монотонные разностные схемы с весом для уравнения

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 2003 год, том 15, номер 1, стр. 3-13
−
МОНОТОННЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ С ВЕСОМ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ПЛОСКОМ СЛОЕ

В.Е.Трощиев 1, Ю.В.Трощиев 2
1
Государственный Научный Центр РФ “Троицкий Институт Инновационных и Термоядерных
Исследований”
2
Московский Государственный Университет, Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики
Для уравнения переноса в бесконечном плоском слое
LN ( x, µ) ≡ µ
∂N ( x, µ)
+ α( x) N ( x, µ) = S ( x, µ),
∂x
0 ≤ x ≤ H , −1 ≤ µ ≤ 1
с граничными условиями N ( H , µ < 0) = N H (µ), N (0, µ > 0) = N 0 (µ)
построены новые конечно-разностные схемы с весом. Схемы построены двумя способами: 1) как
эквивалентные классической трехточечной схеме для самосопряженного уравнения второго порядка
−µ 2
∂  1 ∂N ( x, µ) 
∂  S ( x, µ ) 
+ α ( x ) N ( x, µ ) = S ( x, µ ) − µ 
 , 0 ≤ x ≤ H , −1 ≤ µ ≤ 1
∂x  α( x) ∂x 
∂x  α( x) 
с граничными условиями
N ( H , µ < 0) = N H (µ < 0), LN (0, µ < 0) = S (0, µ < 0),
N (0, µ > 0) = N 0 (µ > 0), LN ( H , µ > 0) = S ( H , µ > 0) ;
2) как эквивалентные схемам для уравнения переноса первого порядка на многоточечных шаблонах.
Построенные схемы положительны, монотонны, имеют второй порядок точности и высокоэффективны в численных расчетах задач переноса. Эти теоретические и практические свойства схем
обусловлены особой зависимостью весовых коэффициентов от шага сетки.
MONOTONIC DIFFERENCE SCHEMES
FOR TRANSFER EQUATION IN PLANE LAYER
V.E.Troshchiev, Yu.V.Troshchiev
New finite-difference weighted schemes for the transport equation in plane-parallel geometry
∂N ( x, µ)
+ α ( x ) N ( x , µ ) = S ( x , µ ) , 0 ≤ x ≤ H , −1 ≤ µ ≤ 1
∂x
with the initial-value conditions N ( H , µ < 0) = N H (µ), N (0, µ > 0) = N 0 (µ)
LN ( x, µ) ≡ µ
are constructed and investigated. The schemes are constructed in two ways: 1) as equivalent one to the
classical three-point scheme for the self-adjoint transport equation of the second order
−µ 2
∂  1 ∂N ( x, µ) 
∂  S ( x, µ ) 
+ α ( x ) N ( x, µ ) = S ( x, µ ) − µ 
,


