На правах рукописи БЕЗРУЧКО АННА СЕРГЕЕВНА МЕТОДИКА

На правах рукописи
БЕЗРУЧКО АННА СЕРГЕЕВНА
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ,
ОСНОВАННАЯ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ
ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ
Специальность 13.00.02 - теория и методика обучения и воспитания
(математика)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата педагогических наук
Москва
2014
Работа выполнена на кафедре элементарной математики и методики
обучения математике математического факультета ФГБОУ ВПО
«Московский педагогический государственный университет»
Научный руководитель:
доктор педагогических наук,
профессор
Асланов Рамиз Муталлим оглы
Официальные оппоненты: Тестов Владимир Афанасьевич
доктор педагогических наук, профессор,
ФГБОУ ВПО «Вологодский государственный
университет», кафедра математики и методики
преподавания математики, профессор кафедры
Шуркова Мария Владимировна
кандидат педагогических наук, доцент, ГБОУ
ВПО «Московский городской педагогический
университет», Институт математики и информатики, кафедра математического анализа и
методики преподавания математики, доцент
кафедры
Ведущая организация:
ФГБОУ ВПО «Уральский государственный
педагогический университет»
Защита состоится « 17 » октября 2014 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.18 при ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет» по адресу: 107140, г. Москва, Краснопрудная ул., д. 14, ауд. 401.
С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ФГБОУ
ВПО «Московский педагогический государственный университет» по адресу:
119991, г. Москва, ул. Малая Пироговская ул., д. 1. стр.1 и на официальном
сайте университета www.mpgu.edu.
Автореферат разослан «___» июля 2014 г.
И.о. ученого секретаря
диссертационного совета
Одинцова Наталия Игоревна
2
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность исследования. На современном этапе развития общества
происходит информатизация всех сфер человеческой деятельности. Таким образом, современное общество и его постоянно развивающаяся экономика нуждаются в целеустремленных и инициативных высококвалифицированных специалистах, умеющих грамотно использовать новые информационные технологии во всех сферах деятельности и, в первую очередь, в своей профессии. На
данном фоне вдвойне важной видится информатизация профессиональной подготовки выпускников и, что особенно важно, выпускников педвуза, так как педагогическая наука и педагогическое образование должны занять опережающие
позиции по отношению к образовательной практике.
Впервые упоминания об информатизации образования встречаются в 1990
году в связи с опубликованной в журнале «Информатика и образование» концепцией информатизации образования. В то же время, несмотря на правительственные документы и распоряжения, опубликованные с 1990 года, данная
проблема и в настоящее время не решена до конца. Об этом свидетельствует и
«Концепция Федеральной целевой программы развития образования на 2011–
2015 годы», в которой одной из важнейших проблем современного образования
называется
процесс
эффективного
использования
информационнокоммуникационных технологий в сфере образования.
Особую роль при этом играет информатизация педагогического образования: студент – будущий учитель (в частности, учитель математики) – выступает, с одной стороны, как объект информатизации, а с другой – как проводник
идей информатизации образования в школе.
Методика использования информационных технологий в образовании была исследована во многих работах отечественных педагогов (В.Л. Андреев, В.П.
Беспалько, Б.С. Гершунский, А.П. Ершов, И.Г. Захарова, В.Г. Кинелёв, И.Л.
Лернер, Б.И. Машбиц, В.М. Монахов, П.И. Образцов, Ю.А. Первин, Е.С. Полат,
Г.К. Селевко и др.). К отечественным ученым, занимающимся этой проблемой,
также можно отнести Ю.С. Брановского, Я.А. Ваграменко, С.Г. Григорьева,
В.В. Гриншкуна, Г.А. Кручинину, С.Д. Каракозова, И.В. Роберт, В.А. Трайнёва
и др. Ими разрабатываются и конкретные пути применения информационных
технологий в обучении: использование данных технологий в качестве дидактического средства обучения, для реализации различных форм обучения, при
проведении психолого-педагогических исследований; автоматизация обучения
с применением автоматизированных обучающих систем; создание компьютерных учебных курсов и программно-методических комплексов, включая разработку сценария, экспертизу и оценку качества педагогических программных
средств и т. п.
Существует множество работ, в которых исследуются проблемы подготовки будущего учителя математики. К ним можно отнести работы И.И. Баврина,
Д.А. Власова, Г.Д. Глейзера, В.А. Горелика, В.А. Гусева, О.Б. Епишевой, А.Ж.
Жафярова, О.А. Иванова, В.И. Игошина, Ю.М. Колягина, Э.И. Кузнецова, В.Ф.
Любичевой, В.Л. Матросова, В.М. Монахова, А.И. Нижникова, Г.И. Саранцева,
Н.Л. Стефановой, В.А. Тестова, И.Л. Тимофеевой, Г.Г. Хамова, М.В. Шурковой и др.
3
В докторских диссертациях Р.М. Асланова, В.С. Корнилова, Г.Л. Луканкина, А.Г. Мордковича, Ю.В. Сидорова, М.И. Шабунина, кандидатских диссертациях Х.А. Гербекова, Т.И. Глушковой, Б.А. Найманова, Н.Д. Мань, А.В. Синчукова и др. находит свое развитие профессиональная и прикладная направленности обучения решению дифференциальных уравнений в высших учебных заведениях.
Однако в данных работах недостаточно отражены аспекты, связанные с
переходом на федеральные государственные образовательные стандарты высшего профессионального образования нового поколения. В частности, не отражены вопросы использования информационных технологий в профессиональной подготовке учителя математики при изучении математических дисциплин,
не отражены дидактические возможности данных средств в процессе обучения
математике в педвузе. Применительно к курсу дифференциальных уравнений
большинство исследователей сходится во мнении о большом потенциале данного раздела математики в плане его прикладной направленности. В то же время не существует работ по реализации этой направленности средствами информационных технологий. Таким образом, имеется ряд противоречий, связанных с математической подготовкой будущих учителей математики. Среди них
можно выделить следующие:
• между необходимостью строить образовательный процесс в вузе в
строгом соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом, предусматривающим использование информационных технологий, и
созданием методического обеспечения математических курсов, способствующего формированию умения применять информационные технологии у будущих учителей математики, и недостаточной разработанностью данных вопросов в научно-методической литературе и современных исследованиях;
• наличием средств информационных технологий, в частности компьютерных программ, обладающих большими возможностями для решения разного рода математических задач, в том числе и задач, связанных с дифференциальными уравнениями, и недостаточностью разработок, связанных с их применением в математической подготовке будущих учителей.
Указанные противоречия определяют выбор темы данного исследования.
Проблема исследования вытекает из перечисленных противоречий и состоит в разработке методики обучения решению дифференциальных уравнений
будущих учителей математики в педвузе с использованием средств информационных технологий.
Объект исследования – процесс подготовки учителя математики в системе высшего педагогического образования.
Предмет исследования – обучение будущих учителей математики решению дифференциальных уравнений в педвузе в условиях использования информационных технологий.
Цель исследования – разработка методики обучения решению дифференциальных уравнений в условиях информатизации образования, позволяющей
подготовить квалифицированных учителей математики, понимающих прикладное значение курса дифференциальных уравнений и умеющих применять сред4
ства новых информационных технологий для решения дифференциальных
уравнений.
Гипотеза исследования заключается в том, что обучение решению дифференциальных уравнений с использованием информационных технологий, в
частности компьютерных программ, будет способствовать повышению качества математической подготовки будущих учителей математики и позволит усилить прикладную направленность курса, если разработать методику обучения
решению дифференциальным уравнениям, которая будет оптимально сочетать
традиционные методы, формы и средства с методами решения дифференциальных уравнений, реализованными компьютерными программами.
В соответствии с целью, объектом, предметом и гипотезой исследования
были поставлены следующие задачи исследования:
• проанализировать понятие «информационные технологии в образовании» и выявить возможности применения компьютерных программ в качестве
средств информационных технологий в подготовке будущего учителя математики;
• определить и обосновать целесообразность применения компьютерных
программ для решения определенного класса задач по курсу дифференциальных уравнений, в том числе и прикладных;
• проанализировать возможности компьютерных программ для решения
дифференциальных уравнений и выбрать наиболее подходящие программы;
• разработать модель и соответствующую ей методику обучения решению дифференциальных уравнений с применением компьютерных программ,
определить соответствующие цели, содержание, методы, формы и средства
обучения.
• экспериментально проверить эффективность применения предложенной методики обучения.
