ÒÅÌÀ 3. Ïðåäñòàâëåíèå î ìîäåëÿõ îáùåãî ýêîíîìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ Öåëü è çàäà÷è

ÒÅÌÀ 3. Ïðåäñòàâëåíèå î ìîäåëÿõ
îáùåãî ýêîíîìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ
Öåëü è çàäà÷è
Öåëü êîíòåíòà òåìû 3 ïðåäñòàâèòü ôîðìàëèçàöèþ è àíàëèòè÷åñêîå
èññëåäîâàíèå ïðîñòåéøåé ìîäåëè îáùåãî ýêîíîìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ íà
ðûíêå "÷èñòîãî îáìåíà".
Çàäà÷è êîíòåíòà òåìû 3:
• Ïðåäñòàâèòü ýêîíîìèêî-ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü îáùåãî ýêîíîìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ íà ðûíêå "÷èñòîãî îáìåíà"(ñ äâóìÿ òîâàðàìè
è äâóìÿ ïîòðåáèòåëÿìè).
• Îïðåäåëèòü îïòèìàëüíîå ïî Ïàðåòî ðàñïðåäåëåíèå è êîíòðàêòíóþ
êðèâóþ â êîðîáêå Ýäæóîðòà.
• Îïðåäåëèòü ðàâíîâåñèå Âàëüðàñà è ïðèâåñòè ïðèìåð åãî ïîèñêà â
ñëó÷àå ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà.
• Ñôîðìóëèðîâàòü ïåðâóþ è âòîðóþ òåîðåìû ýêîíîìèêè áëàãîñîñòîÿíèÿ.
Îãëàâëåíèå
Ÿ 3.1. Ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü îáùåãî ðàâíîâåñèÿ íà ðûíêå "÷èñòîãî îáìåíà".
Îïòèìàëüíîå ïî Ïàðåòî ðàñïðåäåëåíèå.
Ÿ 3.2. Ðàâíîâåñèå Âàëüðàñà. Ïåðâàÿ è âòîðàÿ òåîðåìû ýêîíîìèêè áëàãîñîñòîÿíèÿ.
Ÿ 3.1.
Ïðîñòåéøàÿ ìîäåëü îáùåãî
ðàâíîâåñèÿ íà ðûíêå "÷èñòîãî
îáìåíà". Îïòèìàëüíîå ïî Ïàðåòî
ðàñïðåäåëåíèå
Àíàëèç ÷àñòè÷íîãî ðàâíîâåñèÿ (partial equilibrium ahalysis) ñâÿçàí ñ
ïðîáëåìîé îïðåäåëåíèÿ ðàâíîâåñíîé öåíû íà íåêîòîðûé òîâàð ñ ó÷åòîì
1
ôàêòîðîâ ñïðîñà íà íåãî è ïðåäëîæåíèÿ ýòîãî òîâàðà â ïðåäïîëîæåíèè,
÷òî öåíû äðóãèõ òîâàðîâ çàäàíû ýêçîãåííî (ñì. Ÿ 2.3).
Ïðè ïðîâåäåíèè àíàëèçà îáùåãî ðàâíîâåñèÿ (general equilibrium
ahalysis) íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü, êàêèì îáðàçîì âçàèìîäåéñòâèå ôàêòîðîâ ñïðîñà è ïðåäëîæåíèÿ íà íåñêîëüêèõ ðûíêàõ îïðåäåëÿåò öåíû
ìíîãèõ òîâàðîâ.  îáùåì ñëó÷àå ýòî äîñòàòî÷íî ñëîæíàÿ ïðîáëåìà.
Íèæå ìû ïðîâåäåì àíàëèç ïðîñòåéøåé ìîäåëè îáùåãî ðàâíîâåñèÿ
ïðè ñëåäóþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ:
• ñóùåñòâóåò âñåãî äâà ðàçëè÷íûõ òîâàðà (èëè äâà ðûíêà, íà êàæäîì
èç êîòîðûõ ïðîäàåòñÿ è ïîêóïàåòñÿ òîâàð 1 è òîâàð 2 ñîîòâåòñòâåííî);
• äâà ïîòðåáèòåëÿ (ïîòðåáèòåëü A è ïîòðåáèòåëü B), èìåþùèå íåêîòîðûå íà÷àëüíûå çàïàñû ðàññìàòðèâàåìûõ òîâàðîâ, ìîãóò îáìåíèâàòü ýòè òîâàðû ìåæäó ñîáîé (òàê íàçûâàåìàÿ ìîäåëü "÷èñòîãî
îáìåíà" , ïðîöåññ ïðîèçâîäñòâà òîâàðîâ ïðè ýòîì íå çàòðàãèâàåòñÿ);
• îáà ó÷àñòíèêà ðûíêà ÿâëÿþòñÿ "öåíîïîëó÷àòåëÿìè" (price-takers),
ò. å. ñ÷èòàþò, ÷òî èõ ïîâåäåíèå íå îêàçûâàåò ñêîëüêî-íèáóäü ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà öåíû òîâàðîâ (óñëîâèå ñîâåðøåííîé êîíêóðåíöèè).
Ïðåäïîëîæèì äîïîëíèòåëüíî, ÷òî ïðåäïî÷òåíèÿ îáîèõ ïîòðåáèòåëåé
