Типы связей .

Типы связей.
1. Нить (гибкая, невесомая, нерастяжимая)
Рассматривается светильник, который подвешен на нити, он отклонен от
своего вертикального положения равновесия на некоторый угол α силой F.
Положим необходимо найти силу натяжения нити. Для этого необходимо освободиться от связи (разрезать нить и ввести силу, равную еѐ натяжению).
Здесь и ниже реакция связи обозначается красным цветом. Кстати, значение
силы натяжения в рассматриваемом случае равно T = P/ cos α
Сила F, необходимая для отклонения светильника от вертикали будет равна
F =P
.
Эти результаты получены из уравнений равновесия светильника, освобожденного от связи (правый рисунок).
ΣХ
= − F + T sin α = 0 ;
ΣY =
− P + T cos α = 0
Используемая здесь система координат имеет стандартную ориентацию осей
(ось абсцисс – ось x , ось ординат – ось у )
2. а) Невесомый, ненагруженный стержень
Рассматривается светильник, который подвешен на изогнутом стержне.
Этот стержень является абсолютно твердым телом, он невесомый и ненагруженный, представляет собой связь реакция, которой направлена вдоль прямой соединяющей его концы. На рисунке, справа она изображена красным
цветом. В рассматриваемом случае стержень “работает” на растяжение.
Кстати, форма стержня при этом никакого значения не имеет.
Предположим, что стержень отклонен силой F от вертикального положения на угол α .
Из уравнений равновесия для стержня, освобожденного от связи (правый рисунок).
ΣХ =
− F + R A sin α = 0 ;
ΣY
= − P + R A cos α = 0
Несложно получить значение силы реакции R A = P / cos α и F = P
.
2. б) Невесомый, ненагруженный стержень
Рассматривается светильник, который опирается на изогнутый стержень, удерживается в равновесии заданной силой F . Этот стержень является абсолютно твердым телом, он невесомый и ненагруженный, поэтому
представляет собой связь, реакция которой направлена вдоль прямой соединяющей его концы (и снова она изображена красным цветом). В этом
случае стержень “работает” на сжатие. Как и в предыдущем случае, форма
стержня никакого значения не имеет. Уравнения равновесия имеют аналогичный вид, как в выше рассмотренном случае а).
3. Гладкая опора
«Карандаш в стакане».
Точки контакта карандаша: с вертикальной стенкой стакана – А; с дном – В;
с верхним краем – С. Предполагается, что стенки стакана и его дно абсолютно гладкие. Гладкой является также поверхность самого карандаша. Поэтому
ввиду отсутствия сил трения реакции связей будут направлены по нормали к
опорной поверхности. В точке А контакта карандаша с вертикальной стенкой реакция будет горизонтальной. В точке В контакта с дном – вертикальной. Наконец, в точке С контакта карандаша с верхним краем, реакция будет
направлена по нормали к поверхности самого карандаша.
В рассматриваемом случае, освобожденный от связей карандаш содержит
три неизвестные реакции и традиционных уравнений проекций сил на координатные оси уже недостаточно
ΣХ =
− R С sin α + R A = 0 ;
ΣY = RВ
+ R С cos α − P = 0
Необходимо ещѐ одно уравнение. Таким уравнением может быть уравнение
моментов всех сил, приложенных к рассматриваемому телу, относительно
любой точки. Но чтобы уравнение не оказалось слишком громоздким, возьмем точку А.
Σ MА
= − P l cos α + R С b = 0
Здесь через b обозначена длина части стержня BC и через l обозначена половина всей его длины (вес карандаша P приложен посредине). Из этого
уравнения получаем
R С = P l cos α
b
Из проекций сил на координатные оси можно получить значения реакций R A и R В.
4. Опора на катки
Горизонтальная балка АВ в точке А имеет катковую опору, а в точке В
свободно опирается на гладкую наклонную плоскость. Поскольку справа
балка опирается на абсолютно гладкую поверхность наклонной плоскости, то
реакция будет направлена по нормали к этой плоскости. Реакция катковой
опоры также направлена по нормали к поверхности, на которую опираются
катки, составляющая вдоль опорной поверхности отсутствует (так как в противном случае катки бы откатились).
Реакция R A образует угол ( 90  − α ) со стержнем, а реакция R В образует с горизонтом угол ( 90  − β). Уравнения равновесия в проекциях на
координатные оси имеют вид
Σ Х = R A sin α − R В sin β
= 0,
ΣY
= R A cos α + R В cos β − G = 0
Представленная система линейных алгебраических уравнений относительно R A и R В легко разрешима.
5. Цилиндрический шарнир
Наклонная балка АС имеет цилиндрический шарнир в точке А и свободно опирается в точке В на выступ. Поверхность балки считается абсолютно гладкой, весит она G, а ещѐ на неѐ действует пара сил с моментом М. Реакция в точке В будет направлена по нормали к поверхности балки (поскольку еѐ поверхность является абсолютно гладкой ). Для введения реакции в цилиндрическом шарнире следует отметить, что в общем случае она неопределена, т.е. неизвестна ориентация вектора реакции и еѐ модуль. В таких ситуациях реакцию представляют в виде двух составляющих заданной ориентации (как правило, взаимно ортогональных), но неизвестных по своему значению. При найденных значениях составляющих модуль реакции находится
как корень квадратный из суммы квадратов составляющих.
–
RA =
X A2 + Y A2
Уравнения равновесия в рассматриваемом случае имеют вид
Σ Х = Х A − R В sin α
Σ MА
= M−G
= 0,
AC
2
ΣY = YA
+ R В cos α − G = 0
cos α + R В AB
= 0
При заданных геометрических соотношениях, система линейных алгебраических уравнений относительно Х A , Y A и R В легко разрешима.

