лекции по аналитической геометрии

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Глазовский государственный педагогический институт
им. В.Г. Короленко
Кафедра алгебры, геометрии, теории и методики
обучения математике
Тексты лекций
по аналитической геометрии
(для студентов первого курса математического факультета)
Глазов 2006
2
3
Методические рекомендации по работе
с электронным вариантом лекций
1. В начале первой лекции преподаватель знакомит студентов с последовательностью работы с электронным вариантом лекций. Работа с электронными методическими материалами – это один из видов самостоятельной
работы студентов. При подготовке к лекциям можно заниматься в компьютерном классе, но наиболее удобно иметь все конспекты лекций в распечатанном виде и заниматься по ним (при подготовке к лекциям, практическим
занятиям, контрольным работам, экзаменам). Распечатанные конспекты лекций нужно всегда приносить на лекции и на практические занятия.
Внимание! Наличие электронного варианта лекций не освобождает
студента от обязательного посещения всех лекций и практических занятий!
2. При подготовке к каждой лекции, начиная со второй, студент выполняет следующую работу с конспектами лекций и с электронными материалами:
Повторяет материал предыдущей лекции и отвечает на вопросы,
сформулированные в конце каждого параграфа.
Внимательно читает материал предстоящей лекции.
Таким образом, на лекцию он приходит подготовленным к восприятию
нового материала.
3. На каждой лекции преподаватель формулирует все необходимые
определения, свойства, теоремы, сопровождая их чертежами и пояснениями.
Если доказательство теоремы или свойства не сложное, то дает схему этого
доказательства. Подробно студент изучает доказательство самостоятельно.
Если доказательство может вызвать трудности у студента, преподаватель
останавливается на наиболее сложных моментах.
По ходу лекции преподаватель дает рекомендации по практическому
приложению теории к решению геометрических задач, по подготовке к прак-
4
тическому занятию по данной теме, по использованию электронных методических материалов, учебников, методических пособий и другой литературы.
4. При подготовке к практическому занятию студенту необходимо выучить все определения, формулы, формулировки свойств и теорем по теме
занятия, понять их геометрический смысл, выполнить пункты 1, 2, 3 из «Методических рекомендаций по подготовке к практическим занятиям», а также
решить задачи из пункта 6 указанных рекомендаций по теме предыдущего
занятия.
5. Отдельные темы преподаватель может вынести на самостоятельное
изучение, дав на лекции или на практическом занятии лишь некоторые рекомендации.
Контроль за самостоятельной работой (КСР) студентов по изучению
теории и ее применению к решению задач осуществляется на специальных
занятиях по отдельному расписанию, составленному деканатом, а также на
практических занятиях. Контроль может осуществляться в различных формах: в виде коллоквиумов в устной или письменной форме, математических
диктантов, индивидуальных собеседований, контрольных работ, компьютерного тестирования.
6. Для занятий геометрией каждому студенту необходимо иметь:
1) Папку-файл (или папку-уголок) для хранения распечатанных текстов
лекций.
2) Общую тетрадь для работы на лекциях по геометрии.
3) Общую тетрадь для практических занятий и домашних заданий (домашнее задание по каждой теме должно быть оформлено сразу после практического задания, а не в конце тетради!).
4) Тонкую тетрадь для контрольных работ.
5) Хорошо отточенный карандаш средней мягкости.
6) Линейку.
5
7) Циркуль.
8) Ластик.
9) Цветную пасту, карандаши или тонкие фломастеры.
10) Бумагу для черновиков (любую).
11) Авторучку с синей (или черной) пастой.
На каждую лекцию необходимо приносить все, что указано в пунктах 1),
2), 5)-9), 11).
На каждое практическое занятие необходимо приносить все, что указано
в пунктах 1)-11), а также:
12) Учебную программу по геометрии для студентов по специальности
«Математика и информатика».
13) Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям по курсу «Геометрия». Часть 1, 2. Аналитическая геометрия. – Глазов,
1995.
14) Индивидуальные задания по аналитической геометрии. Для студентов 1 курса математического факультета. – Глазов, 2003.
Список рекомендуемой литературы
1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х частях. Часть 1. – М.:
Просвещение, 1986.
2. Атанасян Л.С. Геометрия. Часть 1. – М.: Просвещение, 1973.
3. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометрии. Часть 1. –
М.: Просвещение, 1973.
4. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия. Часть 1. –
М.: Просвещение, 1974.
5. Базылев В.Т. и др. Сборник задач по геометрии. – М.: Просвещение,
1980.
6. Аргунов Б.И., Демидова И.Н., Литвиненко В.Н. Задачник-практикум
по геометрии. Часть 1 (для заочников). – М., 1979.
6
7. Бакельман И.Я. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. – М.:
Просвещение, 1976.
8. Бахвалов С.В. и др. Аналитическая геометрия. – М.: Просвещение,
1970.
9. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики. –
М., 2004.
10.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. –
М.: Астрель –АСТ, 2003.
11.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.
12.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Физматлит,
2002.
13.Индивидуальные задания по аналитической геометрии (для студентов
математического факультета). – Глазов, 2003.
14.Методические рекомендации по подготовке к практическим занятиям
по курсу «Геометрия». Часть 1, 2 (Аналитическая геометрия). – Глазов, 1995.
15.Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1968.
16.Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1984.
17.Привалов И.И. Аналитическая геометрия. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.
18.Руководство к решению задач по высшей математике. Часть 1. Под
общей ред. Е.И. Гурского. – Минск, 1989.
19.Учебная программа по дисциплине «Геометрия» для студентов по
специальности «Математика» с дополнительной специальностью «Информатика». – Глазов, 2003.
20.Линейная алгебра и аналитическая геометрия: пособие к практическим занятиям для студентов факультета социальных и информационных
технологий. – Глазов: Изд. центр ГГПИ, 2005.
7
Элементы векторной алгебры
Лекция 1
Векторы. Линейные операции над векторами
§1. Понятие вектора
Направленным отрезком называется отрезок, у которого указаны начало
и конец. Обозначение: AB , CD, XY , 
Вектором
называется
направленный
отрезок.
Обозначение:
АВ , CD, a, в , x,  (рис. 1).
в
а
А
х
D
C
Рис. 1
Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Обозначение: АА, ВВ, О .
Векторы АВ и CD называются сонаправленными (противоположно
направленными), если лучи [AB) и [CD) сонаправлены (противоположно
направлены). Обозначение: АВ  CD ( АВ  CD ).
На рис. 2 АВ  CD , MK  XY .
А
С
M
В
K
D
X
Рис. 2
Y
8
Векторы a и в называются коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или на параллельных прямых. Обозначение: а || в .
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Векторы а, в и с называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.
Длиной вектора называется расстояние между его началом и концом.
Обозначение длины вектора а : а .
Длина нулевого вектора равна 0, т.е. О  0 .
Вектор называется единичным, если его длина равна единице.
В пространстве существует бесконечное множество единичных векторов.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и длины их
равны. Обозначение: а  в .
Два вектора называются противоположными, если они противоположно
направлены и длины их равны.
Вектор, противоположный вектору а , обозначается  а .
Откладыванием вектора р от точки А называется процесс построения
такой точки М, что АМ  р .
Алгоритм этого процесса таков: пусть дан вектор р и точка А. Сначала
строят луч  АВ  , исходящий из точки А и сонаправленный с вектором р
(рис. 3). Затем на луче  АВ  откладывают с помощью циркуля отрезок АМ,
длина которого равна длине вектора р . Вектор
АМ  искомый, т.е.
АМ  р .
В
р
М
А
Рис. 3
9
Задания для самостоятельной работы
1. Начертите коллинеарные, неколлинеарные векторы.
2. Какое из утверждений верно:
а) если векторы противоположно направлены, то они коллинеарны;
б) если векторы коллинеарны, то они сонаправлены;
в) противоположно направленные и противоположные векторы – это одно и то же?
3. Будут ли векторы а , в , с компланарными, если в || с ? А если а || в и
в || с ? А если а  о ?
4. Будут ли равны между собой все единичные векторы? Почему?
5. Какой вектор противоположен сам себе?
§2. Сложение и вычитание векторов
Линейными операциями над векторами называется сложение, вычитание
векторов и умножение вектора на число.
Результатом сложения векторов является их сумма. Сумма векторов а и
в обозначается а  в .
Существует два правила сложения двух векторов: правило треугольника
и правило параллелограмма.
Правило треугольника
Чтобы сложить векторы а и в , надо взять произвольную точку и от нее
отложить последовательно сначала вектор а , затем вектор в . Вектор, начало
которого совпадает с началом вектора а (т.е. первого вектора), а конец – с
концом вектора в (т.е. второго вектора), есть искомая сумма. На рис. 4
а  в  МВ .
10
М
а
а
в
в
В
Рис. 4
По правилу треугольника можно складывать любые векторы.
Коротко правило треугольника можно записать так:
для любых трех точек А,В и С
АВ  ВС  АС .
Правило параллелограмма
Чтобы сложить векторы а и в , надо привести их к общему началу, т.е.
взять произвольную точку А, построить такие точки В и С, что АВ  а и
АС  в , и достроить полученную фигуру до параллелограмма АВDC . Вектор
АD - искомая сумма (рис. 5).
А
а
а
В
в
в
С
D
Рис. 5
По правилу параллелограмма можно складывать только неколлинеарные
векторы.
Свойства сложения векторов:
 
10. а   а  0  а .
20. а  0  а , 0  а  а  а .
30. а  в  в  а а, в .
 
40. ( а  в )  с  а  в  с
11
а , в , с .
Суммой трех векторов а, в и с называется вектор ( а  в )  с . Учитывая
свойство 40, скобки можно опустить и обозначать сумму в виде а  в  с .
Суммой
n
векторов
а1 , а 2 , , а n 1 , а n
называется
вектор
( а1  а 2    а n 1 )  а n и обозначается так: а1  а 2    а n 1  а n .
При построении суммы n векторов пользуются правилом многоугольника.
Правило многоугольника
Чтобы найти сумму n векторов, надо взять произвольную точку и отложить от нее последовательно эти векторы. Вектор, начало которого совпадает
с началом первого вектора, а конец – с концом последнего (n-го вектора),
есть искомая сумма.
Разностью векторов а и в называется такой вектор х , что в  х  а .
Разность – это результат вычитания векторов. Разность векторов а и в обозначается так: а  в .
Правило построения разности двух векторов
Чтобы построить разность векторов а и в , надо привести их к общему
началу. Тогда вектор, начало которого совпадает с концом второго вектора
(т.е. вектора в ), а конец – с концом первого (т.е. а ), есть искомая разность
ав.
На рис. 6 а  в  МР .
а
а
в
Р
в
М
Рис. 6
12
По правилу треугольника А, В, С
АВ  ВС  АС ,
откуда получаем краткую запись правила нахождения разности векторов:
А, В, С ВС  АС  АВ .
Задания для самостоятельной работы
1. Начертите два не исходящих из одной точки неколлинеарных вектора.
Постройте их сумму сначала по правилу треугольника, затем по правилу параллелограмма. Постройте их разность.
2. Начертите два коллинеарных вектора. Постройте их сумму и разность.
3. Запишите правило треугольника для точек M , P, Q . Сколькими способами можно это сделать?
4. Даны три точки X , Y , Z . Представьте вектор ZY в виде разности двух
векторов.
5. Начертите 5 векторов и постройте их сумму, пользуясь правилом многоугольника.
§3. Умножение вектора на число
Рассмотрим еще одну линейную операцию над векторами – умножение
вектора на число. Результатом этой операции является произведение вектора
на число.
Произведением вектора а на действительное число  называется век
тор р , обозначаемый через  а и удовлетворяющий двум условиям:
1) его длина р    а ;
2) если   0, то р  а ; если  <0, то р  а .
13
Алгоритм построения произведения вектора а число  таков.
Берем произвольную точку М. Проводим луч MN  , сонаправленный с
вектором a , если   0, и противоположно направленный с вектором a , если
 <0. На луче MN  от начала М откладываем отрезок MP, длина которого в
 раз больше длины вектора а . Вектор МР - искомый вектор  а .
Продемонстрируем этот алгоритм на конкретном примере. Построим
вектор р   3 а , если а - данный вектор.
4
Возьмем произвольную точку А. Так как    3 <0, то проводим луч
4
 АВ   а
(рис. 7).
На
луче
 АВ 
строим
такую
точку
С,
что
АС   3 а  3 а . Тогда АС   3 а - искомый вектор.
4
4
4
А
С
а
В
Рис. 7
Свойства умножения вектора на число
10. 1  а  а и 1  а  а а .
 
3 .  а  в    а   в
20.   а   а ,   R а .
0
  R  а, в .
40.    а   а   а ,   R а .
Теорема 1 (о коллинеарных векторах). Пусть а  о . Векторы а и в коллинеарны тогда и только тогда, когда существует такое действительное число
, что в   а .
14
Теорема 2 (о компланарных векторах). Пусть а || в . Векторы а , в , с компланарны тогда и только тогда, когда существуют такие действительные
числа  и , что с   а   в .
Задания для самостоятельной работы
1. Начертите произвольный вектор а . Постройте векторы 2а , 3 а ,  3а ,
2
 5 а.
4
2. Даны векторы а и в . Постройте векторы m  1 a  3в , р  4 а  3 в .
2
2

 

3. Упростите выражение 10 2 а  3в  с  2 5с  15в  а .


4. Будут ли векторы а  в и 2 а  в  4 в коллинеарны и почему, если
а  в?
5. Будут ли векторы а  в , 2а и а  в компланарны и почему?
15
Лекция 2
Линейная зависимость векторов
§4. Линейная зависимость векторов и ее свойства
Линейной
комбинацией
векторов
а1 , а2 ,, аn
называется
вектор
в  1 а1   2 а2     n an , где  i  R; i  1,2,, n .
Примеры линейных комбинаций:
1. Вектор
р  7 а1  а3  а5
есть линейная комбинация векторов
а1 , а2 , а3 , а4 , а5 (здесь 1  7,  2  0,  3  1,  4  0,  5  1).
2. Вектор m  1 а  3 в  5 с есть линейная комбинация векторов а , в , с
2
3
(здесь 1  1 ,  2   3 ,  3  5 ).
2
3
Система векторов а1 , а2 ,, аn называется линейно зависимой, если существуют такие действительные числа 1 ,  2 ,,  n , не все равные 0 одновременно, что выполняется векторное равенство:
1 а1   2 а2     n an  o .
Если равенство 1 а1   2 а2     n an  o выполняется только при
1   2     n  0 , то система векторов а1 , а2 ,, аn называется линейно независимой.
Примеры
1. Система векторов о , а , в линейно зависима, т.к. если возьмем
1  1,  2  0,  3  0 , то получим, что 1  0  0  а  0  в  o , т.е. существуют та-
кие действительные числа
1 ,  2 ,  3 , не все равные 0 одновременно
( 1  1  0 ), что выполняется равенство 1  0   2  а   3  в  o .
16
2. Система двух неколлинеарных векторов а и в линейно независима,
т.к. сумма двух неколлинеарных векторов  1 а и  2 в равна нулевому вектору 0 только при 1   2  0 .
Свойства линейно зависимой системы векторов
10. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и
только тогда, когда этот вектор нулевой.
□
Пусть система, состоящая из одного вектора а , линейно зависима.
Докажем, что вектор а  0 .
Из определения линейно зависимой системы следует, что существует
1  0 такое, что 1  а  0 . Так как первый сомножитель в левой части не равен 0, то второй сомножитель должен быть нулевым вектором, т.е. а  0 .
Пусть, обратно, а  0 . Докажем, что система, состоящая из одного вектора а , линейно зависима. Левую часть равенства можно записать в виде
1  а , следовательно, 1  а  0 , т.е. существует 1  1  0 такое, что 1  а  0 .
По определению линейно зависимой системы векторов система а линейно
зависима. ■
20. При n>1 система векторов а1 , а2 ,, аn линейно зависима тогда и
только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией
остальных векторов этой системы.
□
Пусть система векторов а1 , а2 ,, аn линейно зависима. Докажем, что
один из ее векторов является линейной комбинацией остальных векторов
этой системы.
По определению линейно зависимой системы векторов существуют числа 1 ,  2 ,,  n , не все равные 0 одновременно, такие, что
1 а1   2 а2     n an  o .
17
Пусть для определенности  к  0 , где к – одно из чисел 1, 2, ...,n. Перенесем все слагаемые, кроме  к а , из левой части равенства в правую и разделим обе части равенства на  к  0 :
ак   1 а1   2 а2     к 1 ак 1   к 1 ак 1     n an .
к
к
к
к
k
Следовательно, вектор
ak
есть линейная
комбинация векторов
а1 , а2 ,, ak 1 , ak 1 ,, аn .
Пусть теперь один из векторов системы а1 , а2 ,, аn , например, a k , является линейной комбинацией векторов а1 , а2 ,, ak 1 , ak 1 ,, аn . Докажем, что
система векторов а1 , а2 ,, ak 1 , ак , ak 1 ,, аn линейно зависима.
По условию ак  1 а1   2 а2     к 1 ак 1   к 1 ак 1     n an . Перенесем a k в правую часть и поставим это слагаемое между  к 1 ак 1 и  к 1 ак 1 :
1 а1   2 а2     к 1 ак 1   1ак   к 1 ак 1     n an  0 .
Таким
образом,
существуют
такие
числа
1 ,  2 ,,  к 1 ,  к  1  0,  к 1 ,,  n , не все равные 0 одновременно, что вы-
полняется векторное равенство
1 а1   2 а2     к 1 ак 1   к ак   к 1 ак 1     n an  0 .
Следовательно, система векторов а1 , а2 ,, аn линейно зависима. ■
30. Если часть данной системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.
□ Пусть дана система векторов
а1 , а2 ,, аn и известно, что ее подсисте-
ма а1 , а2 ,, ак , к <n, линейно зависима. Тогда существуют такие числа
1 ,  2 ,,  к , причем  i  0 , что 1 а1   2 а2     i ai     k ak  o .
Тогда 1 а1   2 а2     i ai     k ak  0  ak 1    0  an  o ,
т.е. нашлись числа 1 ,  2 ,,  i ,  i1 ,,  к ,0,0 , причем  i  0 , следовательно, система а1 , а2 ,, аn линейно зависима. ■
18
40. Система линейно независимых векторов не содержит нулевого вектора.
□
Пусть система а1 , а2 ,, аn линейно независима. Предположим, что
она содержит о . По свойству 10 система 0 линейно зависима. Тогда по свойству 30 вся система а1 , а2 ,, аn линейно зависима. Получили противоречие с
условием. ■
50. Если система векторов линейно независима, то любая ее часть линейно независима.
□
Предположим, что существует часть данной системы, являющаяся
линейно зависимой. Тогда по свойству 30 вся данная система должна быть
линейно зависимой. Получили противоречие с условием.
■
60. Система векторов а, в линейно зависима тогда и только тогда, когда
а || в .
□
Пусть система векторов а, в линейно зависима. Тогда по свойству 20
или а   в , или в   а . По теореме о коллинеарных векторах а || в .
Пусть а || в . Если один из векторов нулевой, например, а , то по свойству
40 система а , в линейно зависима. Если а  о , то по теореме о коллинеарных
векторах в   а   а   1в  о . Так как  1  0 , то система векторов а, в
линейно зависима. ■
Аналогично, пользуясь теоремой о компланарных векторах, можно доказать свойство
70. Система векторов а , в , с линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
19
Задания для самостоятельной работы
1. Дана система векторов а1  m  p, a 2  m , a3  m  p , где m || p . Докажите, что система а1 , а2 , а3 линейно зависима, двумя способами: пользуясь
определением и пользуясь свойствами линейно зависимой системы векторов.
2. Будет ли система векторов р,  5 р линейно независимой и почему?
1. Будет ли система векторов а , в , с , 3в , d линейно зависимой и почему?
2. Будет ли система векторов х , у , 2 х  у , p , q линейно зависимой и
почему?
3. Будет ли система трех некомпланарных векторов а , в , с линейно зависимой или линейно независимой и почему?
20
Лекция 3
Базис. Координаты вектора
§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
и их свойства
Множество всех векторов, на котором введена операция сложения векторов, удовлетворяющая свойствам
 
10. а   а  0 ;
20. а  0  а , 0  а  а ;
30. а  в  в  а ;
 
40. ( а  в )  с  а  в  с ,
и операция умножения вектора на число, удовлетворяющая свойствам
10. 1  а  а , 1  а  а ;
 
3 .  а  в    а   в ;
20.   а   а ;
0
40.    а   а   а ,
называется векторным пространством и обозначается через V.
Базисом векторного пространства называется система векторов, заданных в определенном порядке, которая удовлетворяет условиям:
1) система линейно независима;
2) любой вектор пространства является линейной комбинацией данной
системы векторов.
Число векторов базиса называется размерностью векторного пространства.
Выяснить, чему равна размерность векторного пространства V, позволяют следующие две теоремы, которые приведем без доказательства:
21
Теорема 1. Любая система трех некомпланарных векторов, взятых в
определенном порядке, образует базис векторного пространства.
А может ли базис пространства V состоять меньше, чем из трех векторов? Больше, чем из трех векторов? Оказывается, нет, так как справедлива
Теорема 2. Любой базис векторного пространства V состоит из трех векторов.
Эти теоремы можно доказать, пользуясь теоремами о коллинеарных и
компланарных векторах и свойствами 20 - 70 линейно зависимой системы векторов.
Из теорем 1 и 2 следует, что размерность векторного пространства V
равна 3, поэтому оно называется трехмерным векторным пространством.
Базис, состоящий из векторов е1 , е2 и е3 , обозначается так: е1 , е2 , е3
или (е1 , е2 , е3 ) . Векторы еi , i  1, 2,3 , называются базисными векторами: е1 первый базисный вектор, е2 - второй, е3 - третий.
Пусть а - произвольный вектор пространства V, (е1 , е2 , е3 ) - базис векторного пространства V.
Из теоремы 1 следует, что вектор а можно разложить по базисным векторам е1 , е2 , е3 , т.е. существуют такие действительные числа а1 , а2 , а3 , что
а  а1 е1  а2 е2  а3 е3 .
Коэффициенты а1 , а2 , а3 в этом разложении называются координатами
вектора а в базисе е1 , е2 , е3 : а1 - первая координата, а2 - вторая, а3 - третья.
Обозначают это так: а ( а1 ; а2 ; а3 ) е1 , е2 , е3 .
Когда ясно, о каком базисе идет речь, пишут так: а ( а1 ; а2 ; а3 ).
Свойства координат векторов
10. Нулевой вектор в любом базисе имеет нулевые координаты: 0 (0;0;0).
□
Разложим о по векторам базиса е1 , е2 , е3 :
22
0  0  е1  0  е2  0  е3 .
Следовательно, 0 (0;0;0) е1 , е2 , е3 . ■
20. Если е1 , е2 , е3 - базис пространства V, то е1 (1;0;0), е2 (0;1;0),
е3 (0;0;1).
□
е1  1  е1  0  е2  0  е3  е1 (1;0;0);
е2  0  е1  1  е2  0  е3  е2 (0;1;0);
е3  0  е1  0  е2  1  е3  е3 (0;0;1). ■
30. Если а ( а1 ; а2 ; а3 ), в в1 ; в2 ; в3  в базисе е1 , е2 , е3 , а р   а  в , то
р а1  в1 ; а2  в2 ; а3  в3 
в базисе е1 , е2 , е3 (координаты линейной комбинации векторов равны линейным комбинациям их соответствующих координат).
□
По определению координат вектора
а  а1 е1  а2 е2  а3 е3 , в  в1 е1  в2 е2  в3 е3 .
Тогда  а  ( а1 е1 )  ( а2 е2 )  ( а3 е3 ) , в  (в1 е1 )  (в2 е2 )  (в3 е3 ) .
Сложим почленно эти равенства и воспользуемся свойствами сложения
векторов и умножения вектора на число:
 а  в  а1 е1  а2 е2  а3 е3  в1 е1  в2 е2  в3 е3  (а1 е1  в1 е1 ) 