óäîâëåòâîðÿþò ñâîéñòâàì íåïðåðûâíîñòè, ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè, ñòðîãîé âûïóêëîñòè, à òàêæå ñâîéñòâó "local nonsatiation" (ñì. Ÿ 1.1).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ω1 è ω2 îáùåå íàëè÷íîå êîëè÷åñòâî òîâàðà 1 è òîA
B
B
B
âàðà 2 ñîîòâåòñòâåííî, xA = (xA
1 , x2 ) è x = (x1 , x2 ) ïîòðåáèòåëüñêèå
íàáîðû ïîòðåáèòåëÿ A è ïîòðåáèòåëÿ B ñîîòâåòñòâåííî.
A B
B
4
Âåêòîð x = (xA , xB ) = (xA
1 , x2 , x1 , x2 ) ∈ R+ áóäåì íàçûâàòü ðàñïðåäåëåíèåì (ïðàêòè÷åñêè îñóùåñòâèìûì èëè äîïóñòèìûì ðàñïðåäåëåíèåì
òîâàðîâ 1 è 2 ìåæäó ïîòðåáèòåëÿìè A è B), åñëè
½
B
xA
1 + x1 = ω1 ;
B
xA
2 + x2 = ω2 .
(3.1.1)
Èñõîäíîå ðàñïðåäåëåíèå èëè ðàñïðåäåëåíèå íà÷àëüíûõ çàïàñîâ (ñîäåðæàùåå òå íàáîðû òîâàðîâ, ñ êîòîðûìè êàæäûé ïîòðåáèòåëü "ïðèõîäèò" íà ðûíîê "÷èñòîãî îáìåíà" ñ âîçìîæíîñòüþ äàëüíåéøåãî ñîâåðøåíèÿ îáìåííûõ ñäåëîê èëè òîðãîâ) îáîçíà÷èì
ω = (ω A , ω B ) = (ω1A , ω2A , ω1B , ω2B ).
2
Äëÿ ãðàôè÷åñêîé èëëþñòðàöèè ââåäåííûõ ïîíÿòèé è äàëüíåéøèõ
ðàçóìíûõ ñäåëîê ìåæäó ïîòðåáèòåëÿìè óäîáíî èñïîëüçîâàòü òàê íàçûâàåìóþ "êîðîáêó Ýäæóîðòà" (ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 3.1.1, åå øèðèíà
ω1 , âûñîòà ω2 , ïîòðåáèòåëüñêèå íàáîðû ïîòðåáèòåëÿ A "îòñ÷èòûâàþòñÿ" îò ëåâîãî íèæíåãî óãëà, ïîòðåáèòåëÿ B îò ïðàâîãî âåðõíåãî
óãëà, êðèâûå áåçðàçëè÷èÿ ïîòðåáèòåëåé îáîçíà÷åíû γ A è γ B ñîîòâåòñòâåííî).
xB
¾1
ω1B
B
γA
?xB
2
γB
xA
2
q
ω2A
ω
ω2B
6
A
ω1A
-
xA
1
Ðèñ. 3.1.1. Êîðîáêà Ýäæóîðòà
Ïåðåõîä îò îäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ òîâàðîâ ìåæäó ïîòðåáèòåëÿìè ê
äðóãîìó ðàñïðåäåëåíèþ (êîãäà íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî òîâàðîâ ïåðåõîäèò
îò îäíîãî ïîòðåáèòåëÿ ê äðóãîìó) íàçûâàþò îáìåííîé ñäåëêîé.
Ðàñïðåäåëåíèå x íàçûâàþò ñëàáî-îïòèìàëüíûì ïî Ïàðåòî (weak Pareto-optimal), åñëè íå ñóùåñòâóåò äðóãîãî ðàñïðåäåëåíèÿ x, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì:
(
A
A
A A
(xA
1 , x2 ) Â (x1 , x2 );
B B
B
B
(xB
1 , x2 ) Â (x1 , x2 ).
(3.1.2)
Ñëàáî-îïòèìàëüíîå ïî Ïàðåòî ðàñïðåäåëåíèå x äîïóñêàåò ñëåäóþùèå
ñîäåðæàòåëüíûå èíòåðïðåòàöèè:
• íå ñóùåñòâóåò äðóãîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíîãî äëÿ
êàæäîãî ïîòðåáèòåëÿ;
• ëþáîå ðàñïðåäåëåíèå, áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíîå, ÷åì x, äëÿ îäíîãî
ïîòðåáèòåëÿ, íå ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì äëÿ äðóãîãî;
3
• îòñóòñòâóåò âîçìîæíîñòü ñîâåðøåíèÿ âçàèìîâûãîäíûõ îáìåííûõ
ñäåëîê.
Ðàñïðåäåëåíèå x íàçûâàþò îïòèìàëüíûì ïî Ïàðåòî (Pareto-optimal)
èëè ýôôåêòèâíûì, åñëè íå ñóùåñòâóåò äðóãîãî ðàñïðåäåëåíèÿ x, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì:
(
A
A A
A
(xA
1 , x2 ) % (x1 , x2 );
B
B
B