Теоретико-методологической основой исследования являются: исследования в области профессиональной подготовки учителя математики в педвузе
(А.В. Абрамов, Р.М. Асланов, И.И. Баврин, В.А. Гусев, В.И. Игошин, Э.И. Кузнецов, С.И. Калинин, Н.Д. Кучугурова, Г.Л. Луканкин, В.Л. Матросов, А.Г.
Мордкович, В.Р. Майер, А.И. Нижников, Л.В. Павлова, Е.И. Смирнов, И.Л. Тимофеева, Г.Г. Хамов, М.И. Шабунин, Л.В. Шкерина и др.); теория информатизации образования (Ю.С. Брановский, А.П. Ершов, С.А. Жданов, Т.Б. Захарова,
С.Д. Каракозов, О.А. Козлов, Г.А. Кручинина, А.А. Кузнецов, Д.Ш. Матрос,
Е.И. Машбиц, П.И. Образцов, Е.С. Полат, И.В. Роберт, Г.К. Селевко, Н.В. Софронова и др.); методические аспекты использования информационных и телекоммуникационных технологий в вузе при обучении математическим дисциплинам (В.В. Алейников, И.В. Беленкова, Д.П. Голоскоков, И.Б, Горбунова, Е.А.
Дахер, В.П. Дьяконов, С.А. Дьяченко, Е.В. Клименко, Т.Г. Кузьмичева, С.В.
Поршнев, С.Е. Савотченко и др.).
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ математической, психолого-педагогической, учебной и научно-методической литературы по проблеме исследования; анализ и обобщение
педагогического опыта преподавателей высшей школы; наблюдение за ходом
5
учебного процесса; беседы со студентами, преподавателями, выпускниками математических факультетов педвузов; анкетирование студентов; констатирующий, поисковый и обучающий этапы педагогического эксперимента; обработка
и интерпретация результатов педагогического эксперимента.
Научная новизна исследования заключается в том, что в нем:
• разработаны и представлены модель и соответствующая ей методика
обучения решению дифференциальных уравнений с применением компьютерных программ (Dfield, Pplane, Odesolve);
• раскрыты возможности сочетания традиционной формы обучения и
обучения с использованием компьютерных программ, в соответствии с которыми одной из основных форм обучения является лабораторно-практическое
занятие;
• отобраны существующие и разработаны новые компьютерноориентированные задачи, в том числе и прикладные;
• показаны возможности использования компьютерных программ как
одного из средств наглядности в курсе дифференциальных уравнений.
Теоретическая значимость. Теоретически обоснована методика использования компьютерных программ для решения дифференциальных уравнений и
предложена модель данной методики. Подробно исследованы компьютерные
программы Dfield, Pplane, Odesolve с точки зрения их роли и потенциальных
возможностей как средства новых информационных технологий при обучении
решению
дифференциальных
уравнений.
Выделены
компьютерноориентированные задачи в курсе дифференциальных уравнений и обоснована
целесообразность их решения.
Практическая значимость полученных результатов обусловлена, прежде
всего, созданием учебного пособия «Задачник по дифференциальным уравнениям (с использованием систем компьютерной математики)». Кроме того, в
диссертации содержатся конкретные рекомендации по внедрению в курс дифференциальных уравнений средств новых информационных технологий. Разработанная методика может быть использована в практике подготовки будущих
учителей математики по дисциплине «Дифференциальные уравнения». Данная
методика обучения может служить основой для дальнейшего совершенствования программ, учебных пособий и учебников по дифференциальным уравнениям и учебных планов для студентов математических специальностей педагогических вузов, направленных на повышение качества профессиональной подготовки будущих учителей математики.
Достоверность результатов и обоснованность выводов, полученных в
диссертационном исследовании, обеспечиваются: методологической обоснованностью исходных теоретических позиций; использованием современных
концептуальных и апробированных в науке методов исследования, адекватностью системы методов поставленным в работе цели, объекту, предмету и задачам исследования; репрезентативностью и достаточным объемом выборки экспериментальных и контрольных групп, корректным использованием процедур
статистической обработки эмпирических данных, высокой частотой полученных положительных статистически значимых результатов педагогического экс6
перимента; положительной оценкой разработанных методических материалов
преподавателями, участвующими в проведении экспериментальной работы; непротиворечивостью промежуточных результатов и выводов.
Базой научного исследования и опытно-экспериментальной работы
явились: кафедра математики, физики и методики преподавания Школы педагогики Дальневосточного федерального университета (г. Уссурийск, Приморский край), математический факультет Московского педагогического государственного университета.
Исследование проводилось с 2008 по 2013 год и включало в себя три этапа.
На первом этапе (2008–2009) было выявлено состояние рассматриваемой
проблемы в теории и практике обучения, дифференциальным уравнениям в педагогических вузах, отобран материал по теме исследования, разработана методика исследования.
На втором этапе (2009–2011) было проведено теоретическое исследование. Выявлены психолого-педагогические основы использования информационных технологий при обучении решению дифференциальных уравнений, выявлены конкретные методические и практические пути и средства реализации
основных теоретических положений, параллельно разрабатывалась методика
обучения решению дифференциальных уравнений, основанная на использовании информационных технологий.
На третьем этапе (2011–2013) было осуществлено внедрение полученных
результатов в практику преподавания на физико-математическом факультете
Школы педагогики Дальневосточного федерального государственного университета и на кафедре математического анализа Московского педагогического государственного университета.
На защиту выносятся следующие положения:
• выявленные возможности компьютерных программ (Dfield, Pplane,
Odesolve), используемых в качестве средств новых информационных технологий при обучении решению дифференциальных уравнений будущих учителей
математики, способствуют расширению знаний студентов о приближенных методах решения дифференциальных уравнений, повышению прикладной направленности данного курса и его наглядности;
• разработанная на основе выявленных возможностей модель и соответствующая ей методика обучения решению дифференциальных уравнений с применением компьютерных программ для будущих учителей математики сочетает в себе традиционные формы и средства обучения с формами и методами,
продиктованными использованием компьютерных программ, а именно, использование лабораторно-практических занятий, как основной формы обучения
решению дифференциальных уравнений, и использование программ Dfield,
Pplane, Odesolve как средства обучения решению дифференциальных уравнений;
• предложенная модель и соответствующая ей методика обучения решению дифференциальных уравнений с применением компьютерных программ
способствует повышению качества математической подготовки, за счет включения в обучение компьютерно-ориентированных задач, то есть задач, при ре7
шении которых требуется применение приближенных методов решения, в том
числе и прикладных задач (решаемых графическими и численными методами).
Основные положения исследования обсуждались и докладывались на:
XXVII Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и
педагогических вузов, посвященном 70-летию со дня рождения доктора педагогических наук профессора И.Д. Пехлецкого «Проблемы многоуровневой подготовки учителей математики для современной школы» (24–26 сентября 2008 г.,
г. Пермь); Московской областной научно-практической конференции «Актуальные вопросы преподавания математики в школе и педагогическом вузе»
(Коломна, 2008); Международной научно-практической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения З.А. Биишевой «Новые образовательные
технологии в школе и вузе: математика, физика, информатика» (Стерлитамак,
2008); IV Международной научной конференции «Математика. Образование.
Культура» (Тольятти, 2009); XXVIII Всероссийском семинаре преподавателей
математики университетов и педагогических вузов «Проблемы преемственности в обучении математике на уровне общего и профессионального образования» (Екатеринбург, 2009); Международной научно-практической конференции
«Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика»
(Архангельск, 2010); VIII Международных Колмогоровских чтениях (Ярославль, 2010); Всероссийском съезде учителей математики (МГУ, 2010); Межрегиональной научно-практической конференции «Модернизация высшего образования в Республике Коми: проблемы качества обучения» (Ухта, 2011); V
Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура»
(к 75-летию В.М. Монахова) (Тольятти, 2011); IV Международной научной
конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования» (Воронеж, 2011); ХХХ Всероссийском семинаре преподавателей математики высших учебных заведений «Инновационные технологии обучения математике в школе и вузе» (Елабуга, 2011);
Международной научно-практической конференции «Информационные технологии в образовании» (Ульяновск, 2011); Международной научно-практической
конференции «Информатизация как целевая ориентация и стратегический ресурс образования» (Архангельск, 2012); XXXI Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов «Проблемы преподавания математики в школе и вузе в условиях реализации новых образовательных стандартов», посвященном 25-летию семинара (Тобольск, 2012); Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения
члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования» (Москва, 2013); Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Г. Алиева
(Баку, 2013); XXXII Международном семинаре преподавателей математики
университетов и педагогических вузов «Современные подходы к оценке и качеству математического образования в школе и вузе», (Екатеринбург, 2013); VI
Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура»
(Тольятти, 2013); Международной конференции, посвященной 150-летию Д.А.