∂x  α( x) ∂x 
∂x  α( x) 
0 ≤ x ≤ H , −1 ≤ µ ≤ 1
with the boundary-value conditions
N ( H , µ < 0) = N H (µ < 0), LN (0, µ < 0) = S (0, µ < 0),
N (0, µ > 0) = N 0 (µ > 0), LN ( H , µ > 0) = S ( H , µ > 0),
2) as equivalent one to multi-point schemes for the first order transport equation. The constructed schemes
are positive, monotonous, of the second order of accuracy and high-effective for numerical solution of
4
В.Е.Трощиев, Ю.В.Трощиев
transport problems. These theoretical and practical properties caused by special dependence of weights on
the net interval.
1. Уравнения переноса и постановки задач
1. Рассмотрим кинетическое интегро-дифференциальное уравнение переноса первого порядка для плоско-параллельной геометрии:
LN ( x, µ) ≡ µ
∂N
+ α( x) N = S ( x, µ),
∂x
1
1
S ( x, µ) = β( x)n (0) ( x) + F ( x, µ) ,
2
2
n (0) ( x) =
+1
∫ N ( x, µ)d µ .
(1.1)
−1
В уравнении (1) N(x,µ) − искомая функция, а x и µ − независимые переменные:
0 ≤ x ≤ H,
− 1 ≤ µ ≤ 1.
(1.2)
Источник частиц F(x,µ) и коэффициенты α(x), β(x) суть заданные неотрицательные функции
своих аргументов, а интеграл столкновений n(0)(x) описывает изотропное рассеяние вторичных
частиц.
Граничные условия заданы в виде
N ( H , µ < 0) = N H (µ) ≥ 0,
(1.3)
N (0, µ > 0) = N 0 (µ) ≥ 0.
(1.4)
Задача (1.1)−(1.4) обычно решается итерациями по интегралу n(0)(x), что делает правую часть
S(x,µ) при решении уравнения (1.1) известной функцией. При этом предположении и будем
строить схемы для уравнения (1.1).
2. Наряду с уравнением переноса первого порядка (1.1) будем рассматривать также уравнение переноса второго порядка в самосопряженной форме [7]:
ℑN ( x, µ) = −µ 2
∂  1 ∂N ( x, µ) 
+ α ( x ) N ( x, µ ) =
∂x  α( x) ∂x 
∂  S ( x, µ ) 
= S ( x, µ ) − µ 
,
∂x  α( x) 
0 ≤ x ≤ H,
(1.5)
− 1 ≤ µ ≤ 1.
Краевые условия для уравнения (1.5) следуют из (1.1) − (1.4):
N ( H , µ) = N H (µ), LN (0, µ) = S (0, µ),
µ < 0,
N (0, µ) = N 0 (µ), LN ( H , µ) = S ( H , µ),
µ > 0.
(1.6)
На внутренних контактных границах, где терпят разрыв свойства среды α(x), β(x), F(x,µ) дополнительно ставятся условия, которые также следуют из (1.1) − (1.4):
N ( x − 0, µ) = N ( x + 0, µ),
∂N ( x + 0, µ)
1
1
 ∂N ( x − 0, µ)


.
−µ
+ S ( x − 0, µ)  =
−µ
+ S ( x + 0, µ) 


α( x − 0) 
∂x
∂x
 α ( x + 0) 

(1.7)
3. Уравнение 2-го порядка (1.5) отличается от самосопряженного уравнения 2-го порядка
в форме Кузнецова-Владимирова [1,2]. Отличие состоит в том, что в уравнениях [1,2] частицы
r
r
для направлений полета Ω и −Ω объединены. Вместо уравнения (1.5) получается уравнение,
которое при четной функции S(x,µ) имеет вид
Монотонные разностные схемы с весом для уравнения переноса в плоском слое
Mu ( x, µ) ≡ −µ 2
∂  1 ∂u 
+ α( x)u = 2 S ( x, µ),
∂x  α( x) ∂x 
u ( x, µ) = N ( x, µ) + N ( x, −µ),
5
(1.8)
0 ≤ µ ≤ +1, 0 ≤ x ≤ H .
Краевые условия следуют из (1.1)−(1.4):
∂u ( H , µ)
+ α( H )u ( H , µ) = 2α( H ) N H (µ),
∂x
∂u (0, µ)
µ
+ α(0)u (0, µ) = 2α (0) N 0 (µ).
∂x
µ
(1.9)
На внутренних контактных границах ставятся условия, аналогичные условиям (1.7).
4. Записанные выше задачи переноса в дифференциальной форме эквивалентны. Представляет теоретический и практический интерес выявление условий эквивалентности дискретных моделей для различных форм уравнений переноса и получение на этой основе новых эффективных аппроксимаций. В явном или неявном виде такой подход к построению разностных
схем использовался в [3−9] и др. − см. обзор [10]. В данной работе для уравнения переноса в
плоско-параллельной геометрии построен и исследован класс весовых схем бегущего счета −
положительных, монотонных, второго порядка точности и эффективных в практических расчетах. Эти свойства схем обусловлены особой зависимостью весовых коэффициентов от шага
сетки.
2. Построение монотонной схемы 2-го порядка точности из условия эквивалентности схем
для уравнений переноса 1-го и 2-го порядков
1. При построении схемы для упрощения обозначений и выкладок будем сначала рассматривать уравнение
d ϕ( x)
+ α( x)ϕ( x) = Q( x),
dx
0≤ x≤H
(2.1)
с граничным условием
ϕ(0) = ϕ0 .
(2.2)
Из уравнения (2.1) 1-го порядка и условия (2.2) следует уравнение 2-го порядка
−
d  1 d ϕ( x) 
d  Q( x) 
⋅