B
(xB
1 , x2 ) % (x1 , x2 ),
(3.1.3)
ïðè÷åì, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî èç îòíîøåíèé ïðåäïî÷òåíèÿ âûïîëíåíî â
ñòðîãîì ñìûñëå.
Åñëè ðàñïðåäåëåíèå x îïòèìàëüíî ïî Ïàðåòî, òî ëþáîå ðàñïðåäåëåíèå, ëó÷øåå, ÷åì x, äëÿ îäíîãî ïîòðåáèòåëÿ, îáÿçàòåëüíî áóäåò õóæå,
÷åì x, äëÿ äðóãîãî.  îáùåì ñëó÷àå ëþáîå îïòèìàëüíîå ïî Ïàðåòî ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñëàáî-îïòèìàëüíûì ïî Ïàðåòî, à îáðàòíîå
óòâåðæäåíèå âåðíî íå âñåãäà. Îäíàêî ïðè ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïðåäïî÷òåíèé ïîòðåáèòåëåé óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè
ïî Ïàðåòî è ñëàáîé îïòèìàëüíîñòè ïî Ïàðåòî ýêâèâàëåíòíû. Ó÷èòûâàÿ
ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ãîâîðèòü îá îïòèìàëüíûõ
ïî Ïàðåòî ðàñïðåäåëåíèÿõ, èñïîëüçóÿ äëÿ èõ õàðàêòåðèñòèêè óñëîâèÿ
(3.1.2).
Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî òîëüêî îïòèìàëüíîå ïî Ïàðåòî ðàñïðåäåëåíèå ìîæåò áûòü îêîí÷àòåëüíûì (ïî ðåçóëüòàòàì ïðîâåäåííûõ îáìåííûõ ñäåëîê
ìåæäó ïîòðåáèòåëÿìè).
Íà ðèñ. 3.1.1 êàæäîå ðàñïðåäåëåíèå èç îáëàñòè â ôîðìå ëèíçû, ðàñïîëîæåííîé âûøå γ A è íèæå γ B , ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì, ÷åì
èñõîäíîå ðàñïðåäåëåíèå ω , äëÿ îáîèõ ïîòðåáèòåëåé.
Ñ ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ðàñïðåäåëåíèå x (ïðè êîòîðîì êàæäûé ïîòðåáèòåëü ïîëó÷àåò ïîëîæèòåëüíîå êîëè÷åñòâî êàæäîãî òîâàðà)
ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ïî Ïàðåòî, åñëè â òî÷êå x êðèâûå áåçðàçëè÷èÿ
ïîòðåáèòåëåé êàñàþòñÿ äðóã äðóãà (ñì. ðèñ. 3.2.2). Êðîìå òîãî, ðàñïðåäåëåíèÿ (ω1 , ω2 , 0, 0) è (0, 0, ω1 , ω2 ) òàêæå îïòèìàëüíû ïî Ïàðåòî.
4
xB
¾1
B
γA
?xB
2
γB
xA
2 6
A
P OD
-
xA
1
Ðèñ. 3.1.2. Êîíòðàêòíàÿ êðèâàÿ ñîäåðæèò
âñå Ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ
Âñå Ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ëåæàò íà òàê íàçûâàåìîé
êîíòðàêòíîé êðèâîé POD â êîðîáêå Ýäæóîðòà. Òîëüêî òî÷êè ýòîé êðèâîé ðàññìàòðèâàþòñÿ â êà÷åñòâå âîçìîæíûõ îêîí÷àòåëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé.
Ÿ 3.2.
Ðàâíîâåñèå Âàëüðàñà. Ïåðâàÿ è âòîðàÿ
òåîðåìû ýêîíîìèêè áëàãîñîñòîÿíèÿ
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîëîæèòåëüíûå öåíû òîâàðîâ p1 è p2 çàäàíû
ýêçîãåííî, p = (p1 , p2 ). Â ñîîòâåòñòâèè ñ îñíîâíûìè ïðåäïîëîæåíèÿìè
òåîðèè ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà (ñì. ãëàâó 1), îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð (e
xA
eA
1,x
2 ) ïîòðåáèòåëÿ A ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé
çàäà÷è:
½
A A A
uA (e
xA
eA
1,x
2 ) = max u (x1 , x2 );
A
A
A
A
p 1 xA
1 + p2 x2 ≤ p1 ω1 + p2 ω2 = pω ,
(3.2.1)
A