 (а2 е2  в2 е2 )  а3 е3  в3 е3  а1  в1 е1  а2  в2 е2  а3  в3 е3 .
По определению координат вектора
р  ( а  в ) а1  в1 ; а2  в2 ; а3  в3 . ■
Из свойства 30 получаем следствия:
Следствие 1. Каждая координата суммы (разности) двух векторов равна
сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.
Следствие 2. При умножении вектора на число каждая его координата
умножается на это число.
23
□
Чтобы доказать справедливость следствия 1, надо в свойстве 30 взять
сначала ==1, а затем =1, =-1. Для доказательства следствия 2 полагаем
■
=0.
40. Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: а  в  а1  в1 , а2  в2 , а3  в3 .
50. Пусть а ( а1 ; а2 ; а3 ), в в1 ; в2 ; в3  , аi  0 и вi  0 , i=1, 2, 3. Векторы а и
в коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты
пропорциональны:
а || в 
а1  а2  а3 .
в1 в2 в3
Пусть в1  0 . Тогда
а || в 
а1  0 и а2  а3 .
в 2 в3
Если же в1  в2  0 , то
а || в 
а1  а2  0 , а а3 и в3 - любые.
Частным случаем произвольного базиса является ортонормированный
базис. Его удобно использовать при решении метрических задач (т.е. задач,
связанных с вычислением длин отрезков (векторов) и величин углов).
Базис i , j , k называется ортонормированным, если его векторы удовлетворяют двум условиям:
Е3
1) i  j  k  1 ;
к
2) если ОЕ1  i , ОЕ2  j , ОЕ3  k (рис.
8), то углы Е1ОЕ2 , Е1ОЕ3 и Е2ОЕ3 - прямые.
i
Е2
О
j
Е1
Рис. 8
Замечание. Множество всех векторов, параллельных данной плоскости
(или лежащих в ней), образует двумерное векторное пространство, т.к. любой его базис состоит из двух неколлинеарных векторов. Поэтому любой
24
вектор этого пространства в таком базисе имеет две, а не три координаты:
а а1 ;а2  . Ортонормированный базис выглядит так: i , j (рис. 9).
j
i
Рис. 9
Задания для самостоятельной работы
1. Будут ли векторы а и 3 а образовывать базис двумерного пространства и почему?
2. Будут ли векторы а , в и 2а  в образовывать базис трехмерного пространства и почему?
3. Какие координаты имеет вектор е2 в базисе е3 , е1 , е2 ?
4. Сформулируйте свойство 50 координат векторов для следующих случаев:
а) в2  0 ; б) в3  0 ; в) в1  в3  0 ; г) в2  в3  0 .
25
Лекция 4
Нелинейные операции над векторами
§6. Скалярное произведение двух векторов
Углом между ненулевыми векторами а и в называется угол между лучами ОА и ОВ  , сонаправленными с векторами а и в соответственно и
исходящими из одной точки О (рис. 10).
 
Обозначение: а, в .
а
в
Два ненулевых вектора а и в
А
называются взаимно перпендику-
О
лярными (ортогональными), если
а, в   2 .
В
Обозначение: а  в .
Рис. 10
 
Если хотя бы один из векторов нулевой, то считают, что а , в   .
2
Итак, нулевой вектор ортогонален любому вектору.
Угол между двумя векторами а и в находится в следующих пределах:
 
0  а, в   .
Понятие угла между векторами используется при определении понятия
скалярного произведения.
Скалярным произведением двух векторов называется число (скаляр),
равное произведению их длин на косинус угла между ними. Обозначение:
а  в или а в .
 
а в  а  в  cos a, в .
Скалярным квадратом вектора а называется число, равное скалярному
произведению а  а . Обозначение: а 2.
26
Скалярное умножение векторов не является линейной операцией над
векторами.
Скалярное умножение векторов обладает геометрическими и алгебраическими свойствами. В геометрических свойствах фигурируют геометрические величины (длина, угол, перпендикулярность, проекция и т.д.), алгебраические свойства – это свойства, аналогичные свойствам сложения и умножения действительных чисел.
Геометрические свойства
скалярного умножения векторов
Г10. а в  0  а  в .
□
 
Пусть а в  0 , тогда а  в  cos a, в  0 
или а  0  а  о  а  в ;
 или в  0  в  о  в  а  а  в ;
 
 
или cos a , в  0  а , в    а  в .
2
 
Обратно, пусть а  в , тогда а , в    а в  а  в  cos   а  в  0  0 . ■
2
2
2
2
Г20. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: а  а .
□
2
 
2
2
а  а  а  cos а, а  а  а  cos00  а  1  а .■
Из этого свойства получаем важное следствие:
2
а а .
Прежде чем сформулировать третье свойство, дадим понятие проекции
вектора а на направление, определяемое вектором в .
Пусть даны два вектора а , в V.
Возьмем в пространстве произвольную точку А и отложим от нее вектор
а , т.е. АВ  а (рис. 11).
27
а
1
в
В
2
А
А1
В1
s
Рис. 11
Возьмем прямую s|| в и зададим на ней направление вектором в (такая
направленная прямая называется осью). Проведем в пространстве через точку А плоскость 1  s , через точку В – плоскость 2  s . Пусть 1  s  A1 ,
2  s  B1 .
Проекцией (скалярной) вектора a на направление, определяемое вектором в , называется число, равное
А1 В1 , если А1 В1  в ;
 А1 В1 , если А1 В1  в .
Обозначение: прв а .
Г30. а в  а  пра в  в  прв а .
Алгебраические свойства
скалярного умножения векторов
А10. а в  в а  а , в V .
       
А3 . а  в с  а с  в с  а , в , с V .
Следствие. а  в с  d   а с  а d  в с  в d . Это свойство
А20.  а в   а в ; а  в   а в  а , в V   R .
0
пространить и на большее число слагаемых.
можно рас-
28
Теорема 1 (скалярное произведение в координатах). Если в ортонормированном базисе а а1 ; а2 ; а3 , в в1 ; в2 ; в3  , то
а в  а1в1  а2 в2  а3в3 .
□
По
определению
координат
вектора
а  а1 i  a2 j  a3 k ,
в  в1 i  в2 j  в3 k . Используя свойства Г10,Г20, А10-А30 и то, что i  j , j  k ,
i  k и i  j  k  1 , получаем:


2
2
а в  ( а1 i  a2 j  a3 k ) в1 i  в2 j  в3 k  а1в1 i  a1в2 i j  a1в3 i k  a2 в1 j i  a2 в2 j 
2
 а2 в3 j k  a3в1 k i  a3в2 k j  a3в3 к  а1в1  а2 в2  а3в3 . ■
Следствие 1. а  а12  а22  а32 .
Следствие 2 (условие ортогональности двух векторов в координатах).
а  в  а1в1  а2в2  а3в3  0 .
 
Следствие 3. cos а, в 
а1в1  а2 в2  а3в3
.
а  а22  а32  в12  в22  в32
2
1
В физике скалярное произведение векторов применяется для вычисления работы силы
f по перемещению материальной точки из
М1
f
М2
положения М 1 в положение М 2 (рис. 12):
А  f  М 1М 2 .
Рис. 12
Скалярное умножение векторов широко применяется к решению содержательных геометрических задач и доказательству теорем.
Приведем пример доказательства теоремы Пифагора и теоремы косинусов.
Приложение скалярного произведения
векторов к доказательству теорем
1. Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
29
□ Пусть в АВС
С  90 0 . Докажем, что АВ 2  АС 2  ВС 2 .
Запишем сначала векторное равенство
А
для векторов, содержащих стороны
АВС , применив правило треуголь-
ника:
АВ  АС  СВ (рис. 13).
С
В
Возведем это векторное равенство в
Рис. 13
2


2
скалярный квадрат: АВ  АС  СВ .
По следствию из свойства А30
2
2
АВ  АС  2 АС  СВ  СВ
2
.
Так как АС  СВ , то по свойству Г10 АС  СВ  0 . Применив Г20, получаем:
2
2
2
АВ  АС  СВ .
Учитывая, что АВ  АВ , АС  АС , СВ  СВ (т.е. длина вектора АВ - это
длина отрезка АВ), окончательно будем иметь:
АВ 2  АС 2  ВС 2 . ■
2. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения этих сторон на
косинус угла между ними.
□ Докажем, что
АВ 2  АС 2  ВС 2  2 АС  ВС  cosC (рис. 14).
А
Представим вектор АВ в виде разности
В
векторов двух других сторон:
АВ  СВ  СА .
С
Рис. 14
Возведем обе части этого векторного равенства в скалярный квадрат:
2


2
АВ  СВ  СА .
Далее воспользуемся следствием из свойства А30:
30
2
2
2
АВ  СВ  2СВ  СА  СА .


2
2
Учитывая, что СВ  СА  СВ  СА  cos СВ, СА  СВ  СА  cosС , АВ  АВ ,
2
2
2
2
СВ  СВ и СА  СА , получим:
2
2
2
АВ  СВ  2 СВ  СА cosС  СА ,
откуда
АВ 2  СВ 2  СА2  2СВ  СА  cosC . ■
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите величину угла между векторами АВ и ВС (рис. 15).
А
450
С
В
Рис. 15
2. Может ли величина угла между векторами равняться 2700?
 
3. Произведение а в с - это число или вектор?
 
 
4. Верно ли равенство а в с  а в с ? Если да, то докажите его справедливость для любых векторов а , в и с ; если нет, то приведите пример, подтверждающий этот вывод.
5. Докажите, пользуясь скалярным произведением, что диагонали ромба
взаимно перпендикулярны, а диагонали квадрата не только взаимно перпендикулярны, но и равны.
31
Лекция 5
Нелинейные операции над векторами
§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
Пусть е1 , е2 , е3 - базис трехмерного векторного пространства.
Базис е1 , е2 , е3 называется правым (левым), если при взгляде на плоскость векторов е1 и е2 из конца третьего вектора е3 кратчайший поворот от
первого вектора е1 ко второму вектору е2 виден как идущий против часовой
стрелки (по часовой стрелке). На рис. 16 изображен правый базис, на рис. 17 –
левый.
е3
е3
е2
е1
е1
е2
Рис. 16
Рис. 17
Можно дать и другие определения правого и левого базиса, например,
такое: базис е1 , е2 , е3 называется правым (левым), если эти векторы, отложенные от одной точки, располагаются так же, как расставлены (примерно
под прямым углом) пальцы правой (левой) руки: большой палец – по первому вектору е1 , указательный – по е2 , средний – по е3 .
Мы будем пользоваться в дальнейшем первым определением.
Если два базиса правые (или левые), то говорят, что они одинаково ориентированы или имеют одинаковую ориентацию. Если один базис правый, а
другой – левый, то говорят, что они противоположно ориентированы или
имеют противоположную ориентацию.
Множество всех правых (всех левых) базисов в пространстве V называется правой (левой) ориентацией векторного пространства V.
32
Таким образом, в векторном пространстве ориентацию можно задать
двумя способами: правую и левую. Векторное пространство, в котором выбрана ориентация, называется ориентированным. Как только в пространстве
мы зададим базис, так сразу оно становится ориентированным.
В дальнейшем, если нет специальных оговорок, когда в пространстве
выбран базис, будем считать, что он является правым.
Аналогично можно ввести понятие ориентированной плоскости. При
этом базис е1 , е2 на плоскости называется правым (левым), если кратчайший
поворот от первого базисного вектора е1 ко второму осуществляется против
часовой стрелки (по часовой стрелке).
Задания для самостоятельной работы
1. Выясните, каким является базис е1 , е2 , е3 : правым или левым (рис.
18)?
е3
е2
е2
е1
е1
Рис. 18
е3
Рис. 19
2. Каким является базис е2 , е1 , е3 : правым или левым (рис. 19)? А базис
е3 , е1 , е2 ?
3. Начертите на плоскости два различных правых базиса; два различных
левых базиса.
33
§8. Векторное произведение двух векторов
Пусть i , j , k - ортонормированный базис трехмерного векторного пространства V (правый). Векторным произведением двух неколлинеарных век-
 
торов а и в называется вектор, обозначаемый а  в (или а, в ) и удовлетворяющий трем условиям:
 
1) длина а  в  а  в  sin а, в ;
2) а  в  а и а  в  в ;
3) базис а , в , а  в ориентирован так же, как базис i , j , k .
Векторным произведением двух коллинеарных векторов называется нулевой вектор.
ав
k
в
j
m
n
а
i
m n
Рис. 20
На рис. 20 изображены векторные произведения а  в и m  n .
Геометрические свойства
векторного умножения векторов
Г10. а  в  о  а || в .
 
Пусть а  в  о , тогда а  в  0  а  в  sin а, в  0 
или а  0  а  о  а || в ;
 или в  0  в  о  в || а  а || в ;
 
 
 
или sin a , в  0  а , в  0 или а, в    а || в .
Пусть а || в . Тогда по определению векторного произведения а  в  о .
34
Г20. Длина а  в векторного произведения векторов а и в равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
 
D
По определению а  в  а  в  sin а, в .
в
С другой стороны, S ABCD  AB  AD  sin A 
 
 а  в  sin а, в (рис. 21).
C
А
Следовательно, S ABCD  а  в .
а
В
Рис. 21
Алгебраические свойства
векторного умножения векторов
А10. а  в  в  а  а , в V .
   
А3 . а  в  с   а  в  а  с
А20.  а  в   а  в  а , в V   R .
0
 а , в , с V .
Замечание. Пользуясь определениями ортонормированного базиса и векторного произведения двух векторов, можно доказать, что
 
i  i  o;
i j k;
j  i  k ;
j k i;
k  j  i ;
j  j  o;
k i  j;
ik  j;
k  k  o.
Попробуйте доказать самостоятельно!
Теорема 1 (векторное произведение в координатах). Если а а1 ; а2 ; а3 ,
в в1 ; в2 ; в3  в базисе i , j , k , то
i j k
а а а а 
а а
а  в  a1 a2 a3   2 3 ,  1 3 , 1 2   а2 в3  а3в2 , а3в1  а1в3 , а1в2  а2 в1 .
в
в
в1 в3 в1 в2 
в1 в2 в3  2 3
По определению координат вектора в базисе i , j , k
а  а1 i  a2 j  a3 k , в  в1 i  в2 j  в3 k .
35
Тогда

 
а  в  а1 i  a2 j  a3 k  в1 i  в2 j  в3 k
.
Используя свойства А10-
А30 векторного умножения и замечание, получим:
а  в  а2 в3  а3в2 i  а3в1  а1в3  j  а1в2  а2 в1 k
(получите это равенство, проделав все выкладки самостоятельно).
Применение векторного произведения
Векторное произведение двух векторов применяется:
1. Для выяснения коллинеарности двух векторов: а || в  а  в  о .
2. Для вычисления площади параллелограмма: S пар. ABCD  AB  AD (рис.
22).
С
D
А
В
С
А
В
Рис. 22
Рис. 23
3. Для вычисления площади треугольника: S АВС  1 АВ  АС .
2
Задания для самостоятельной работы
1. Изобразите на чертеже векторы у  х ; р  q (рис. 24).
х
q
р
у
Рис. 24
2. Примените алгебраические свойства векторного умножения для






упрощения выражения а  в  с  в  а  с  с  а  в .
36
3. Пользуясь определением векторного произведения, докажите, что
векторы х  у и 2 х  3 у ортогональны.



4. Вычислите: 6m  p  2m  p .
5. Вычислите площадь MNK , если NK 1;0; 1 , NM 0; 2;1 .
37
Лекция 6
Нелинейные операции над векторами
§9. Смешанное произведение трех векторов
Смешанным или скалярно-векторным произведением трех векторов,
взятых в указанном порядке, называется скалярное произведение первого
вектора на векторное произведение второго и третьего.
Обозначение: а в с .
Таким образом, по определению
 
авс  а в  с .
Смешанное произведение – это число!
Геометрические свойства
смешанного умножения векторов
Г10. а в с  0  а , в , с компланарны.
 
 
Пусть а в с  0 . Тогда а  в  с  0  а  в  с .
По определению векторного произведения в  в  с и с  в  с .
Следовательно, векторы а , в , с параллельны плоскости, перпендикулярной вектору
в  с (рис. 25),т.е. векторы а , в , с компланарны.
Обратно, пусть векторы а , в и с ком-
а
вс
с
в
Рис. 25
планарны. Тогда существует плоскость  , которой они параллельны.
 
в  с  в , в  с  с  в  с   , а так как а ||  , то в  с  а  а  в  с  0 ,
т.е. а в с  0 .
Г20 (геометрический смысл модуля смешанного произведения). Если векторы а , в , с некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему V параллелепипеда с ребрами а , в , с , отложенными от
38
одной точки; а в с  V , если тройка а , в , с - правая, а в с  V , если тройка а ,
в , с - левая.
Пусть векторы а , в , с отложены от точки О (рис. 26).
 




а в с  а в  с  а  в  с  cos а, в  с . Пусть а, в  с   .
а
вс 
а
в
с
с

О
в
вс
Рис. 26
Построим на векторах а , в , с параллелепипед. За основание этого параллелепипеда примем параллелограмм со сторонами в и с (рис. 27).
Пусть n – луч, перпендикулярный основанию параллелепипеда и лежащий в том же полупространстве, что и вектор а . Пусть h – высота параллелепипеда.
n
n
а
а
h

вс
h
в
с
О
О
в
а)
вс
Рис. 27

с
б)
39
а) Если тройка а , в , с ориентирована так же, как базис i , j , k , то
n  в  с (рис. 26, а)   < 900  cos  >0  h  а cos 
 V  Sh  в  с  а  cos  а в с .
Итак, а в с  V .
б) Если тройка а , в , с ориентирована противоположно базису i , j , k ,
то n  в  с (рис. 26, б)   > 900  h  а cos180 0     а cos 
V  Sh  в  с  (  а  cos)   в  с  а  cos   а в с .
Итак, а в с  V .
Из пунктов а) и б) следует, что V  а в с .
Алгебраические свойства
смешанного умножения векторов
А10. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанного
произведения, т.е. а в с  с а в  в с а  а , в , с  V.
Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного
произведения на противоположный, т.е.
а в с  в а с  с в а  а с в ,  а , в , с  V.
Для доказательства достаточно применить доказательство свойства Г20 к
с а в и к в с а . Параллелепипед будет тот же, только за основание будет принята другая грань (в первом случае – построенная на векторах а и в , во втором – на векторах с и а ).
Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А10 векторного умножения, а
затем совершить циклическую перестановку:
     
А2 .  а в с    а в с  а  в с  а в  с 
а в с  а в  с  а  с  в   а с  в   а с в  в а с  с в а .
0
 а , в , с  V   R .
40
Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства:
 а в с   а в с ; а в с   а в с ; а в с    а в с .
Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.


А30. а1  а2 в с  а1 в с  а2 в с ;


а в1  в2 с  а в1 с  а в1 с ;


а в с1  с2  а в с1  а в с1 .
Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов.
Замечание. Смешанное произведение i j k  1.
 