AC

2
R В =  G
Х A = R В sin α ,

cos α − M

/
AB
Y A = G − R В cos α .
6.”Заделка”
Консольная балка АС концом А заделана в вертикальную стенку. Реакция
в точке А (в общем случае) представляется тремя составляющими, две из
которых проекции силы реакции на координатные оси
–
--RA = X A i + Y A j
а третья – пара сил с моментом M z , называемым моментом заделки.
Уравнения равновесия в рассматриваемом случае имеют вид
ΣХ = ХA
Σ MА
− P = 0,
ΣY = YA
= M + Mz − G
AC
2
− G = 0
cos α + P AС sin α = 0
Из первых двух уравнений находятся
Х A = P и Y A = G.
Модуль силы реакции вычисляется по формуле
–
RA =
X A2 + Y A2 =
P2 + G2
Третья составляющая реакции заделки определяется из уравнения моментов
Mz = G
AC
2
cos α − M − P AС sin α
Типы связей (пространственная система сил).
Приведенные выше примеры связей с 1 по 5 (освобождение от
связи и введение соответствующих реакций) целиком и полностью
распространяется и на пространственный случай (предполагается, что пространственная декартовая система координат Oxyz
плоскость Oxy имеет такую же, как и в рассмотренном выше
случае), отличие будет, имеет место лишь в случае “Заделка”.
Рассмотрим ниже помимо “заделки” и ещѐ два примера –
“шаровой шарнир” и “подпятник”.
На рисунке изображен фонарный столб с его проводами, растяжками и
т.п. Не вдаваясь в подробности приложенных к нему сил, рассмотрим лишь
реакцию связи – “заделка”.
Реакция закопанного столба определяется шестью неизвестными, три
из них проекции силы реакции относительно координатных осей и три осевых момента.
-–
--RA = X A i + Y A j + Z A k ,
–
--
--
--
MA = Mx i + My j + Mz k
Модули силы реакции и момента находится как обычно
–
RA =
–
MA =
2
X A2 + Y A2 + Z A
M x2 + M у2 + M z2
7. Сферический шарнир
Это устройство, в отличие от цилиндрического шарнира, имеет подвижную часть сферическую и делает неподвижным центр этой сферы. Если
сферическая поверхность контакта идеально гладкая, то реакция такого шарнира направлена по нормали к поверхности. Поэтому единственное, что
достоверно известно об этой реакции, что она проходит через центр шарнира,
а ориентация реакции может быть любой.
Освобождая тело от такой связи необходимо ввести три неизвестных
составляющих ( X A , Y A , Z A ).
–
---RA = X A i + Y A j + Z A k
Модуль силы реакции находится по формуле
–
RA =
2
X A2 + Y A2 + Z A
8. Подпятник
Это устройство состоит из двух частей: цилиндрический стакан и собственно цилиндр, в него установленный и опирающийся на дно стакана, с
цилиндром связана какая-либо подвижная часть, например, тяжелая дверь.
В отличие от цилиндрического шарнира эта связь имеет неизвестную
ещѐ третью составляющую, от дна стакана. Поэтому освобождая тело от такой связи, необходимо ввести три составляющие. Модуль же реакции находится как обычно
–
RA =
2
X A2 + Y A2 + Z A