ãäå uA (·) ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè ïîòðåáèòåëÿ A, (xA
1 , x2 ) êîìïîíåíòû
ðàñïðåäåëåíèÿ, à â ðîëè "äîõîäà" mA ïîòðåáèòåëÿ A âûñòóïàåò ñòîèìîñòü pω A åãî íà÷àëüíûõ çàïàñîâ.
Ïðè ñäåëàííûõ ⠟ 3.1 ïðåäïîëîæåíèÿõ, ðåøåíèå çàäà÷è (3.2.1) îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì äëÿ êàæäîãî âåêòîðà (p1 , p2 , pω A ) è ëåæèò íà áþäæåòíîé ëèíèè, ò. å. îãðàíè÷åíèå çàäà÷è ñòàíîâèòñÿ ñâÿçûâàþùèì.
5
Îáîçíà÷èì ÷åðåç
½
A
A
x
eA
1 = x1 (p1 , p2 , pω );
A
A
x
eA
2 = x2 (p1 , p2 , pω )
(3.2.2)
ôóíêöèþ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ A.
Ñîîòâåòñòâåííî îïòèìàëüíûé ïîòðåáèòåëüñêèé íàáîð (e
xB
eB
1 ,x
2 ) ïîòðåáèòåëÿ B ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è:
½
B B
B
uB (e
xB
eB
1 ,x
2 ) = max u (x1 , x2 );
B
B
B
B
p1 xB
1 + p2 x2 ≤ p1 ω1 + p2 ω2 = pω .
(3.2.3)
Ôóíêöèÿ ñïðîñà ïîòðåáèòåëÿ B:
½
B
B
x
eB
1 = x1 (p1 , p2 , pω );
B
B
x
eB
2 = x2 (p1 , p2 , pω ).
(3.2.4)
Âåêòîð öåí (e
p1 , pe2 ) è ñîîòâåòñòâóþùåå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàþò ðàâíîâåñèåì Âàëüðàñà (Walrasian Equilibria), åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
½
xA
p1 , pe2 , peω A ) + xB
p1 , pe2 , peω B ) = ω1A + ω1B ;
1 (e
1 (e
xA
p1 , pe2 , peω A ) + xB
p1 , pe2 , peω B ) = ω2A + ω2B .
2 (e
2 (e
(3.2.5)
A
Çäåñü ÷åðåç xA
1 (·) è x2 (·) îáîçíà÷åíû êîìïîíåíòû ôóíêöèè ñïðîñà
ïîòðåáèòåëÿ A, àíàëîãè÷íûå îáîçíà÷åíèÿ èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîòðåáèòåëÿ
B.
×àñòî ïîä ðàâíîâåñèåì Âàëüðàñà (îáùèì ðàâíîâåñèåì, êîíêóðåíòíûì
ðàâíîâåñèåì, ðûíî÷íûì ðàâíîâåñèåì) ïîäðàçóìåâàþò òîëüêî âåêòîð öåí
(e
p1 , pe2 ), óäîâëåòâîðÿþùèé (3.2.5). Ýòà ïàðà öåí "óðàâíîâåøèâàåò" îáúåìû ñîâîêóïíîãî ñïðîñà è ñîâîêóïíîãî ïðåäëîæåíèÿ êàæäîãî òîâàðà íà
ðàññìàòðèâàåìîì ðûíêå ÷èñòîãî îáìåíà.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ðàâíîâåñèÿ Âàëüðàñà ðàñêðûâàåò ðèñ. 3.2.1.
Áþäæåòíàÿ ëèíèÿ êàæäîãî ïîòðåáèòåëÿ b = b(e
p1 , pe2 , ω) ïðîõîäèò ÷åðåç
èñõîäíîå ðàñïðåäåëåíèå ω è â ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîòðåáèòåëÿ A çàäàåòñÿ
óðàâíåíèåì
pe1 xA
e2 xA
e1 ω1A + pe2 ω2A ,
1 +p
2 = p
(3.2.6)
à â ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîòðåáèòåëÿ B óðàâíåíèåì
pe1 xB
e2 xB
e1 ω1B + pe2 ω2B .
1 +p
2 = p
6
(3.2.7)
xB
¾1
B
Q
Q
γA
Q
Q
γB
Q
Q
?xB
2
Q
Q
Qq x
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q qω
Q
Q
Q
xA
2 6
A
Q b
Q
Q
Q
-
xA
1
Ðèñ. 3.2.1. Ðàâíîâåñíîå ðàñïðåäåëåíèå x, îòâå÷àþùåå
çàäàííîìó âåêòîðó öåí è ðàñïðåäåëåíèþ íà÷àëüíûõ çàïàñîâ ω
Íåñëîæíî
çàìåòèòü,
÷òî
ðàâíîâåñíîå
ðàñïðåäåëåíèå
x =
ýòî òî÷êà â êîðîáêå Ýäæóîðòà, â êîòîðîé êðèâûå áåçðàçëè÷èÿ ïîòðåáèòåëåé γ A è γ B èìåþò îáùóþ êàñàòåëüíóþ áþäæåòíóþ ëèíèþ b(e