2
i j k  i  j  k  i  i  i  1, т.к. j  k  i .
Теорема 1(смешанное произведение в координатах). Если а а1 ; а2 ; а3 ,
в в1 ; в2 ; в3  , с с1 ; с2 ; с3 
 
а1 а2 а3
в базисе i , j , k , то а в с  в1 в2 в3 .
с1 с2 с3
в в в в 
в в
в в
в в
а в с  а  в  с  а1 ; а2 ; а3    2 3 ; 1 3 ; 1 2   а1  2 3  а2  1 3 
с2 с3
с1 с3
 с2 с3 с1 с3 с1 с2 
а1 а2 а3
в1 в2
 а3 
 в1 в2 в3 .
с1 с2
с1 с2 с3
41
Применение смешанного произведения
трех векторов
Смешанное произведение векторов применяется:
1. Для выяснения компланарности трех векторов:
векторы а , в , с компланарны тогда и только тогда, когда а в с  0 .
2. Для вычисления объема параллелепипеда: Vпда  АВ  АD  АА1 (рис. 28).
А1
А1
D1
С1
В1
С1
В1
А
D
А
В
Рис. 28
D
С
В
С
А
С
В
Рис. 29
Рис. 30
3. Для вычисления объема треугольной призмы:
V АВСА1 В1 С 1  1 АВ  АС  АА1 (рис. 29).
2
4. Для вычисления объема тетраэдра (треугольной пирамиды):
V АВСD  1 АВ  АС  АD (рис. 30).
6

Задания для самостоятельной работы



1. Вычислите а  в  с а  в  с  а  в  с , если а в с  5 .
2. Докажите, что если а || в , то а в с  0 .
3. Выясните, какой является тройка векторов а  1;2;3  , в 0;1; 1 , с 1;1;0 
(левой или правой).
4. Докажите, что векторы а , в , с , удовлетворяющие условию а  в  в  с 
 с  а  0 ,компланарны.
5. Найдите объем треугольной призмы АВСА1В1С1, если
АС 1;1;0 , АА1 1; 1;1 .
АВ 3;0; 2 ,
42
АВ 0;1;0  ,
6. Найдите объем тетраэдра ABCD, если
ВС 2; 1;0  ,
АD 1;3;3  .
Метод координат
на плоскости и в пространстве
Лекция 7
Аффинная и прямоугольная декартова
системы координат
§10. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой
систем координат
Четверка, состоящая из точки О и базиса е1 , е2 , е3 в пространстве, называется аффинной системой координат в пространстве и обозначается О е1 е2 е3


или О , е1 , е2 , е3 (рис. 31).
е3
Точка О называется началом координат,
векторы еi , i  1, 2,3 , - координатными векто-
е2
О
е1
рами: е1 - первый координатный вектор, е2 -
Рис. 31
второй, е3 - третий.
Направленные прямые, на которых положительное направление определяется базисны-
z
ми векторами и которые проходят через точку
е3
О, называются координатными осями:
О,е  - ось абсцисс;
О ,е  - ось ординат;
О,е  - ось аппликат (рис. 32).
е1
1
О
е2
у
2
3
х
Рис. 32
Оси абсцисс, ординат и аппликат обозначаются и так: Ох, Оу, Оz.
43
Плоскости, определяемые осями Ох и Оу, Оу и Оz, Ох и Оz, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Oxz, а систему координат
О е1 е2 е3 иногда обозначают Oxyz.
М
Пусть О е1 е2 е3 - аффинная система координат, М – произвольная точка пространства.
Вектор
ОМ
называется радиус-вектором
е3
е2
О
точки М относительно точки О (рис. 33).
Понятие координат точки вводится на
основе понятия координат вектора.
е1
Рис. 33
Координатами точки М в системе координат О е1 е2 е3 называются координаты ее радиус-вектора ОМ в базисе е1 , е2 , е3 .
Обозначение М  х; у; z О е1 е 2 е3 или просто М(х;у;z): х – абсцисса точки М, у
– ордината, z – аппликата.
Если в пространстве задана аффинная система координат, то устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками (х;у;z) действительных чисел.
Рассмотрим особенности расположения точки относительно аффинной системы координат, если некоторые ее координаты являются нулевыми. Пусть
М(х;у;z).
1) Если z=0, то М(х;у;0)  ОМ  х е1  у е2  0е3  х е1  у е2  М  Оху .
Верно и обратное: М  Оху  z=0.
2) Докажите самостоятельно, что если у=0, то М  Охz , и наоборот, если
М  Охz , то у=0.
3) Докажите самостоятельно, что если х=0, то М  Оуz , и наоборот, если
М  Оуz , то х=0.
4) Если z=0 и у=0, то М  Оху и М  Охz  М  Оху  Охz  Ох 
М  Ох . Верно и обратное: М  Ох  z=0 и у=0.
Докажите самостоятельно, что:
44
5) Если х=0 и у=0, то М  Оz и наоборот, если М  Оz , то х=0 и у=0.
6) Если х=0 и z=0, то М  Оу и наоборот, если М  Оу , то х=0 и z=0.
7) Так как О  Оху  Оуz  Oxz , то из пунктов 1) – 3) следует, что О(0;0;0) в
системе координат Охуz .
Чтобы построить точку М(х;у;z) по ее координатам в системе координат
О е1 е2 е3 , надо сначала построить точку М1(х;0;0), затем точку М2(х;у;0), а затем
точку М(х;у;z). Процесс построения этих точек показан на рис. 34. Ломаная
ОМ1М2М называется координатной ломаной точки М.
Система
координат
называется
М
прямоугольной декартовой, если ее базис
является ортонормированным. Обозначение
прямоугольной
декартовой


е3
системы
О
координат: Oi j k или O, i , j , k , где i  j 
М1
е1
е2
М2
 k  1, i  j , i  k и j  k .
Прямоугольная декартова система коорди-
Рис. 34
нат является частным случаем аффинной.
Замечание. На плоскости аффинная система координат состоит из точки
О (начала координат) и двух базисных векторов е1 и е2 (координатных векторов) (рис. 35). Поэтому в системе координат на плоскости любая точка
имеет две координаты М  х; у О е1 е2 . Прямоугольная декартова система координат на плоскости изображена на рис. 36.
е2
j
е1
О
О
Рис. 35
i
Рис. 36
Задания для самостоятельной работы
45
1. Известны координаты точки М(-2;1;0) в аффинной системе координат
О е1 е2 е3 . Каковы координаты точки М в системе координат О е2 е3 е1 ?
2. Дано изображение аффинной системы координат О е1 е2 е3 . Постройте
точки Р(0;-2;0), Q(0;-3;-1), N(-1;2;-4).
3. М – центр тяжести (точка пересечения медиан) треугольника АВС.
Найдите координаты точки В в системе координат М , МА, МС , не достраивая
треугольник АМС до параллелограмма.
4. Докажите, пользуясь определением координат точки, что если соответственные (одноименные) координаты двух точек равны, то эти точки совпадают.
§11. Основные аффинные и метрические задачи
Задача называется метрической, если в ней фигурируют метрические
свойства фигур, т.е. свойства, которые можно выявить непосредственным
измерением (длина отрезка, расстояние между точками, расстояние от точки
до прямой или плоскости, величина угла, перпендикулярность, площадь,
объем). В аффинных задачах метрические свойства не рассматриваются. Аффинные задачи решаются в аффинной системе координат, а, следовательно, и
в прямоугольной декартовой. Метрические задачи удобно решать в прямоугольной системе координат.
Основные аффинные и метрические задачи, решаемые с помощью координат, сформулируем в виде теорем.
Основные аффинные задачи
1. Координаты вектора, заданного двумя точками.
Теорема 1. Если в аффинной системе координат О е1 е2 е3 Аа1 ; а 2 ; а 3  и
В в1 ; в2 ; в3  , то АВ в1  а1 ; в2  а2 ; в3  а3  .
Представим вектор АВ в виде разности векторов ОВ и ОА :
46
АВ  ОВ  ОА .
Так как Аа1 ; а 2 ; а 3  , то по определению координат точки ОАа1 ; а2 ; а3  .
Аналогично ОВ в1 ; в2 ; в3  . Применяя свойство координат векторов (координаты разности двух векторов равны разности их соответствующих координат),
получаем,
что
в1  а1 ; в2  а2 ; в3  а3  
вектор
ОВ  ОА
имеет
координаты
АВ в1  а1 ; в2  а2 ; в3  а3  .
2. Деление отрезка в данном отношении.
Говорят, что точка М делит направленный отрезок М1М 2 в отношении
  1 , если выполняется векторное равенство:
М 1М   ММ 2 .
(1)
Число   1 при этом называется простым отношением трех точек М1, М2
и М. Простое отношение трех точек М1, М2 и М обозначается так:
М 1М 2 , М  .
Почему в определении деления отрезка в данном отношении   1 ?
Пусть М1  М2 и точка М делит направленный отрезок М1М 2 в отношении =-1. Тогда по определению деления отрезка в данном отношении
М 1М  1  ММ 2 ,
т.е. М 1М   ММ 2  М 1М  М 2 М  ММ1  ММ 2 . А так как начало у векторов ММ 1 и ММ 2 общее и они равны, то М1=М2. Получили противоречие с
условием, следовательно,   1 .
Из векторного равенства (1) следует, что если   0 , то М 1 М  о , т.е.
точка М совпадает с точкой М1; если >0, то точка М лежит внутри отрезка
М 1М 2  (рис. 37), т.е. М1  М  М 2 ; если <0, то точка М лежит на прямой
М 1М 2  вне отрезка М 1М 2  (рис. 38), т.е. М  М1  М 2 или М1  М 2  М .
М1
М2
М
М
М1
М2
Рис. 37
М
М2
М1
Рис. 38
47
Теорема 2. Пусть в аффинной системе координат О е1 е2 е3 М 1  х1 ; у1 ; z1  ,
М 2  х2 ; у 2 ; z 2  . Тогда координаты точки М  х; у ; z  , делящей направленный
отрезок М1М 2 в отношении   1 , находятся по формулам:
у1  у 2
; z  z1  z 2 .
х  х1  х2 ; у 
1 
1 
1 
(2)
По определению деления отрезка в данном отношении М 1М   ММ 2 .
По
теореме
1
М 1М  х  х1 ; у  у1 ; z  z1  ,
ММ 2  х2  х; у2  у; z2  z  .
М1
Тогда
М2
е3
 ММ 2 ( х2  х ); ( у2  у ); ( z2  z )  . Так как
О
два вектора равны тогда и только тогда, когда
равны их соответствующие координаты, то
М
е2
е1
х  х1    х2  х  ; у  у1    у 2  у ; z  z1 
Рис. 39
у1  у 2
; z  z1  z 2 .
   z 2  z  , откуда получаем: х  х1  х2 ; у 
1 
1 
1 
Формулы (2) называются формулами деления отрезка в данном отношении в координатах.
Из теоремы 2 получаем
Следствие. Если М(х;у;z) – середина отрезка М1М2 с концами
у1  у 2
М 1  х1 ; у1 ; z1  и М 2  х2 ; у 2 ; z 2  , то х  х1  х2 , у 
, z  z1  z 2 .
2
2
2
Так как М – середина М1М2, то М 1М  ММ 2  =1. Применяя формулы деления отрезка в данном отношении в координатах, получаем:
у1  у 2
, z  z1  z 2 .
х  х1  х2 , у 
2
2
2
Основная метрическая задача
48
Теорема 3(расстояние между двумя точками в координатах). Если в
прямоугольной декартовой системе координат Oi j k Аа1 ; а 2 ; а 3  , В в1 ; в2 ; в3  ,
то расстояние АВ между точками А и В находится по формуле:
АВ 
в1  а1 2  в2  а2 2  в3  а3 2 .
Учитывая, что АВ  АВ , АВ в1  а1 ; в2  а2 ; в3  а3  и используя формулы
для нахождения длины вектора в координатах, получаем:
АВ 
в1  а1 2  в2  а2 2  в3  а3 2 .
Формулы, доказанные в теоремах 1 и 2, можно использовать и в аффинной, и в прямоугольной декартовой системе координат, а формулу из теоремы
3 – только в прямоугольной декартовой системе координат.
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите координаты точки А, если В(3;0;-2), АВ 7;1;0  .
2. С – середина отрезка АВ. Найдите координаты точки В, если А(1;0;-4),
С(3;1;0).
3. Точки Р и Q лежат внутри отрезка АВ, причем АР=РQ=QВ. Найдите
(ВQ,А).
4. На плоскости дан отрезок [АВ]. Постройте точку С, делящую направленный отрезок АВ в отношении   5 ;   3 .
4
5. Известны координаты вершин треугольника АВС: А(4;3), В(0;5),С(-2;2).
Пользуясь теоремой, обратной теореме Пифагора, выясните, будет ли этот
треугольник прямоугольным.
6. Можно ли вывести формулы для нахождения расстояния между двумя
точками, координаты которых даны в аффинной системе координат?
49
Лекция 8
Формулы преобразования координат
§12. Преобразование аффинной системы координат
Возьмем на плоскости две аффинные системы координат О е1 е2 и О ' е1 'е2 ' .
Первую назовем старой, вторую - новой. Пусть М – произвольная точка плоскости, которая в старой системе О е1 е2 имеет координаты х,у, а в новой системе
О ' е1 'е2 ' - координаты x ' , y ' (рис. 40).
Задача преобразования координат состоит
е2
в следующем: зная координаты нового начала и
е2 '
О
О'
е1
новых
координатных
векторов
в
старой
системе:
е1 '
М
О '  х0 ; у0  , е1 'с11 ; с21  , е1 'с12 ; с22  ,
(3)
выразить координаты х,у точки М в старой сиРис. 40
стеме координат, через координаты x ' , y ' этой
точки в новой системе.
Из формул (3) следует, что
е1 '  с11 е1  с21 е2 ; е2 '  с12 е1  с22 е2 ; ОО'  х0 е1  у0 е2 .
(4)
ОМ  ОО'  О' М (по правилу треугольника).
Так как М  х; у О е1 е 2 , М  х' , y ' O 'e1 ' e 2 ' , то по определению координат точки
ОМ  х; у е1 е 2 , O ' M  х ' , y ' e1 ' e 2 ' , т.е. ОМ  х е1  у е2 ; О' М  х ' e1 '  y ' e2 ' .
Тогда, используя формулы (4), получим:
х е1  у е2  х0 е1  у0 е2  с11х ' е1  с21x ' е2  с12 у ' е1  с22 y ' е2 ,
50
т.е. х е1  у е2  c11x 'c12 y ' x0 e1  c21x 'c22 y ' y0 e2 ,
откуда находим:
x  c11x ' c12 y ' x0 ;
(5)
y  c21x ' c22 y ' y0
.
Так выражаются координаты х,у произвольной точки М в старой системе
О е1 е2 через ее координаты х ' , y ' в новой системе О ' е1 'е2 ' .
Формулы (5) называются формулами преобразования аффинной системы
координат.
Коэффициенты с11 , с12 при х ' - координаты нового вектора е1 ' в старой системе О е1 е2 ; коэффициенты с12 , с22 при у ' - координаты нового вектора е2 ' в
старой системе, свободные члены x0 , y0 - координаты нового начала O ' в старой системе:
Координаты точки М
в новой системе О ' е1 'е2 '
х
=
с11
х'
+
с12
у'
+
х0
у
=
с21
х'
+
с22
у'
+
у0
Координа-
Координа-
Координа-
Координа-
ты точки
ты нового
ты нового
ты нового
М в старой
вектора е1 '
вектора
начала O '
системе
в старой
е2 ' в ста-
в старой
О е1 е2
системе
рой систе-
системе
О е1 е2
ме О е1 е2
О е1 е2
51
с с
Таблица  11 12  называется матрицей перехода от базиса е1 , е2 к базису
 с21 с22 
e1 ' , e2 ' .
Частные случаи преобразования аффинной
системы координат
1. Перенос начала.
При этом преобразовании е1 '  e1 , е2 '  e2 , а O '  O (рис. 41).
Найдем координаты векторов e1 ' и e2 ' в старой системе, т.е. с11 , с21 , с12
и с22 :
е1 '  e1  е1 '  1  e1  0  е2  с11  1, с21  0 ;
е2 '  e2  е2 '  0  е1  1  e2  с12  0 , с22  1 .
Тогда формулы (5) примут вид:
х  х '  х0 ;
у  у ' у 0 .
(6)
Формулы (6) называются формулами переноса начала.
е2
e 2 '  е2
е2
е1 '
e2 '
О
е1
О'
е1 '  е1
О'=О
е1
Рис. 42
Рис. 41
2. Замена координатных векторов.
При этом преобразовании системы координат имеют общее начало и отличаются координатными векторами (рис. 42).
Так как О '  O , то x0  0 , y 0  0 . Тогда формулы (5) примут вид:
x  c11x ' c12 y ' ;
y  c 21 x ' c 22 y ' .
(7)
52
Формулы (7) называются формулами замены координатных векторов.
Задания для самостоятельной работы
1. Напишите формулы преобразования аффинной системы координат
О е1 е2 в аффинную систему координат О ' е1 'е2 ' , если О '  3;5 , е1 '2;1 ,
e2 ' 4;7  в системе О е1 е2 .
2. Может ли матрица перехода от базиса е1 , е2 к базису e1 ' , e2 ' иметь
вид  1  3  и почему?
 2 6 
3. Напишите формулы переноса начала, если О ' а; в  в системе координат О е1 е2 .
4. Напишите формулы замены координатных векторов, если е1 'm; p  ,
e2 'q; s .
5. Запишите матрицу перехода от базиса е1 , е2 к базису e1 ' , e2 ' в случае:
а) переноса начала;
б) замены координатных векторов.
§13. Понятие направленного угла между векторами.
Преобразование прямоугольной системы координат
Понятие направленного угла между векторами вводится на ориентированной плоскости.
Пусть а и в - ненулевые векторы, заданные в определенном порядке ( а первый вектор, в - второй вектор).
Если а || в , то направленным углом между вектором а и вектором в
называется
53
 
величина  а, в , если базис а , в - левый.
величина а, в , если базис а , в - правый;
Если а  в , то направленный угол между ними считается равным 0 0 ,
если а  в , то 180 0 (рис. 43).
Направленный угол между вектором а и вектором в обозначается так:
a,в .
в
^
a, в   0
^
а
в
а
в
а
a, в   а, в   120
а
в
^
0
0
a, в   а, в   120
^
a, в   180
^
0
0
Рис. 43
На чертеже направленный угол между векторами а и в показывают дугой со стрелкой, идущей от первого вектора ко второму.
Из определения направленного угла между векторами а и в следует, что
он находится в следующих пределах:
 ^ 
 180   a , в   180 0 .


0
Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы координат O i j и
O ' i ' j ' . Пусть М(х;у) в O i j , М  х ' , y '  в O ' i ' j ' . Так как прямоугольная система
координат - частный случай аффинной, то можно пользоваться формулами
(5) из §12, но коэффициенты с11 , с21 , с12 , с22 уже не могут быть произвольными.
Найдем координаты векторов i ' , j ' в старой системе O i j . Рассмотрим
два случая.
54
1) Базисы i , j и i ' , j ' одинаково ориентированы (рис. 44).
j
j'
О
i'
О'
i
Рис. 44
 ^ 
Пусть направленный угол  i ,i '    . Приведем векторы i ' и j ' к общему
 
началу О (рис. 45).
В1
В
j'
j'
 j
i'
i'
А

О
i
О'
А1
Рис. 45
Прямоугольные треугольники А1ОА и В1ОВ равны по гипотенузе и
острому углу ( ОА  i '  1  j '  OB , А1ОА    В1ОВ ), следовательно,
ОА1  ОВ1 и АА1  ВВ1 .
Из А1ОА находим:
с11  ОА1  ОА  cos  i '  cos  1  cos  cos ;
c21  АА1  ОА  sin   i '  sin   1  sin   sin  .
Следовательно, i 'cos ; sin   .
c12   BB1   AA1   sin  ; c22  OB1  OA1  cos .
Следовательно, j ' sin ; cos . Тогда формулы (5) примут вид:
55
x  x ' cos   y ' sin   x0 ;
y  x ' sin   y ' cos   y 0 .
(8)
Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса i , j к базису i ' , j '
cos  sin   cos2   sin 2   1 .
sin  cos
2) Базисы i , j и i ' , j ' противоположно ориентированы (рис. 46).
i'
О'
j
j'
О
i
Рис. 46
 ^ 
Пусть  i ,i '    . Приведем векторы i ' и j ' к общему началу О (рис. 47).
 
j
i'
А
i
А1
i'
О'

О
j'
j'
В
В1
Рис. 47
Рассуждая аналогично случаю 1), получим:
c11  OA1  OA  cos  i ' cos  cos ;
с21  AA1  OA  sin   i ' sin   sin  ;
56
c12  BB1  AA1  sin  ; с22  OA1   cos .
Следовательно, i 'cos ; sin   ; j 'sin ; cos  .
Тогда формулы (5) примут вид:
x  x ' cos   y ' sin   x0 ;
y  x ' sin   y ' cos   y0 .
(9)
Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса i , j к базису i ' , j ' в
этом случае
cos sin    cos2   sin 2   1 .
sin   cos
Формулы (8) и (9) можно объединить:
x  x ' cos   y ' sin   x0 ,
y  x ' sin   y ' cos   y0 ,
  1 , если базисы i , j и i ' , j ' одинаково ориентированы,

где   
 1
 , если базисы i , j и i ' , j ' противоположно ориентированы.
cos   sin    .
sin   cos
Частные случаи преобразования
прямоугольной системы координат
1. Перенос начала:   0 0 ,   1 .
x  x '  x0 .
y  y ' y0
2. Поворот координатных векторов на угол : х0  у0  0 ,   1 .
x  x ' cos  y ' sin 
y  x ' sin   y ' cos.
Задания для самостоятельной работы
57
1. Определите (приближенно), чему равна величина направленного угла
 ^ 
 х , у  (рис. 48, а, б).




х
у
у
а)
2.
х
Рис. 48
б)
Может ли величина направленного угла между векторами быть
равна  100 0 ? 240 0 ?  270 0 ? Почему?
3.
Найдите формулы преобразования прямоугольной системы коор-
динат, если координатные векторы повернуты на угол   90 0 , а начало координат перенесено в точку  7;6  .
4.
Как по формулам преобразования координат узнать, какая систе-
ма координат подвергается преобразованию: аффинная или прямоугольная?
5.
Сделайте чертежи старой и новой систем координат для частных
случаев преобразования прямоугольной декартовой системы координат.
§14. Полярные координаты
Если указано правило, по которому положение точек плоскости можно
определить с помощью упорядоченных пар действительных чисел, то говорят, что на плоскости задана система координат. Кроме аффинной системы
координат, которая была рассмотрена в §10, в математике часто применяют
полярную систему координат на плоскости.
Система полярных координат вводится на ориентированной плоскости.
58
Пара, состоящая из точки О и единичного вектора i , называется поляр-
 
ной системой координат и обозначается Oi или O, i . Направленная прямая
 
OP  O , i называется полярной осью, точка О - полюсом (рис. 49).
Пусть М – произвольная точка плоскости.
О
Р
i
Расстояние

от точки О до точки М
называется полярным радиусом точки М.
Рис. 49
Таким образом,   ОМ . Если М совпадает с О, то   0 . Для любой точки
М ее полярный радиус
0     .
 ^ 
Направленный угол    i ,OM  называется полярным углом точки М


М
(рис. 50).
Если М совпадает с полюсом О, то  - неопределенный. Из определения направленного

О
угла между векторами (см. §13) следует, что по-
Р
i
Рис. 50
лярный угол
    .
Полярный радиус  и полярный угол  называются полярными координатами точки М.
На рис. 51 построены точки А3;0  ,
В  1; 3   , С  2; 2   по их полярным коор 3 
 4 
динатам.
С
О
В
М
j
О

Рис. 52
i
 3
4
А
Р
Рис. 51
Выведем формулы перехода от поляр-
М1 Р
i
2
3
ных координат к прямоугольным декартовым и обратно.
59
Пусть Oi - полярная система координат на ориентированной плоскости,
М  О , М ;   в Oi . Присоединим к полярной системе Oi единичный вектор
j , ортогональный вектору i так, чтобы базис i , j был правым (рис. 52).
 ^ 
   i ,OM  ,   ОМ .


