МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРАНТИРОВАННОГО

Известия Тульского государственного университета
Естественные науки. 2013. Вып. 1. С. 67–74
Механика
УДК 539.375.5: 69.058.8
Математическое моделирование
гарантированного разрушения пластин
взрывом неконтактных зарядов
конденсированных взрывчатых веществ
Г. Т. Володин, Чан Тхань Тунг
Аннотация. В рамках классических допущений теории изгиба
тонких плит, в предположении ближней зоны действия взрыва, с учетом гипотезы упругого режима деформирования пластины вплоть
до её разрушения решена задача об определении минимальной массы
взрывчатого вещества сферического заряда, взрыв которого приводит к гарантированному разрушению пластины. Задача решена в
вариационной постановке с использованием энергетического метода
Т.М. Саламахина, согласно которому кинетическая энергия, полученная пластиной от действия взрыва, полностью расходуется на
работу её упругого деформирования, вплоть до разрушения.
Ключевые слова: взрыв, гарантированное разрушение, несущая
способность.
Физическая модель (основные допущения)
1. Рассматривается взрыв сферического заряда конденсированного
взрывчатого вещества (ВВ) радиуса r0 с известными физическими
характеристиками.
2. Заряд ВВ расположен в ближней зоне действия взрыва, вследствие
чего давлением окружающей среды можно пренебречь по сравнению с давлением в ударной волне и продуктах взрыва.
3. Взрыв происходит в воздухе на некотором фиксированном расстоянии
z∗ от срединной плоскости пластины.
4. Рассматривается пластина прямоугольной формы с размерами a × b
постоянной толщины h, малой по сравнению с величинами a, b. Принимаются
классические допущения теории изгиба пластин.
5. Рассматривается случай жесткой заделки пластины по всему контуру.
6. Прогибы пластины предполагаются малыми. В процессе деформирования материал пластины ведет себя упруго вплоть до разрушения.
7. Кинетическая энергия, полученная пластиной за время действия взрыва, полностью расходуется на работу её упругого деформирования вплоть
68
Г. Т. Володин, Чан Тхань Тунг
до разрушения. Разрушение пластины наступает в первом её амплитудном
колебании; дальнейшие колебания пластины завершают процессе её разрушения.
Разрушением пластины принято считать потерю её несущей способности
вследствие возникновения в ней трещин, сколов, разделений на фрагменты.
Математическая модель
Используем прямоугольную декартову систему координат, оси x и y
поместим в срединной плоскости пластины параллельно ее сторонам соответственно a и b, начало координат — в центре симметрии пластины, ось
прогибов z направим вертикально вниз (рис.1).
Рис. 1. Схема действия взрывной нагрузки на пластину
Исследования академика Т.М. Саламахина [3,4] показывают, что:
1) время τ действия избыточного давления на преграду не превышает
2 × 10−4 с, поэтому такое кратковременное действие взрывной нагрузки не
может быть в полной мере охарактеризовано максимальным значением давления продуктов взрыва; требуется учитывать импульсный характер действующей нагрузки;
2) за время действия взрывной нагрузки перемещения деформируемой
преграды бесконечно малы, и её деформирование происходит уже после
окончания действия нагрузки, в период свободных колебаний.
Введем в рассмотрение интегральную характеристику нагрузки — удельный импульс:
∫τ
i = P (t)dt,
0
Математическое моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом
69
где P (t) — давление продуктов взрыва; t — время, отсчитываемое от момента столкновения первой частицы потока продуктов взрыва с преградой
(пластиной) в точке M (x, y) (рис.1). Тогда, согласно исследованиям [1,3,4],
A0 Cz∗2
i= [
]2 ,
z∗2 + (x − x∗ )2 + (y − y∗ )2
(1)
где (x∗ , y∗ , z∗ ) — координаты точки, в которой расположен заряд ВВ массы C
ВВ над пластиной. При этом указанные координаты считаются заданными, а
масса C заряда определяется в результате решения рассматриваемой задачи.
Параметр A0 характеризует данное ВВ, например, для тротила A0 = 400 м/c
[1,4].
