Глава IV.МАТЕМАТИЧЕ СКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ .............................128

Глава IV
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
Одним из важнейших способов применения математических методов в современном научном исследовании является математический, или вычислительный, эксперимент.
Его возникновение было обусловлено появлением быстродействующих вычислительных машин. Именно поэтому такой эксперимент часто называют вычислительным или машинным экспериментом.
1. ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
И СПЕЦИФИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Как новый метод научного исследования математический эксперимент основывается, во-первых, на построении
математических моделей для описания изучаемых процессов и, во-вторых, на использовании новейших вычислительных машин для расчетов параметров различных вариантов модели. Математические модели, как мы видели,
применялись для решения прикладных задач и раньше.
Однако из-за отсутствия достаточно быстродействующих
вычислительных средств такие модели приходилось зачастую упрощать и вследствие этого получать весьма приближенные количественные описания исследуемых процессов.
128
Возникновение и непрерывное совершенствование новой, быстродействующей вычислительной техники не только способствовали громадному ускорению различных расчетов, но и открыли новые, более широкие возможности
для математического моделирования весьма сложных процессов окружающей природы и проектирования разнообразных технических систем и комплексов. Поэтому можно
сказать, что жизнь математическому эксперименту в первую очередь дали новые быстродействующие вычислительные машины, или компьютеры.
Появление и широкое использование компьютеров часто
характеризуют как революцию не только в вычислительной
технике, но и в научном познании в целом. Например,
Н. Н. Моисеев считает, что «два открытия можно поставить в один ряд с ЭВМ — это огонь и паровая машина» 1 .
Если огонь и паровая машина в огромной степени содействовали усилению физических возможностей человека в
покорении сил природы, то компьютеры — усилению его
интеллектуальных
возможностей.
Английский ученый
А. Сломан сравнивает появление компьютеров с изобретением письма 2 .
В первое время многим казалось, что компьютеры
представляют собой не что иное, как большие арифмометры. Такой взгляд основывался на том, что машины первого
поколения, появившиеся в конце 40-х годов и заменявшие
труд нескольких тысяч профессиональных вычислителей,
использовались исключительно для разнообразных расчетов. Хотя область применения машин второго поколения значительно расширилась, но тем не менее и они в
основном использовались для решения вычислительных
задач, возникающих в различных приложениях математики, таких, как управление и планирование народного хозяйства, автоматизация производства, расчеты траекторий
ракет и искусственных спутников Земли, атомных реакторов и т. п. В процессе использования компьютеров в науке,
технике, экономике и управлении народным хозяйством
129
приходилось не только решать чисто вычислительные и
логические задачи, но и создавать новые методы формального описания процессов, строить новые алгоритмы, находить более совершенные способы программирования и т. д.—
словом, разрабатывать весь тот круг проблем, который
именуют математическим обеспечением вычислительной
техники.
Не подлежит сомнению, что всевозрастающее применение компьютеров в технике, экономике и народном хозяйстве в целом служит одним из важных показателей
научно-технического прогресса, способствуя увеличению
производительности общественного труда, механизации и
автоматизации производства, облегчению самого процесса
труда, превращению его в первую жизненную потребность
человека. Поэтому область применения компьютерной техники, в том числе мини-ЭВМ, промышленных роботов и
других устройств, будет расширяться и далее.
Что касается использования компьютеров в процессе
научного исследования, то реальные предпосылки для этого возникли лишь с появлением вычислительных машин
третьего поколения, построенных на интегральных схемах,
быстродействие которых измеряется миллионами операций
в секунду. Именно благодаря этим техническим усовершенствованиям и разработке новых вычислительных методов стало возможным работать с машиной в режиме диалога. В результате ученые начали экспериментировать
с математическими описаниями исследуемых процессов, и
математический эксперимент постепенно превратился в
важнейший метод теоретического изучения ряда сложных,
комплексных проблем современной науки и техники. «Фактически за последние два десятилетия, — пишет академик
А. А. Самарский, — сложилось новое направление в теоретических физических исследованиях, основанное на использовании ЭВМ и играющее важную роль в ускорении
темпов научно-технического прогресса. Называют это направление по-разному: «вычислительный эксперимент»,
130
«математическое моделирование», «математический эксперимент» и т. д. Однако независимо от названия суть здесь
одна: на основе математической модели с помощью ЭВМ
проводится изучение устройств и физических процессов и
«проигрывается» их поведение в различных условиях, находятся оптимальные параметры и режимы действующих
или проектируемых конструкций»3.