Граве «Математика в современном мире» (Вологда, 2013); научно8
методическом семинаре математического факультета МПГУ «Актуальные проблемы преподавания математики и информатики в школе и педагогическом вузе» (Москва, 2013).
Внедрение результатов исследования осуществлялось в процессе преподавания дисциплины «Дифференциальные уравнения» (2010–2013).
По теме диссертации опубликовано 37 научных и учебно-методических
работ, в том числе 8 статей в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки
России, и учебное пособие с грифом УМО по образованию в области подготовки педагогических кадров.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем работы 211 с.,
основной текст составляет 174 с., список литературы содержит 213 наименований.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируется его проблема, определяются объект, предмет и цель, выдвигается гипотеза исследования, задачи и методы исследования; раскрывается научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы; приведены сведения
об апробации и внедрении результатов исследования, а также положения, выносимые на защиту.
В первой главе «Теоретико-методологические основы организации обучения дифференциальным уравнениям с использованием информационных
технологий» представлены педагогические, теоретические и методологические
аспекты использования информационных технологий при обучении решению
дифференциальных уравнений.
К модернизации современного образования в целом и математического
образования, в частности, привело большое количество политических, экономических, социальных, культурных и др. факторов. К таким факторам можно
отнести вступление РФ в Болонский процесс, информатизацию образования,
утверждение «Концепции развития математического образования в России».
Координатор рабочей группы по разработке «Концепции развития математического образования в России» А.Л. Семенов в своем интервью РИА Новости от
25 марта 2013 года отмечает, что «…в содержании образования центральную
роль должны играть самостоятельные логические рассуждения, применимые и
вне математики, доказательства, построения математических моделей и соотнесение результатов моделирования с реальностью. В полной мере будут использоваться компьютерные математические инструменты. Никто не отменит таблицу умножения, но логика рассуждений и умение применять математику
должны быть уравнены в правах с умением вычислять, а в вычислениях детям
будут помогать компьютеры». Вследствие этого к подготовке будущего учителя в целом и учителя математики, в частности, предъявляют большие требования. Кроме фундаментальных знаний будущие учителя математики должны
знать и различные приложения математики, уметь моделировать различные
процессы и явления, использовать современные информационные технологии в
процессе решения математических задач.
9
Проведенный теоретический анализ показал что понятие «новые информационные технологии в образовании» появилось относительно недавно и исследователи не пришли к единому мнению в его определении. Тем не менее,
несмотря на всю разницу имеющихся подходов, все авторы сходятся во мнении, что реализация данных технологий происходит с помощью микропроцессорной вычислительной техники, в частности персональных компьютеров. В
рамках данного исследования в качестве информационно-коммуникационных
технологий (ИКТ) рассматривался персональный компьютер (ПК) и его программное обеспечение, необходимое для реализации потребностей образовательного процесса.
17 мая 2012 года был утвержден Федеральный государственный стандарт
среднего (полного) общего образования. Согласно данному стандарту, практически все предметы можно будет изучать на базовом или углубленном уровнях.
Данный приказ будет введен повсеместно с 1 сентября 2020 года. Поэтому уже
сейчас необходимо готовить будущих учителей к выполнению требований к результатам освоения основной образовательной программы (на углубленном
уровне), представленным в данном документе. В связи с тем, что одним из таких требований, предъявляемым к учащимся школ, является владение навыками использования готовых компьютерных программ при решении уравнений и
задач, и тем, что теория дифференциальных уравнения находит свое отражение при профильном (углубленном) обучении в школьном курсе математики,
(разделы, посвященные данной теории, можно встретить в учебниках Н.Я. Виленкина и др., Ю.М Колягина и др., С.М. Никольского и др., М.И. Шабунина и
др.), то для успешной реализации федерального государственного образовательного стандарта, кроме фундаментальных знаний теории дифференциальных уравнений, у будущего учителя математики должны быть сформированы и
знания о компьютерных программах, с помощью которых можно решить различные математические задачи, связанные с этим разделом математики.
Основой изучения дисциплины «Дифференциальные уравнения» является
изучение основных типов дифференциальных уравнений и аналитических методов их решения. Суть данных методов заключается в определении типа исходного дифференциального уравнения и решение его по заранее известному
алгоритму, применяемому к данному типу. При использовании компьютерных
программ для получения аналитического решения дифференциального уравнения студенты получат готовый ответ в символьном виде и не смогут изучить
алгоритм решения. Таким образом, если использовать программы для решения
задач, предполагающих изучение метода решения, то у студентов не будет
сформировано умение применять данный метод к решению задач, и возникнет
ситуация, когда студенты просто будут переписывать ответ в тетрадь. Так как
изучение типов дифференциальных уравнений и методов их решения является
основой рассматриваемой дисциплины, то для нахождения аналитического решения, как показывает наше исследование, нецелесообразно применять компьютерные программы.
С другой стороны, существуют задачи, требующие больших математических выкладок, в ходе которых легко допустить ошибку. Если метод решения
не является объектом изучения, то применение компьютерных программ в этих
10
случаях является вполне обоснованным. Использование компьютерных программ позволит значительно сократить время на выполнение сложных математических выкладок и представить результаты в требуемом виде (формула, график, таблица), что позволит уделить больше времени осмыслению содержания
задачи и анализу полученных результатов. К таким задачам в курсе дифференциальных уравнений можно отнести задачи, решаемые приближенными методами. Студенты должны получить знания о приближенных методах решения
дифференциальных уравнений, но алгоритм их решения не является главной
целью обучения. Студенты просто знакомятся с данными методами. Необходимо отметить, что эти методы требуют большого количества математических
выкладок, поэтому их реализация на практике очень затруднена. Прикладные
задачи, решенные с помощью аналитических методов, также порой дают очень
сложную для исследования математическую формулу того или иного процесса
и количество вычислений, необходимых для ее исследования, может быть
очень большим. Прикладная задача решенная с помощью приближенных методов, реализованных с помощью компьютерных программ, дает более полную
картину протекания того или иного процесса, предоставляет возможность ответить на поставленный в задаче вопрос, практически не прибегая к вычислениям. Целью решения прикладных задач в курсе дифференциальных уравнений
является не столько решение, сколько составление математической модели и
анализ полученных результатов.
В результате исследования в курсе дифференциальных уравнений нами
были выделены задачи, при решении которых следует применять компьютерные программы. К таким задачам мы относим задачи, требующие применения
приближенных методов решения, и прикладные задачи (решенные графическими и численными методами). Вслед за У.В. Плясуновой, мы называем такие
задачи компьютерно-ориентированными задачами.
Для получения решений дифференциальных уравнений в настоящее время широко используются как системы компьютерной математики (СКМ)
(Scilab, Maple, Mathematica, MATLAB, MathCAD, Maxima, Derive), так и математические графические редакторы (ArtSGraph, программы, написанные Д.
Полкингом на входном языке MATLAB (Dfield, Pplane, Odesolve), ODE, IODE).
Анализ возможностей данных программам с точки зрения применения их для
решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями показал, что
наиболее подходящими являются программы, написанные Д. Полкингом Dfield, Pplane, Odesolve. В контексте данного исследования был выделен ряд
преимуществ программ Dfield, Pplane, Odesolve перед другими программами. К
таким преимуществам мы отнесли: бесплатное использование в целях образования; наличие online-версии; простой графический интерфейс, не требующий
от пользователя знания команд или языка программирования; реализацию графического и численного решений дифференциальных уравнений; задание метода построения искомой интегральной кривой и возможность задать необходимый шаг; вывод координат необходимых точек на экран; возможность изменения масштаба, получение отдельных характеристик, вращение изображения за счет поворота осей координат.
11
Во второй главе «Методика обучения решению дифференциальных
уравнений с использованием информационных технологий» представлена модель и соответствующая ей методика обучения решению дифференциальных
уравнений с применением компьютерных программ.
Использование компьютера в обучении математике оказывает влияние на
всю методику обучения в целом. Основой любой методики обучения служит
система принципов. В ходе исследования были выделены общедидактические
принципы обучения, которые послужили основой методики обучения решению
дифференциальных уравнений основанной на использовании информационных
технологий это принцип: доступности; научности, наглядности; моделирования
(как высшая ступень принципа наглядности); связи теории с практикой; межпредметных связей в обучении. Также на основе анализа диссертационных исследований был выделен еще ряд принципов, которые были сформулированы в
связи с применением различных компьютерных программ в процессе обучения.
К ним мы отнесли принцип: параллельности; содержательного повтора; однотипности; целесообразности.