 + α( x)ϕ( x) = Q( x) − 
, 0≤ x≤ H
dx  α( x) dx 
dx  α( x) 
(2.3)
и краевые условия
ϕ(0) = ϕ0 ,
d ϕ( H )
+ α( H )ϕ( H ) = Q( H ).
dx
(2.4)
При достаточной гладкости коэффициента α(x) и источника Q(x) задачи (2.1), (2.2) и (2.3), (2.4)
эквивалентны.
2. Введем равномерную сетку по x
ˆ − 1, xωˆ = H , h = H / ω
ˆ }
{x0 = 0, xω+1 = xω + h, ω = 0,1,..., ω
(2.5)
и запишем для уравнения (2.3) при
α( x) = α = const,
Q( x) = Q = const
классическую трехточечную схему
(2.6)
6
В.Е.Трощиев, Ю.В.Трощиев
−
ϕω+1 − 2ϕω + ϕω−1
h
2
+ ϕω =
Q
,
α
h = αh ,
ˆ −1
ω = 1, ..., ω
(2.7)
с краевыми условиями
ϕωˆ − ϕω−
Q
ˆ 1
.
+ γϕωˆ + (1 − γ )ϕω−
ˆ 1 =
h
α
ϕ(0) = ϕ0 ,
(2.8)
Весовой коэффициент γ определим позже.
Естественно поставить вопрос, существует ли для классической трехточечной схемы
(2.7)−(2.8) эквивалентная двухточечная аппроксимация уравнения переноса 1-го порядка (2.1),
т.е. аппроксимация вида:
1
Q
(ϕω+1 − ϕω ) + γϕω+1 + (1 − γ )ϕω = ,
h
α
(2.9)
где γ есть тот же весовой коэффициент, что и в краевом условии (2.8).
3. Для получения ответа на поставленный вопрос запишем уравнение (2.9) в соседнем
интервале
1
Q
(ϕω − ϕω−1 ) + γϕω + (1 − γ )ϕω−1 =
h
α
(2.10)
и вычтем (2.9) из (2.10), поделив разность на h :
−
1
h
2
(ϕω+1 − 2ϕω + ϕω−1 ) + γ
ϕω − ϕω+1
ϕ − ϕω
+ (1 − γ ) ω−1
= 0.
h
h
(2.11)
Преобразуя (2.9) и (2.10) к виду
ϕω+1 − ϕω
ϕ
Q
,
=− ω +
1 + γh α(1 + γh)
h
ϕω − ϕω−1
ϕω
Q
=−
+
h
1 − (1 − γ )h α(1 − (1 − γ )h)
(2.12)
и подставляя (2.12) в (2.11), получаем разностное уравнение второго порядка
−
ϕω+1 − 2ϕω + ϕω−1
h
2
+
1
1
Q
ϕω =
⋅ .
(1 + γh)(1 − (1 − γ )h)
(1 + γh)(1 − (1 − γ )h) α
(2.13)
Сравнивая в уравнениях (2.13) и (2.7) коэффициенты при ϕω и Q, получаем для γ квадратное
уравнение
γ2 −
h−2
1
γ − = 0.
h
h
(2.14)
Первый корень уравнения (2.14)
γ1 =
−1 + h 2 + 1 + h 2 4
h
(2.15)
есть требуемый весовой коэффициент для граничного условия (2.8) в схеме (2.7) и для схемы
(2.9). Нетрудно проверить, что функция γ1(h) является монотонной на интервале 0 < h < +∞ и изменяется от γ1(0)=1/2 до γ1(+∞)=1.
Итак, для уравнения (2.1) построена двухточечная схема
Монотонные разностные схемы с весом для уравнения переноса в плоском слое
7
ϕω − ϕω−1
+ α ω−1 2  γ ω−1 2 ϕω + (1 − γ ω−1 2 )ϕω−1  = Qω−1 2 ,
hω−1 2
γ ω−1 2 =
2
2
−1 + α ω−1 2 ⋅ hω−1 2 2 + 1 + α ω−
1 2 ⋅ hω−1 2 4
α ω−1 2 ⋅ hω−1 2
,
ˆ.
ω = 1, 2,... , ω
(2.16)
4. Исходя из схемы (2.16), теперь можно записать для уравнения переноса (1.1) следующую схему:
µq
N ω, q − N ω−1, q
hω−1 2
+ α ω−1 2  γ ω−1 2, q ⋅ N ω−1, q + (1 − γ ω−1 2,q ) N ω,q  = S ω−1 2,q ,
−1 ≤ µ q < 0,
µq
N ω, q − N ω−1, q
hω−1 2
N ωˆ , q = N H (µ q );
(2.17)
+ α ω−1 2  γ ω−1 2, q ⋅ N ω,q + (1 − γ ω−1 2, q ) N ω−1,q  = S ω−1 2,q ,
0 ≤ µ q ≤ +1,
N 0, q = N 0 (µ q );
(2.18)