Построение математической модели служит необходимой предпосылкой для осуществления вычислительного
эксперимента, так как именно такая модель служит основой дальнейшего исследования. Однако математическое
моделирование и вычислительный эксперимент хотя и тесно связаны друг с другом, но не тождественны. В процессе математического эксперимента первоначальная модель по мере ее разработки, как правило, подвергается
модификации. Решающую роль здесь играет сопоставление эмпирически проверяемых следствий модели с данными конкретных наблюдений и экспериментов. Поэтому
поиски адекватной математической модели, нахождение
оптимальных режимов функционирования физических систем и технических устройств требуют такого огромного
объема вычислительной работы, который нельзя выполнить
вручную или с помощью простейших средств автоматизации вычислений. Для этого необходим компьютер, обладающий не только высоким быстродействием, но и значительной «памятью». Вот почему только с появлением вычислительных машин третьего поколения стало возможным
вести диалог с машиной, проверять гипотезы, сформулированные на количественном языке математики. «Только
с появлением диалога, — пишет Н. Н. Моисеев, — в математику начал входить эксперимент и принципы его организации и открылись горизонты использования математи4
ки, о которых раньше никто не догадывался» .
Характерная особенность математического эксперимента состоит в том, что он представляет собой метод наиболее совершенного мысленного экспериментирования с мо131
делями сложных реальных процессов и технических систем, выраженных на языке математики. Мысленный
эксперимент используется в науке по крайней мере начиная с исследований Г. Галилея, однако в то время цели
такого эксперимента были крайне ограниченны, а возможности экспериментирования весьма невелики. Но исторически корни математического эксперимента уходят именно в тот период развития классического естествознания,
когда впервые для описания явлений природы стали применяться точные количественные методы математики и
строиться простейшие математические модели. Располагая
такими моделями, можно было производить мысленные
эксперименты, а результаты их сопоставлять с опытом.
Таким образом, одна из важнейших предпосылок возникновения математического эксперимента — наличие математической модели — в неразвитом виде существовала
уже в науке Нового времени. Потребовалось, однако, три
столетия, прежде чем математический эксперимент утвердился как особый, специфический метод исследования.
Причина здесь заключается, конечно, не только в отсутствии совершенных вычислительных средств и адекватных
математических моделей, но и в ограниченном понимании
самого метода экспериментального исследования в науке
того времени. Действительно, эксперимент тогда рассматривался почти исключительно как способ проверки эмпирических обобщений, гипотез и теорий в науке. Использование
его в качестве эвристического средства выявления некоторых закономерностей природы стало возможным значительно позже. К мысленному же эксперименту прибегали
крайне редко, не говоря уже об отсутствии каких-либо
попыток связать его с натурным экспериментом.
Такое же положение сохранялось на протяжении всего
развития классического естествознания. Во-первых, математические модели, которые тогда использовались, были
приспособлены для исследования сравнительно простых
процессов, например, в геодезии, астрономии, механике,
132
оптике, термодинамике и других разделах классической
физики. Но для их описания приходилось значительно
упрощать эти модели, чтобы применить к ним существующие аналитические методы. Таким образом, отсутствие
совершенных вычислительных средств и методов принуждало ученых огрублять количественное описание изучаемых процессов и явлений природы.
Во-вторых, модели, которые существовали в классической математике, допускали однократный выбор, так что
ученый всегда исходил из какой-то одной фиксированной
системы допущений и гипотез. Отличительная же черта
математического эксперимента в том и состоит, что в
ходе его проведения оперируют множеством различных
возможных моделей, выбирая ту из них, которая наиболее адекватно описывает действительность. Такой выбор в конечном счете определяется соответствием результатов теоретического экспериментирования с реально
наблюдаемыми фактами натурного эксперимента. Именно
в тесном и непрерывном взаимодействии теории и опыта,
мышления и практики заключается важное преимущество
математического эксперимента как нового способа научного исследования.
В-третьих, при использовании моделей в классической
прикладной математике весь процесс сводился по сути
дела к дедукции следствий из однажды принятой модели.
Если эти следствия оказывались не соответствующими
данным опыта, то строилась другая модель и все исследование повторялось заново. В современном математическом
эксперименте наличие различных возможных моделей при
сохранении существующих методов и техники их исследования дает возможность непрерывно корректировать и модифицировать модель и в конечном счете выбирать модель
оптимальную. Все это значительно облегчает процесс
поиска наиболее адекватного математического описания
явлений и, несомненно, во многом ускоряет его.