Цели обучения являются главным компонентом методической системы. В
настоящее время, в связи с реформированием системы высшего профессионального образования, традиционный подход сменяется компетентностным.
Проанализировав ФГОС ВПО по направлению подготовки 050100Педагогическое образование (квалификации (степень) бакалавр) и примерную
основную образовательную программу ВПО по направлению подготовки
050100 Педагогическое образование, Профиль «Математика», мы сопоставили
общекультурные (ОК), профессиональные (ПК) и специальные (СК) компетенции с основными результатами обучения, которые должны быть достигнуты при изучении дисциплины «Дифференциальные уравнения» (табл. 1).
Таблица 1
Выпускник должен (формируемые
компоненты компетенций)
(СК-1):
• владеет основными положениями
классических разделов математической науки;
• владеет базовыми идеями и методами математики
(СК-2):
• способен понимать взаимосвязь
между различными математическими
дисциплинами;
• способен пользоваться языком математики, корректно выражать и аргументированно обосновывать имеющиеся знания
(СК-3):
Результаты обучения по дисциплине «Дифференциальные уравнения»
Знать основные понятия и методы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Уметь решать определенные типы дифференциальных
уравнений, находить общее и частное решения.
Владеть различными методами решения дифференциальных уравнений
Знать взаимосвязь теории дифференциальных уравнений
с другими разделами математики (теория функций действительного переменного, интегральное и дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, линейная алгебра и др.), теоретические основы
различных теорем и методов решения дифференциальных уравнений.
Уметь использовать знания из других областей математики для решения различного рода проблем, возникающих в теории дифференциальных уравнений, использовать теоретические знания для обоснования полученного
решения.
Владеть математическим аппаратом дифференциальных
уравнений, необходимым для решения поставленных задач
Знать приложения теории дифференциальных уравнений.
12
• способен понимать роль и место
математики в системе наук;
• способен понимать значение математической науки для решения задач,
возникающих в теории и практике
(СК-4):
• владеет математикой как средством
моделирования явлений и процессов;
• способен пользоваться построением
математических моделей для решения
практических проблем
(ОК-8):
• готов использовать основные методы, способы и средства получения,
хранения, переработки информации;
готов работать с компьютером как
средством управления информацией
(ПК-2):
• готов применять современные информационные технологии для обеспечения
качества
учебновоспитательного процесса на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения
Уметь решать прикладные задачи, возникающие в других
областях науки (химии, биологии, экологии, физики и
др.).
Владеть методами решения прикладных задач
Знать основные этапы построения математических моделей.
Уметь решать задачи прикладного характера, используя
основные этапы математического моделирования.
Владеть математическим моделированием как средством
решения прикладных задач теории дифференциальных
уравнений.
Знать компьютерные программы, предназначенные для
решения дифференциальных уравнений.
Уметь использовать компьютерные программы для решения дифференциальных уравнений.
Владеть навыками использования компьютерных программ для решения различных задач теории дифференциальных уравнений.
Знать вопросы темы дифференциальных уравнений, изучаемые в школьном курсе математики.
Уметь использовать компьютерные программы для иллюстрации теоретических сведений или решения дифференциальных уравнений школьного курса математики.
Владеть навыками применения компьютерных программ
для различных образовательных целей
Чтобы в полной степени реализовать требования ФГОС по формированию данных компетенций и достичь необходимых результатов обучения, необходимо понять, что будет изучаться в рамках дисциплины, то есть отобрать и
структурировать содержание курса. Рассмотрев учебники и учебные пособия,
рекомендованные при обучении в педагогических вузах, которые посвящены
дифференциальным уравнениям или в которых присутствует раздел, отражающий теорию дифференциальных уравнений, мы отобрали содержание дисциплины «Дифференциальные уравнения». Мы разбили все содержание на три тематических раздела: дифференциальные уравнения первого порядка; дифференциальные уравнения высших порядков; системы дифференциальных уравнений.
В ходе исследования были выделены основные направления теории дифференциальных уравнений: изучение основных типов дифференциальных
уравнений и аналитических методов их решения; изучение приближенных методов решения; реализация прикладной направленности теории дифференциальных уравнений; изучение компьютерных программ реализующих решение
дифференциальных уравнений. Взаимосвязь данных направлений и трех тематических разделов представлена нами в виде схемы (рис. 1). В скобках указаны
формируемые компетенции.
Трудоемкость дисциплины «Дифференциальные уравнения» составляет 4
зачетные единицы. ФГОС ВПО соотносит одну зачетную единицу с 36 академическими часами. Таким образом, на изучении данной дисциплины предусматривается 144 часа, из них 72 часа аудиторной и 72 часа самостоятельной
работы. В качестве формы промежуточной аттестации используется экзамен.
13
Основные типы дифференциальных уравнений высших порядков,
решаемые в квадратурах и аналитические методы их решения
(СК-1, СК-2)
Системы дифференциальных
уравнений и аналитические методы их решения
(СК-1, СК-2)
Прикладные задачи, решаемые
аналитическими методами
Раздел 1
Приближенные методы решения дифференциальных
уравнений первого порядка
(ПК-2, ОК-8)
Раздел 2
Прикладные задачи дифференциальных уравнений первого порядка
(СК-3, СК-4)
Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка, решаемые в квадратурах
и аналитические методы их решения (СК-1, СК-2)
Раздел 3
Приближенные методы
решения дифференциальных уравнений
Прикладные задачи
дифференциальных
уравнений высшего
порядка (СК-3, СК-4)
Прикладные задачи
систем дифференциальных уравнений (СК-3,
СК-4)
Приближенные методы решения дифференциальных
уравнений высших порядков
(ПК-2, ОК-8)
Приближенные методы решения систем дифференциальных уравнений
(ПК-2, ОК-8)
Применение компьютерных
программ для решения задач
Прикладная направленность
теории дифференциальных
уравнений
Прикладные задачи, решаемые
приближенными методами
Основные типы
дифференциальных
уравнений и аналитические
методы их решения
Рис. 1. Взаимосвязь основных направлений курса дифференциальных
уравнений и тематических разделов
Поскольку для будущего учителя математики первостепенным является
то содержание, которое найдет отражение в его будущей профессии, то объем
часов для первого раздела (дифференциальные уравнения первого порядка) составляет 50% от общего количества аудиторных часов (36 часов аудиторной и
36 часов самостоятельной работ). Темы данного раздела наиболее часто встречаются в школьных учебниках математики. Для второго раздела (дифференциальные уравнения высших порядков) нами запланировано примерно 33% от
общего количества аудиторных часов (24 часов аудиторной и 24 часов самостоятельной работ). Темы данного раздела встречаются в школьном курсе математики, но в меньшем объеме. 11 % от общего количества аудиторных часов
запланировано на изучение систем дифференциальных уравнений (10 часов аудиторной и 10 часов самостоятельной работ). Содержание данного раздела не
находит своего отражения в школьной программе математики, но в то же время
является одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений. Поэтому мы считаем, что данный раздел должен быть обязательно отражен в содержании предлагаемого курса. Оставшиеся 6 % запланированы на проведение
итоговой контрольной работы по всему изученному материалу и представление
студентами своих творческих работ.
По результатам проведенного исследования была разработана модель
обучения решению дифференциальных уравнений с применением компьютерных программ (рис. 2). Так как мы предлагаем разбить курс дифференциальных
уравнений на несколько направлений, то этапы учебной деятельности студентов мы также разбиваем на направления: аналитические методы решения дифференциальных уравнений (АМР), приближенные методы решения дифференциальных уравнений (ПМР), прикладные задач по курсу дифференциальных
уравнений (ПЗ).
14
Принципы обучения: доступности, научности, наглядности, моделирования, связи теории с практикой,
межпредметных связей в обучении, параллельности, содержательного повтора, однотипности, целесообразности.
Средства обучения: учебники, учебные пособия, сборники задач, компью-Средства обучения: учебники,
учебные пособия, задачники.
терные, программы (MATLAB, Dfield, Pplanet, Odesolve)
Этапы учебной деятельности студентов
Мотивационный
этап
Операционно-познавательный
этап
Рефлексивнооценочный этап
АМР
Методы: объяснительно–
иллюстративный.
Содержание
обучения:
мотивация изучения нового
материала (отражение курса
дифференциальных уравнений в школьном курсе
математики)
АМР
Методы: объяснительно–иллюстративный; дедуктивно-репродуктивный;
индуктивнорепродуктивный; обобщающе-репродуктивный.