p1 , pe2 , ω). Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîâåñíîå ðàñïðåäåëåíèå îáÿçàòåëüíî ëåæèò íà êîíòðàêòíîé êðèâîé è ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì
ïî Ïàðåòî.
A
Âåëè÷èíó xA
1 (p1 , p2 , pω)−ω1 íàçûâàþò èçáûòî÷íûì ñïðîñîì ïîòðåáèòåëÿ A íà òîâàð 1. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ èçáûòî÷íûé ñïðîñ êàæäîãî
ïîòðåáèòåëÿ íà êàæäûé òîâàð. Ñîâîêóïíûé èçáûòî÷íûé ñïðîñ íà òîâàð
1 z1 (p1 , p2 ) è òîâàð 2 z2 (p1 , p2 ) îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
A B
B
(xA
1 , x2 , x1 , x2 )
½
A
A
B
B
B
z1 (p1 , p2 , ω) = xA
1 (p1 , p2 , ω ) − ω1 + x1 (p1 , p2 , ω ) − ω1 ;
A
A
B
B
B
z2 (p1 , p2 , ω) = xA
2 (p1 , p2 , ω ) − ω2 + x2 (p1 , p2 , ω ) − ω2 .
(3.2.8)
Ýêâèâàëåíòíîå (3.2.5) óñëîâèå äëÿ ðàâíîâåñèÿ Âàëüðàñà (e
p1 , pe2 ) ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîíÿòèé ñîâîêóïíîãî èçáûòî÷íîãî ñïðîñà ìîæíî çàïèñàòü
â âèäå
½
z1 (e
p1 , pe2 , ω) = 0;
z2 (e
p1 , pe2 , ω) = 0.
(3.2.9)
Çàêîí Âàëüðàñà: Ñòîèìîñòü ñîâîêóïíîãî èçáûòî÷íîãî ñïðîñà íà âñå
òîâàðû ðàâíà íóëþ äëÿ ëþáîãî âåêòîðà öåí:
p1 z1 (p1 , p2 , ω) + p2 z2 (p1 , p2 , ω) ≡ 0.
7
(3.2.10)
Ñëåäñòâèå èç çàêîíà Âàëüðàñà: Ïóñòü p1 > 0 è p2 > 0. Åñëè
z1 (p1 , p2 , ω) = 0, òî îáÿçàòåëüíî z2 (p1 , p2 , ω) = 0, è íàîáîðîò. Èíûìè
ñëîâàìè, ðàâåíñòâî íóëþ ñîâîêóïíîãî èçáûòî÷íîãî ñïðîñà íà îäèí òîâàð ãàðàíòèðóåò ðàâåíñòâî íóëþ ñîâîêóïíîãî èçáûòî÷íîãî ñïðîñà è íà
äðóãîé òîâàð.1
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîèñêà ðàâíîâåñèÿ Âàëüðàñà íóæíî èñïîëüçîâàòü òîëüêî îäíî óðàâíåíèå èç (3.2.9) èëè èç (3.2.5), à ðàâíîâåñíûå öåíû îïðåäåëÿþòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ (ñì. ïîíÿòèå
öåíû-èçìåðèòåëÿ ⠟ 1.1).
Ïðèìåð 3.2.1 (ïîèñê ðàâíîâåñèÿ Âàëüðàñà â ñëó÷àå ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà).
Ïóñòü ïðåäïî÷òåíèÿ ïîòðåáèòåëåé A è B çàäàíû ñëåäóþùèìè ôóíêöèÿìè ïîëåçíîñòè Êîááà-Äóãëàñà:
½
A
A α A 1−α
uA (xA
;
1 , x2 ) = (x1 ) (x2 )
B
B β B 1−β
B B
u (x1 , x2 ) = (x1 ) (x2 ) ,
(3.2.11)
ãäå α=34 , β=12 , à èñõîäíîå ðàñïðåäåëåíèå ω = (ω1A , ω2A , ω1B , ω2B ) = (1, 0, 0, 1).
Ñôîðìóëèðóåì çàäà÷è îïòèìàëüíîãî ïîòðåáèòåëüñêîãî âûáîðà
(ñì. (3.2.1) è (3.2.3)) äëÿ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè (3.2.11) è âûáðàííîãî èñõîäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
(
(
³
A
u (e
xA
eA
1,x
2 ) = max
A
p 1 xA
1 + p2 x2 ≤ p1 ·
B
u (e
xB
eB
1 ,x
2 ) = max
B
p 1 xB
1 + p2 x 2 ≤ p1 ·
3
A 41
4
(xA
1 ) (x2 )
´
;
1 + p2 · 0 = p1 ,
³
1
B 12
2
(xB
1 ) (x2 )
´
;
0 + p2 · 1 = p2 .
Íàéäåì ðåøåíèå (3.2.2) è (3.2.4) ýòèõ çàäà÷, èñïîëüçóÿ âûâåäåííûå â
òåìå 1 ôóíêöèè ñïðîñà (1.2.4) äëÿ ïðåäïî÷òåíèé Êîááà-Äóãëàñà:




eA

1 (p1 , p2 ) =
x




eA
2 (p1 , p2 ) =
x
3
4
3
4
3
4
+
1
4
+
1
4
p1
· ;
p1
1
4
p1
· .
p2

3


eA
x
1 (p1 , p2 ) = ;
4
=⇒
1 p1


· ,
eA
x
2 (p1 , p2 ) =
4 p2
1
(3.2.12)
 áîëåå îáùåé ïîñòàíîâêå èç çàêîíà Âàëüðàñà ñëåäóåò: Åñëè íåêîòîðûé âåêòîð
öåí óðàâíîâåøèâàåò ñïðîñ è ïðåäëîæåíèå íà âñåõ ðûíêàõ, êðîìå îäíîãî, òî îí áóäåò
óðàâíîâåøèâàòü ñïðîñ è ïðåäëîæåíèå è íà ïîñëåäíåì ðûíêå.
8




eB

1 (p1 , p2 ) =
x




eB
2 (p1 , p2 ) =
x
1
2
1
2
1
2
+
1
2
+
1
2
1
2
p2
· ;
p1
·
p2
,
p2

1 p2


· ;
eB
(p
,
p
)
=
x
1
2
1
2 p1
=⇒

1

x
eB
2 (p1 , p2 ) = .
2
(3.2.13)
Íàéäåì ðàâíîâåñèå Âàëüðàñà, èñïîëüçóÿ, íàïðèìåð, ïåðâîå èç óñëîâèé (3.2.5):
3 1 p2
= 1 =⇒ 3p1 + 2p2 = 4p1 =⇒ p1 = 2p2 , p2 > 0.
+ ·
4 2 p1
(3.2.14)
Ñëåäîâàòåëüíî, â ëþáîì ðàâíîâåñíîì ïî Âàëüðàñó âåêòîðå öåí (e
p1 , pe2 )
öåíà íà ïåðâûé òîâàð äîëæíà áûòü â 2 ðàçà áîëüøå öåíû íà âòîðîé òîâàð.
Ïîäñòàâèì (3.2.14) â (3.2.12) è (3.2.13), ÷òîáû íàéòè ðàâíîâåñíîå ðàñïðåäåëåíèå (e
xA
eA
eB
eB
1,x
2,x
1 ,x
2 ):