Пусть М(х;у) в O i j . Тогда x  OM1  OM  cos   cos ;
y  MM 1  OM  sin    sin  (рис. 52).
Получили формулы перехода от полярных координат к прямоугольным:
Возведем обе части этих
х   cos,
y   sin .
х 2  у 2   2 , откуда  
х 2  у 2 (корень берется со знаком «+»,
равенств в квадрат и сложим:
y
x
; sin   

х2  у2
т.к.   0 ). М  О    0  cos  x 

y
х у
2
2
.
Получили формулы перехода от прямоугольных декартовых координат к
полярным:

cos 
sin  
х2  у2 ,
x
,
х  у2
2
y
х2  у2
.
Замечание. При решении задач на переход от прямоугольных декартовых
координат к полярным недостаточно найти только cos или только sin  , т.к.
по одной тригонометрической функции определить полярный угол однозначно
невозможно: в промежутке  ;  существуют два угла с одинаковыми косинусами (два угла с одинаковыми синусами) (рис. 53). Поэтому правильно
найти полярный угол  вы сможете, только если одновременно вычислите
cos и sin  .
a
cos  a
О
О
в
sin   в
60
Задания для самостоятельной работы
1. Может ли полярный угол быть равным 225 0 ? 6  ?  5  ?  4  ? Поче5
6
3
му?
2. Постройте точки M  5;   , K  1;   , N  4;  5   .
2
6 
 6


3. Найдите прямоугольные декартовы координаты точки M  2;    .
4



4. Известны прямоугольные декартовы координаты точки Q  4 3 ; 4 .
Не выполняя построения точки Q, найдите ее полярные координаты.
5. Выведите формулу расстояния между двумя точками A1 ;1  и
B  2 ; 2 , заданными полярными координатами.
61
Прямая линия на плоскости
Лекция 9
Прямая в аффинной системе координат
§15. Различные уравнения прямой
Говорят, что уравнение G  x , y   0 есть уравнение линии  , если выполняются два условия:
1) если точка M принадлежит линии  , то ее координаты удовлетворяют уравнению G  x , y   0 ;
2) если координаты точки M удовлетворяют уравнению G  x , y   0 , то
M  .
Заметим, что условие 2) можно заменить на эквивалентное ему условие
2*):
2*) если M   , то ее координаты не удовлетворяют уравнению
G  x, y   0 .
Линия на плоскости называется алгебраической, если в какой-либо аффинной системе координат уравнение этой линии можно представить в
F  x , y   0 , где F  x , y   многочлен от переменных х и у , т.е. сумма членов
вида ах s y t , a  R, s , t  Z , s , t  0 .
Число s  t называется степенью члена ах s y t , где а  0 .
Наивысшая степень членов многочлена F  x , y  называется степенью
этого многочлена. Например, степень многочлена F  x, y   3 х 2  ху 3  2 х 3 у 4
равна 7.
62
Порядком алгебраической линии, заданной уравнением F  x , y   0 , называется степень многочлена F  x , y .
Из школьного курса известно, что прямая линия является линией первого порядка, а окружность, гипербола и парабола – линиями второго порядка.
Рассмотрим на плоскости прямую линию. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Направляющий вектор прямой l будем обозначать через al . Прямая имеет
бесконечное множество направляющих векторов. Любые два из них коллинеарны (рис. 54).
Прямая на плоскости однозначно задается точкой и направляющим вектором или двумя точками.
Выведем несколько уравнений прямой на плоскости в аффинной системе

координат Ое1е2 .

ad
l
M
M0
Рис. 54
d
Рис. 55
1. Каноническое уравнение прямой.
Пусть прямая d задана точкой M 0  x0 ; y0  и направляющим вектором


ad a1 ;a2  (рис. 55). Этот факт будем обозначать так: d   M 0 , ad  .

Если точка M  x; y  принадлежит прямой d , то M 0 M || a d . Находим ко-
ординаты вектора M 0 M : M 0 M  x  x0 ; y  y0  . Далее применяем условие
коллинеарности двух векторов в координатах (см. § 5, свойство координат
векторов 50):
x  x0  y  y0 , если a  0, a  0 ;
1
2
a1
a2
x  x0  0 , если a1  0, a2  0 ;
63
y  y 0  0 , если a1  0, a2  0 .

Если M  x; y  d , то M 0 M || ad . Следовательно,
x  x0  y  y0 , если a  0, a  0 ;
1
2
a1
a2
x  x0  0 , если a1  0, a2  0 ;
y  y0  0 , если a1  0, a2  0 .
Итак, доказано, что точка M принадлежит прямой d тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению
x  x0  y  y0 (если a  0, a  0 );
1
2
a1
a2
(10)
x  x0  0 (если a1  0, a2  0 );
(11)
y  y 0  0 (если a1  0, a2  0 ).
(12)
Каждое из уравнений (10), (11) и (12) называется каноническим уравнением прямой на плоскости.
В уравнениях (10)-(12) х0 , у 0  координаты фиксированной точки М 0
прямой d ; а1 , а2  координаты направляющего вектора прямой d ; х, у 
текущие координаты произвольной точки прямой d .
2. Параметрическое уравнение прямой.
Пусть прямая d задана точкой M 0  x0 ; y0  и направляющим вектором

ad a1 ;a2  .


M  x; y  d  M 0 M || ad (рис. 54)  t  R | M 0 M  tad (по теореме о
коллинеарных векторах).
Записывая это условие в координатном виде, получаем:
x  x0  a1t ,
x  x0  a1t ,
или y  y0  a2t , t  R.
y  y0  a2 t , t  R ,
(13)
Система уравнений (13) называется параметрическим уравнением прямой на плоскости. Действительное число t называется параметром. Геометрический смысл параметра t состоит в следующем: для любой точки
64
M  x; y  d существует единственный параметр t  R , удовлетворяющий
уравнениям (13), и обратно,  t  R  M  x; y  | x  x0  a1t и y  y0  a2t .
3. Уравнение прямой, заданной двумя точками.
Пусть M 1  x1 ; y1 , M 2  x2 ; y 2  d (рис. 56). Тогда в качестве направляющего вектора прямой d можно взять вектор M 1M 2 , т.е.

ad  M1M 2  x2  x1 ; y2  y1 .
Таким образом, прямая d задана точкой M 1 и
d
M2
M1
направляющим вектором M 1M 2 . Применяем кано-
Рис. 56
ническое уравнение прямой (10) (см. пункт 1):
x  x1  y  y1
x2  x1 y 2  y1
(14)
Уравнение (14) называется уравнением прямой, заданной на плоскости
двумя точками M 1  x1 ; y1  и M 2  x2 ; y 2  .
Заметим, что если x2  x1  0 или у 2  у1  0 , то применяем частные случаи (11) или (12) канонического уравнения прямой.
4. Уравнение прямой в «отрезках».

Пусть прямая d пересекает ось Ох аффинной системы координат Ое1е2
в точке Аа ; 0  , ось Оу  в точке В 0; в  , где а, в  R, a  0, в  0 (рис. 57).
Применяя уравнение прямой, задан-
В 0; в 
ной двумя точками А и В, получим:
d
ха  у0;
0а в0
А а ; 0 
х  а  у ; х 1 у ,
а
в а
в
y

е2
О

е1
x
Рис. 57
откуда получаем уравнение:
х  у  1.
а в
Уравнение (15) называется уравнением прямой «в отрезках».
(15)
65
Геометрический смысл а и в в уравнении прямой «в отрезках»: а – это
абсцисса точки пересечения прямой d с осью Ох , в – ордината точки пересечения прямой d с осью Оу аффинной системы координат.
5. Уравнение прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом.
Пусть d  прямая, не параллельная оси

Оу (рис. 58), ad a1 ;a2   направляющий век

тор прямой d . Так как d || Оу , а ad || d , то ad ||


Оу . Следовательно, ad || е2 0;1. Поэтому
а1  0 (см. условие коллинеарности векторов в
y

аd

е2
d
М0

е1
О
координатах).
x
Рис. 58
Число k  a2 называется угловым коэффициентом прямой d .
a1
Угловой коэффициент прямой не зависит от выбора направляющего вектора этой прямой (попробуйте доказать это самостоятельно).
Замечание. Если прямая d задана в прямо
угольной системе координат Oi j , то k имеет
y
простой геометрический смысл: k  tg , где  
угол наклона прямой d к оси Ох , т.е. направленный угол
 
i , ad

 (рис. 59).

j
О
Пусть прямая d задана точкой М 0  х0 ; у0 
d

аd
 

i
x
Рис. 59
и угловым коэффициентом k .
Запишем каноническое уравнение прямой d :
х  х0  у  у 0
а1
а2
у  у0 а2
и преобразуем его: х  х0  а1 ;
 ; учитывая, что а2  k , получим:
а1
у  у0 а2 х  х0 а1
y  y0  k  x  x0 .
(16)
66
Уравнение (16) называется уравнением прямой, заданной точкой и угловым
коэффициентом.
6. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Пусть d  Oy  B 0; в , k  угловой коэффициент прямой d . Применяя
уравнение (16), получим: у  в  k  x  0  , т.е.
y  kx  в .
(17)
Уравнение (17) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.
В уравнении (17) в – это ордината точки пересечения прямой d с осью
Оу .
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите каноническое уравнение оси Ох ; оси Оу аффинной системы

координат Ое1е2 .
2. Найдите каноническое уравнение прямой, отсекающей на координатных осях отрезки а  в  1 .
3. Могут ли числа а и в в уравнении прямой «в отрезках» быть равными
нулю одновременно? Почему? Может ли только одно из чисел равняться 0?
Почему?
4. Какое из следующих шести уравнений является уравнением прямой в
«в отрезках», а какое – не является и почему? Как привести его к виду «в отрезках»?
у
а) х   1 ;
6 2
3
у
г) 3 х   1 ;
2 5
у
ж) х   1  0 ;
4 2
у
б) х   1 ;
3 7
у
д) х   1 ;
4 2
у
з) х   1 ;
5 1
3 8
у
 1;
в) х 
 10  1
у
е) х   1;
1 9
4 2
у
и) х   0 .
6 11
67
5. Напишите уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок
в  2 и имеющей угловой коэффициент
5.
6. Почему для прямой, параллельной оси Оу , не существует уравнения
с угловым коэффициентом? Существует ли для такой прямой уравнение
прямой, заданной точкой и угловым коэффициентом и почему?
7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А2; 5  и не
имеющей углового коэффициента.
8. Напишите уравнения всех прямых, содержащих стороны правильного
шестиугольника ABCDEF , если сторона шестиугольника равна а, а система

координат Oi j выбрана так, что начало О совпадает с точкой А, точка В лежит на положительном луче оси Ох и точка Е – на положительном луче оси
Оу .
9. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку А8; 6  и
отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12. Система
координат прямоугольная декартова.
10.Можно ли пользоваться уравнениями (10)-(17) в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости и почему?
§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
Докажем следующую теорему об общем уравнении прямой:
Теорема 1. Любая прямая на плоскости задается в аффинной системе координат уравнением первой степени с двумя неизвестными Ах  Ву  С  0 ,
где А и В не равны 0 одновременно. Обратно, линия на плоскости, заданная в
аффинной системе координат уравнением первой степени Ах  Ву  С  0
(где А и В не равны 0 одновременно), есть прямая. Вектор  В; А  является
направляющим вектором этой прямой.
68
□ Пусть

  прямая, М 0  х0 ; у0   , а а1 ; а2  ||  . Запишем каноническое
уравнение прямой  :
х  х0  у  у 0 .
а1
а2
Преобразуем его: а2  х  х0   а1  у  у0 ; а2 х  а2 х0  а1 у  а1 у0 ;
а2 х  а1 у  а1 у0  а2 х0  0; а2 х   а1  у   а2 х0  а1 у0   0 .
Положим А  а2 , В   а1 , С   а2 х0  а1 у0 . Тогда уравнение прямой  имеет
вид:
 : Ах  Ву  С  0 .

Так как а  0 (по определению), то а1 и а2 не равны 0 одновременно, следо-
вательно, А и В не равны 0 одновременно.
Докажем обратное утверждение. Пусть некоторая линия  задана в аффинной системе координат на плоскости уравнением Ах  Ву  С  0 , где
А2  В 2  0 . Докажем, что   прямая.
Найдем уравнение прямой d , заданной точкой M 0   C ; 0  и направля A 

ющим вектором a d  B ; A  , где А, В и С взяты из уравнения линии  :
x C y0
A
d:
.
B
A
A x  C    By; Ax  C   By .
A



d : Ах  Ву  С  0 , причем А2  В 2  0 , т.к. ad  B; A   00; 0  .
Преобразуем
это
уравнение:
Итак,
Уравнение прямой d в точности совпадает с уравнением линии  , следовательно,  совпадает с d , т.е.  есть прямая.
Так как вектор  В; А  является направляющим вектором прямой d , а 
совпадает с d , то  В; А   направляющий вектор прямой  . ■
Уравнение Ах  Ву  С  0 называется общим уравнением прямой;
х и у – текущие координаты произвольной точки прямой.
69
Частные случаи общего уравнения прямой
Выясним особенности расположения прямой d : Ах  Ву  С  0 относи
тельно аффинной системы координат Ое1е2 , если некоторые из чисел А, В и С
равны нулю.
1) Пусть С=0. Тогда уравнение прямой d примет вид: Ах  Ву  0 . Подставляя координаты точки О 0; 0  в это уравнение, убеждаемся, что получается верное равенство
А0  В 0  0,
следовательно, О  d , т.е. прямая d проходит через начало координат.
Обратно, пусть О 0; 0  d . Тогда A  0  B  0  C  0  C  0 .
Итак, C  0  O  d .



2) Пусть A  0, B  0, C  0 . Тогда ad  B; A    B; 0  || e1 1; 0   d || e1 .
Учитывая, что O  d , получаем, что d || Ox .


Обратно, если d || Ox , то ad  B; A  || e1 1; 0   А  0 .
Итак, А  0  d || Ox .
При этом уравнение d имеет вид Ву  С  0 или y  m  0 (где m   C ).
B
3) Утверждение « B  0  d || Oy » предлагаем читателю доказать самостоятельно.
Из пунктов 1) и 2) следует пункт
4) А=0 и С=0  d совпадает с осью Ox . В этом случае прямая d (т.е. ось
Ox ) задается уравнением y  0 .
Из пунктов 1) и 3) следует пункт
5) В=0 и С=0  d совпадает с осью Oу . В этом случае прямая d (т.е. ось
Oу ) задается уравнением х  0 .
70
Задания для самостоятельной работы
1. Дано общее уравнение прямой d : Ах  Ву  С  0 , А2  В 2  0 . Получите из него для прямой d каноническое, параметрическое уравнения, уравнение с угловым коэффициентом и уравнение «в отрезках».
2. Дано параметрическое уравнение прямой d :
x  x0  a1t ,
y  y 0  a 2 t , t  R.
Получите из них общее уравнение прямой d .
3. Найдите двумя способами (пользуясь частным случаем общего уравнения прямой и пользуясь различными уравнениями прямой) уравнение прямой, проходящей:
а) через точку М  4;1 параллельно оси Ох ;
б) через точку Р 2; 0  параллельно оси Оу ;
в) через начало координат и точку К 3;  7  .

4. Выведите условие параллельности вектора р  р1 ; р 2  и прямой, за-
данной в аффинной системе координат общим уравнением Ах  Ву  С  0 .
5. Прямая d задана в прямоугольной системе координат общим уравнением Ах  Ву  С  0 . Выведите условие перпендикулярности вектора

р  р1 ; р 2  и прямой d .
§17. Основные аффинные задачи,
связанные с прямой на плоскости (обзор)
1. Геометрический смысл знака трехчлена Ах  Ву  С .
71
Теорема 1. Если в аффинной системе координат прямая d задана уравнением Ах  Ву  С  0 , то полуплоскости с границей d определяются неравенствами Ах  Ву  С  0 и Ах  Ву  С  0 .
Сформулированная теорема, выражающая геометрический смысл знака
трехчлена Ах  Ву  С , позволяет выяснять, лежат ли две точки по одну сторону от прямой d : Ах  Ву  С  0 или по разные стороны. Рассмотрим простейший пример.
Задача 1. Выяснить, пересекает ли прямая х  2 у  1  0 отрезок М 1М 2  ,
если М 1  4;1, М 2 0;  2  .
Решение.
Определим
знак
трехчлена
х  2у 1
в
точке
М 1 :  4  2  1  1  5  0 .
Определим знак трехчлена х  2 у  1 в точке М 2 : 0  2   2   1  5  0 .
Следовательно, точки M 1 и M 2 лежат по разные стороны от данной
прямой, поэтому прямая х  2 у  1  0 пересекает отрезок М 1М 2  .
Выяснение расположения точек относительно прямой, в свою очередь,
применяется при решении геометрических задач, связанных с нахождением
условий, определяющих внутренние области углов, треугольников или полос.
2. Взаимное расположение двух прямых.
Теорема 2. Пусть в аффинной системе координат прямая d1 задана уравнением A1 x  B1 y  C1  0, d 2  уравнением A2 x  B2 y  C 2  0 .
1) Прямые d1 и d 2 пересекаются тогда и только тогда, когда коэффициенты при x и y в их уравнениях не пропорциональны, т.е.
d1  d 2  P  A1  B1 ;
A2 B2
Чтобы найти координаты точки Р пересечения прямых d1 и d 2 , надо
решить систему уравнений d1 и d 2 .
72
2) Прямые d1 и d 2 параллельны тогда и только тогда, когда коэффициенты при x и y пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны, т.е.
d1 || d 2  A1  B1  C1 ;
A2 B2 C2
3) Прямые d1 и d 2 совпадают тогда и только тогда, когда коэффициенты
при x и y и свободные члены в их уравнениях пропорциональны, т.е.
d1  d 2  A1  B1  C1 .
A2 B2 C2
Рассмотрим пример применения этой теоремы.
Задача 2. Выяснить взаимное расположение прямых d1 : 5 x  6 y  14  0
и d2 : 3 y  7  0 .
Решение.
Находим
из
уравнений
прямых
A1  5, B1  6, C1  14, A2  0, B2  3, C2  7 .
Отношение А1 мы найти не можем, т.к. делить на 0 нельзя. Поэтому
А2
поменяем прямые местами и найдем отношения
А2  0  0, В2  3   1  А2  В2 .
А1 5
В1  6
2
А1 В1
Следовательно, прямые d1 и d 2 пересекаются. Отношение С 2 находить уже
С1
нет необходимости.
Задача 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М 0 1;  3  и
параллельной прямой l : 2 x  5 y  1  0 .
Решение. Пусть d  искомая прямая.
Заметим, что задачу можно решить разными способами. Например, взяв

за направляющий вектор прямой d направляющий вектор аl  5; 2  прямой l

(т.к. d || l , то al || d ), можно воспользоваться каноническим уравнением прямой d .
Но мы решим задачу, используя теорему 2.
73
Из теоремы 2 следует, что так как d || l , то общее уравнение прямой d
будет иметь вид:
d : 2x  5 y  C  0 ,
т.е. можно считать, что отличаться уравнения прямых d и l будут только
свободными членами.
Чтобы найти С, используем то, что М 0  d . Подставляя координаты точки M 0 в уравнение прямой d , найдем С: 2  1  5   3  C  0  C  13 .
Тогда
d : 2 x  5 y  13  0 .
3. Пучок прямых. Уравнение пучка прямых.
Множество всех прямых плоскости, проходящих через данную точку
M 0 , называется пучком прямых. Точка M 0 называется центром этого пучка.
Множество всех прямых плоскости, параллельных данной прямой d 0 ,
называется пучком параллельных прямых.
Пучок прямых определяется заданием его центра M 0 , пучок параллель
ных прямых – заданием ненулевого вектора а , параллельного прямым пучка.
Теорема 3. Пусть известны в аффинной системе координат уравнения
двух прямых пучка с центром в точке M 0 :
d1 : A1 x  B1 y  C1  0 ,
d 2 : A2 x  B2 y  C2  0 .
Тогда уравнение пучка прямых с центром M 0 будет иметь вид:
  А1 х  В1 у  С1    А2 х  В2 у  С2   0 ,
где ,   действительные числа, не равные нулю одновременно. Они опре
ad 2
деляют некоторую прямую d пучка.
Геометрический смысл  и  : это

координаты направляющего вектора ad
 
прямой d в базисе ad 1 , ad 2 (рис. 60).
Рассмотрим
этой теоремы.
пример
применения
d1
d2

ad1
M0

ad
Рис. 60
d
74
Задача 4. Найти уравнение прямой l , проходящей через точку M 0;1 и
через
точку
пересечения
прямых
l1 : 27 x  57 y  59  0
и
l2 : 14 x  111 y  110  0 .
Решение. Заметим, что искомое уравнение можно найти, вычислив координаты точки M 0 пересечения прямых l 1 и l2 и применив уравнение прямой,
заданной двумя точками. Но при решении системы уравнений прямых l 1 и l2
получаются громоздкие вычисления.
Поэтому задачу лучше решить по теореме 3. Запишем уравнение пучка
прямых с центром в точке М 0  l1  l 2 :
 27 x  57 y  59   14 x  111 y  110   0 ,
(18)
где ,   R,  2   2  0 .
Так как М 0  l , то искомая прямая принадлежит данному пучку. Найдем
 и  , определяющие l . Так как M  l , то ее координаты удовлетворяют
уравнению (18):
27  0  57  1  59   14  0  111  1  110   0  2    0    2 .
Подставим   2 в уравнение (18):  27 x  57 y  59   2 14 x  111 y  110   0 .
Заметим, что   0 (действительно, если   0 , то   2  0  противоречие с условием  2  2  0 ).
Разделим обе части уравнения на  :
27 х  57 у  59  214 х  111 у  110   0 ;
 х  279 у  279  0  l : x  279 y  279  0 .
Задания для самостоятельной работы
1. В
аффинной
системе
координат
задана
прямая
уравнением
Ах  Ву  С  0 . Какая фигура определяется условием: а) Ах  Ву  С  0 ;
б) Ах  Ву  С  0 ?
75
2. Верно ли утверждение, что прямая d : Ах  Ву  С  0 пересекает отрезок
PQ  ,
где
P  p1 ; p2 , Q q1 ; q2 ,
тогда
и
только
тогда,
когда
 Ap1  Bp 2  C  Aq1  Bq 2  C   0 и почему?
3. Даны треугольник АВС с вершинами А 3;  2 , В 2; 0 , С 1; 2  и
прямая d : х  у  1  0 . Существует ли на прямой d точки, являющиеся внутренними точками треугольника АВС ?
4. Существуют ли значения коэффициентов А и В, при которых прямые,
заданные уравнениями Ах  Ву  С  0 и Вх  Ау  С  0 , параллельны?
5. Какой
вид
имеет
уравнение
прямой,
параллельной
прямой
Ах  Ву  С  0 и проходящей через: а) начало координат; б) точку D  x0 ; y 0  ?
6. Дано уравнение пучка прямых   А1 х  В1 у  С1    А2 х  В2 у  С2   0 .
Докажите, что прямые d1 : A1 x  B1 y  C1  0 и d 2 : A2 x  B2 y  C2  0 принадлежат этому пучку.
76
Лекция 10
Прямая в прямоугольной декартовой
системе координат
§18. Уравнение прямой, заданной точкой и
вектором нормали
Ненулевой вектор называется перпендикулярным данной прямой, если он
ортогонален любому направляющему вектору этой прямой.
Вектор, перпендикулярный прямой, называется вектором нормали этой
прямой или ее нормальным вектором. Для каждой прямой на плоскости существует бесконечное множество векторов нормали. Любые два из них коллинеарны (рис. 61).