Необходимо подчеркнуть, что в математическом экс133
перименте современный компьютер выступает не только и
не столько как вычислительное средство наподобие арифмометра, а как весьма совершенный инструмент для знакового моделирования самых разнообразных процессов,
допускающих формальное и алгоритмическое описание.
Уже простейшие механические и полуавтоматические средства вычисления в известной мере можно считать моделями, которые применяются для производства обычных арифметических действий. Однако отсутствие программы, не
говоря уже о невысокой скорости выполнения операций,
исключает возможность использования этих средств для
моделирования более сложных математических действий,
необходимых для алгоритмического описания сколько-нибудь существенных для науки процессов. Даже компьютеры первого и второго поколения, как мы видели, оказались
мало приспособленными для выдвижения и проверки научных гипотез и осуществления математических экспериментов.
Таким образом, возникновение математического эксперимента стало возможным, во-первых, благодаря появлению компьютеров, работающих в режиме диалога, во-вторых, усовершенствованию теории и практики программирования и разработки теории численных методов и алгоритмов решения математических задач и, наконец, в-третьих,
развитию и усовершенствованию методов построения математических моделей, использованию в этих целях языка
не только классической, но и современной математики.
Перечисленные элементы входят в качестве составных
частей в структуру самого математического эксперимента.
Согласно А. А. Самарскому, в таком эксперименте можно
выделить пять этапов 5 .
На первом этапе строится математическая модель исследуемых процессов, т. е. осуществляется их описание на
языке математики. Пока такое описание большей частью
проводится на языке классической математики, т. е. с помощью алгебраических, дифференциальных и других урав134
нений. Однако в принципе для этого могут быть использованы любые математические структуры. На этом этапе
осуществляется и анализ построенной модели логико-математическими средствами: проверяется непротиворечивость
модели, обсуждается вопрос о существовании решения
уравнения и его единственности, уточняются необходимые
данные для решения уравнения и т. д.
Второй этап математического эксперимента заключается в нахождении приближенного численного метода решения задачи, сформулированной на первом этапе, т. е.
в выборе алгоритма для ее решения. Под алгоритмом в
современной математике понимают некоторый массовый
процесс, совершающийся от варьируемых исходных данных к определенному конечному результату. По сути дела
он представляет собой последовательность математических
и логических операций, которые надо осуществить для
получения результата. Поэтому любой вычислительный или
иной процесс формального характера, для которого существует точное, однозначное предписание или правило,
можно назвать алгоритмическим.
Чтобы исследовать математическую модель, выраженную на языке уравнений, которые большей частью являются дифференциальными, необходимо перейти от математического описания с помощью непрерывных функций
переменных к описанию посредством функций дискретного
аргумента. В результате получают возможность построить
алгоритм для решения задачи. Ясно, однако, что такое решение будет некоторым приближением к первоначальной
задаче, так как исходное непрерывное описание процесса заменяется дискретным описанием. Отсюда следует, что
результат, полученный на ЭВМ, в принципе всегда будет
только приближенным, а не точным. Но на практике все
величины могут быть измерены лишь с той или иной степенью приближения, и поэтому погоня за абсолютной точностью результата совершенно бессмысленна, а фактически никогда недостижима.
135
Дело в том, что необходимая для решения задачи- первоначальная информация (начальные и граничные условия
уравнения, его коэффициенты) всегда может быть задана
лишь с той или иной степенью погрешности, которая не
только сказывается на окончательном результате вычисления, но и никогда не может быть устранена. Вследствие
этого ее и называют неустранимой погрешностью. Кроме
того, существует погрешность, которая возникает вследствие замены непрерывного описания описанием дискретным
и которую называют погрешностью метода. Наконец, в
ходе вычислений на ЭВМ приходится считаться также с
погрешностями, возникающими в результате округления
чисел. Все это, вместе взятое, оказывает влияние на окончательный итог, получаемый при решении задачи на ЭВМ.
Главное требование, предъявляемое к вычислительному
алгоритму решения задачи, сводится к установлению степени его точности. Эта степень определяется конкретно
поставленной задачей. Стремление выйти за границы действительно требуемой на практике точности будет сказываться на объеме вычислений и тем самым на времени,
требуемом для реализации алгоритма. Поэтому если поставить цель сделать получаемую погрешность при вычислениях весьма малой, то это может привести к недопустимому увеличению времени работы ЭВМ. Вот почему при
использовании ЭВМ для решения прикладных задач стремятся к тому, чтобы при заданной степени точности машинное время для реализации алгоритма было минимальным. Круг вопросов, связанных с выбором численных методов и алгоритмов для решения математической задачи,
которая вытекает из анализа математической модели, относится к компетенции специалистов по вычислительной
математике. Единственно, что требуется на этом этапе математического эксперимента от специалистов конкретных
наук, — это установить разумную степень точности результата, который должен быть получен с помощью ЭВМ.