Кинетическая энергия, полученная пластиной за время τ действия на нее
взрывной нагрузки, вычисляется в виде [1]
A20 C 2 z∗4
I,
2ρh
где ρ — плотность материала пластины,
Э=
∫a ∫b
I=
−a −b
(2)
dxdy
[z∗2
+ (x − x∗ )2 + (y − y∗ )2 ]4
(3)
.
Найдем теперь потенциальную энергию, полученную пластиной в результате её упругого деформирования взрывной нагрузкой.
Упругий потенциал Π пластины определяется формой её упругой срединной поверхности и, следовательно, является функционалом [5,6]:
D
Π=
2
∫a ∫b [(
−a −b
∂2w
∂x2
)2
(
+
∂2w
∂y 2
)2
(
+ 2µ
∂2w
∂x2
)(
∂2w
∂y 2
)
(
+ 2 (1 − µ)
∂2w
∂x∂y
)2 ]
dxdy,
(4)
Eh3
12(1−µ2 )
где D =
— цилиндрическая жесткость пластины; h — ее толщина;
E — модуль упругости материала пластины; µ — коэффициент Пуассона;
w = w(x, y) — прогиб в точке M (x, y) срединной поверхности пластины.
В выражение (4) для упругого потенциала Π не вошла работа поперечных
сил
∂ 2
∂
N1 = −D
∇ w, N2 = −D ∇2 w,
(5)
∂x
∂y
2
2
где ∇2 w = ∂∂xw2 + ∂∂yw2 , так как соответствующие им сдвиги γxz и γyz , согласно
принятой гипотезе прямолинейных элементов, равны нулю [5].
Приравняв кинетическую энергию (2) работе деформирования (4), согласно принятому допущению, получим:
A20 C 2 z∗4
I = Π.
2ρh
(6)
70
Г. Т. Володин, Чан Тхань Тунг
Из соотношений (4), (6) видно, что масса заряда фиксированного ВВ,
необходимая для гарантированного разрушения пластины, определяется
формой её упругой поверхности w = w(x, y), полученной при действии на нее
взрывной нагрузки, а также расположением заряда относительно пластины,
физическими и геометрическими характеристиками пластины.
Решение задачи. Вариационный метод
Используем прямой вариационный метод Ритца. Согласно методу аппроксимации Бубнова-Галеркина, систему координатных функций выберем
так, чтобы выполнялись граничные условия закрепления пластины. В рассматриваемом случае жесткой заделки пластины по всему контуру можно
предложить систему координатных функций вида:
[
][
]
iπx
jπy
i+1
j+1
wij (x, y) = 1 + (−1) cos
1 + (−1)
cos
.
(7)
a
b
Форму упругой поверхности аппроксимируем функцией
wn (x, y) =
n
∑
w0
.
cij wij (x, y).
n
∑
cij i,j=1
(8)
i,j=1
Возьмем n = 2 и обозначим:
[ (
)
(
(
w0
πx ) (
πy )
πx )
2πy
w2 (x, y) =
c11 1 + cos
+
1 + cos
+ c12 1 + cos
1 − cos
S
a
b
a
b
(
)
)(
)]
(
2πx (
πy )
2πy
2πx
+c21 1 − cos
1 + cos
1 − cos
, (9)
+ c22 1 − cos
a
b
a
b
где S = c11 + c12 + c21 + c22 ; cij — неизвестные вариационные коэффициенты;
w0 — параметр, определяющий зону разрушения пластины.
Система (7) координатных функций удовлетворяет граничным условиям
жесткой заделки пластины по всему контуру опирания:
∂wij ∂wij wij |x=±a = wij |y=±b =
=
= 0.
(10)
∂x x=±a
∂y y=±b
Подставив выражение (9) для предполагаемой функции прогибов в функционал (4), получим функцию Π2 (c11 , c12 , c21 , c22 ) в виде:
Dw02 π 4 [
α1 c211 + α2 c212 + α3 c221 + α4 c222 +
2S 2
+α5 c11 c12 + α6 c21 c22 + α7 c11 c21 + α8 c12 c22 ] ,
Π2 =
где
3b
3a
2
+ 3 +
,
a3
b
ab
3a
48b
8
α3 = 3 + 3 +
,
b
a
ab
α1 =
3b
48a
8
+ 3 +
,
a3
b
ab
48b
48a
32
α4 = 3 + 3 +
,
a
b
ab
α2 =
(11)
Математическое моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом
α5 =
4b
,
a3
α6 =
64b
,
a3
α7 =
4a
,
b3
α8 =
71
64a
.
b3
Согласно принципу Остроградского-Гамильтона, наиболее близкой к действительной будет та форма упругой поверхности, для которой упругая энергия деформирования имеет минимальное значение, что приводит к системе
уравнений:
∂Π2
= 0, i, j = 1, 2.