Вектор нормали прямой d будем обозначать через nd .
d

nd
М0
Рис. 61
d
М
Рис. 62

Лемма 1. Если прямая d в прямоугольной системе координат Oi j задана

уравнением Ах  Ву  С  0 , то вектор n  A; B  перпендикулярен прямой d .
77
□ Возьмем направляющий вектор аd  B; A  прямой d
и найдем скалярное

 

произведение nad   A; B    B; A    AB  AB  0  n  ad  n  d . ■
Следствие. Уравнение прямой d , заданной в прямоугольной декартовой

системе координат точкой М 0  х0 ; у0  и вектором нормали nd  A; B  , имеет вид
A x  x 0   B  y  y 0   0 .

□ Если M  x; y  d , то nd  M 0 M
(рис. 62) 

nd  M 0 M  0 
  A; B    x  x0 ; y  y0   0  A x  x0   B  y  y0   0 .

Если M  x; y  d , то вектор nd не ортогонален вектору M 0 M , т.е.

nd  M 0 M  0  A  x  x 0   B  y  y 0   0 .
Итак, доказано, что точка M  x; y  d тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению
A x  x 0   B  y  y 0   0 . ■
(19)
Уравнение (19) называется уравнением прямой, заданной точкой и вектором нормали.
Замечание. Если в прямоугольной декартовой системе координат прямая
d задана общим уравнением Ах  Ву  С  0 , то геометрический смысл коэф-
фициентов при х и у состоит в следующем: А и В есть координаты вектора

нормали прямой d , т.е. nd   A; B  .
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите координаты вектора нормали оси Ox ; оси Oy прямоугольной

декартовой системы координат Oi j .
y  y0
2. Найдите координаты вектора нормали прямой: а) x  x0 
;
a1
a2
y
б) y  y0  k  x  x0  ; в) y  kx  b ; г) x   1 .
a b
3. Можно ли записать уравнение прямой, заданной точкой и вектором
нормали, в аффинной системе координат и почему?
78
4. В прямоугольной декартовой системе координат прямая l задана уравнением Ах  Ву  С  0 . Найдите уравнение прямой d , проходящей через точку М 0  х0 ; у0  и перпендикулярной прямой l . Решите задачу двумя способами.
§19. Основные метрические задачи,
связанные с прямой на плоскости
1. Расстояние от точки до прямой.
Пусть на евклидовой плоскости дана прямая d и точка М 0 , М 0  d .
Расстоянием от точки М 0 до прямой d называется длина перпендикуляра М 0 М1 , проведенного из точки М 0 к прямой d (рис. 63). Если М 0  d , то
считают, что расстояние от М 0 до d равно 0. Расстояние от точки М 0 до прямой d будем обозначать через  М 0 , d  .
Поставим следующую задачу: вычислить  М 0 , d  , если известны координаты точки М 0 и общее уравнение прямой d в прямоугольной декартовой
системе координат. Для решения этой метрической задачи докажем теорему:

Теорема 1. Пусть в прямоугольной декартовой системе координат Oi j
даны координаты точки М 0  х0 ; у0  и уравнение прямой d : Ах  Ву  С  0 ,
причем M 0  d . Тогда расстояние от точки М 0 до прямой d вычисляется по
формуле:
 M 0 , d  
Ax0  By0  C
A2  B 2
.
M0
M0

nd
d
M1
Рис. 63
d
M1
Рис. 64
79
□




nd  A; B   d  nd || M 1M 0 (рис. 64)  nd  M 1M 0 или nd  M 1M 0 






 nd , M1M 0  0 или nd , M1M 0  180  . Тогда






nd  M 1M 0  nd  M 1M 0  cos nd , M 1M 0  nd  M 1M 0   1.


Так как M 1M 0  M 0 , d , то nd  M 1M 0  nd  M 0 , d    1 




 nd  M 1M 0  nd  M 0 , d    1  nd  M 0 , d   1 , т.к. nd  0, M 0 , d   0,  1  1 .


nd  M 1 M 0
nd  M 1 M 0


Тогда  M 0 , d  
.
Вычислим
n

d  M 1M 0 .
nd
A2  B 2
Пусть x1 , y1  координаты точки M 1 , тогда M 1M 0  x0  x1 ; y0  y1  . Поэто-

му nd  M1M 0  A x0  x1   B y0  y1   Ax0  By0   Ax1  By1  .

M1  d  Ax1  By1  C  0  C   Ax1  By1  nd  M1M 0  Ax0  By0  C ,
откуда и получаем формулу
 M 0 , d  
Ax0  By0  C
A B
2
2
.■
2. Направленный угол между двумя прямыми на ориентированной
плоскости.
Две пересекающиеся прямые образуют на плоскости четыре угла. Углом
между пересекающимися прямыми называется величина того из углов, который не превосходит остальные. Угол между прямыми d и l будем обозначать
так: d , l  . Таким образом, для любых пересекающихся прямых d и l
d , l    .
2
На ориентированной плоскости вводится понятие направленного (ориентированного) угла между двумя прямыми.
Пусть d1  первая, d 2  вторая прямая и d1  d 2   .
80
Направленным углом между прямой d1 и прямой d 2 называется направ

ленный угол между направляющими векторами a d 1 и ad 2 , выбранными так,
d1
 

что a d 1 , ad 2    (рис. 65).
ad1
2
Обратите внимание, что:
– направляющие векторы прямых d1
и d 2 берутся не произвольно, а так, что

ad 2
d2
Рис. 65
величина угла между ними (обычного, не направленного) не превосходит  ;
2
– понятие направленного угла между прямыми определяется через поня-
тие направленного угла между векторами.
Примем следующее обозначение направленного угла между прямой d1 и

прямой d 2 :  d1 ,d 2  . В этой записи имеет значение порядок прямых.


Из определения направленного угла между прямыми следует, что

    d1 , d 2    .
2 
 2
  
Если d1 не перпендикулярна d 2 , то     d1 , d 2    ; если d1  d 2 , то
2 
 2
 d ,d    
 d ,d   
или
.
 1 2
 1 2
2



 2
Сформулируем без доказательства следующую теорему.
 
Теорема 2. Если в ортонормированном базисе i , j даны координаты лю

бых направляющих векторов a a1 ;a2  и в в1 ;в 2  прямых d1 и d 2 , не являющихся взаимно перпендикулярными, то
a1 в1
a
2 в2
tg  d1 , d 2  
.

 a1в1  a2 в2

Для решения задач более важными являются два следствия из этой теоремы.
81
Следствие 1. Пользуясь теоремой 2, выведем формулу для вычисления

tg  d1 ,d 2  и условие перпендикулярности прямых d1 и d 2 , если d1 и d 2 за

даны общими уравнениями.
d1 : A1 x  B1 y  C1  0 ; d 2 : A2 x  B2 y  C 2  0 .


Тогда а  В1 ; А1 , в  В2 ; А2 .
а) Если d1 не перпендикулярна d 2 , то
 В1  В2
А1 А2
tg  d1 , d 2  
  В1 А2  А1 В2 .
А1 А2  В1 В2

  В1  В2   А1 А2

Записав числитель в виде определителя, получим
А1 А2
В1 В2
tg  d1 , d 2  
.

 А1 А2  В1 В2

б) Если d1  d 2 , то учитывая, что d1  d 2 тогда и только тогда, когда

ав  0 , получаем условие перпендикулярности двух прямых:
d1  d 2  А1 А2  В1 В2  0 .
Следствие 2. Пусть прямые d1 и d 2 заданы уравнениями с угловыми ко

эффициентами: d1 : y  k1 x  в1 ; d 2 : y  k 2 x  в2 . Тогда а 1; k1 , в 1; k 2  (коор 
динаты направляющих векторов a и в находятся после приведения уравнений
прямых d1 и d 2 к общему виду).
а) Если d1 не перпендикулярна d 2 , то
1 1
k
1 k2
  
, т.е. tg  d1 , d 2   k 2  k1 .
tg  d1 , d 2  

 1  k1k 2

 1  1  k1  k 2

б) d1  d 2  1  k1k2  0 .
Иногда удобно пользоваться следующей записью:
d1  d 2  k1k2  1.
Задания для самостоятельной работы
82
1. Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя параллельными прямыми d1 : Ax  By  C1  0 и d 2 : Ax  By  C2  0 .
2. Вычислите расстояние от точки М 0  х0 ; у0  до прямой d : y  kx  в .
у
3. Найдите тангенс направленного угла между прямой d1 : х   1 и
а1 в1
у
прямой d 2 : х   1.
а2 в2
4. Выведите условие перпендикулярности двух прямых, заданных уравнениями в «отрезках».
Плоскости и прямые в пространстве
Лекция 11
Плоскость в аффинной системе координат
§20. Различные уравнения плоскости
в аффинной системе координат
Плоскость  в пространстве можно задать точкой и двумя неколлинеарными векторами, параллельными ей (или принадлежащими ей) или тремя точками, не лежащими на одной прямой. В первом случае этот факт будем обо 
значать так:    М 0 , а , в  ; во втором –    АВС  .
 
Пусть в пространстве дана аффинная система координат Ое1е2 е3 .
1. Уравнение плоскости, заданной точкой и двумя неколлинеарными
векторами.
 
 


Пусть М 0  , a , в ||  , a || в (рис. 66), М 0  x0 ; y0 ; z0 , a a1 ; a2 ; a3 , в в1 ; в2 ; в3 
 
в системе Ое1е2 е3 .


М  x; y ; z   тогда и только тогда, когда векторы M 0 M , a и в компла-

нарны, т.е. их смешанное произведение М 0 М ав  0 . Переходя к координатам,
получим уравнение:
83
x  x0 y  y 0 z  z 0
a1
а2
а3  0 .
в1
в2
в3
(20)
Итак, если М   , то ее координаты

а
удовлетворяют уравнению (20). Если


М   , то векторы M 0 M , a и в некомпланарны,
следовательно,
координаты

в
М0

точки М не удовлетворяют уравнению
(20). Таким образом, уравнение (20) есть
Рис. 66
уравнение плоскости  . Оно называется
уравнением плоскости, заданной точкой М 0 и двумя неколлинеарными векто 
рами a и в .
2. Параметрическое уравнение плоскости.
 


Пусть    М 0 , а , в  , М 0  x0 ; y0 ; z0 , a a1 ; a2 ; a3 , в в1 ; в2 ; в3  .
 
М   тогда и только тогда, когда векторы M 0 M , a и в компланарны. По
 
теореме о компланарных векторах u , v  R | M 0 M  ua  vв . Переходя к координатам, получаем:
x  x0  ua1  vв1 ,
или
y  y0  ua2  vв2 ,
z  z0  ua3  vв3 , u , v  R ,
x  x0  ua1  vв1 ,
y  y0  ua2  vв2 ,
z  z0  ua3  vв3 , u , v  R.
(21)
Система уравнений (21) называется параметрическим уравнением плоскости.
Действительные числа u и v называются параметрами.
Геометрический смысл параметров u и v: для любой точки М  x; y ; z  
существует единственная пара параметров u , v  R , удовлетворяющих уравнениям (21), и обратно,  u , v  R  M  x; y ; z  | x  x0  ua1  vв1 , y  y0  ua 2  vв2
и z  z0  ua3  vв3 .
3. Уравнение плоскости, заданной тремя точками.
84
Пусть
М 1 , М 2 , М 3  , М 1 , М 2 , М 3
не
лежат
на
одной
прямой,
M 1  x1 , y1 , z1  , M 2  x2 , y 2 , z 2  , M 3  x3 , y3 , z3 .
Так как точки М 1 , М 2 и М 3 не лежат на
М2
одной прямой, то М 1М 2 || М 1М 3 (рис. 67).
М3
М1
Следовательно, плоскость  можно задать

точкой М 1 и двумя неколлинеарными векто-


Рис. 67
рами М 1М 2 и М 1М 3 :   М 1 , М 1М 2 , М 1М 3 .
Применяя уравнение (20), получаем:
x  x1 y  y1 z  z1
x2  x1 y 2  y1 z 2  z1  0 .
x3  x1 y3  y1 z3  z1
(22)
Уравнение (22) называется уравнением плоскости, заданной тремя точками М 1 , М 2 , М 3 .
4. Уравнение плоскости «в отрезках».
Пусть   Ox  Aa; 0; 0  ,   Oy  В 0; в ; 0  ,   Oz  C 0; 0; c  (рис. 68),
где a, в , c  R, a  0, в  0, c  0 .
z
Используя уравнение (22), получим:

xa y0 z0
0  a в  0 0  0  0;
0a 00 c0

e3
В  0; в ; 0 
xa y z
т.е.  a в 0  0 .
a 0 c
 О
e1
Раскроем определитель, стоящий в левой
части, и преобразуем это выражение:
 x  a   вс  у  ас   z  aв  0 ;
С  0; 0; с 
х

e2
у
Аа ; 0; 0 
Рис. 68
всх  асу  авz  авс  0 ; разделим обе части
у
этого уравнения на авс : х   z  1  0 , откуда получаем уравнение:
а в c
85
х  у  z  1.
а в c
(23)
Уравнение (23) называется уравнением плоскости «в отрезках».
Геометрический смысл а, в и с: а – это абсцисса точки пересечения плоскости  с осью Ох , в – ордината точки пересечения  с осью Оу , с  аппликата точки пересечения  с осью Оz аффинной системы координат.
Задания для самостоятельной работы
1. Найдите уравнения координатных плоскостей Oxy, Oyz, Oxz аффинной
 
системы координат Oe1e2 e3 .
2. Могут ли числа а, в и с в уравнении плоскости «в отрезках» быть равными нулю одновременно? Почему? Может ли только одно (или два) равняться 0? Почему?
3. Какое из следующих уравнений является уравнением плоскости «в отрезках», а какое – не является и почему? Как привести его к виду «в отрезках»?
у
а) 9 х   4 z  1 ;
10 2
у
в) х   z  1  0 ;
6 7 1
2
у
б) х   z  1;
3 5 1
у
 z  1.
г) х 
5 8 1
2
4. Можно ли пользоваться уравнениями плоскости (20)-(23) в прямоугольной декартовой системе координат и почему?
§21. Общее уравнение плоскости
Теорема 1. Плоскость есть поверхность первого порядка, т.е. задается в
аффинной системе координат уравнением первой степени Ax  By  Cz  D  0 ,
где A, B, C не равны нулю одновременно. Обратно, поверхность в простран-
86
стве, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени
Ax  By  Cz  D  0 (где A, B, C не равны нулю одновременно), есть плоскость.
□ Пусть плоскость  задана точкой M 0  x0 ; y0 ; z0  и двумя неколлинеар
 

ными векторами a a1 ; a2 ; a3  и в в1 ; в 2 ; в3  , т.е.    М 0 , а , в  . Найдем ее урав-
нение.
x  x0 y  y 0 z  z 0
a а
a а
a а
 : a1
а2
а3  0 ;  x  x0  2 3   у  у 0  1 3   z  z 0  1 2  0 ;
в1 в 2
в 2 в3
в1 в3
в1
в2
в3
a 2 а3
a а
a а
a а
 a а 
 a а

x    1 3  y  1 2 z    2 3 x0  1 3 y 0  1 2 z 0   0 .
в1 в2
в1 в2 
в 2 в3
в1 в3
 в1 в3 
 в 2 в3
Положим А 
a а
a а
a 2 а3
a а
a а
a а
, В   1 3 , С  1 2 , D   2 3 x0  1 3 y 0  1 2 z 0 .
в1 в2
в1 в2
в 2 в3
в1 в3
в 2 в3
в1 в3
Тогда  : Ax  By  Cz  D  0 .
 
Так как векторы a и в неколлинеарны, то их соответствующие координаты не
пропорциональны, следовательно,
a 2 а3
a а
a а
 0 , 1 3  0 и 1 2  0 одновременв1 в 2
в 2 в3
в1 в3
но, т.е. А  0, В  0, С  0 одновременно.
Докажем обратное утверждение. Пусть некоторая поверхность  задана
уравнением Ax  By  Cz  D  0 , где A, B, C не равны нулю одновременно. Докажем, что   плоскость.
Пусть для определенности А  0 . Найдем уравнение плоскости  , задан
ной точкой М 0   D ; 0; 0  и двумя неколлинеарными векторами a  B ; A; 0  и
 A


в  C ; 0; A .
x D y z
A
:  B A 0  0;
C 0 A
 x  D  A2  y   A  B   z  A  C  0 ; A2 x  DA  ABy  ACz  0 ; разделив обе
A

части полученного уравнения на А  0 , получим:
87
 : Ax  By  Cz  D  0 .
Итак, уравнение поверхности  в точности совпадает с уравнением плоскости
 , следовательно,  совпадает с  , т.е.   плоскость.
Если А  0 , то В  0 или С  0 . Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что   плоскость. ■
Уравнение Ax  By  Cz  D  0 (где A, B, C не равны нулю одновременно)
называется общим уравнением плоскости. Переменные х, у, z называются текущими координатами произвольной точки плоскости.
Задания для самостоятельной работы
1. Можно ли пользоваться общим уравнением плоскости в прямоугольной декартовой системе координат и почему?
2. Выведите в аффинной системе координат уравнение A x  x0   B  y  y0  
 С  z  z0   0 плоскости, проходящей через точку M 0 .
3. Дано общее уравнение плоскости Ax  By  Cz  D  0 , в котором все
коэффициенты при х, у и z и свободный член отличны от нуля. Получите из него уравнение плоскости «в отрезках».
4. Дано параметрическое уравнение плоскости. Получите из него общее
уравнение плоскости.
5. Дано общее уравнение плоскости. Получите из него параметрическое
уравнение плоскости.
6. Какая поверхность в пространстве задается в аффинной системе координат уравнением: а) By  Cz  D  0 ; б) Ax  Cz  0 ; в) Cz  D  0 ; г) Ax  By  D  0 ;
д) Ax  By  0 ?
§ 22. Лемма о параллельности вектора и плоскости.
Частные случаи общего уравнения плоскости
88
Лемма 1 (о параллельности вектора и плоскости). Пусть в аффинной
 
системе координат Ое1е2 е3 дана плоскость  : Ax  By  Cz  D  0 и вектор


p  p1 ; p2 ; p3  . Для того, чтобы вектор p был параллелен плоскости  , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Ap1  Bp 2  Cp 3  0 .
□ Чтобы доказать необходимость и достаточность этого условия, возь
мем точку M 1  x1 ; y1 ; z1   и отложим от нее вектор M 1M 2  p (рис. 69).
Пусть M 2  x2 ; y 2 ; z 2  , тогда M1M 2  x2  x1 ; y2  y1 ; z2  z1  .
р

Из равенства векторов M 1M 2 и p
следует равенство их соответственных

М1
координат:
М2
x2  x1  p1 , y 2  y1  p2 , z 2  z1  p3 . (24)
Так как M1   , то
Рис. 69
Ax1  By1  Cz1  D  0 .
(25)

Если p ||  , то M 2   , следовательно,
Ax 2  By 2  Cz 2  D  0 .
(26)
Вычитаем почленно из уравнения (26) уравнение (25):
A x2  x1   B  y 2  y1   C  z 2  z1   0 .
Применяя формулы (24), получаем:
Ap1  Bp 2  Cp 3  0 .
Обратно, пусть имеет место условие Ap1  Bp 2  Cp 3  0 . Тогда из формул (24) следует, что A x2  x1   B  y 2  y1   C  z 2  z1   0 .
Сложив почленно последнее уравнение с уравнением (25), получим:
Ax 2  By 2  Cz 2  D  0 ,

откуда следует, что M 2   . Поэтому M 1M 2   , а так как p  M 1M 2 , то

p ||  . ■
89
Выясним особенности расположения плоскости  : Ax  By  Cz  D  0
относительно аффинной системы координат, если некоторые из коэффициентов в ее общем уравнении равны 0.
1. D  0   : Ax  By  Cz  0  A  0  B  0  C  0  0  верное равенство
 O 0; 0; 0   .
Обратно, пусть O 0; 0; 0   , тогда A  0  B  0  C  0  D  0  верное
равенство  D  0 .
Итак, D  0  O 0; 0; 0   .
2. A  0   : By  Cz  D  0 .

Возьмем вектор e1 1; 0; 0  .
Проверим
выполнимость
условия
Ap1  Bp 2  Cp 3  0 :
0 1  B  0  C  0  0 ;
0=0.