На третьем этапе эксперимента осуществляется про136
граммирование вычислительного алгоритма для ЭВМ, а на
четвертом проводится расчет на ЭВМ. Эти этапы эксперимента относятся к чисто технической его стороне и входят
в компетенцию специалистов по машинной математике.
Пятый, завершающий этап является наиболее важным
и ответственным. На этом этапе производится анализ и
интерпретация результатов, полученных в ходе исследования первоначальной математической модели. Обычно для
проверки такой модели используются некоторые следствия,
выведенные из модели и допускающие эмпирическую интерпретацию. Сопоставляя их с данными наблюдений и
натурных экспериментов, делают заключение о соответствии модели действительности. При этом может оказаться,
что принятая модель является слишком грубым и схематичным описанием исследуемых процессов, так как полученные предсказания значительно расходятся с данными фактических наблюдений и экспериментов. Это означает, что
модель нуждается в дальнейшем уточнении или даже замене новой моделью.
Если в качестве математической модели выбирается
уравнение или система уравнений того или иного типа, то
необходимо установить, насколько точно определены значения величин, характеризующих физические процессы
с помощью коэффициентов уравнения, его начальных и
граничных условий. Ясно, что если эти величины будут
определены с большой погрешностью, то никакие вычислительные методы не помогут сделать модель соответствующей действительности. Наоборот, сами вычислительные
методы, как мы видели, вносят погрешность в окончательные результаты решения поставленной задачи, а тем самым в математическое описание реальных процессов.
Нередко первоначальная модель оказывается слишком
сложной и не поддается исследованию имеющимися вычислительными методами или требует затраты такого количества машинного времени, что решение теряет всякий
смысл. В таких случаях модель нуждается в упрощении,
137
и хотя при этом решение оказывается довольно приближенным, оно все же является вполне достаточным для
достижения поставленных целей.
Анализом, интерпретацией и сопоставлением результатов исследования математической модели, оценкой ее соответствия действительности математический эксперимент
не заканчивается. Преимущество работы с математическими моделями в ходе такого эксперимента в том именно и
состоит, что здесь не ограничиваются исследованием одной
конкретной модели, а анализируют целую серию различных вариантов моделей. Как только будет установлено,
что первоначально принятая модель оказалась слишком
простой или, наоборот, сложной, то все расчеты повторяются с новой моделью, пока не будет найдена математическая модель, наилучшим образом описывающая исследуемые процессы. Математический эксперимент и отличается
от обычного математического моделирования тем, что при
его проведении проверяются различные варианты моделей,
т. е. осуществляется эксперимент над моделями.
Применение математического эксперимента для решения крупных научно-технических и глобальных проблем,
вставших в последнее время перед человечеством, наилучшим образом демонстрирует возможности и перспективы
новейшего этапа математизации научного знания. В самом
деле, в классической прикладной математике, как отмечалось выше, строились одноразовые, фиксированные модели
изучаемых процессов. Когда они оказывались неадекватными действительности, то построение новых моделей приходилось начинать с самого начала и вновь повторять
процедуру их проверки, что требовало огромного труда.
Поскольку при этом нужно было значительно упрощать
сами модели для исследования их существующими математическими методами, постольку такие модели часто оказывались весьма приближенными и грубыми описаниями
действительности. Естественно, что при отсутствии эффективных и быстродействующих вычислительных средств
138
нельзя было экспериментировать с моделями и даже понастоящему ставить вопрос о «споре моделей».
Положение изменилось после того, как появилась возможность быстрого расчета различных вариантов моделей, благодаря чему можно было уточнять и исправлять
их. Действительно, располагая моделью какого-либо физического процесса, представленного в форме уравнения или
системы уравнений, можно изменять различные параметры,
например значения коэффициентов уравнения, начальные
и граничные условия, и таким способом подробно изучать
воздействие различных факторов на исследуемый физический процесс и в конечном счете выявлять определенные
закономерности, которыми он управляется. В итоге с помощью математического эксперимента можно получить не
менее надежную и богатую информацию об изучаемых
явлениях, чем при эксперименте натурном.
Другая важная особенность математического эксперимента состоит в том, что в его проведении участвует большой коллектив высококвалифицированных специалистов в
различных областях знания, начиная от математиков
и специалистов в области вычислительной техники и кончая учеными той области знания, для исследования проблем которой осуществляется математический эксперимент.