(12)
∂cij
Система уравнений (12) может быть преобразована к эквивалентной ей
системе уравнений:


(2α2 − α5 )c12 − α7 c21 + α8 c22 = (2α1 − α5 )c11 ,
(13)
α5 c12 + (α7 − 2α3 )c21 − α6 c22 = (α7 − 2α1 )c11 ,

(α − α )c + (α − 2α )c + 2α c = 2α c .
8
5 12
6
7 21
4 22
1 11
Вводя обозначения
c11
c11 =
,
S
c12 =
c12
,
S
c21 =
c21
,
S
c22 =
c22
,
S
c21 =
∆2
,
∆S
c22 =
∆3
,
∆S
(14)
получим решение системы (13) в виде:
c11 =
∆
,
∆S
c12 =
где ∆S = ∆ + ∆1 + ∆2 + ∆3 ,
− α7
α8
2α2 − α5
α7 − 2α3 − α6
∆ = α5
α −α
α − 2α
2α
8
5
∆1
,
∆S
;
2α1 − α5
∆1 = α7 − 2α1
2α
1
− α7
α7 − 2α3
α6 − 2α7
6
7
4
2α1 − α5
α8 2α2 − α5
α7 − 2α1
− α6 ;
∆2 = α5
α −α
2α1
2α4 8
5
− α7
2α1 − α5 2α2 − α5
α7 − 2α3 α7 − 2α1 .
∆3 = α5
α −α
α6 − 2α7
2α1
8
5
α8
− α6
2α4
;
Таким образом, получена форма упругой поверхности, наиболее близкая
к действительной в виде:
[ (
(
)
(
πx ) (
πy )
πx )
2πy
w2 (x, y) = w0 c11 1 + cos
1 + cos
+ c12 1 + cos
1 − cos
+
a
b
a
b
(
)
(
)(
)]
2πx (
πy )
2πx
2πy
+c21 1 − cos
1 + cos
+ c22 1 − cos
1 − cos
.
a
b
a
b
(15)
72
Г. Т. Володин, Чан Тхань Тунг
Чтобы найти зону разрушения пластины, а затем и массу заряда ВВ,
необходимую для этих целей, воспользуемся критерием разрушения, предложенным П.П. Баландиным [2].
Учитывая при этом динамичность рассматриваемого процесса, а также
вероятность возможных отклонений прочностных характеристик материала
пластины от нормативных, указанный критерий запишем в виде:
2 KB : (σx2 + σy2 − σx σy + 3τxy
) z=± h > σ∗2 ,
(16)
2
где
( 2
)
( 2
)
{
Ez
∂ w
∂2w
Ez
∂ w
∂2w
σx = − 1−µ
+
µ
+
µ
,
σ
=
−
,
y
2
2
2
2
2
2
∂x
∂y
1−µ
∂y
∂x
2
Ez ∂ w
τxy = − 1+µ
. ∂x∂y , σ∗ = δ∗ µ3 K0∗ Kf ;
(17)
δ∗ — предел прочности материала пластины при изгибе в статических испытаниях; µ3 — коэффициент динамичности; K0∗ — коэффициент однородности
на гарантированное разрушение; Kf — коэффициент формы [3].
Подставив соотношения (17) и соответствующие им производные в критерий разрушения (16), получим:
f (x, y) > 0,
где
f (x, y) =
(18)
2 )
(σx2 + σy2 − σx σy + 3τxy
z=± h
2
σ∗2
− 1.
(19)
Неравенство (18) определяет зону разрушения, размеры которой задает
параметр w0 .
Если задать размеры зоны разрушения, вводя значение параметра w0 , то,
используя соотношения (2)–(4), (6), можно определить минимальную величину (массу) C заряда ВВ, необходимую для гарантированного разрушения
пластины с наперед заданной величиной зоны разрушения:
√
2ρhΠ/I
C=
.