Содержание обучения: изучение нового материала
(рассмотрение общего вида дифференциального
уравнения определенного типа и алгоритма его
решения); первичное осмысление усвоенного материала; воспроизведение изученного материала; его
применение (решение задач, в которых требуется
определить тип дифференциального уравнения и
применить необходимый алгоритм решения)
Контроль и самоконтроль
ПМР
Методы: объяснительно–
иллюстративный.
Содержание
обучения:
мотивация изучения нового
материала (рассмотрение
уравнений, не решаемых
аналитическими методами;
обзор программ, реализующих решение дифференциальных уравнений и демонстрация их возможностей)
ПЗ
Методы: объяснительно–
иллюстративный.
Содержание обучения:
мотивация изучения нового материала (взаимосвязь
теории дифференциальных уравнений с другими
науками).
ПМР
Методы: объяснительно–иллюстративный; дедуктивно-репродуктивный;
индуктивнорепродуктивный; обобщающе–репродуктивный.
Содержание обучения: изучение нового материала
(рассмотрение графических и численных методов
решение, интерфейс программ и алгоритм реализации приближенных методов); первичное осмысление усвоенного материала; воспроизведение изученного материала; его применение (нахождение
требуемого приближенного решения с помощью
компьютерных программ, анализ полученного решения), осмысление.
ПЗ
Методы: объяснительно–иллюстративный; дедуктивно-репродуктивный;
индуктивнорепродуктивный; эвристический.
Содержание обучения: изучение нового материала
(основные этапы моделирования, исследование
готовых математических моделей, составление
дифференциальных уравнений по условиям задач);
первичное осмысление материала; воспроизведение
изученного материала; его применение в стандартных условиях (исследование задач с заданными
моделями, составление задач по известным моделям, задачи на составление математических моделей,
решение моделей с помощью компьютерных программ и аналитических методов).
Форма обучения: лекция, лабораторно–практическое
занятие
(Самоконтроль усвоения
теоретического материала,
самоконтроль правильности решения задач, текущий и итоговый контроль
знаний студентов, защита
творческих работ.)
Уровни усвоения
(В.П. Беспалько)
• Низкий (Оценка 2)
Знания-знакомства –
узнавание объектов
• Базовый (Оценка 3)
Знания-копии – предполагает репродуктивное воспроизведение
• Повышенный (Оценка 4) Предполагает
продуктивные действия
по применению полученной информации в
процессе самостоятельной деятельности
студента
• Высокий (Оценка 5)
Знания-трансформации
– предполагает возможность творческого
применения полученной информации
Консультации, самостоятельная
работа студентов, творческая
работа, экзамен
Рис.2. Модель обучения решению дифференциальных уравнений с применением компьютерных программ (Dfield, Pplane, Оdesolve)
Основными формами организации учебного процесса в данной методике
являются лекционные и лабораторно-практические занятия. Рассмотрим подробнее каждую из данных форм обучения. Лекционные занятия велись в традиционной форме, в ходе их проведения использовались программы Dfield,
Pplane, Odesolve для демонстрации теоретического материала и для нахождения графического и численного решений дифференциальных уравнений. Целью
лабораторно-практические занятий являлось расширение, детализирование знаний, полученных на лекции в обобщенной форме, и содействие выработке на15
выков профессиональной деятельности будущих учителей. Надо отметить, что
лабораторно-практические занятия проводились в компьютерных кабинетах,
оснащенных необходимой техникой и программным обеспечением для изучения основных методов решения дифференциальных уравнений. Каждое лабораторно-практическое занятие было разбито нами на две части. Первая часть занятия проводилась без применения компьютера в традиционной форме и посвящалась изучению типов уравнений и аналитическим методам их решения.
Эта часть занимала примерно 75% (около 70 минут) от всего времени занятия.
Во второй части занятия, примерно 25% (около 20 минут) от всего времени,
студенты решали задачи на компьютере, используя программы Dfield, Pplane,
Оdesolve.
В контексте данного исследования нами был выдвинут ряд требований,
которыми мы руководствовались при составлении системы заданий: 1) система
заданий должна быть полной, т. е. включать в себя задания на все основные
типы дифференциальных уравнений и методы (аналитические, графические и
численные) их решения; 2) в систему заданий должны быть включены, где это
возможно, задания из школьных учебников математики; 3) система заданий
должна включать в себя достаточное количество прикладных задач, чтобы в
полной мере отразить прикладную направленность теории дифференциальных
уравнений; 4) система заданий должна включать в себя достаточное количество
заданий, требующих от студентов составления примеров и задач; 5) в систему
заданий должны быть включены примеры и задачи, при решении которых целесообразно применять компьютерные программы.
Все задачи, для решения которых требуется применение компьютерных
программ, были разделены нами на две основные группы:
1. Задачи на построение графического и численного решений дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений.
2. Прикладные задачи, решаемые с помощью приближенных методов
(численных графических).
Задачи на построение графического и численного решений дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений предлагались
студентам в начале изучения каждого из разделов, чтобы изучить возможности
той или иной программы (раздел 1 программа Dfield, раздел 2, 3 программы
Pplane, Оdesolve). Задачи подобного рода помогали студентам освоить компьютерную программу и научиться строить приближенное решение (численное или
графическое) дифференциальных уравнений или их систем. После задач на построение решений студентам предлагались задачи на анализ графического решения. В ходе решения этих задач самому процессу решения не уделялось много внимание, так как студенты с ним уже были знакомы. Внимание акцентировалось на интерпретации и анализе полученного решения.
После того как студенты решили задачи первой группы им предлагались
задачи прикладного характера. Данные задачи были разделены нами на три
уровня сложности: задачи, в которых математическая модель уже задана; задачи, математическая модель которых известна (из курса лекций); задачи, которые требуют составления математической модели. В начале изучения курса
дифференциальных уравнений студенты узнали основные этапы моделирова16
ния (формализация, решение математической модели, сформулированной на
первом этапе, интерпретация результатов), и им был предложен общий алгоритм решения. В данном алгоритме были четко выделены все три этапа математического моделирования, чтобы при его использовании у студентов формировалось четкое представление, какой именно этап они выполняют. Данным алгоритмом студенты пользовались на протяжении всего курса обучения дифференциальным уравнениям. Благодаря использованию программ Dfield, Pplane,
Оdesolve на решение прикладных задач не затрачивалось много времени, и стало возможно рассмотреть больше прикладных задач в рамках каждого занятия.
Также каждый студент выполнял творческое задание, в ходе которого
должен был, проанализировав школьные учебники по математике углубленного
уровня, выбрать тему из курса дифференциальных уравнений. По данной теме
он подбирал теоретический материал, составлял и решал несколько прикладных задач, которые можно было бы предложить школьникам. При выполнении
творческого задания студенты должны были использовать изученные компьютерные программы, как для решения задач, так и для визуализации теоретического материала.
Приведем пример прикладной задачи.
Задача. Регулярные войска двух противостоящих сил ведут боевые действия. Обе стороны не получают подкреплений и не терпят потерь от внешних
факторов. Коэффициент огневой мощи первой стороны равен 1,7, а вероятность
попадания каждого выстрела равна 0,3. У второй стороны коэффициент огневой мощи равен 2,4, а вероятность попадания каждого выстрела равна 0,6. Определите, какая должна быть численность войск у второй стороны, чтобы она
одержала победу, если известно, что численный состав первой стороны равен
200.
Решение.
1-й этап. Формализация. Из курса лекций студентам известна модель,
описывающая зависимость между численностью двух регулярных войск, ведуdy cx
=
щих боевые действия. Она имеет вид
, где x и y – численный состав
dx by
противоборствующих сторон, коэффициенты b и c находятся по формулам c =
rx px, b = ry py, где rx , ry – коэффициенты огневой мощи сторон x и y соответственно, а px и py – вероятности того, что каждый из выстрелов со стороны x и y
соответственно окажется метким, by и cx – это скорость, с которой стороны несут потери от непосредственных столкновений в процессе боевых действий со
стороны х и у соответственно. Так как студенты знают общую математическую
модель описываемого процесса, им остается только подставить данные задачи,
чтобы получить математическую модель конкретного процесса.
Первую сторону войск обозначим х, а вторую у, определим коэффициенты b=ry · py=2,4 · 0,6=1,44, c = rx · px = 1,7 · 0,3 = 0,51. Составим соответствуюdy 0,51x
щее дифференциальное уравнение
=
.
dx 1,44 y
2-й этап. Решение математической модели, сформулированной на 1-м
этапе. Для построения решения студенты используют программу Dfield. Так
17
как дифференциальное уравнение описывает зависимость между численностью
войск двух противоборствующих сторон, то условие, что численный состав
первой стороны равен 200, не является начальным условием, поскольку не указан численный состав второй стороны. Таким образом, в задаче не заданы начальные условия. Следовательно, студенты строят семейство интегральных
кривых дифференциального уравнения. Результаты работы программы изображены на рисунке 3 в виде двух окон.