Как известно, многие проблемы современной науки и
техники находятся на стыке разных наук и носят комплексный характер, поэтому их эффективное решение возможно лишь при тесном сотрудничестве ученых разных
специальностей. Если во времена Ньютона, Лагранжа,
Лапласа математик нередко выступал как специалист по
механике, астрономии, физике и поэтому один строил математическую модель исследуемых явлений, то в дальнейшем это стало невозможным из-за возросшей дифференциации наук и все ускоряющегося процесса накопления
информации. В таких условиях математику становилось
трудно самому формулировать конкретную проблему и
строить математическую модель для ее решения. Нередко
139
поэтому он довольствовался получением необходимой информации из вторых рук, что не могло не сказываться на
качестве модели и конечном результате исследования.
Выход из этого затруднения был найден на пути объединения усилий математика и специалиста конкретной
области знания, в которой применялись математические
методы. Развитие междисциплинарных исследований и возникновение системного подхода привели к дальнейшему
объединению усилий ученых и методов исследования и тем
самым способствовали интеграции научного знания. Математический эксперимент явился одним из важных и эффективных методов исследования комплексных проблем
современной науки, техники и системного анализа, в решении которых участвуют большие коллективы специалистов различного профиля и высокой квалификации.
В качестве примера плодотворного сотрудничества ученых в решении новых проблем науки может служить открытие эффекта Т-слоя в плазме, сделанное сначала на
основе математического эксперимента, а затем подтвержденное непосредственными физическими экспериментами 6 .
Анализируя результаты этого эксперимента, один из его
руководителей, академик А. А. Самарский, пишет, что
«в настоящее время вычислительный эксперимент стал уже
новым мощным средством теоретических исследований в
физике. Фактически речь идет о новой системе организации
физических теоретических исследований на основе вычислительного эксперимента, которая органически связывает
математическую модель, вычислительный алгоритм, расчеты на ЭВМ и физический эксперимент» 7 .
2. ЗНАЧЕНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Основные принципы математического эксперимента формировались в ходе решения таких крупнейших научно-технических проблем, как получение внутриядерной энергии
и исследование космического пространства. Чтобы решить
140
множество возникающих при этом сложных задач, необходимо было располагать целым рядом фактических данных, знать параметры, характеризующие процессы, иметь
хотя бы приблизительное представление о них. Прямой
натурный эксперимент во многих случаях поставить было
нельзя, так как это было сопряжено с большой опасностью
для исследователей. В других случаях такой эксперимент
требовал больших затрат средств, времени, материалов.
В процессе решения многих проблем подобного рода
выяснилось, что необходимую для этого информацию можно получить с помощью построения математических моделей соответствующих процессов и последующего экспериментирования с ними на ЭВМ. Так постепенно складывался принципиально новый стиль прикладного математического исследования, который опирается на применение
новейшей вычислительной техники для анализа обширного
класса явлений, допускающих алгоритмическое описание.
«...Развитие компьютеров,— отмечал академик В. М. Глушков, — породило принципиально новый метод научного познания — математический эксперимент, занимающий промежуточное место между классическим дедуктивным и
классическим экспериментальным методом исследования» 8 .
Начиная с античной Греции математика считалась образцом дедуктивной науки и противопоставлялась естествознанию, основывающемуся на эксперименте и индуктивных выводах. Поскольку в математических доказательствах никогда не обращаются к эксперименту, а выводят
одни истины из других, постольку легко могла возникнуть
иллюзия, что математика развивается совершенно независимо от опыта и практики. Такой взгляд об априорном характере математического познания защищался философами-идеалистами (Платоном, Кантом и их современными последователями).
Противопоставление дедукции индукции тормозит решение многих методологических проблем математики, хотя
в реальном процессе познания большинство новых резуль141
татов в самой математике сначала получают путем индуктивных обобщений, установления плодотворных аналогий между различными математическими фактами и т. д.
Несмотря на то что в прикладной математике нередко
прибегают к индукции и аналогии, тем не менее жесткие
стандарты дедукции оказывают на нее определенное воздействие. В самом деле, в классической математике применение той или иной однажды принятой модели сводилось к дедукции ее следствий, а затем сопоставлению некоторых из эмпирически проверяемых следствий с непосредственными данными наблюдений и опытом. Поэтому
основным средством исследования как в чистой, так и в
прикладной математике считался дедуктивный метод.