(20)
A0 z∗2
Выполнение соотношения (20) означает, что при фиксированном расположении заряда над пластиной в ближней зоне при величине заряда не меньшей C гарантированно при взрыве этого заряда, получим зону разрушения
пластины заданной величины, причем вид и расположение зоны разрушения
определяются неравенством (18).
Вычисления проведены для различных материалов, размеров пластин,
расположений заряда над пластиной в ближней зоне. В качестве примера
здесь приведены результаты вычислений для пластины квадратной формы,
изготовленной из серого чугуна СЧ 12-28. Расчеты выполнены для значений
параметров: µ = 0.25, h = 0.1 м, µ3 = 1.6, δ∗ = 2.8 × 107 Па, z∗ = 0.25 м, x∗ = 0,
y∗ = 0 (взрыв над центром симметрии пластины), K0∗ = 1.7, E = 1.2 × 1011
Математическое моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом
73
Па, ρ = 7.1 × 103 кг/м3 , a = 1 м, b = 1 м, A0 = 400 м/с (ВВ-тротил, плотность
ρ0 = 1620 кг/м3 )
Результаты расчетов представлены на рис.2.
Рис. 2. Область разрушений. Чугун СЧ 12-28, w0 = 0.005 (1), h = 0.05 м,
w0 = 0.003 (2)
1) z∗ = 0.25 м, C = 1.749 кг, r0 = 0.0686 м
2) z∗ = 0.25 м, C = 1.0495 кг, r0 = 0.0537 м
Кривые с указателем 1, соответствуют значению w0 = 0.005, а с указателем 2 — значению w0 = 0.003. При этом кривым 1 соответствует масса заряда
C = 1.749 кг, а кривым 2 — масса C = 1.0495 кг.
Расположение кривых 1 и 2 соответствует расположению точек, в которых наступает разрушение пластины с появлением трещин.
Список литературы
1. Володин Г.Т. Моделирование гарантированного разрушения пластин взрывом
неконтактных зарядов конденсированных взрывчатых веществ // Изв. ТулГУ.
Естественные науки. 2012. Вып.1. С.173–183.
2. Баландин П.П. К вопросу о гипотезах прочности // Вестник инженеров и
техников. 1937. №1. С.19–24.
3. Саламахин Т.М. Разрушение взрывом элементов конструкций. М.: ВИА, 1961.
275 с.
4. Саламахин Т.М. Физические основы механического действия взрыва и методы
определения взрывных нагрузок. М.: ВИА, 1974. 255 с.
5. Филоненно-Бородич М.М. Теория упругости. М.: ГИФМЛ, 1959. 364 с.
6. Володин Г.Т. Действие взрыва зарядов конденсированных ВВ в газовой и жидкой средах. Часть 2. Врзывостойкость и гарантированное разрушение элементов
конструкций // Тула: Левша, 2005. 160 с.
74
Г. Т. Володин, Чан Тхань Тунг
Володин Геннадий Тимофеевич (g.volodin@yandex.ru), д.т.н., профессор,
кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.
Чан Тхань Тунг (tungcvmeo@gmail.com), аспирант, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.
Mathematical modeling of the guaranteed destruction of
influence plates explosion of condensed explosives
G. T. Volodin, Tran Thanh Tung
Abstract. Under the assumptions of the classical theory of bending of
thin plates, assuming the near zone of the explosion, with the hypothesis of
elastic deformation of the plate until its destruction by solving the problem of
determining the minimum mass of a spherical explosive charge, the explosion of
which leads to the guaranteed destruction of the plate. The problem is solved in
the variational formulation using the energy method T.M. Salamahina whereby
kinetic energy obtained from the plate of the explosion is fully spent on the work
of its elastic deformation up to failure.
Keywords: explosion, guaranteed destruction, carrying capacity.
Volodin Gennady (g.volodin@yandex.ru), doctor of technical sciences,
professor, department of mathematical analysis, Tula State University, Tula.
Tran Thanh Tung (tungcvmeo@gmail.com), postgraduate
department of mathematical analysis, Tula State University.
student,
Поступила 27.12.2012