x 3
m2 
3
4mx
F  
2
3x
3
3
4mx
4
F  
 
mx
2
3x
3
x
шахта
4
mx  
mx  0
3
R
х

4
x 
x  0
3
4
 

3
2
0
Трубка
l
Определить частоту
собственных колебаний столба
жидкости в U образной трубке.
Считать, что система
консервативна.
S-сечение трубки
-плотность жидкости
l-длина столба
шахта
m  Sl
x
l
, S
F  2 gSx
Slx  2 gSx  0
2g
x 
x0
l
2g
 
l
2
0
Фазовый портрет
Шарик движется
горизонтально между двумя
стенками в отсутствии
гравитации. Построить
фазовый портрет систему,
считая что соударения со
стенками абсолютно
упруги, а сопротивление
среды отсутствует. Указать
особые точки
Фазовый портрет
x
V
V
x
-а
а
-V
Фазовый портрет
Решить предыдущую задачу
в условии вязкого трения
среды. Показать, что
фазовые траектории
представляют собой прямые
линии.
Фазовый портрет
x  x  0
x  x  C  0
Фазовый портрет
x
x
-а
а
Фазовый портрет
Шарик подпрыгивает над
горизонтальной плитой.
Построить фазовый
портрет, считая, что
сопротивление среды
отсутствует, а удары
абсолютно упруги.
Фазовый портрет
F   mg
 x  y

 y   g
2
x  g  0
mx  mg  0
dy
g

dx
y
y
 gx  C
2
ydy   gdx
2
y
x c
2g
Фазовый портрет
x
x
Два заряда

m
+
+
Груз математического
маятника обладает зарядом.
Одноименный заряд
зафиксирован под
маятником. Построить
качественно фазовый
портрет.
(Маятник имеет два
положения равновесия.)
Фазовый портрет
x


x
шахта
m
R

Построить фазовый портрет
системы. Учесть области когда
груз вылетает за пределы
планеты.
x
шахта
4mR
F  
3x 2
R
х

3
4mx 3
4
F  
 
mx
2
3x
3
4
mx  
mx  0
3
4
 

3
2
0
x  02 x  0
3
R
x   2  0
x
2
0
шахта
 x  02 x  0, x  R

3

R
2


x


 0, x  R

0
2
x

  0t
 x  x  0, x  R

3

R
 x  2  0, x  R
x

окружность
???
шахта
3
 x  y

3

R
 y   2
x

R
x  2  0
x
3
R dx
ydy   2
x
R3
y 2
C
x
3
dy
R
 2
dx
x y
1 2 R3
y 
C
2
x
шахта
3
R
y 2
C
x
x
2R3
C<0 ; колебательный процесс
C
C>0 ; груз улетает в бесконечность
С=0 ; сепаратриса асимптотически стремящаяся к
нулю.
Вторая космическая скорость
y x R   2 R
C 0
Фазовый портрет
x
x
x

шахта
l  r cos   x   r sin  
l
х
2
2
2
r


mr 2 sin  
0 r cos   x2  r 2 1  cos 2

1
 ry  x
2
1

r cos   x
r cos   x
2
ry  x

 r 2 1 y

2 3/ 2
dy  0

2
 r 2 1  cos 

d