В противоположность этому в естествознании в качестве
основного метода признавался эксперимент и тесно связанный с ним индуктивный способ исследования. Не случайно поэтому естественные науки часто рассматривали
как индуктивные. Для такого разграничения математики
и естествознания есть определенные основания.
Во-первых, как неоднократно подчеркивалось, математика непосредственно имеет дело не с эмпирическими,
а с абстрактными и идеализированными объектами, вследствие чего в ней никогда не прибегают к экспериментальным доказательствам. Во-вторых, в силу того, что математика исследует весьма общие количественные отношения между предметами и процессами самой различной
конкретной природы, она абстрагируется от того, что мешает выделить эти отношения в чистом виде. В-третьих,
полученные в результате такой абстрагирующей деятельности мышления объекты можно исследовать лишь чисто
логическим путем. В-четвертых, именно чрезвычайная
абстрактность и общность понятий и теорий математики
обеспечивают им возможность широкого применения в
конкретных науках.
Напротив, успехи классического естествознания всегда
были связаны не просто с наблюдениями, а с эксперимен142
том, позволяющим изучать процессы в контролируемых
условиях. Поскольку в эксперименте исследователь имеет
дело с результатами отдельных наблюдений, с частными
фактами и явлениями, то вывод, который делается на их
основе, является индуктивным, т. е. не достоверным, как
в случае дедукции, а только вероятным. Поэтому и возникает то противопоставление классического дедуктивного
метода, присущего математике, классическому экспериментальному методу естествознания, о котором писал
В. М. Глушков.
Развитие научного познания постепенно приводит к стиранию противоположности между дедуктивным и индуктивным методами. Конечно, различие между ними остается, но в реальной практике научного исследования они
все чаще начинают применяться в единстве. Именно такое
сочетание теории и практики, дедукции и индукции и обеспечивает успех исследования.
Эта особенность отчетливо выступает в математическом
эксперименте, в котором математическое описание реального процесса или проектируемой технической системы
основывается на тщательных эмпирических исследованиях,
опирающихся на индукцию и аналогию; математическое
описание, или модель, постоянно контролируется и корректируется в ходе непосредственных наблюдений и натурных экспериментов; математический эксперимент по
сути дела выступает как эксперимент модельный, хотя
моделью здесь является не вещественная, а некоторая знаковая система; наконец, в качестве инструмента моделирования используется компьютер.
Применение компьютеров играет существенную роль,
так как оно облегчает, ускоряет и совершенствует процесс
проверки логико-математических операций, производимых
на предшествующих этапах эксперимента. В связи с этим
приведем высказанные Ф. Энгельсом в подготовительных
работах к «Анти-Дюрингу» замечания о различии математических и чисто логических действий. Критикуя отож143
дествление работы счетной машины с деятельностью логического мышления, Ф. Энгельс обращал внимание на то,
что в таком случае происходит «забавное смешение математических действий, допускающих материальное доказательство, проверку, — так как они основаны на непосредственном материальном созерцании, хотя и абстрактном, —
с такими чисто логическими действиями, которые допускают лишь доказательство путем умозаключения и которым,
следовательно, не свойственна положительная достоверность, присущая математическим действиям...»9.
Ф. Энгельс имел в виду именно математические действия или операции, которые могут быть моделированы с помощью некоторых материальных вещей и процессов, будь
то камешки, костяшки счетов, различные механические
устройства, реле или электронные импульсы в ЭВМ. В этих
случаях математические операции действительно допускают наглядное созерцание, так как отображаются с помощью каких-либо материальных объектов, но такое созерцание остается абстрактным, потому что, наблюдая
объединение камешков, костяшек или импульсов, мы косвенно представляем сложение чисел или других математических величин.
С этой точки зрения современный компьютер есть не
что иное, как техническое устройство для моделирования
математических действий, с той, однако, существенной
разницей, что благодаря быстродействию и программе он
может моделировать самые разнообразные процессы объективного мира и даже мышления, которые допускают
алгоритмическое описание. Именно качественное отличие
современных компьютеров от арифмометров открывает невиданные перспективы для их применения в научном исследовании вообще и осуществлении математических экспериментов в особенности. Возникает вопрос: в чем состоят
преимущества математического эксперимента перед натурным? В каких случаях его использование является не
только желательным, но и необходимым?
144
Очевидное преимущество математического эксперимента
перед натурным заключается в его дешевизне и доступности. Известно, что современные натурные эксперименты,
например в физике элементарных частиц, требуют значительных средств, уникального оборудования, огромного количества энергии, тщательного планирования и организации, привлечения большого коллектива людей для работы
на экспериментальной установке и для обработки результатов экспериментов, их анализа и интерпретации.