3-й этап. Интерпретация полученных результатов. При помощи графического решения можно быстро ответить на вопрос, поставленный в задаче.
Достаточно посмотреть, начиная с каких значений у, интегральные кривые начинают пересекать ось Оу, то есть при каких значенияx у численность первой
Рис. 3. Окна программы Dfield
стороны будет равна нулю. Мы видим, что интегральная кривая, проходящая
через точку (200; 119), пересекает ось Ох, следовательно, если численность
второй стороны равна 119, то победу одержит первая сторона. Интегральная
кривая, проходящая через точку (200; 120), пересекает ось Оу. Следовательно,
если численность второй стороны равна 120, то победу одержит вторая сторона.
Все интегральные кривые, которые расположены выше кривой, проходящей
через точку (200; 120), также пересекают ось Оу, поэтому, если численность
войск второй стороны будет больше 120, она одержит победу.
В ходе исследования выделен ряд рекомендации по применению предложенной методики.
1. Использование компьютерных программ, в качестве новых информационных технологий, не должно носить эпизодический характер, данные программы должны использоваться студентами и преподавателем систематически
в ходе аудиторной и внеаудиторной работ. Именно по этой причине одной из
основных форм обучения следует использовать лабораторно-практическое занятие, в ходе которого происходит сочетание обучения без использования компьютера и обучения с применением компьютерных программ. Следует исполь18
зовать компьютерные программы для непосредственного решения задач и для
объяснения теоретического материала.
2. Использование компьютерных программ должно быть обоснованным
и понятным студентам. С этой целью целесообразно решать некоторые задачи
как без компьютера, так и с применением компьютерных программ, при этом
вместе со студентами выделять достоинства и недостатки каждого из методов.
3. Обучение должно происходить в следующей последовательности: изучение типа дифференциального уравнения и аналитических методов решения
уравнения данного типа → изучение приближенных методов решения дифференциального уравнения данного типа → реализация приближенных методов
решения с помощью компьютерных программ → решения прикладных задач,
моделью которых являются уравнения данного типа, с помощью компьютерных программ
Опытно-экспериментальная работа проводилась в течение 2008-2013 гг.
на кафедре математики, физики и методики преподавания Школы педагогики
Дальневосточного федерального университета. Проведенный педагогический
эксперимент состоял из трех этапов – констатирующего, поискового и формирующего. Формирующий эксперимент проводился с 2011 по 2013 г. В 2011–
2012 гг. число студентов в экспериментальной группе составило 19 человек, а в
контрольной – 16 человек. В 2012–2013 гг. число студентов в экспериментальной группе составило 16 человек, а в контрольной – 17 человек. Таким образом,
состав экспериментальной группы – 35 человек, а состав контрольной – 33 человека.
Многие исследователи сходятся во мнении, что компетенция подразумевает совокупность трех основных компонентов: когнитивный, функциональный, личностный. В нашем исследовании мы разделяем их точку зрения. В качестве критериев оценки компонентов компетенции выделим следующие: когнитивный (знания по основным теоретическим вопросам); функциональный
(умения действовать по образцу, умения действовать в нестандартных ситуациях); личностный (мотивация, личностные ориентации).
Итоговая оценка уровня сформированности каждой компетенции (СК-1,
СК-2, СК-3, СК-4,ОК-8, ПК-2) отдельного студента рассчитывалась с учетом
оценок выделенных компонентов (мотивов, ценностей, математических знаний,
умений, навыков). В соответствии с критериями оценки в нашем исследовании
мы определили уровни сформированности компонентов компетенций следующим образом: низкий (2 по пятибалльной системе), базовый (3 по пятибалльной
системе), повышенный (4 по пятибалльной системе), высокий (5 по пятибалльной системе).
К каждому компоненту компетенции (СК-1, СК-2, СК-3, СК-4,ОК-8, ПК2) мы применяли определенные контрольно-измерительные материалы. Для
оценки когнитивного компонента использовали устный и письменный опросы,
тесты, экзамен. Для оценки функционального компонента использовали контрольные работы (по разделам и по всему курсу), тесты, творческую работу, экзамен. Для оценки личностного компонента использовали полярные анкеты,
тесты, опросники Рензулли, Джонсона (адаптированные Е. Туник).
19
Также в нашем исследовании использовался метод экспертных оценок,
основанный на определении весовых коэффициентов значимости каждого компонента компетенций. Каждому компоненту компетенции был присвоен весовой коэффициент, как среднее арифметическое оценок весомости, данных отдельными экспертами. В качестве экспертов выступали методисты и преподаватели педагогических вузов. Были определены следующие значения весовых
коэффициентов: α = 0,19 – коэффициент значимости когнитивного компонента,
β = 0,47 – коэффициент значимости функционального компонента, γ = 0,34 –
коэффициент значимости личностного компонента.
Итоговая оценка уровня сформированности любой из компетенции рассчитывалась по формуле K = α ⋅ K1 + β ⋅ K 2 + γ ⋅ K 3 , где K1 , K 2 , K 3 – оценки
уровней соответствующих компонентов компетенции (когнитивного, функционального, личностного), выраженные в пятибалльной системе. Итоговая оценка
уровня сформированности компетенции определяется одним из следующих заключений: студент имеет низкий уровень сформированности компетенции, если итоговая оценка меньше трех, то есть K < 3 ; студент имеет базовый уровень
сформированности компетенции, если итоговая оценка находится в интервале
3 ≤ K < 3,6 ; студент имеет повышенный уровень сформированности компетенции, если итоговая оценка находится в интервале 3,6 ≤ K < 4,6 ; студент имеет
высокий уровень сформированности компетенции, если итоговая оценка находится в интервале 4,6 ≤ K < 5 .
Учитывая тот факт, что объем каждой из выборок невелик (меньше 60),
мы сопоставляли данные об итоговой оценки уровня сформированности компетенции для экспериментальной и контрольной групп с помощью U-критерия
Вилкоксона (Манна–Уитни).
Для каждой компетенции были получены эмпирические значения
(Uэмп=329 для СК-1, Uэмп = 347 для СК-2, Uэмп = 236 для СК-3, Uэмп = 262,5 для
СК-4). Полученные эмпирические значения находились в зоне значимости, поэтому уровень сформированности для компетенций СК-1, СК-2, СК-3, СК-4 в
контрольной группе ниже уровня сформированности этих компетенций в экспериментальной группе.
Уровни сформированности каждой компетенции для экспериментальной
и контрольной групп представлены в виде диаграммы (рис. 4). Компетенции
ОК-8 и ПК-2 рассматривались только для экспериментальной группы.
Анализируя диаграмму, можно сделать вывод о том, что в экспериментальной группе все компетенции сформированы на более высоком уровне, особенно СК-3 и СК-4, которые отражают прикладную направленность курса дифференциальных уравнений и умение студентов по моделированию процессов и
явлений. Компьютерные программы Dfield, Pplane, Odesolve применялись для
решения прикладных задач. В то же время благодаря использованию компьютерных программ стало возможно сформировать компетенции ОК-8, ПК-2 на
достаточно высоком уровне.
Вывод: разработанная нами методика обучения решению дифференциальных уравнений с использованием информационных технологий (компьютерные программы Dfield, Pplane, Odesolve) для будущих учителей математи20
СК-4
ОК-8
низкий
базовый
повышенный
высокий
Экспериментальная группа
ПК-2
низкий
базовый
повышенный
высокий
СК-3
низкий
базовый
повышенный
высокий
СК-2
низкий
базовый
повышенный
высокий
низкий
базовый
повышенный
высокий
СК-1
70
60
50
40
30
20
10
0
низкий
базовый
повышенный
высокий
ки способствует повышению качества математической подготовки будущих
учителей математики, усиливает прикладную направленность данного курса,
развивает умения будущих учителей математики в области применения средств
новых информационных технологий.