Следовательно, по лемме о параллельности вектора и плоскости е1 ||  . По-
этому возможны два случая Ox   или Ox ||  . Учитывая, что D  0 , т.е.
O   , получаем: Ox ||  .

Обратно, пусть  || Ox , тогда е1 ||  . По лемме о параллельности вектора
и плоскости A  1  B  0  C  0  0  A  0 .
Итак, A  0   || Ox .
Рассуждая аналогично, рассмотрите самостоятельно случаи 3 и 4 :
3. B  0   || Oy .
4. С  0   || Oz .

5. Пусть A  0 и D  0 . Тогда из пункта 2 следует, что е1 ||  , т.е. Ox || 
или Ox   ; а из пункта 1 следует, что O   . Значит, Ox   .
Обратно, пусть Ox   . Тогда O   , т.е. D  0 (см. пункт 1). Кроме то
го, е1 ||   А  0 (см. пункт 2).
Итак, A  0 и D  0  Ох   .
90
В этом случае уравнение плоскости  примет вид By  Cz  0 .
Рассуждая аналогично, рассмотрите самостоятельно случаи 6 и 7:
6. B  0 и D  0  Оy   .
7. С  0 и D  0  Оz   .
8. A  0 и B  0 . Тогда из пункта 2 следует, что A  0   || Ox ; а из
пункта 3 следует, что B  0   || Oy . Таким образом,
A  0 и B  0   || Oxy .
В этом случае уравнение  примет вид Сz  D  0 или z  m  0 (где
m   D ).
C
Рассуждая аналогично, рассмотрите случаи 9 и 10:
9. A  0 и С  0   || Oxz .
10. B  0 и С  0   || Oyz .
Из пунктов 8 и 1 получаем случай
11. A  0 , B  0 и D  0    Oxy .
В этом случае уравнение плоскости будет иметь вид z  0 , т.е.
Oxy : z  0 .
Из пунктов 9 и 1 получаем случай
12. A  0 , С  0 и D  0    Oxz .
Тогда уравнение  будет иметь вид y  0 , т.е.
Oxz : y  0 .
Из пунктов 10 и 1 получаем случай
13. B  0 , С  0 и D  0    Oyz .
Уравнение  в этом случае имеет вид x  0 , т.е.
Oyz : x  0 .
Задания для самостоятельной работы
91




1. Какие из векторов a 1; 5;  6 , в 2; 0; 0 , c  7; 0; 2 , d 0; 3; 0  параллель-
ны плоскости Oxz и почему?
2. Справедливы ли утверждения, доказанные в пунктах 1-13, если уравнение плоскости задано в прямоугольной декартовой системе координат и
почему?
3. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М 0  3;1; 2 
и параллельной плоскости: а) Oxy ; б) Oyz ; в) Oxz (пользуясь частными случаями общего уравнения плоскости).
4. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку
М 0 2;  1; 4  и содержит: а) ось Ox ; б) ось Oy ; в) ось Oz (пользуясь частны-
ми случаями общего уравнения плоскости).
§ 23. Основные аффинные задачи,
связанные с плоскостью (обзор)
1. Взаимное расположение двух плоскостей.
Выяснить взаимное расположение двух плоскостей позволяет следующая
теорема:
 
Теорема 1. Пусть в аффинной системе координат Oe1e2 e3 плоскости 1 и
 2 заданы общими уравнениями:
1 : А1 х  В1 у  С1 z  D1  0 ,
 2 : А2 х  В2 у  С2 z  D2  0 .
1   2  d  A1  B1 или B1  C1 ;
A2 B2
B2 C2
1 ||  2  A1  B1  C1  D1 (коэффициенты при х, у, z пропорциональны,
A2 B2 C2 D2
а свободные члены им не пропорциональны);
1   2  A1  B1  C1  D1 .
A2 B2 C2 D2
2. Взаимное расположение трех плоскостей.
92
Вопрос о взаимном расположении трех плоскостей 1 ,  2 и 3 сводится к
исследованию вопроса о взаимном расположении трех пар плоскостей: 1 и
 2 ,  2 и 3 , 1 и 3 .
Возможны восемь случаев взаимного расположения этих плоскостей:
1) 1  2  3  Р (рис. 70, а);
2) 1   2  l ,  2   3  m, 1   3  q (рис. 70, б);
3) 1  2  3  d (рис. 70, в);
4) 1 ||  2 ,  3  1  l (следовательно, 3  2  m ) (рис. 70, г);
5) 1 ||  2 ,  2 ||  3 (следовательно, 1 || 3 ) (рис. 70, д);
6) 1   2 ,  3  1  d (рис. 70, е);
7) 1   2 ,  3 || 1 (рис. 70, ж);
8) 1  2  3 (рис. 70, з).
2 m
1
2
l
3
3
а)
1
3
d
d
1
г)
3
1
1
1
2
2
д)
l
1
в)
3
3
d
1
б)
3
2
2
q
Р
m
2
2
е)
ж)
3
з)
Рис. 70
3. Геометрический смысл знака многочлена Ax  By  Cz  D .
93
Теорема 2. Если в аффинной системе координат плоскость  задана уравнением Ax  By  Cz  D  0 , то два полупространства, на которые эта плоскость разбивает пространство, определяются условиями
Ax  By  Cz  D  0 и Ax  By  Cz  D  0 .
4. Пучок и связка плоскостей.
Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих
через одну и ту же прямую d . Прямая d называется осью этого пучка.
Пусть
1   2  d , 1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,  2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 .
Тогда уравнение пучка плоскостей с осью d имеет вид:
  A1 x  B1 y  C1 z  D1    A2 x  B2 y  C 2 z  D2   0 , где ,   R, ,  не равны
нулю одновременно.
Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих
через одну и ту же точку М 0 . Точка М 0 называется центром связки.
Пусть
1   2   3  М 0 ,  i : Ai x  Bi y  Ci z  Di  0, i  1, 2, 3 .
Тогда
уравнение связки плоскостей имеет вид:
  A1 x  B1 y  C1 z  D1    A2 x  B2 y  C 2 z  D2     A3 x  B3 y  C3 z  D3   0 ,
где
, ,   R, ,  и  не равны нулю одновременно.
Задания для самостоятельной работы
1. Пользуясь теоремой 1 из § 22, выведите уравнение плоскости, параллельной плоскости Ax  By  Cz  D  0 и проходящей через начало координат.
2. Найдите
уравнение
плоскости,
параллельной
плоскости
Ax  By  Cz  D  0 и проходящей через точку M 0  x0 ; y0 ; z 0  .
3. В аффинной системе координат задана плоскость Ax  By  Cz  D  0 . Какая
фигура определяется условием: а) Ax  By  Cz  D  0 ; б) Ax  By  Cz  D  0 ?
4. Верно ли утверждение, что плоскость  : Ax  By  Cz  D  0 пересекает
отрезок MN  , где M m1 ; m2 ; m3 , N n1 ; n2 ; n3 , тогда и только тогда, когда
 Am1  Bm2  Cm3  D  An1  Bn2  Cn3  D   0 и почему?
94
5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и
содержащей
линию
пересечения
плоскостей
A1 x  B1 y  C1 z  D1  0
и
A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 .
Лекция 12
Плоскость в прямоугольной системе координат
§ 24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные
метрические задачи, связанные с плоскостью
1. Уравнение плоскости, заданной точкой и вектором нормали.
Ненулевой вектор называется перпендикулярным плоскости, если он ортогонален любому вектору, параллельному этой плоскости или лежащему в ней.
Вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали этой
плоскости или ее нормальным вектором.

Вектор нормали плоскости  будем обозначать через n .
Пусть в пространстве дана прямоугольная декартова система координат
 

Oi j k , плоскость  , M 0  x0 , y0 , z 0   и n  A, B , C    .


M  x; y; z    M 0 M  n  M 0 M  n  0 (рис. 71).
Переходя к координатам, получаем уравнение
95
A x  x0   B  y  y0   C  z  z 0   0 .
(27)
Уравнение (27) называется уравнением плоскости, заданной точкой и вектором нормали.

k
Следовательно, коэффициенты А, В и С
при х, у и z в общем уравнении плоскости,
заданном в прямоугольной декартовой системе координат, имеют следующий гео-
O

i

n

j
M0

M
метрический смысл: А, В и С есть координаты вектора нормали данной плоскости.
Рис. 71
2. Расстояние от точки до плоскости.
Пусть в пространстве дана плоскость  и не принадлежащая ей точка М 0 .
Расстоянием от точки М 0 до плоскости  называется длина перпендикуляра
М 0 М1 , проведенного из точки М 0 к плоскости  (рис. 72):  М 0 ,    М 0 М 1 .
Если М 0   , то  М 0 ,    0 .
М0
Пусть в прямоугольной декартовой системе ко 
Oi j k
ординат
дано уравнение плоскости
 : Ax  By  Cz  D  0 и точка M 0  x0 ; y0 ; z 0  , не

М1
принадлежащая плоскости  . Тогда расстояние от
точки М 0 до плоскости  вычисляется по формуле:
 M 0 ,   
Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2
Рис. 72
.
Доказательство этой формулы аналогично доказательству формулы для
вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости.
3. Расстояние между двумя параллельными плоскостями.
Пусть две параллельные плоскости 1 и  2 заданы в прямоугольной де 
картовой системе координат Oi j k уравнениями Ax  By  Cz  D1  0 и
Ax  By  Cz  D2  0
1 , 2  .
соответственно. Выведем формулу для вычисления
96
Заметим, что 1 ,  2    М 1 ,  2 , где М1  1 . Пусть M 1  x1 , y1 , z1  . Так
как
М1  1 ,
то
1 ,  2   М 1 ,  2  
Ax1  By1  Cz1  D1  0  Ax1  By1  Cz1   D1 .
Ax1  By1  Cz1  D2
A  B C
2
2
1 ,  2  
2

 D1  D2
A  B C
2
D2  D1
A2  B 2  C 2
2
2
Поэтому
. Итак,
.
4. Угол между двумя пересекающимися плоскостями.
Пусть 1   2  , 1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,  2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
 
в прямоугольной декартовой системе координат Oi j k .
Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Углом
между двумя пересекающимися плоскостями будем называть тот из четырех
двугранных углов, который по величине не превосходит остальные. Величину
линейного угла этого двугранного угла будем обозначать через 1 , 2  .
Выведем формулу для вычисления косинуса угла между плоскостями 1 и
2 .


Пусть n 1 и n 2  векторы нормалей плоскостей 1 и  2 . Зная величину
 
угла n1 , n 2  , можно вычислить величину угла 1 , 2  . При этом возможны
два случая:
 
 
а) Если n 1 , n 2    (рис. 73, а), то 1 ,  2   n1 , n 2  , следовательно,
2
 
cos 1 ,  2   cos n1 , n 2  .

 
, n 2    (рис. 73, б), то 1 ,  2     n1 , n 2 , следователь2
 
 
но, cos 1 ,  2   cos   n1 , n 2    cos n1 , n 2  .
б) Если

 n
1

n 2
2

n 2

n 1
2
1
1
а)

n 1
б)
97
Из пунктов а) и б) следует, что
 
cos1 ,  2   cosn1 , n 2  .


Учитывая, что n1  A1 , B1 , C1 , n 2  A2 , B2 , C2  , получаем:
cos1 ,  2  
A1 A2  B1 B2  C 1C2
A12  B12  C12 A22  B22  C22
.
Условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид:
1   2  cos 1 ,  2   A1 A2  B1 B2  C 1C2  0 .
Задания для самостоятельной работы
1. Можно ли в аффинной системе координат пользоваться уравнением
(27) и почему?
2. Выведите уравнение плоскости, проходящей через точку M 0  x0 ; y0 ; z 0 
и перпендикулярной каждой из плоскостей 1 : А1 х  В1 у  С1 z  D1  0 и
 2 : А2 х  В2 у  С2 z  D2  0 , уравнения которых даны в прямоугольной систе-
ме координат.
3. Докажите, что уравнение плоскости, проходящей через точки
M 1  x1 , y1 , z1  и M 2  x2 , y 2 , z 2  перпендикулярно к плоскости Ах  Ву  Сz  D  0 ,
может быть представлено в следующем виде:
x  x1 y  y1 z  z1
x2  x1 y 2  y1 z 2  z1  0 .
A
B
C
4. Пользуясь уравнением (27), найдите уравнения координатных плоско 
стей Oxy, Oyz и Oxz прямоугольной декартовой системы координат Oi j k .
98
5. Найдите объем куба, одна грань которого принадлежит координатной
плоскости Oxz , а другая – плоскости 2 у  7  0 .
6. Вычислите косинусы углов, которые образует с координатными плоскостями
прямоугольной
декартовой
системы
координат
плоскость
Ax  By  Cz  D  0 .
Лекция 13
Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые
и плоскости в пространстве
§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве
Положение прямой в пространстве определяется полностью, если даны:
а) две ее точки;
б) точка и направляющий вектор;
в) две плоскости, пересекающиеся по этой прямой.
 
Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат Ое1е2 е3 .
1. Каноническое уравнение прямой.
Пусть прямая d задана в пространстве точкой M 0  x0 ; y0 ; z 0  и направ
ляющим вектором ad a1 ; a2 ; a3  (рис. 74).
d

M  x; y; z  d  M 0 M || ad .

M0
ad
M
Рис. 74
99
Далее применяем условие коллинеарности двух
векторов в пространстве в координатах (см. § 5).
При этом возможны различные случаи:
а) а1  0, a2  0 и a3  0 . Тогда получаем следующее уравнение прямой:
y  y0 z  z0
d : x  x0 

.
a1
a2
a3
(28)
 x  x0 y  y0
d :  a1  a2 ;
 z  z 0  0.
(29)
б) а1  0, a2  0, a3  0 .
в) а1  0, a2  0, a3  0 (запишите уравнение прямой d самостоятельно).
г) а1  0, a2  0, a3  0 (запишите уравнение прямой d самостоятельно).
д) а1  0, a2  0, a3  0 . Получаем следующее уравнение прямой d :
 y  y 0  0,
d:
 z  z0  0.
(30)
е) а1  0, a2  0, a3  0 (запишите уравнение прямой d самостоятельно).
ж) а1  0, a2  0, a3  0 (запишите уравнение прямой d самостоятельно).
Уравнения (28)-(30) (а также уравнения, записанные вами в пунктах в),
г), е) и ж)) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
2. Уравнение прямой, заданной двумя точками.
Пусть M 1  x1 ; y1 ; z1 , M 2  x2 ; y 2 ; z 2  d . Тогда прямую d можно задать
точкой M 1 и направляющим вектором M1M 2  x2  x1 ; y2  y1 ; z2  z1  . Поэтому применяем каноническое уравнение прямой:
d:
y  y1
x  x1
z  z1


.
x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
(31)
Уравнение (31) называется уравнением прямой в пространстве, заданной двумя точками.
100
Если одна или две координаты вектора M 1M 2 окажутся нулевыми, то
применяем частные случаи канонического уравнения прямой, т.е. уравнения
вида (29) или (30).
3. Параметрическое уравнение прямой.
В случае, когда прямая d задана так же, как в пункте 1 (точкой

M 0  x0 ; y0 ; z 0  и направляющим вектором ad a1 ; a2 ; a3  ), можно получить па-


раметрическое уравнение прямой. M  x; y; z  d  M 0 M || a   t  R | M 0 M  ta
(по теореме о коллинеарных векторах). Переходя к координатам, получаем:
 x  x0  ta1 ,
 y  y0  ta2 ,
 z  z0  ta3 , t  R, откуда
 x  x0  ta1 ,
 y  y0  ta 2 ,
 z  z 0  ta3 , t  R.
(32)
Система уравнений (32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве.
Действительное число t в системе (32) называется параметром и имеет
такой же смысл, как и параметр t в параметрическом уравнении прямой на
плоскости (см. § 15).
4. Уравнение прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями.
2
Пусть d  1   2 ,  i : Ai x  Bi y  Ci z  Di  0
 
в Oe1e2 e3 , i  1, 2 (рис. 75).
Точка M  d тогда и только тогда, когда ее координаты
 x; y ; z 
являются решением системы
d
1
уравнений плоскостей 1 и  2 .
Система уравнений
Рис. 75
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0,
 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0

(33)
называется уравнением прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями.
101
Лемма 1. Вектор
 B C
A C A B 
a 1 1 ;  1 1 ; 1 1 
B
C
A
A2 B2 
2 C2
 2 2
(34)
является направляющим вектором прямой d  1  2 .
□
Воспользуемся дважды леммой о параллельности вектора и плоско-
сти.

1) Докажем, что а || 1 .
A1 
B1 C1
A B
 A C 
 B1    1 1   C1  1 1  A1  B1C2  B2C1   B1  A1C2  A2C1  
B2 C2
A2 B2
 A2 C2 
 C1  A1 B2  A2 B1   A1 B1C2  A1 B2C1  B1 A1C2  B1 A2C1  C1 A1 B2  C1 A2 B1  0 .

Тогда по лемме о параллельности вектора и плоскости а || 1 .

2) Докажите самостоятельно, что а ||  2 .


Из пунктов 1) и 2) следует, что a || 1   2 , т.е. a || d . ■
Итак, из леммы 1 следует, что если прямая d задана как линия пересечения двух плоскостей  i : Ai x  Bi y  Ci z  Di  0 , i  1, 2 , то координаты ее

направляющего вектора ad находятся по формуле (34).
Замечание. Как и в случае прямой на плоскости, переменные x, y , z в
уравнениях (28)-(33) называются текущими координатами точек прямой в
пространстве.
Задания для самостоятельной работы
1. Можно ли пользоваться уравнениями (28)-(30) в прямоугольной де 
картовой системе координат Oi j k в пространстве и почему?
2. Найдите тремя способами уравнение каждой из осей Ох, Оу и Oz
 
аффинной системы координат Oe1e2 e3 (каноническое, параметрическое уравнения и уравнение оси как линии пересечения координатных плоскостей).
y  y0 z  z 0
3. Дано каноническое уравнение прямой d : x  x0 
.

a1
a2
a3
Приведите его к виду (33).
102
4. Дано параметрическое уравнение (32) прямой d . Приведите его к виду (33).
5. Дано уравнение (33) прямой d . Получите из него каноническое и параметрическое уравнения прямой d .
6. Докажите, что уравнение плоскости, проходящей через точку
M 0  x0 ; y 0 ; z 0 
параллельно
прямым
x  x1  y  y1  z  z1
a1
a2
a3
и
x  x2  y  y2  z  z 2 может быть представлено в следующем виде:
в1
в2
в3
x  x0 y  y 0 z  z 0
a1
a2
a3  0 .
в1
в2
в3
7. Докажите,
что
если
две
прямые
x  x0  y  y0  z  z0
a1
a2
a3
и
x  x1  y  y1  z  z1 пересекаются, то уравнение плоскости, в которой они
в1
в2
в3
лежат, может быть представлено в следующем виде:
x  x0 y  y 0 z  z 0
a1
a2
a3  0 .
в1
в2
в3
8. Докажите, что уравнение плоскости, проходящей через прямую
x  x  в t,
x  x1  y  y1  z  z1 параллельно прямой  y  y0  в1 t , может быть пред0
2

a1
a2
a3
 z  z 0  в3t ,
ставлено в следующем виде:
x  x1 y  y1 z  z1
a1
a2
a3  0 .
в1
в2
в3
§ 26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
103
Возможны четыре случая взаимного расположения двух прямых d1 и d 2
в пространстве: 1) d1  d 2 ; 2) d1  d 2   ; 3) d1 || d 2 ; 4) d1 совпадает с d 2 .

Пусть прямая d1 задана точкой M 1 и направляющим вектором a d 1 , d 2 

точкой M 2 и направляющим вектором ad 2 . Тогда взаимное расположение


двух прямых d1 и d 2 можно определить по векторам М 1М 2 , ad1 и ad 2 .
Замечание. Прямые d1 и d 2 лежат в одной плоскости тогда и только то

гда, когда векторы М 1М 2 , ad1 и ad 2 компланарны, т.е. смешанное произведе 
ние М 1 М 2  ad 1  ad 2  0 .
Учитывая сделанное замечание, выведем условия взаимного расположения двух прямых в пространстве.
1) d1  d 2 , если не существует плоскости, содержащей одновременно обе
эти прямые (рис. 76). Следовательно,
 
d1  d 2  М 1 М 2  ad 1  ad 2  0 .
2) Если прямые d1 и d 2 пересекаются, т.е. d1  d 2   , то они лежат в
одной плоскости и их направляющие векторы неколлинеарны (рис. 77). Следовательно,
 М 1 М 2  ad 1  ad 2  0,
d1  d 2     

ad 1 || ad 2 .
M1
d1
d2
M2

ad1

ad1

ad 2
Рис. 76


ad 1 || ad 2 ,
3) d1 || d 2  
(рис. 78).

M
M
||
a
.
1
2
d
1

d2
M1
d1

ad 2
Рис. 77
M2
104


ad 1 || ad 2 ,
4) d1  d 2  
 (рис. 79).
 M 1 M 2 || ad 1
d1

ad1
d2

ad 2
M1

ad1
d1
M1
d2
M2

ad 2
M2
Рис. 78
Рис. 79
2. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Возможны три случая взаимного расположения прямой d и плоскости 
в пространстве: 1) d     ( d пересекает плоскость  в некоторой точке);
2) d ||  ; 3) d   .
 
Пусть в аффинной системе координат Oe1e2 e3 прямая d задана точкой

M 0  x0 ; y0 ; z 0  и направляющим вектором ad a1 ; a2 ; a3  , а плоскость   общим уравнением Ax  By  Cz  D  0 .

1) d      ad ||   Aa1  Ba 2  Ca 3  0 (по лемме о параллельности
вектора и плоскости) (рис. 80). Итак,
d      Aa1  Ba 2  Ca 3  0 .
Чтобы найти координаты точки Р пересечения d и  , надо решить систему уравнений прямой d и плоскости  .

ad
M0
M0

ad
d
Р

d
Рис. 80

Рис. 81
d
M0

ad
Рис. 82

105

2) d ||   ad ||  и M 0   (рис. 81), т.е.
Aa1  Ba2  Ca3  0,
d ||   
 Ax0  By 0 Cz0  D  0.


3) d    ad || d и M 0   (рис. 82), т.е.
Aa1  Ba2  Ca3  0,
d  
 Ax0  By 0 Cz0  D  0.