Математический эксперимент отличается тем, что осуществляется не над самими объектами, а над их математическими описаниями, или моделями. Поэтому одна и та
же модель может быть использована для изучения процессов, имеющих различную физическую природу. Например, процессы диффузии, теплопроводности, намагничивания ферромагнетика математически описываются одним
и тем же уравнением, которое было найдено для описания
теплопроводности. То же относится и к другим уравнениям и их системам, которые используются в качестве математической модели исследуемых процессов. Эта особенность указанных моделей вытекает из абстрактной природы самой математики, отвлекающейся в процессе изучения
от конкретных физических, химических и иных свойств процессов.
Кроме того, численные методы, алгоритмы и программы для ЭВМ разрабатываются с таким расчетом, чтобы их
можно было использовать для решения разнообразных
задач. Наиболее перспективным в программном обеспечении математического эксперимента является, по-видимому,
модульный принцип программирования в сочетании с различными системными средствами. Благодаря этому при
оптимальном выборе множества математических и физических модулей их число может оказаться меньше числа
10
решаемых с их помощью физических задач .
Как мы видели, в ходе математического эксперимента
рассчитываются многие варианты моделей, с тем чтобы
6 Зак. 15246
145
выявить модель, наиболее точно описывающую реальные
процессы. Эта многомодельность и многовариантность математического эксперимента существенно отличает его от
натурного эксперимента, где каждый опыт приходится ставить заново. Даже эксперимент с моделями технических
устройств (плотин гидростанций, моделей самолетов, кораблей и т. п.) предполагает изменение прежних образцов
и пересчет их параметров. Математическую же модель как
знаковую систему можно изменить по желанию и соответственно изучить, какое влияние тот или иной параметр
может оказывать на поведение реальной системы или процесса. Действительно, располагая уравнением, описывающим протекание того или иного процесса, можно, изменяя
его коэффициенты, начальные и граничные условия или
даже отбрасывая те или иные члены, убедиться в том, как
в этих случаях будет протекать процесс. Таким образом,
в результате математического экспериментирования с моделями процессов можно собрать о них не менее богатую
информацию, чем при эксперименте натурном.
Математический эксперимент не требует также кропотливой и длительной подготовки. Он легче управляем, его
результаты проще анализировать и интерпретировать. Эти
преимущества дают возможность применять математический эксперимент там, где натурные эксперименты являются слишком дорогостоящими, трудными и менее эффективными. В этих случаях использование математического
эксперимента оказывается более предпочтительным и желательным. В некоторых процессах, непосредственное изучение которых опасно для жизни и здоровья людей, применение математического эксперимента является единственно возможным (например, исследования, связанные
с получением ядерной энергии, термоядерного синтеза,
освоением космического пространства, изучение работы химических и иных производств и т. д.). Но именно эти процессы вызывают особый интерес ученых, так как они направлены на решение животрепещущих проблем глобаль146
ного масштаба: пополнения источников сырья, запасов
энергии, долгосрочных прогнозов и т. п., не говоря уже
о расширении возможностей познания окружающего мира.
Нетрудно видеть, что математический эксперимент в
сочетании с другими методами теоретического исследования, а также частично с натурным экспериментом является весьма эффективным средством познания. Мы уже
отмечали, что этот эксперимент сформировался в процессе решения крупнейших научно-технических проблем современности. Поэтому можно сказать, что он представляет
собой прямое следствие современной научно-технической
революции, во многом изменившей методы познания современной науки, в том числе и математики. По мнению
В. М. Глушкова, появление математического эксперимента привело к новой философской проблеме — необходимости переосмысления не только предмета математики, но и
методов математического исследования 11.
Изменение взглядов на предмет математики, как мы
видели в первой главе, было обусловлено переходом от
изучения величин, чисел и фигур классической математики к исследованию абстрактных структур и категорий современной математики. Другими словами, коренные изменения в содержании математического познания, которые
справедливо характеризуют как революцию в математике,
привели к дальнейшему обобщению предмета ее исследования. Прежние величины, числа и фигуры классической
математики стали теперь частью нового учения об абстрактных структурах и категориях. В связи с этим в громадной степени расширилась сфера применения математических методов.