Контрольная группа
Рис. 4. Уровни сформированности компетенций
СК-1, СК-2, СК-3, СК-4,ОК-8, ПК-2
В заключении диссертации сформулированы основные результаты работы, сделаны выводы о решении поставленных задач, а именно:
• на основе анализа научной, методической литературы и диссертационных исследований в области применения средств новых информационных технологий выявлены возможности применения компьютерных программ в качестве средств новых информационных технологий обучения решению дифференциальных уравнений;
• анализ возможностей различных систем компьютерной математики и
различных математических графических редакторов показал, что наиболее
подходящими в курсе дифференциальных уравнений являются программы
Dfield, Pplane и Odesolve, так как данные средства позволят реализовать все
приближенные методы решения дифференциальных уравнений. При этом для
реализации данных методов от пользователя не требуется знания программирования, что весьма важно;
• использование компьютерных программ для получения аналитического
решения дифференциального уравнения мы считаем нецелесообразным, так как
студенты получат готовый ответ в символьном виде и не смогут изучить алгоритм решения, а изучение типов дифференциальных уравнений и аналитических методов их решения является основой дисциплины. На наш взгляд, компьютерные программы необходимо использовать для решения задач приближенными методами. В качестве компьютерно-ориентированных задач следует
рассматривать задачи, при решении которых требуется применение приближенных методов решения, в том числе и прикладные задачи (решаемые графическими и численными методами);
• разработана модель и соответствующая ей методика обучения решению
дифференциальных уравнений с применением компьютерных программ буду21
щих учителей математики, основанная на использовании компьютерных программ Dfield, Pplane и Odesolve как средств новых информационных технологий;
• разработано учебное пособие «Задачник по дифференциальным уравнениям (с использованием СКМ)». В данном задачнике приводится содержание
18 практических занятий на основе теоретических положений, предложенных в
данной диссертации. Каждое занятие в полной мере отражает тот объем знаний,
который должен получить будущий учитель математики;
• экспериментальная проверка показала эффективность применения данной методики. Подтвердилась гипотеза исследования: обучение решению дифференциальных уравнений с использованием информационных технологий, в
частности компьютерных программ, будет способствовать повышению качества математической подготовки будущих учителей математики и позволит усилить прикладную направленность данной дисциплины.
Основные результаты и выводы исследования отражены в следующих
публикациях.
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК Миноборнауки России
1. Безручко, А.С. Изучение устойчивости решений дифференциальных
уравнений как средство повышения математической культуры студентов
[Текст] / А.С. Безручко //Ярославский педагогический вестник. Серия
«Физико-математические и естественные науки» − Ярославль: Изд-во
ЯрПГУ. − 2010. − № 3. − С.32−36. − 0,31 п.л.
2. Безручко, А.С. История возникновения и развития метода изоклин
и метода Эйлера для решения дифференциальных уравнений [Текст] / А.С.
Безручко //Преподаватель ХХI век. − 2011. − № 2 (ч.2). − С. 199−205. − 0,38
п.л.
3. Безручко, А.С. Психолого-педагогические аспекты использования
информационных технологий при организации практических занятий по
дифференциальным уравнениям в педагогическом вузе [Текст] / А.С. Безручко //Наука и школа. − 2011. − № 5. − С. 6-9. − 0,25 п.л.
4. Безручко, А.С. Роль систем компьютерной математики на практических занятиях по дифференциальным уравнениям [Текст] /Р.М. Асланов, А.С. Безручко//Наука и школа. − 2012. − № 3.− С. 89–93. − 0,31 п.л.
(личный вклад 50%).
5. Безручко, А.С. Формирование компетенций, предусмотренных профессиональным циклом, при помощи задач прикладного характера
[Текст] / Р.М. Асланов, А.С. Безручко //Преподаватель ХХI век. − 2013. − №
2 (ч.1). − С. 16−20. − 0,31 п.л. (личный вклад 50%).
6. Безручко, А.С. Компьютерная поддержка решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений и ее использование в учебном процессе педвуза [Текст] / Р.М. Асланов, А.С. Безручко, В.Л.Матросов //Наука
и школа. − 2013. − № 3. − С. 57–60. − 0,25 п.л. (личный вклад 40%).
7. Безручко, А.С. Некоторые возможности изучения курса дифференциальных уравнений, реализуемые системами компьютерной математики
[Текст] / А.С.Безручко //Вестник Российского университета дружбы народов. Серия Информатизация образования. − 2013. − № 3. − С. 68−75. − 0,5
п.л.
8. Безручко, А.С. Компьютерно–ориентированные задачи в курсе
дифференциальных уравнений [Текст] /А.С.Безручко//Вестник Российско22
го университета дружбы народов. Серия Информатизация образования. −
2014. − № 2. − С. 98−104. − 0,44 п.л.
Публикации в рецензируемых сборниках
9. Безручко, А.С. Новый подход к проведению практических занятий по
дифференциальным уравнениям (по теме: «Однородные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами») [Текст] /
Р.М.Асланов, А.С.Безручко //Бюллетень лаборатории математического, естественнонаучного образования и информатизации. − 2013. − Том V. − С. 116-119. −
0,25п.л. (личный вклад 50%).
Учебные пособия
10. Безручко, А.С. Задачник по дифференциальным уравнениям (с использованием систем компьютерной математики): Учебное пособие [Текст]
/Р.М.Асланов, А.С.Безручко, В.Л. Матросов. − М.: Изд-во Прометей. 2013. −
243с. − 15,2 п.л. (личный вклад 40%).
Статьи, материалы конференций и тезисы докладов
11. Безручко, А.С. О методических возможностях обучение графическому
методу решения дифференциальных уравнений [Текст] / А.С.Безручко
//Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и ВУЗе.
Выпуск 13. − М.:МПГУ. − 2008. − С. 114−117. − 0,25 п.л.
12. Безручко, А.С. О возможностях развития информационной культуры
при изучении приближенных методов решения дифференциальных уравнений
[Текст] /А.С.Безручко//Проблемы многоуровневой подготовки учителей математики для современной школы: материалы XXVII Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов, посвященного
70-летию со дня рождения доктора педагогических наук профессора Игоря
Дмитриевича Пехлецкого (24-26 сентября 2008 г., г. Пермь); Перм. гос. пед. ун-т.
− Пермь. − 2008. − С.216−218. − 0,19 п.л.
13. Безручко, А.С. Графическая интерпретация приближенных методов решения дифференциальных уравнений с помощью программы Dfield [Текст] /
А.С.Безручко //Актуальные вопросы преподавания математики в школе и педагогическом вузе: Сборник материалов Московской областной научнопрактической конференции /Отв. ред. М.П. Замаховский. – Коломна: Коломенский государственный педагогический институт, 2008. − С. 117-119. − 0,17 п.л.
14. Безручко, А.С. Графическое решение дифференциальных уравнений
средствами систем компьютерной математики [Текст] / А.С.Безручко //Новые
образовательные технологии в школе и вузе: математика, физика, информатика:
Сб. материалов междунар. науч.-практ. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения З.А. Биишевой, г. Стерлитамак, 14-15 октября 2008 г. /Отв. ред. С.С. Салаватова. −Стерлитамак: Серлитамак. гос. пед. акад. им. Зайнаб Биишевой, 2008. − С.
39−43. − 0,31 п.л.
15. Безручко, А.С. О графической иллюстрации применения теоремы существования единственности в курсе дифференциальных уравнений для будущих
учителей математики и информатики [Текст] / А.С.Безручко //Математическое
образование: Непрофильные специальности. Моделирование. Информационные
технологии: Сборник трудов IV Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура», 21-24 апреля 2009 г., Россия, г.Тольятти /Под
общ. ред. Р.А. Утеевой. В 3-х ч. Ч. 3. − Тольятти: ТГУ, 2009. − С. 138−141. − 0,25
п.л.
16. Безручко, А.С. Рассмотрение численного решения задачи Коши на занятиях по дифференциальным уравнениям в педвузе [Текст] / А.С.Безручко
//Проблемы преемственности в обучении математике на уровне общего и про23
фессионального образования: материалы XXVIII Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. − Екатеринбург:
ГОУ ВПО УрГПУ, ГОУ ВПО РГППУ, 2009. − С. 31−33. − 0,19 п.л.
17. Безручко, А.С.Анализ существования и единственности решения задачи
Коши, как средство повышения уровня математической культуры студентов
[Текст] / А.С.Безручко //Математика, информатика, физика и их преподавание. −
М.: МПГУ. − 2009. − С. 187−189. − 0,19 п.л.
18. Безручко, А.С.Роль и место задач на составление дифференциальных
уравнений в подготовке учителя математики [Текст] / А.С.Безручко
//Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика:
Материалы Международной научно-практической конференции, Архангельск, 15 февраля 2010, г., Архангельск, Помор. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова.−Архангельск: КИРА, 2010. − С. 444-447. − 0,25 п.л.
19. Безручко, А.С. Психолого-педагогическое значения изучения дифференциальных уравнений геометрическими методами [Текст] / А.С.Безручко
//Наука в вузах: математика, информатика, физика, образования. − М.: МПГУ,
2010. − С. 224−227. − 0,25 п.л.