3

eA
=
;
x
1
4
1
1

x
eA
=
·
2
=
,
2
4
2

1 1 1

· = ;
eB
=
x
1
2
2 4
è
1

x
eB
=
.
2
2
Òàêèì îáðàçîì, ðàâíîâåñèå ïî Âàëüðàñó â ðàññìîòðåííîé ìîäåëè îáùåãî ðàâíîâåñèÿ ïðèìåò âèä:
µ
(e
p1 , pe2 , x
eA
eA
eB
eB
1,x
2,x
1 ,x
2)
=
¶
3 1 1 1
,
2p2 , p2 , , , ,
4 2 4 2
ãäå p2 ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå öåíû âòîðîãî òîâàðà.
9
Òåîðåìà 3.2.1 (Ïåðâàÿ òåîðåìà ýêîíîìèêè áëàãîñîñòîÿíèÿ).
A B
B
Ïóñòü (e
p1 , pe2 ) ðàâíîâåñèå Âàëüðàñà, à x = (xA
1 , x2 , x1 , x2 ) ñîîòâåòñòâóþùåå ðàâíîâåñíîå ðàñïðåäåëåíèå òîâàðîâ ìåæäó ïîòðåáèòåëÿìè
â ìîäåëè ÷èñòîãî îáìåíà. Òîãäà ðàñïðåäåëåíèå x îïòèìàëüíî ïî Ïàðåòî.
Òåîðåìà 3.2.2 (Âòîðàÿ òåîðåìà ýêîíîìèêè áëàãîñîñòîÿíèÿ).
A B
B
Ïóñòü x = (xA
1 , x2 , x1 , x2 ) îïòèìàëüíîå ïî Ïàðåòî ðàñïðåäåëåíèå, ñîãëàñíî êîòîðîìó êàæäûé ïîòðåáèòåëü ðàñïîëàãàåò ïîëîæèòåëüíûì êîëè÷åñòâîì êàæäîãî òîâàðà. Òîãäà (ïðè âûïîëíåíèè ïðåäïîëîæåíèé Ÿ 3.1) ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð ïîëîæèòåëüíûõ öåí (e
p1 , pe2 ), ÷òî
A A B
B
(e
p1 , pe2 , x1 , x2 , x1 , x2 ) ÿâëÿåòñÿ ðàâíîâåñèåì Âàëüðàñà ïðè íåêîòîðîì ðàñïðåäåëåíèè1 íà÷àëüíûõ çàïàñîâ ω .
Âûâîäû
• Äëÿ ãðàôè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìîäåëè ÷èñòîãî îáìåíà (â ñëó÷àå
äâóõ òîâàðîâ è äâóõ ïîòðåáèòåëåé) èñïîëüçóåòñÿ êîðîáêà Ýäæóîðòà.
• Òîëüêî îïòèìàëüíîå ïî Ïàðåòî ðàñïðåäåëåíèå òîâàðîâ ìîæåò áûòü
îêîí÷àòåëüíûì (ïî ðåçóëüòàòàì ïðîâåäåííûõ îáìåííûõ ñäåëîê ìåæäó ïîòðåáèòåëÿìè).
• Âñå Ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ëåæàò íà êîíòðàêòíîé êðèâîé â êîðîáêå Ýäæóîðòà.
• Ðàâíîâåñíîå ïî Âàëüðàñó ðàñïðåäåëåíèå ýòî òî÷êà â êîðîáêå Ýäæóîðòà, â êîòîðîé êðèâûå áåçðàçëè÷èÿ ïîòðåáèòåëåé èìåþò îáùóþ
êàñàòåëüíóþ.
• Åñëè íåêîòîðûé âåêòîð öåí óðàâíîâåøèâàåò ñïðîñ è ïðåäëîæåíèå
íà âñåõ ðûíêàõ, êðîìå îäíîãî, òî îí áóäåò óðàâíîâåøèâàòü ñïðîñ è
ïðåäëîæåíèå è íà ïîñëåäíåì ðûíêå (çàêîí Âàëüðàñà).
• Ïåðâàÿ è âòîðàÿ òåîðåìû ýêîíîìèêè áëàãîñîñòîÿíèÿ âçàèìíî îáðàòíû.
1Â
÷àñòíîñòè, òàêèì ðàñïðåäåëåíèåì áóäåò ω = x.
10
Âîïðîñû äëÿ ñàìîïðîâåðêè
1.  ÷åì ðàçíèöà ìåæäó ìîäåëÿìè ÷àñòè÷íîãî è îáùåãî ðàâíîâåñèÿ?
2. Ïåðå÷èñëèòå îñíîâíûå ïðåäïîëîæåíèÿ ïðîñòåéøåé ìîäåëè îáùåãî
ðàâíîâåñèÿ (ìîäåëè ÷èñòîãî îáìåíà).
3. ×òî íàçûâàþò ðàñïðåäåëåíèåì òîâàðîâ â ìîäåëè "÷èñòîãî îáìåíà"?
4. Ïðèâåäèòå îïèñàíèå êîðîáêè Ýäæóîðòà.