Методы классической математики возникли под воздействием запросов астрономии, геодезии, механики, а также таких отраслей классической физики, как оптика, термодинамика, акустика, электродинамика, химическая кинетика, и некоторых других наук, которые широко используют физические и химические методы исследования,
б*
147
например биофизики и биохимии. Эти же методы математического анализа были применены для изучения простейших зависимостей, которые встречаются в экономике,
биологии, психологии и других общественных науках. Однако классическая математика оказалась мало приспособленной для исследования сложных динамических процессов, которые характерны для живых и социальных
систем. Вот почему возникла острая необходимость разработки таких понятий, теорий и концепций, с помощью которых можно было адекватно описывать не только чисто
количественные, но и структурные отношения, специфичные для биологических и социальных процессов. Нельзя
сказать, что в настоящее время создан математический
аппарат, адекватно описывающий эти процессы. Однако
структурные методы современной математики глубже
отображают некоторые важные аспекты таких процессов
или по крайней мере сознательно ориентированы на их
исследование.
Что касается изменения в методах исследования, то
здесь наряду с применением новейших понятий и теорий
математики на построение моделей разнообразных реальных процессов и систем громадное влияние оказывает использование все более совершенной вычислительной техники. Теперь уже не требуется слишком упрощать модели
изучаемых процессов и, следовательно, можно точнее отображать их свойства и зависимости. В самом деле, раньше,
когда не было таких быстродействующих вычислительных
средств, как компьютеры, приходилось жертвовать точностью описания, чтобы получить ответ в явном виде. А это
всегда было связано с упрощением модели, что значительно искажало реальную картину процесса, снижало точность
описания, а иногда и приводило к прямым ошибкам. Во
всяком случае, погоня за простотой математической модели всегда приводила к некоторому обесцениванию результатов проведенного исследования.
Теперь, когда скорость вычислений за тридцать лет воз148
росла более чем в сто миллионов раз, «при построении математической модели какого-то объекта не нужно стремиться к упрощениям, которые были необходимы раньше при
желании получить ответ в явном виде» 1 2 .
Математический эксперимент как новый метод исследования позволяет продолжать и развивать тенденцию построения все более совершенных и адекватных моделей,
служащих для изучения сложных процессов и технических
устройств комплексного характера. Затем эти модели
«проигрываются» на компьютере, их результаты сопоставляются с действительными наблюдениями и экспериментами, в модель вносятся поправки, и посредством такого
расчета множества вариантов выявляется некоторая оптимальная модель, по параметрам которой и устанавливаются наилучшие, или критические, условия и режимы функционирования изучаемых процессов или проектируемых
технических систем.
Эффективность применения математического эксперимента зависит, как мы уже видели, от наличия необходимой для этого совершенной вычислительной техники, соответствующего математического обеспечения. Разработку
численных методов, алгоритмов и программ для ЭВМ
можно с известным основанием сравнить с созданием
больших экспериментальных установок, а экспериментирование на этих установках — с работой компьютера, рассчитывающего разные варианты протекания явлений. Ясно,
что наиболее перспективным для применения математического эксперимента является его использование для решения крупных научно-технических и социально-экономических проблем современности.
К таким проблемам относятся, например, проблема
управляемого термоядерного синтеза, космических исследований, проектирования реакторов для атомных электростанций, магнитогидродинамических преобразователей энергии, а в области экономики — составление сбалансированного плана для страны в целом и др.
149
Применение математического эксперимента для решения таких проблем будет эффективным только в том случае, когда мощные системы компьютеров вместе с необходимым математическим обеспечением будут сосредоточены в крупных вычислительных центрах, а для построения
моделей, их анализа и интерпретации полученных результатов будут привлечены квалифицированные кадры ученых различных специальностей. Другими словами, поскольку наиболее важные проблемы развития современной науки и техники, экономики и социальных процессов
имеют комплексный и системный характер, то и подход
к их решению должен быть комплексным, основанным на
системном анализе различных взаимодействующих компонентов. В настоящее время не существует никакого другого
метода изучения системных закономерностей, кроме математического моделирования, если не говорить, конечно,
о частных приемах и способах исследования.
Обращение к математическим моделям диктуется самим характером системных исследований, в процессе которых приходится иметь дело, во-первых, с наиболее общими
свойствами различных по своей конкретной природе систем. Во-вторых, в отличие от традиционного подхода,
оперирующего двумя или несколькими переменными и линейными причинными рядами, системный метод требует
анализа большой совокупности переменных, характеризующих реальные системы. Связь между этими переменными,
выраженная на математическом языке, и представляет
собой математическую модель. В силу своей сложности и
необходимости определения оптимальных параметров системы исследование такой модели может быть осуществлено только с помощью компьютера, причем в этих случаях из-за трудности самой задачи обращение к математическому эксперименту является не только желательным, но часто и необходимым.