3. Связка прямых в пространстве.
Связкой прямых в пространстве с центром в точке M 0  x0 ; y0 ; z 0  называется множество всех прямых, проходящих через точку М 0 . Параметрическое уравнение связки прямых с центром M 0  x0 ; y0 ; z 0  имеет вид:
 x  x0  t ,
 y  y0  t ,
 z  z 0  t , t  R ,
где , ,   произвольные действительные числа, не равные нулю одновременно.
4. Связка прямых и плоскостей.
Объединение связки прямых в пространстве с центром М 0 и связки
плоскостей в пространстве с центром М 0 называется связкой прямых и плоскостей с центром М 0 .
Каждые две (различные) плоскости связки пересекаются по прямой связки, и каждая прямая связки является осью пучка плоскостей связки. Следовательно, множество прямых, по которым пересекаются плоскости связки, есть
связка прямых с центром М 0 .
106
Задания для самостоятельной работы
1. Запишите
d1 : x  x1 
a1
в
координатном
виде
условие
того,
что
прямые
y  y1 z  z1
y  y2 z  z 2
и d 2 : x  x2 
являются скрещиваю

a2
a3
в1
в2
в3
щимися.
2. Запишите в координатном виде условие того, что прямые d1 и d 2 (см.
задание 1) пересекаются.
3. Запишите в координатном виде условие параллельности прямых d1 и
d 2 (см. задание 1).
4. Запишите в координатном виде условие совпадения прямых d1 и d 2
(см. задание 1).
x  2 z  2  0,
5. Выясните взаимное расположение прямой d : 
и оси: а)
y  z  0

 
Ox ; б) Oy ; в) Oz аффинной системы координат Oe1e2 e3 .
 x  0,
6. Выясните взаимное расположение прямой d :  y  1  t ,
и коор z  3  2t , t  R
динатной плоскости: а) Oxy ; б) Oyz ; в) Oxz .
§ 27. Основные метрические задачи
на прямые и плоскости в пространстве
1. Угол между двумя прямыми в пространстве.
Возьмем в пространстве две непараллельные прямые d1 и d 2 . Тогда d1 и
d 2 являются либо пересекающимися, либо скрещивающимися. Если d1 и d 2
пересекаются, то они образуют четыре угла. Тогда углом между d1 и d 2
называется тот из четырех углов, который по величине не превосходит
остальные.
107
Пусть d1 и d 2 являются скрещивающимися. Возьмем в пространстве
произвольную точку A и проведем через нее прямые d1 || d1 и d 2 || d 2 (рис.
83). Прямые d1 и d 2 образуют четыре угла с вершиной A . Тот из них, который по величине не превосходит остальные, называется углом между прямыми d1 и d 2 .
d2
d 2

ad 2
А
d1

ad1
d1
Рис. 83
Выведем формулу для вычисления косинуса угла между прямыми d1 и


d 2 . Пусть a d 1 и ad 2  направляющие векторы прямых d1 и d 2 соответственно. Возможны два случая:
 
 
а) Если ad 1 , ad 2    , то d1 , d 2   d1 , d 2   ad 1 , ad 2  . Тогда cos d1 , d 2  
2
 
 cos ad 1 , ad 2 .
 
 
б) Если ad 1 , ad 2    , то d1 , d 2   d1 , d 2     ad 1 , ad 2 . Тогда cos d1 , d 2  
2
 
 
 cos   ad 1 , ad 2    cos ad 1 , ad 2  .
 
Из пунктов а), б) следует, что cosd1 , d 2   cosad1 , ad 2  . Таким образом,
 
ad 1 ad 2
(35)
cosd1 , d 2     .
ad 1 ad 2
2. Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Из формулы (35) получаем:
 
 
d1  d 2  d1 , d 2     cosd1 , d 2   0  ad 1 ad 2  0  ad 1 ad 2  0 .
2
Итак,
 
d1  d 2  a d 1 a d 2  0
108
(две прямые в пространстве взаимно перпендикулярны тогда и только тогда,
когда скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю).
Заметим, что взаимно перпендикулярные прямые в пространстве могут
быть как пересекающимися, так и скрещивающимися.
3. Угол между прямой и плоскостью.
Напомним, что прямая называется перпендикулярной плоскости, если
она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости.
Если d не перпендикулярна  , то углом
d
между прямой d и плоскостью  называется острый угол между прямой d и ее проекцией на плоскость  (рис. 84).

n

Рис. 84
Если d   , то угол между d и  считается равным  .
2

Пусть d     и d не перпендикулярна  , ad a1 , a2 , a3   направляющий вектор прямой d , а плоскость  задана в прямоугольной декартовой системе координат общим уравнением Ax  By  Cz  D  0 . Найдем величину
 
угла d ,   между прямой d и плоскостью  . Положим   ad , n  .
Возможны два случая:
а) Если    (рис. 85, а), то d ,        sin d ,    sin       cos .
2
2
2

б) Если    (рис. 85, б), то
2
d ,        sin d ,    sin        sin        cos .

2

n

ad

2

d

n
d
d ,  

d ,  


а)
2

ad
б)
Рис. 85
109
Из пунктов а), б) следует, что sin d ,    cos . Учитывая, что

n  A; B; C  , получаем:
sin d ,   
Aa1  Ba2  Ca3
a12  a22  a32  A2  B 2  C 2
.
(36)
 
Заметим, что если d   , то d ,     , тогда ad || n  A  a1 , B  a2  ,
2
C  a3  ,   R ,   0 (соответственные координаты коллинеарных векторов
пропорциональны). Тогда левая часть формулы (36) будет равна:
sin d ,    sin   1 ,
2
а правая –

a12   a22   a32 
a12  a22  a32  a12 2  a22 2  a32 2

 a12  a22  a32
a12  a22  a32    a12  a22  a32

  a12  a22  a32
a12  a22  a32  1

.
  a12  a22  a32  a12  a22  a32
Таким образом, если d   , то формула (36) также справедлива.
4. Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
 
d    ad || n . Применяя условие коллинеарности двух векторов в координатах, получим:
d   A  B  C .
a1 a2 a3
Задания для самостоятельной работы
1. Укажите на чертеже угол между ребром BB1 куба ABCDA1 B1C1 D1 и
диагональю C1 D его грани CC1 D1 D ; угол между ребрами BB1 и AD .
2. Вычислите величину угла между прямой x  x0  y  y0  z  z 0 и
 
осью абсцисс прямоугольной декартовой системы координат Oi j k .
3. M – середина ребра B1C1 куба ABCDA1 B1C1 D1 . Укажите на чертеже
угол между прямой  AM  и плоскостью  ABC  нижнего основания куба.
110
4. Вычислите величину угла между прямой x  y  z и координатной
 
плоскостью Oxz прямоугольной декартовой системы координат Oi j k .
y  y 0  0,
5. Выясните, будет ли прямая 
 z  z0  0 перпендикулярна плоскости

 
Oyz прямоугольной декартовой системы координат Oi j k .
Линии второго порядка
Лекция 14
Эллипс. Гипербола. Парабола
§ 28. Эллипс
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до данных точек F1 и F2 равна длине данного отрезка PQ , где PQ  F1 F2 .
Коротко можно записать определение эллипса  так:
  M | F1 M  F2 M  PQ , PQ  F1 F2  .
(37)
Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, а расстояние между ними
- фокальным расстоянием.
Если М  точка данного эллипса, то отрезки F1 M и F2 M (а также их
длины) называются фокальными радиусами точки М .
Пусть на плоскости даны две различные точки F1 и F2 . Обозначим через
О середину отрезка F1 F2 . Рассмотрим прямоугольную декартову систему


координат Oi j , где i OF 1 (рис. 86).

j
F2
O

i
Рис. 86
F1
111
Выведем уравнение эллипса  с
фокусами F1 и F2 в системе коорди
нат Oi j .
Пусть PQ  2 a , F1 F2  2c .
Замечание. Так как PQ  F1 F2 , то для эллипса всегда 2 a  2c , т.е.
a  c.

Пусть M  x; y    . Так как F1 c; 0 , F2  c; 0  в Oi j , то
 x  c 2  y 2 ,
F1 M 
F2 M 
 x  c 2  y 2 .
По определению эллипса
F1 M  F2 M  2 a 
 x  c 2  y 2
 x  c 2  y 2

 2 a . Преобразуем это
уравнение:
 x  c 2  y 2
 2a 
 x  c 2  y 2 ;
 x  c 2  y 2  4 a 2  4 a  x  c 2  y 2   x  c 2  y 2 ;
х 2  2 хс  с 2  у 2  4 а 2  4 а
 х  с 2  у 2
 х 2  2 хс  с 2  у 2 ;
2 хс  4 а 2  4 а
 х  с 2  у 2
 2 хс ;
4а 2  4а
 х  с 2  у 2
 4 хс ;
а2  а
 х  с 2  у 2
 хс ;
а
 х  с 2  у 2
 а 2  хс .
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:


а 2  х  с   у 2  а 4  2 а 2 хс  х 2 с 2 ;
2
а 2 х 2  2а 2 хс  а 2 с 2  а 2 у 2  а 4  2а 2 хс  х 2 с 2 ;
х 2 а 2  с 2   а 2 у 2  а 4  а 2 с 2 .
Разделим обе части этого уравнения на а 2 а 2  с 2 :
х2  у
 1.
а2 а2  с2
2
112
Так как для эллипса a  c , то a 2  c 2  0 . Положим a 2  c 2  в 2 . Тогда
2
х 2  у  1,
а2 в2
в2  a2  c2 .
где
(38)
Итак, доказано, что если М   , то координаты точки М удовлетворяют
уравнению (38).
Докажем, что если координаты точки М удовлетворяют уравнению
(38), то она принадлежит эллипсу  .
2
у2
х
Пусть 2  2  1 , где в 2  a 2  c 2 ,  х; у   координаты точки М .
а
в
Найдем F1 M  F2 M 
 x  c 2  y 2

 x  c 2  y 2 .
Выразим
у 2 из
2
у2
уравнения х 2  2  1 :
а
в
2
у 2  в 2  1  х 2
 а
.


Тогда, учитывая, что в 2  a 2  c 2 , получим:
F1 M  F2 M 

 x  c 2  а 2  с 2 1  х 2    x  c 2  а 2  с 2 1  х 2  
2

2
а 

а 
а 2 х 2  2а 2 хс  а 2 с 2  а 4  а 2 с 2  а 2 х 2  с 2 х 2 
а2
2 2
2
2 2
4
2 2
2 2
2 2
 а х  2 а хс  а с  а2  а с  а х  с х 
а
2
а
2
 сх 

а2
2
а
2
 сх 

а2
2
2
  а  с х    а  с х   а  с х  а  с х .
а 
а 
а
а


х а
и
0  c  1 a  c x  0
a
a
и
a  c x  0 a  c x  a  c x
a
a
a
и
a  c x  a  c x   F1 M  F2 M  a  c x  a  c x  2 a . Из условия (37)
a
a
a
a
следует, что М   .
113
Итак, уравнение (38) есть уравнение эллипса. Оно называется каноническим уравнением эллипса.
2
у2
х
Если а  в , то 2  2  1 , т.е. х 2  у 2  а 2  уравнение окружности радиа а
уса а .
Пользуясь каноническим уравнением эллипса, докажем геометрические
свойства эллипса, которые понадобятся для построения изображения эллипса.
Свойства эллипса
1. Из уравнения (38) следует, что
у
х  а , у  в  х  а, у  в   а  х  а
,  в  у  в . Следовательно, все точки
2
2
2
2
в

j
эллипса принадлежат прямоугольнику,
центр которого находится в точке О ,
a
O

i
a
стороны параллельны осям Ох и Оу и
равны соответственно 2а и 2в (рис.
87).
2. Симметрия относительно нача-
в
Рис. 87
ла координат и осей координат.
Пусть
 х   у
2
0
а2
в
2
0
2
2
2

у02
 у02 

 х02   у02 
х
х
0
0
М  х0 ; у0    2  2  1 2 
 1, 2 
1
а
в
а
в2
а
в2
и
 1 . Из первого тождества следует, что М 1  х0 ;  у0   , из вто-
рого – что М 2  х0 ;  у 0    , из третьего – что М 3  х0 ; у0   , а это означает,
что эллипс  симметричен относительно начала координат, оси Ох и оси Оу
соответственно. Таким образом, точка О является центром симметрии, оси
Ох и Оу  осями симметрии эллипса  .
х
114
Прямая, проходящая через фокусы, называется первой (фокальной) осью
симметрии, а перпендикулярная к ней ось – второй осью симметрии эллипса.
3. Точки пересечения эллипса с осями симметрии.
  Ох  ?
Чтобы найти точки пересечения эллипса  с осью Ох , надо решить систему
их уравнений:
 х 2 у 2

 1,
 а2 в2
 у  0.
Решая систему, получаем:   Ох  А1 а; 0 , А2  а; 0 .
Аналогично находим, что   Оу  В1 0; в , В2 0;  в .
Точки пересечения эллипса со своими осями симметрии называются
вершинами эллипса. Таким образом, эллипс имеет четыре вершины.
Отрезки  А1 А2  и В1 В2  называются соответственно большой и малой
«осями» эллипса, а положительные числа а и в  большой и малой «полуосями» эллипса.
4. Выясним, как выглядит часть эллипса, расположенная в первой координатной четверти.
Возьмем в первой координатной четверти произвольную точку
2
М  х; у   , тогда x  0, y  0 . Следовательно, функция y  в 1  х 2 моноа
тонно убывает от в до 0, если х возрастает от 0 до а .
Учитывая свойства 1- 4, построим изображение эллипса (рис. 88):
у
 
в В1 0; в
a
А2  а; 0 
F2
с

j
O
F1

i
 в В2 0;  в 
с
a
А1 а ; 0 
х
115
Число   с называется эксцентриситетом эллипса. Так как для эллипа
са a  c , то   1 . У окружности c 2  a 2  в 2  а 2  а 2  0  с  0    0 . При
  1 уменьшается «высота» эллипса.
Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные второй
оси и отстоящие от нее на расстоянии а .

Уравнения директрис:
2
d1 : x  a  0 или x  a  0 ;

c
2
d 2 : x  a  0 или x  a  0 (рис. 89).

c
У окружности   0 , следовательно, она не имеет директрис.
Эллипс обладает следующим директориальным свойством: для любой
точки М , принадлежащей эллипсу, отношение расстояния от М до фокуса к
расстоянию от М до соответствующей директрисы равно эксцентриситету,
т.е.
 М , Fi 
 , i  1, 2 (рис. 89).
 M , d i 
у
d2
d1
в

j
a
F2
O

i
a
F1
М
116
в
Рис. 89
Замечание 1. Так как в 2  a 2  c 2 , то а  в . В случае, когда а  в , фокусы
эллипса будут лежать на оси Оу , а директрисы будут параллельны оси Ох .
Замечание 2. Директрисы эллипса не имеют общих точек с эллипсом.
Задания для самостоятельной работы
1. Приведите уравнение эллипса к каноническому виду:
а) 4 х 2  25 у 2  100  0 ;
в) х 2  3 у 2  13  0 ;
б) 3 х 2  7 у 2  21  0 ;
г) 9 х 2  у 2  1  0 .
2. Дано каноническое уравнение эллипса. Найдите большую и малую
«полуоси», координаты вершин, координаты фокусов, фокальное расстояние,
фокальные радиусы точки М , эксцентриситет, уравнения директрис:
2
у2
х

 1; М  3; 16  ;
а)
25 16
 5


2
у2
х
б)

 1; М 2 3;  1 .
16 4
3. Постройте изображение эллипса, его фокусов и директрис:
2
у2
х
а)

 1;
25 16
2
у2
х
б)

 1.
16 4
§ 29. Гипербола
Гиперболой называется множество всех точек плоскости, абсолютное
значение разности расстояний каждой из которых до данных точек F1 и F2
равно длине данного отрезка PQ , где PQ  F1 F2 .
Коротко можно записать определение гиперболы  так:
117
  M | F1M  F2 M  PQ, PQ  F1 F2 .
(39)
Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, а расстояние между
ними - фокальным расстоянием.
Если М  точка данной гиперболы, то отрезки F1 M и F2 M (а также их
длины) называются фокальными радиусами точки М .
Пусть на плоскости даны две различные точки F1 и F2 . Обозначим через
О середину отрезка F1 F2 . Рассмотрим прямоугольную декартову систему


координат Oi j , где i OF 1 (рис. 90).

j
Выведем уравнение гиперболы

O
F
F1
2
i
 с фокусами F1 и F2 в системе ко
ординат Oi j .
Рис. 90
Пусть PQ  2 a , F1 F2  2c .
Замечание. Так как PQ  F1 F2 , то для гиперболы всегда 2a  2c , т.е.
ac.

Пусть M  x; y    . Так как F1 c; 0 , F2  c; 0  в Oi j , то
F1 M 
 x  c 2  y 2 ,
F2 M 
 x  c 2  y 2 .
По определению гиперболы
F1 M  F2 M  2 a 
 x  c 2  y 2   x  c 2  y 2
 2 a . Преобразуем это урав-
нение:
 x  c 2  y 2

 x  c 2  y 2
 2 a ;
 x  c 2  y 2

 x  c 2  y 2
 2a ;
 x  c 2  y 2   x  c 2  y 2  4 a  x  c 2  y 2
х 2  2 хс  с 2  у 2  х 2  2 хс  с 2  у 2  4 а 2  4 а
4 а 2  4 хс  4 а
 х  с 2  у 2 ;
 4a 2 ;
 х  с 2  у 2 ;
118
 х  с 2  у 2 .
а 2  хс   а
Возведем обе части последнего уравнения в квадрат:


а 4  2 а 2 хс  х 2 с 2  а 2  х  с   у 2 ;
2
а 4  2 а 2 хс  х 2 с 2  а 2 х 2  2 а 2 хс  а 2 с 2  а 2 у 2 ;
х 2 с 2  а 2   а 2 у 2  а 2 с 2  а 4 .
Разделим обе части этого уравнения на а 2 с 2  а 2  :
х2  у
1.
а2 с2  а2
2
Так как для гиперболы a  c , то c 2  a 2  0 . Положим c 2  a 2  в 2 . Тогда
2
х 2  у  1,
а2 в2
в2  c2  a2 .
где
(40)
Итак, доказано, что если М   , то координаты точки М удовлетворяют
уравнению (40).
Докажем, что если координаты точки М удовлетворяют уравнению
(40), то она принадлежит гиперболе  .
2
у2
х
Пусть 2  2  1 , где в 2  c 2  a 2 ,  х; у   координаты точки М .
а
в
2
у2
х
Найдем F1M  F2 M . Выразим у из уравнения 2  2  1 :
а
в
2
2
у 2  в 2  х 2  1  .
а

Найдем
2
a 2  x  c   c 2  a 2 x 2  a 2 
F1 M   x  c   y   x  c   в  x 2  1 

a2
a

2
2

cx  a 2
a
2
2
 cxa .
a
Аналогично F2 M  c x  a .
a
2
2
119
при x  0 F1 M  с х  а , F2 M  с х  а;
x a
а
а
c 1 
с
при
x  0 F1 M   х  а , F2 M   с х  а.
a
а
а
Тогда F1 M  F2 M  а  с х  а  с х  2 a .
а
а
Из условия (39) следует, что М   .
Итак, уравнение (40) есть уравнение гиперболы. Оно называется каноническим уравнением гиперболы.
Пользуясь каноническим уравнением гиперболы, докажем геометрические свойства гиперболы, которые понадобятся для построения изображения
гиперболы.
Свойства гиперболы
у
1. Из уравнения (40) следует, что
х 2  а 2  х  а или х  а . Следова-

j
тельно, все точки гиперболы лежат вне
полосы,
ограниченной
прямыми
a
O

i
х
a
х  а  0 и х  а  0 (рис. 91).
2. Симметрия относительно начала координат и осей координат.
Пусть
 х   у
2
0
а2
в
2
0
2
ха0
Рис. 91
ха0
2
2

у02
 у02 

 х02   у02 
х
х
0
0
М  х0 ; у0    2  2  1
 2  1, 2  2  1
а
в
а2
в
а
в
и
 1. Из первого тождества следует, что М 1  х0 ;  у0   , из вто-
рого – что М 2  х0 ;  у 0    , из третьего – что М 3  х0 ; у0   , а это означает,
что гипербола  симметрична относительно начала координат, оси Ох и оси
Оу соответственно. Таким образом, точка О является центром симметрии,
оси Ох и Оу  осями симметрии гиперболы  .
120
Прямая, проходящая через фокусы, называется действительной осью
симметрии, а перпендикулярная к ней ось – мнимой осью симметрии гиперболы.
3. Точки пересечения гиперболы с осями симметрии.
  Ох  ?
Чтобы найти точки пересечения гиперболы  с осью Ох , надо решить си-
 х 2 у 2
стему их уравнений:  а 2  в 2  1,
 у  0.
Решая систему, получаем:   Ох  А1 а; 0 , А2  а; 0 .
Аналогично находим, что   Оу   .
Точки пересечения гиперболы со своими осями симметрии называются
вершинами гиперболы. Таким образом, гипербола имеет две вершины.
Отрезки  А1 А2  и В1 В2  называются соответственно действительной и
мнимой «осями» гиперболы, а положительные числа а и в  действительной
и мнимой «полуосями» гиперболы.
4. Найдем точки пересечения гиперболы с прямой l : y  kx .
 x 2 y 2
Для этого решим систему  a 2  в 2  1,
 y  kx.
Получаем уравнение x 2 в 2  k 2 a 2   а 2 в 2 . Корни х  это абсциссы точки
пересечения прямой l с  . Рассмотрим три случая:
1) Если в 2  k 2 a 2  0 , т.е. k  в , то  и l имеют две общие точки;
а
2) Если в 2  k 2 a 2  0 , т.е. k  в , то l     ;
а
3) Если в 2  k 2 a 2  0 , т.е. k  в , то l     .
а
у
Следовательно, все точки
гиперболы расположены в заштрихованных областях (рис. 92).
Гипербола имеет две ветви.
а

j
в

i
O
в
а
х
121
Случаю 3) соответствуют
две прямые l1 и l2 с угловыми
коэффициентами k1  в и k 2   в . Эти прямые ( l1 : y  в х и l 2 : y   в х ) называюта
а
а
а
ся асимптотами гиперболы.
При неограниченном возрастании абсолютной величины абсциссы точки М гиперболы точка М неограниченно приближается к асимптоте.
Учитывая свойства 1- 4, построим изображение гиперболы (рис. 93):
у
в

j
F2  a
А2  а; 0 

O i
F1
a
А1 а ; 0 
в
Рис. 93
Число   с называется эксцентриситетом гиперболы. Так как для гиа
перболы a  c , то   1 . Чем больше  , тем больше гипербола «вытянута»
вдоль мнимой оси.
Гипербола, у которой а  в , называется равносторонней. Ее каноническое уравнение х 2  у 2  а 2 . Уравнения ее асимптот у   х .
Директрисами эллипса называются две прямые, параллельные мнимой
оси и отстоящие от нее на расстоянии а .

