Общее равновесие в экономике обмена

Факультет мировой экономики
и мировой политики НИУ ВШЭ,
2011-2012
Ю.В. Автономов
Общее равновесие в экономике обмена - 1:
Парето-оптимальные распределения
¾ Модель экономики обмена
¾ Понятие распределения
¾ Графический анализ экономики обмена: ящик Эджворта
¾ Принцип Парето-эффективности для экономики обмена
¾ Поиск Парето-оптимальных распределений:
графический и аналитический подходы
Модель экономики обмена
• L благ, i = 1, 2, …, L.
• M потребителей: k = 1, 2, …, M.
• первоначальный запас потребителя k:
ω = (ω , ω ,..., ω
k
k
1
k
2
k
L
)
• функция полезности потребителя k:
Uk ( xk )
• cовокупный запас товара i в экономике:
M
ωi ≡ ∑ ω
k =1
k
i
Понятие распределения
x
• будем называть распределением
…
…комбинацию потребительских наборов всех
потребителей в экономике:
x = (x , x ,..., x )
1
2
M
• будем называть допустимым распределением
такое распределение
, для которого
x
M
∑x
k =1
k
i
= ωi , i = 1...L
А
2
x
«Ящик Эджворта»
0B
x1В
ω2
А
1
x
0А
ω1
x2В
Вектор первоначальных запасов и кривые
безразличия в ящике Эджворта
x2А
0
B
1
x
U
U
B
B
0
U1A
B
1
w
U 0A
x1А
0А
x2B
Понятие «Парето-улучшения»
• Распределение
x
лучше по Парето,
чем распределение
если
и
~
x,
k
x ; x , ∀k
k
k
∃k : x ; x
k
k
k
Парето-эффективное распределение
Распределение x называется Парето-оптимальным
(Парето-эффективным), если:
1.
x - допустимое распределение;
2. Не существует другого допустимого распределения
такого, что:
x k ; k x k , ∀k
и
∃k : x ; x
k
k
~
x
k
Т.е., нельзя перераспределить ресурсы так, чтобы никому
не стало хуже, а кому-то стало лучше.
А
2
x
0
B
B
1
x
U 0B
x
U 0A
0А
w
А
1
x
B
2
x
Множество Парето-оптимальных
распределений (контрактная кривая)
x2А
0B
x1B
x1А
0А
x2B
Поиск множества Парето-оптимальных
распределений: аналитическое решение
Начнем с самого простого случая:
Если предпочтения всех потребителей в экономике
обмена…
– монотонны
– строго выпуклы,
… внутренние Парето-оптимальные
распределения должны удовлетворять:
– условию допустимости
– условию касания кривых безразличия
Таким образом, в экономике 2х2 множество
внутренних Парето-оптимальных распределений
можно найти, решив систему:
⎧ MRS12A ( x A ) = MRS12B ( x B )
⎪⎪
A
B
+
x
x
⎨ 1
1 = ω1
⎪ x A + x B = ω
2
2
⎪⎩ 2
При каких условиях этот метод не сработает?
В более общем случае, множество Паретооптимальных распределений можно найти,
решив следующую задачу:
max
U
A B B
x1A , x2
A
, x1 , x2 ≥0
(x
A
1
s.t.
U (x , x ) = U
B
B
1
B
2
x + x = ω1
A
1
B
1
x + x = ω2
A
2
B
2
B
,x
A
2
)
Еще одним способом поиска множества
Парето-оптимальных распределений была
бы максимизация функции общественного
благосостояния следующего вида:
α
U
max
A B B
x1A , x2 , x1 , x2 ≥ 0
s.t.
0 ≤α ≤1
x + x = ω1
A
1
B
1
x + x = ω2
A
2
B
2
A
(x
A
1
,x
A
2
) + (1 − α )U (x
B
B
1
,x
B
2
)