20. Безручко, А.С. Изучение устойчивости решений дифференциальных
уравнений как средство повышения математической культуры студентов [Текст]
/ А.С.Безручко //Труды VIII Международных Колмогоровских чтений: Сборник
статей. − Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2010. − С. 251−258. − 0,5 п.л.
21. Безручко, А.С. О возможности изучения графических методов решения
дифференциальных уравнений для учителей математики педагогических вузов
[Текст] / А.С.Безручко // Всероссийский съезд учителей математики: Москва,
МГУ имени М.В. Ломоносова, 28-30 октября 2010 г.: Тезисы докладов. −
М.:МАКС Пресса, 2011. − С. 22−23. − 0,13п.л. http://math.teacher.msu.ru/
upload/thesis/final/5.pdf
22. Безручко, А.С. Об использовании информационных технологий в курсе
дифференциальных уравнений в педвузе [Текст] / А.С.Безручко //Математика,
информатика и методика их преподавания: Материалы Всероссийской конференции, посвященной 110-летию математического факультета МПГУ (Москва
14-16 марта 2011г.) /Отв. ред. В.Л. Матросов. − М.: МПГУ, 2011. − С. 115−117. −
0,19 п.л.
23. Безручко, А.С. О возможности применения программных средств для
решения
дифференциальных
уравнений
[Текст]
/
А.С.Безручко
//Межрегиональная научно-практическая конференция «Модернизация высшего
образования в Республике Коми: проблемы качества обучения»: Материалы
конференции (21-22 апреля 2011г.). − Ухта : УГТУ, 2011. – С. 136−140. − 0,31
п.л.
24. Безручко, А.С. О возможности развития графической культуры будущих
учителей математики в курсе дифференциальных уравнений [Текст] /
А.С.Безручко //Математическое образования: концепции, методики, технологии:
Сборник трудов V Международной научной конференции «Математика. Образования. Культура» (к 75-летию В.М. Монахова), 26-28 апреля 2011г., Россия,
г.Тольятти В 3 ч. Ч. 2 /Под общ. ред. Р.А. Утеевой. − Тольятти: ТГУ, 2011. − С.
222−225. − 0,25 п.л.
25. Безручко, А.С. Расширения прикладного характера курса дифференциальных уравнений с помощью использования пакетов символьной математики
[Текст] / А.С.Безручко //Современные проблемы прикладной математики, теории
управления и математического моделирования (ПМТУММ-2011): Материалы IV
Международной научной конференции, Воронеж, 12-17 сентября 2011г.
24
/Воронеж. гос. ун-т, Моск. гос. ун-т, С.-Петерб. гос. ун-т, Воронеж. гос. ун-т.
технологий, Воронеж. гос. аграр. ун-т, Елецк. гос. ун-т. - Воронеж: Издательскополиграфический центр Воронежского государственного университета, 2011. −
С. 29−31. − 0,19 п.л.
26. Безручко А.С.Возможность расширения роли практических работ в курсе дифференциальных уравнений [Текст] / А.С.Безручко //Инновационные технологии обучения математики в школе и вузе: Материалы ХХХ Всероссийского
семинара преподавателей математики, высших учебных заведений (29-30 сентября 2011г., г. Елабуга). − Елабуга, 2011. − С. 112−114. − 0,19 п.л.
27. Безручко, А.С. Использования информационных технологий на практических занятиях по дифференциальным уравнениям [Текст] / Р.М. Асланов,
А.С.Безручко //Информационные технологии в образовании: Материалы Международной научно-практической конференции (21 ноября 2011 г., г. Ульяновск). В 2 ч. Ч. 2 /Под. ред. Ю.И. Титаренко. – Ульяновск: УлГПУ, 2011. − С.
10−14. − 0,31п.л (личный вклад 50%).
28. Безручко, А.С. Задачи на моделирование при проведении практических
занятий по решению дифференциальных уравнений в системе компьютерной
математики [Текст] / А.С.Безручко //Информатизация как целевая ориентация и
стратегический ресурс образования: Сб. науч. трудов участников Междунар. науч.–прак. конф., 29 февраля-4марта 2012г. /НМС по мат. М-ва образования и
науки РФ, Ин-т информатизация образования РАО, Сев. (Аркт.) федер. ун-т. им.
М.В. Ломоносова, Ин-т мат. и информ. Болгар. Акад. Наук, Акад. социал. упр.
редкол.: Ипатова Ю.Л. и др. − Архангельск: КИРА, 2012. − С. 469−471.− 0,19 п.л.
29. Безручко, А.С. Формирование компетенций, предусмотренных профессиональным циклом, в курсе дифференциальных уравнений [Текст] /
А.С.Безручко //Проблемы преподавания математики в школе и вузе в условиях
реализации новых образовательных стандартов: Тезисы докладов участников
XXXI Всероссийский семинар преподавателей математики высших учебных заведений, посвященный 25-летию семинара (26 -29 сентября 2012 г., г. Тобольск).
− Тобольск: ТГСПА им. Д.И. Менделеева, 2012. − С. 93-94. − 0,125 п.л.
30. Безручко, А.С. Процесс моделирования в рамках прикладной направленности курса дифференциальных уравнений [Текст] / А.С.Безручко
//Математическое моделирование в экономике, управлении, образовании. Материалы Международной научно-практической конференции/ Под ред. Ю.А. Дробышева и И.В. Дробышевой. − Калуга: Изд-во «Эйдос», 2012. − С. 193−197. −
0,31 п.л.
31. Безручко, А.С. К вопросу о рассмотрении задач прикладного характера
на практических занятиях по дифференциальным уравнениям для будущих учителей информатики [Текст] / А.С.Безручко //Проблемы совершенствования математической подготовки в школе и вузе: Материалы Всероссийской конференции /Под ред. В.Л. Матросова, Л.И. Боженковой. − М:, ФГБОУ ВПО МПГУ, Калуга: «Эйдос», 2012. − С. 240−242. − 0,19 п.л.
32. Безручко, А.С. Структура и содержание нового задачника по дифференциальным уравнениям для студентов математических и информационных профилей по направлению «педагогическое образование» [Текст] / А.С.Безручко
//Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: Тезисы докладов Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения членакорреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л.Д. Кудрявцева. −
М.: РУДН, 2013. − С. 483−486. − 0,25 п.л.
25
33. Безручко, А.С. Один из подходов к решению дифференциальных уравнений численными методами с помощью математических программ [Текст] /
Р.М. Асланов, А.С.Безручко //Тезисы Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Гейдара Алиева. − Азербайджан, Баку, 2013. − С.
250−253. − 0,25 п.л. (личный вклад 50%).
34. Безручко, А.С. О новом задачнике по дифференциальным уравнениям
для педвузов [Текст] /Р.М.Асланов, А.С.Безручко //Современные подходы к
оценке и качеству математического образования школе и вузе: Материалы
XXXII Международного научно семинара преподавателей математики университетов и педагогических вузов. − Екатеринбург: ФГБОУ ВПО УрГПУ, ФГАОУ
ВПО РГППУ, ФГБОУ УрГЭУ, 2013. − С. 111−113. − 0,19 п.л. (личный вклад
50%).
35. Безручко, А.С. Некоторые аспекты подготовки учителя математики в
условиях информатизации образования [Текст] / А.С.Безручко //Математика и
математическое образование: Сборник трудов VI Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура» (Россия, г. Тольятти, 24-26 апреля 2013 года) /Под общей ред. Р.А. Утеевой. − Тольятти: Изд–во ТГУ, 2013. −
С. 294−295. − 0,125 п.л.
36. Безручко, А.С. Задачник по дифференциальным уравнениям (с использованием систем компьютерной математики) [Текст] / Р.М. Асланов,
А.С.Безручко //Математика в современном мире: Материалы Международной
конференции, посвященной 150- летию Д.А. Граве, г. Вологда, ВГПУ, 7-10 октября 2013г. /Под ред. В.А. Тестова, проф. А.А. Фомина, доц. Г.Н. Шиловой. −
Вологда, 2013. − С. 94−95. − 0,125 п.л. (личный вклад 50%).
37. Безручко, А.С. Методические особенности обучения решению дифференциальных уравнений будущих учителей математики, основанные на использовании информационных технологий [Текст] / А.С.Безручко // Математика в
современном мире: Материалы Международной конференции, посвященной
150- летию Д.А. Граве, г. Вологда, ВГПУ, 7-10 октября 2013г. /Под ред. В.А.
Тестова, проф. А.А. Фомина, доц. Г.Н. Шиловой. − Вологда, 2013. − С. 102−105.
− 0, 25 п.л.
26