5. ×òî íàçûâàþò îáìåííîé ñäåëêîé â ìîäåëè ÷èñòîãî îáìåíà?
6.  êàêîì ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàþò ñëàáî-îïòèìàëüíûì ïî
Ïàðåòî?
7.  êàêîì ñëó÷àå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàþò îïòèìàëüíûì ïî Ïàðåòî?
8. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå îïòèìàëüíîå ïî Ïàðåòî ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñëàáî-îïòèìàëüíûì ïî Ïàðåòî.
9. Ïî÷åìó ëþáîå ðàñïðåäåëåíèå èç îáëàñòè â ôîðìå ëèíçû (ðàñïîëîæåííîé âûøå γ A è íèæå γ B ) íà ðèñ. 3.1.1 ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíûì, ÷åì èñõîäíîå ðàñïðåäåëåíèå ω , äëÿ îáîèõ ïîòðåáèòåëåé?
10. Ïî÷åìó ðàñïðåäåëåíèÿ (ω1 , ω2 , 0, 0) è (0, 0, ω1 , ω2 ) îïòèìàëüíû ïî
Ïàðåòî?
11. ×òî íàçûâàþò êîíòðàêòíîé êðèâîé?
12. Êàêèå òî÷êè íà ðèñ. 3.1.1 îòâå÷àþò âîçìîæíûì îêîí÷àòåëüíûì
ðàñïðåäåëåíèÿì ïðè çàäàííîì ðàñïðåäåëåíèè íà÷àëüíûõ çàïàñîâ
ω?
13. ×òî âûñòóïàåò â ðîëè äîõîäà ïîòðåáèòåëÿ B â çàäà÷å (3.2.3)?
14. Ïðèâåäèòå îïðåäåëåíèå ðàâíîâåñèÿ Âàëüðàñà â ìîäåëè ÷èñòîãî îáìåíà.
15. Èñïîëüçóÿ (3.1.1), äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèÿ (3.2.6) è (3.2.7) çàäàþò
îäíó è òó æå ïðÿìóþ â êîðîáêå Ýäæóîðòà.
16.  ÷åì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ðàâíîâåñèÿ Âàëüðàñà?
17. Ñôîðìóëèðóéòå çàêîí Âàëüðàñà (äëÿ äâóõ è äëÿ n ðûíêîâ).
18. Äîêàæèòå ñïðàâåäëèâîñòü òîæäåñòâà (3.2.10).
11
19. Íàéäèòå ðàâíîâåñèå Âàëüðàñà â ïðèìåðå 3.2.1, èñïîëüçóÿ íå ïåðâîå,
à âòîðîå óñëîâèå èç (3.2.5).
20. Ñôîðìóëèðóéòå ïåðâóþ òåîðåìó ýêîíîìèêè áëàãîñîñòîÿíèÿ.
21. Ñôîðìóëèðóéòå âòîðóþ òåîðåìó ýêîíîìèêè áëàãîñîñòîÿíèÿ. Ïðåäëîæèòå ñïîñîá äîêàçàòåëüñòâà ýòîé òåîðåìû, èñïîëüçóÿ ðèñ. 3.1.2.
Áèáëèîãðàôèÿ
1. Âýðèàí Õ. Ð. Ìèêðîýêîíîìèêà. Ïðîìåæóòî÷íûé óðîâåíü. Ñîâðåìåííûé
ïîäõîä.
Ì.:
ÞÍÈÒÈ,
1997
(ïåð.
êí.
H. R.Varian. Intermediate Microeconomics (A Modern Approach, 3rd
Ed.) W.W. Norton & Company, 1992).
2. Ãàëüïåðèí Â.Ì., Èãíàòüåâ Ñ.Ì., Ìîðãóíîâ Â.È. Ìèêðîýêîíîìèêà.
ÑÏá.: Ýêîíîìè÷åñêàÿ øêîëà, 1998.
3. Ñèìêèíà Ë.Ã., Êîðíåé÷óê Á.Â. Ìèêðîýêîíîìèêà. 2-å èçä. ÑÏá.:
Ïèòåð, 2003.
4. Òàðàñåâè÷ Ë.Ñ., Ãðåáåííèêîâ Ï.È., Ëåóññêèé À.È. Ìèêðîýêîíîìèêà. Ì.: Þðàéò-Èçäàò, 2005.
5. Mas-Colell A., Winston M.D., Green J.R. Microeconomic Theory.
Oxford Univ. Press, 1995.
6. Varian H.R. Microeconomic Analysis, 3rd Ed. W.W. Norton &
Company, 1992.
12