Уравнения директрис:
2
d1 : x  a  0 или x  a  0 ;

c
х
122
2
d 2 : x  a  0 или x  a  0 (рис. 94).

c
Гипербола обладает следующим директориальным свойством: для любой точки М , принадлежащей гиперболе, отношение расстояния от М до
фокуса к расстоянию от М до соответствующей директрисы равно эксцентриситету, т.е.
 М , Fi 
 , i  1, 2 (рис. 94).
 M , d i 
d2
у
d1
М
в

j
F2
a
х

i
O
a
F1
в
Рис. 94
Замечание 1. Директрисы гиперболы не имеют общих точек с гиперболой.
Гипербола
2
х 2  у  1
а2 в2
называется
сопряженной
к
гиперболе
2
х 2  у  1 . Ее мнимой осью является ось Ох (на рис. 94 она изображена
а2 в2
пунктиром).
Задания для самостоятельной работы
1. Приведите уравнение гиперболы к каноническому виду:
а) 4 х 2  25 у 2  100  0 ;
в) х 2  3 у 2  13  0 ;
123
б) 3 х 2  7 у 2  21  0 ;
г) 9 х 2  у 2  1  0 .
2. Дано каноническое уравнение гиперболы. Найдите действительную и
мнимую «полуоси», координаты вершин, координаты фокусов, фокальное
расстояние, фокальные радиусы точки М , эксцентриситет, уравнения директрис:


2
у2
а) х 
 1; М 3 2 ; 4 ;
9 16
2
у2
х
б)

 1; М 8; 0 .
64 36
3. Постройте изображение гиперболы, ее фокусов и директрис:
2
у2
а) х 
 1;
9 16
2
у2
б) х 
 1.
16 4
4. Докажите, что эксцентриситет равносторонней гиперболы равен
2.
§ 30. Парабола
Параболой называется множество всех точек плоскости, расстояние
каждой из которых до данной точки F равно расстоянию до данной прямой
d , не содержащей точку F .
Точка F называется фокусом параболы, а прямая d  директрисой.
Расстояние  F , d  от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через р :
р   F , d   0 .
Коротко определение параболы  можно записать так:
  M | MF  M , d , F  d .
Пусть на плоскости дана прямая d и точка F  d . Проведем из точки F
перпендикуляр FD к прямой d . Выберем прямоугольную декартову систему
d

124


координат Oi j так, чтобы точка O была серединой отрезка FD , а i  OF
(рис. 95).
Выведем уравнение параболы  с фокусом F и директрисой d в системе коор
динат Oi j .
Найдем координаты точки F и пря
мой
в
системе
d
Oi j :
p
p 
F  ; 0 , d : x   0 .
2
2 
Пусть M  x; y   . Тогда по определению параболы MF   M , d  . Учиx
2
p
2
p
p

 x  , получим:
тывая, что MF  FM   x    y 2 ;  M , d   2
2
2

1  02
2
p
p

2
x   y  x .
2
2

Преобразуем это уравнение:
2
2
p
p
p2
p2


2
2
2
2
;
x


y

x

;
x

px


y

x

px





2
2
4
4


y 2  2 px .
(42)
Итак, если точка M принадлежит параболе  , то ее координаты удовлетворяют уравнению (42).
Пусть, обратно, координаты точки M  x; y  удовлетворяют уравнению
(42), т.е.
y 2  2 px .
Тогда
2
2
p
p
p2
p2


MF   x    y 2   x    2 px  x 2  px 
 2 px  x 2  px 

2
2
4
4


125
2
p2
p
p

 x  px 
 x   x ;
4
2
2

2
 M , d   x 
а
p
.
2
Следовательно,
MF  M , d  , т.е. M   (по определению параболы).
Таким образом, доказано, что уравнение (42) есть уравнение параболы 
с фокусом F и директрисой d . Уравнение (42) называется каноническим
уравнением параболы.
Чтобы изобразить параболу по ее каноническому уравнению, исследуем
геометрические свойства параболы.
Свойства параболы
1. Так как у 2  0 и p  0 , то из уравнения (42) следует, что x  0 , т.е.
все точки параболы принадлежат полуплоскости x  0 .
2. Выясним, симметрична ли парабола y 2  2 px относительно начала
координат и осей координат.
Пусть M 0  x0 ; y0    y02  2 px0   y0   2 px0  M 0  x0 ;  y0   , т.е.
2
парабола симметрична относительно оси Ox . Ось симметрии параболы
называется осью параболы.
Заметим, что
 y0 2  2 p  x0 
и
y 0  2 p   x0 ,
2
следовательно,
M 0 x0 ;  y0   и M 0 x0 ; y0   , т.е. парабола не симметрична относи-
тельно начала координат и оси Oy .
3. Найдем точки пересечения параболы с осями координат.
  Ox  ?
 y 2  2 px,   x  0    Ox  O 0; 0 .
y  0
y  0


  Oy  ?
 y 2  2 px,   x  0    Oy  O 0; 0 .
x  0
y  0


Таким образом, парабола имеет одну вершину.
4. Зависимость формы параболы от ее фокального параметра.
126
Чем больше фокальный параметр р , тем сильнее парабола вытягивается
вдоль оси Oy .
5. Чтобы изобразить параболу, найдем координаты четырех вспомогательных точек, принадлежащих параболе.
p 
p
 : y 2  2 px  M 1  ; p    , M 1  ; 
2 
2

p    , M 2 2 p; 2 p   , M 2 2 p;  2 p  

.
Построение изображения параболы по ее каноническому уравнению выполняется в следующей последовательности: выбираем на плоскости прямо
угольную декартову систему координат Oi j ; строим точки M 1 , M 1 , M 2 , M 2 ;
проводим через точки M 1 , M 2 , O , M 1 и M 2 параболу; строим фокус F и директрису d (рис. 96).
y
M2
d
2p

M1
p

j
p

2
O
p
 2p
F
p
2

i
p
2p
M 1
M 2
x
127
Эксцентриситетом параболы называется число единица.
Из
определения
 М   MF  M , d 
параболы

следует,
что
 M , F 
 1   , т.е. для параболы также имеет место ди M , d 
ректориальное свойство.
Директриса параболы также никогда не пересекает параболу.
Если построить параболы 1 : y 2  2 px,  2 : x 2  2 py и  3 : x 2  2 py в

той же канонической системе координат Oi j , то они будут расположены так
(рис. 97):
у
у
1
d1

j

i
F1
O
 F2
j

O i
х
у
2

j
d3
O
х

i
F3
d2
3
Рис. 97
Заметим, что на ось параболы в ее каноническом уравнении указывает
та переменная, которая стоит в первой степени.
Задания для самостоятельной работы
1. Приведите к каноническому виду уравнение параболы:
х
128
а) 8 х  у 2  0 ;
г) 2 х 2  9 у  0 ;
б) 3 х  5 у 2  0 ;
д) 1 х 2  у  0 ;
6
в) х  7 у 2  0 ;
е) у 2  2 х  4 у  10  0 .
2. Дано каноническое уравнение параболы. Найдите фокальный параметр параболы, координаты фокуса и уравнение директрисы:
а) у 2  6 х ;
в) у 2   4 х ;
3
б) у 2  3 х ;
4
г) х 2  2 у .
3. Изобразите параболу, ее фокус и директрису:
а)  : у 2  8 х ;
в)  : у 2  2 х ;
б)  : у 2  8 х ;
3
г)  : х 2  4 у .
Лекция 15
Понятие о классификации линий второго порядка.
Приведение общего уравнения линии второго
порядка к каноническому виду
§ 31. Понятие о классификации линий второго порядка
Уравнение
a11x2  2a12 xy  a22 y 2  2a10 x  2a20 y  a00  0 ,
(43)
где a11 , a12 , a22 , a10 , a20 , a00  R, a11 , a12 , a22 не равны нулю одновременно, называется общим уравнением линии второго порядка.
Пусть линия второго порядка в прямоугольной декартовой системе координат задана уравнением (43).
129
Идея классификации линий второго порядка заключается в том, чтобы
путем надлежащего выбора новой прямоугольной декартовой системы координат упростить уравнение линии, а затем по этому уравнению установить, к
какому классу принадлежит линия.
Справедлива
Теорема 1 (основная теорема о линиях второго порядка). Существует
девять типов линий второго порядка: эллипс; гипербола; парабола; мнимый
эллипс; пара пересекающихся прямых; пара мнимых прямых, пересекающихся в действительной точке; пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых; пара совпавших прямых.
В следующей таблице приведены канонические уравнения этих линий:
Название линии второго порядка
Каноническое уравнение
1. Эллипс
x2 y2

1
a2 b2
2. Гипербола
x2 y2
x2 y2

 1


1
или
a2 b2
a2 b2
y 2  2 px, y 2  2 px, x 2  2 py
3. Парабола
x 2  2 py
4. Мнимый эллипс
x2 y2

 1
a2 b2
5. Пара пересекающихся прямых
x2 y2

0
a2 b2
6. Пара мнимых прямых, пересекаю-
x2 y2

0
a2 b2
щихся в действительной точке
7. Пара параллельных прямых
x 2  a 2  0 или y 2  b 2  0
8. Пара мнимых параллельных прямых
x 2  a 2  0 или y 2  b 2  0
9. Пара совпавших прямых
x 2  0 или y 2  0
Задания для самостоятельной работы
или
130
1. Определите тип линии второго порядка по ее каноническому уравнению:
а)
x2 y2

 0;
16
4
г) y 2  1  0 ;
x2 y2

 1 ;
б)
9
4
д) x 2  6 y ;
x2 y2

 1 ;
в)
25 81
е) x 2  y 2  0 .
2. Определите тип линии второго порядка:
x2 y2

 1;
а)
3
7
x2 y2

 0;
г)
5
2
б) x  11  0 ;
x2 y2

 1;
д)
2
6
в) y 2  9 x ;
е) y 2  12  0 .
2
3. Приведите уравнение к каноническому виду и определите тип линии
второго порядка:
а) 18 x 2  8 y 2  72  0 ;
в) 3x 2  10  0 ;
б) 4 x 2  y  0 ;
г) 2 x 2  7 y 2  0 .
4. Определите, какую линию второго порядка задает уравнение:
а) xy  0 ;
г) x( x  y)  0 ;
б) ( x  5) y  0 ;
д) xy  y 2  0 ;
в) ( x  1)( y  2)  0 ;
е) 6 xy  8x  3 y  4  0 .
§ 32. Приведение общего уравнения линии второго порядка
к каноническому виду
По виду общего уравнения трудно определить тип линии второго порядка. Для этого общее уравнение линии второго порядка надо привести к
каноническому виду. Это делают с помощью преобразования прямоугольной

декартовой системы координат O i j (Oxy) , в которой дано общее уравнение
131
(43) линии. С помощью поворота координатных векторов и переноса начала

получают каноническую систему координат O i j  (OXY ) , в которой уравнение данной линии второго порядка имеет канонический вид.

Итак, пусть линия второго порядка  задана в системе O i j (Oxy) об-
щим уравнением a11x2  2a12 xy  a22 y 2  2a10 x  2a20 y  a00  0 .
Если a12  0 , то приведение общего уравнения линии  к каноническому виду происходит в два этапа:
I этап. С помощью поворота координатных векторов освобождаются
 
^
от члена, содержащего произведение xy . Угол поворота   i, i  находят
следующим образом:
ctg 2 
a11  a22
ctg 2
1  cos 2
1  cos 2
 cos 2 
 sin  
; cos 
.
2
2a12
2
2
1  ctg 2



Тогда координаты координатных векторов i  и j  в системе O i j бу-
дут находиться так:


i(cos ; sin  ), j ( sin  ; cos ) .
(44)
Записываем формулы поворота координатных векторов на угол  :
 x  x cos  y sin  ,

 y  x sin   y cos .
(45)
Подставляем x и y из формул (45) в общее уравнение линии  . После
преобразований исчезает член 2a12 xy . Получаем уравнение линии  в про
межуточной системе координат O i j  (Oxy ) .
II этап. Выделяем полные квадраты при x  и y  и совершаем перенос
начала O в точку O( x0 ; y0 ) по формулам
132
 x   X  x0 ,

 y  Y  y0 .
(46)

Координаты x0 , y 0 точки O  вычислены в системе O i j  (Oxy ) .
Подставляем x, y  из формул (46) в уравнение линии  в системе

O i j  (Oxy ) . После преобразований получаем каноническое уравнение ли
нии  в новой системе O i j  (OXY ) и определяем ее вид.

Строим старую систему координат O i j (Oxy) , промежуточную


O i j  (Oxy ) , новую O i j  (OXY ) и линию  по ее каноническому уравне
нию в системе O i j  (OXY ) .
Замечание 1. При переходе ко II этапу возможны следующие случаи:
1.Уравнение содержит переменные x  и y  во второй степени. Тогда
выделяются полные квадраты при x  и y  . В результате может получиться
каноническое уравнение эллипса, гиперболы, мнимого эллипса, пары пересекающихся прямых или пары мнимых пересекающихся прямых.
2. Уравнение содержит только одну переменную во второй степени, а
другую – только в первой. Тогда после выделения полного квадрата при той
переменной, которая стоит во второй степени, с помощью переноса начала
освобождаются от свободного члена. В результате получится каноническое
уравнение параболы.
3. Уравнение содержит только одну переменную и в первой, и во второй степени, другая переменная отсутствует. Выделяем полный квадрат и
получаем каноническое уравнение пары параллельных прямых, пары мнимых параллельных прямых или пары совпавших прямых.
Замечание 2. Если в общем уравнении линии  a12  0 , то приведение
общего уравнения к каноническому виду начинают сразу со II этапа.
Рассмотрим конкретный пример.
133
Задача. Привести общее уравнение 6 xy  8 y 2  12 x  26 y  29  0 линии
 к каноническому виду, определить вид линии  и построить ее изображение.
Решение.
I
этап.
Из
общего
уравнения
линии

находим
a11  0, 2a12  6, a22  8 .
Найдем угол поворота координатных осей:
ctg 2 
08
4
   cos 2 
6
3

4
3
4
1  ( ) 2
3

4

5
4
4
1  ( )
1  ( )
5  3 ; cos 
5  1 .
 sin  
2
2
10
10


Находим координаты координатных векторов i  и j  в системе коор
динат Oi j :
 1

3
3
1
i (
;
), j (
;
).
10 10
10 10
Записываем формулы поворота координатных векторов на угол  :

 x 

y 

1
x 
10
3
x 
10
3
y ,
10
1
y .
10
Подставляем x и y из полученных формул в общее уравнение линии
:
1
3
3
1
3
1
1
3
x 
y )(
x 
y )  8(
x 
y ) 2  12(
x 
y ) 
10
10
10
10
10
10
10
10
3
1
 26(
x 
y)  29  0;
10
10
6(
134
18 2 54
6
18
72
48
8
12
36
x  xy   xy   y  2  x 2  xy   y  2 
x 
y 
10
10
10
10
10
10
10
10
10
78
26

x 
y   29  0.
10
10
После приведения подобных получаем уравнение линии  в системе

координат O i j  (Oxy ) :
 : 9 x 2  y  2  9 10 x  10 y   29  0 .
II этап. Найдем формулы переноса начала координат. Для этого выделим полные квадраты при x  и y  :
9( x 2  10 x)  ( y  2  10 y )  29  0;
9( x 2  2
10
10 2
10 2
10
10 2
10 2
x  (
) )  9(
)  ( y2  2
y  (
) )(
)  29  0;
2
2
2
2
2
2
9( x  
10 2 45
10 2 5
) 
 ( y 
)   29  0;
2
2
2
2
9( x  
10 2
10 2
)  ( y 
)  9  0.
2
2
Положим

 x  

 y 

10
 X,
2
10
 Y,
2
тогда получаем формулы переноса начала:

 x   X 

 y  Y 

10
,
2
10
.
2
При этом точка O переходит в точку O (
10
10
;
) , координаты кото2
2

рой найдены в системе O i j  (Oxy ) .

Линия  в системе O i j  (OXY ) будет иметь уравнение
135
9X 2  Y 2  9  0.
Приведем это уравнение к каноническому виду:
X2 Y2
:

 1 .
1
9
Следовательно,  - гипербола с мнимой осью O X .
Последовательность построения изображения гиперболы  такова:

а) Строим старую систему координат O i j (Oxy) .

б) Строим промежуточную систему координат O i j  (Oxy ) . При этом


чтобы точно совершить поворот координатных векторов i и j на угол  ,


построим сначала вспомогательные векторы p(1; 3) и q (3;1) , которые будут


коллинеарны векторам i  и j  соответственно (на чертеже эти векторы не
показаны, а построены лишь их концы – точки с координатами (1; 3) и (3;1)


(рис. 98). Тогда единичные векторы i  и j  будут сонаправлены с векторами


p и q , а оси координат Ox  и Oy  пройдут через точку O и точки (1; 3) и
(3;1) соответственно (рис. 98).

в) Строим новую систему координат O i j  (OXY ) .
г) Строим линию  по ее каноническому уравнению в системе коорди
нат O i j  (OXY ) (рис. 99).
y
x
3
2
y
-3
-2
1
  
j  j i

-1 О
i
Рис. 98
1
х
136
X
x
Y
3
 
1 j i 

y
-1
-3
-2
10
2
1 3
2
O
10
2
1
  i 
j j  
i
-1 О
1
-3

x
Рис. 99
Задания для самостоятельной работы
1. С помощью переноса начала координат привести уравнение линии к
каноническому виду, определить тип линии и построить ее изображение:
а) 4 x 2  9 y 2  40 x  36 y  100  0 ;
б) 9 x 2  16 y 2  54 x  64 y  127  0 ;
в) 9 x 2  4 y 2  18 x  8 y  49  0 ;
г) 4 x 2  y 2  8x  2 y  3  0 .
2. . С помощью переноса начала координат привести уравнение линии
к каноническому виду, определить тип линии и построить ее изображение:
а) 4 y 2  8 y  3  0 ;
137
б) 3x 2  12 x  5 y  17  0 ;
в) y 2  2 x  12 y  30  0 .
3. Привести уравнение к каноническому виду, определить тип линии и
построить ее изображение:
а) 2 x 2  10 xy  12 y 2  7 x  18 y  15  0 ;
б) 3x 2  8xy  7 y 2  8x  15 y  20  0 ;
в) x 2  4 xy  4 y 2  7 x  12  0 ;
г) 9 x 2  24 xy  16 y 2  120 x  90 y  0 .
138
Оглавление
Стр.
Методические рекомендации по работе с электронным вариантом
лекций ……………………………………………………………………
Список рекомендуемой литературы ……………………………………
3
5
Элементы векторной алгебры ………………………………………..
7
Лекция 1. Векторы. Линейные операции над векторами ……………..
7
§1. Понятие вектора …………………………………..
7
§2. Сложение и вычитание векторов ………………..
9
§3. Умножение вектора на число ……………………
12
Лекция 2. Линейная зависимость векторов ……………………………
15
§4. Линейная зависимость векторов и ее свойства …………
15
Лекция 3. Базис. Координаты вектора …………………………………
20
§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе и их свойства …………………………………………………………
20
Лекция 4. Нелинейные операции над векторами ……………………..
25
§6. Скалярное произведение двух векторов ………………..
25
Лекция 5. Нелинейные операции над векторами ……………………..
31
§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости …….
31
§8. Векторное произведение двух векторов …………………
33
Лекция 6. Нелинейные операции над векторами ……………………...
37
§9. Смешанное произведение трех векторов ………………..
37
Метод координат на плоскости и в пространстве …………………
42
Лекция 7. Аффинная и прямоугольная декартова системы координат
42
§10. Понятие аффинной и прямоугольной декартовой систем координат …………………………………………..
§11. Основные аффинные и метрические задачи ………….
42
45
Лекция 8. Формулы преобразования координат ………………………
49
§12. Преобразование аффинной системы координат ………
49
§13. Понятие направленного угла между векторами. Пре-
139
образование прямоугольной системы координат …….
52
§14. Полярные координаты ………………………………….
57
Прямая линия на плоскости
61
Лекция 9. Прямая в аффинной системе координат ……………………
61
§15. Различные уравнения прямой ……………………….….
61
§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи ……...
67
§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на
плоскости (обзор) ……………………………………….
70
Лекция 10. Прямая в прямоугольной декартовой системе координат
76
§18. Уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали ………………………………………………………
76
§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на
плоскости …………………………………………………
78
Плоскости и прямые в пространстве ………………………………..
82
Лекция 11. Плоскость в аффинной системе координат ……………….
82
§20. Различные уравнения плоскости в аффинной системе
координат ………………………………………………..
82
§21. Общее уравнение плоскости …………………………..
85
§22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости …………….
87
§23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью
(обзор) …………………………………………………..
91
Лекция 12. Плоскость в прямоугольной системе координат ………..
94
§24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
94
Лекция 13. Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и
плоскости в пространстве ………………………………….
98
§25. Различные уравнения прямой в пространстве …………
98
§26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости …
102
§27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости
140
в пространстве ……………………………………………..
106
Линии второго порядка ………………………………………………..
110
Лекция 14. Эллипс. Гипербола. Парабола ……………………………..
110
§ 28. Эллипс …………………………………………………...
110
§ 29. Гипербола ………………………………………………..
116
§ 30. Парабола …………………………………………………
122
Лекция 15. Понятие о классификации линий второго порядка. Приведение общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду …………………………………………..
127
§ 31. Понятие о классификации линий второго порядка …...
127
§ 32. Приведение общего уравнения линии второго порядка
к каноническому виду ………………………………….
129