µq
αω−1 2 ⋅ hω−1 2
2
2
2
×
ˆ . (2.19)
γ ω−1 2,q =  −1 +
+ 1 + αω−
⋅
µ
4
; ω = 1, 2,... , ω
h
q
1 2 ω−1 2

 αω−1 2 ⋅ hω−1 2
2 µq


Схема выполняет точно закон сохранения вторичных частиц, если интеграл n(0)(x) в члене S(x,µ) рассчитывать согласованно с аппроксимацией члена поглощения частиц αN, т.е. по
формулам вида
(0)
nω−
12 =
+
∑ θq  γ ω−1 2,q N ω−1,q + (1 − γ ω−1 2,q N ω,q  +
µ q <0
∑ θq  γ ω−1 2,q N ω,q + (1 − γ ω−1 2,q N ω−1,q  ,
(2.20)
µ q >0
где коэффициенты θq определяются типом квадратурной формулы, выбранной для суммирования уравнений (2.17) по индексу q (численное интегрирование уравнения (1.1) по переменной
µ). Например, для формулы центральных прямоугольников θq=∆µ; для формулы Гаусса µq
должны быть корнями полинома Лежандра соответствующей степени, а θq − коэффициентами
Гаусса [11].
3. Теоретические свойства схемы (2.17)-(2.19) и численный эксперимент
Схема (2.17)-(2.19) обладает следующими свойствами.
1. Схема положительна при положительных источниках частиц S(x,µ), N0(µ), NH(µ), т.е.
сеточная функция Nω,q >0 для всех ω,q.
2. Схема монотонна при S = 0, т.е. сеточное решение удовлетворяет неравенствам
N ω−1,q < N ω,q ,
µ q < 0,
N ω, q < N ω−1, q ,
µ q > 0.
3. Схема имеет 2-й порядок аппроксимации и точности. Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что разность
δ = f ( xω− 1 ) − [ γ1 f ( xω ) + (1 − γ1 ) f ( xω−1 ) ] = O(h 2 ) ,
2
h = xω − xω−1
8
В.Е.Трощиев, Ю.В.Трощиев
для произвольной достаточно гладкой функции f(x).
Д о к а з а т е л ь с т в о: Разлагая функцию f(x) в ряд Тейлора
h
1 h2
1 h3
′ 1 2 ⋅ + f ω−
′′ 1 2 ⋅ ⋅ + f ω−
′′′ 1 2 ⋅ ⋅ + ... ,
f ( xω ) = f ( xω−1 2 ) + f ω−
2
2! 4
3! 8
h
1 h2
1 h3
′ 1 2 ⋅ + f ω−
′′ 1 2 ⋅ ⋅ − f ω−
′′′ 1 2 ⋅ ⋅ + ... ,
f ( xω−1 ) = f ( xω−1 2 ) − f ω−
2
2! 4
3! 8
получаем, что
h
h2
h2
h2
′ 1 2 (2 γ1 − 1) ⋅ − f ω−
′′ 1 2 ⋅ + (2γ1 − 1) ⋅ O(h 3 ) = − f ω−
′ 1 2 ⋅ − f ω−
′′ 1 2 ⋅ + O(h 4 ) .
δ = − f ω−
2
8
8
8
4. Построенная схема, являясь двухточечной для уравнения переноса 1-го порядка (1.1)(1.4), при α(x)=const, S(x,µ)=const, hω−1/2=const, эквивалентна классической трехточечной схеме
для уравнения 2-го порядка (1.5), (1.6) (схеме типа (2.5)−(2.8) для уравнения (2.3)−(2.4)).
5. При переменных α(x), S(x,µ), hω−1/2 разрывность коэффициента α(x) источника S(x,µ) в
узле xω и переменность шага hω−1/2 не снижают теоретической и практической точности двухточечной схемы в равномерной норме. В классической трехточечной схеме для уравнения переноса второго порядка (1.5) происходит снижение порядка аппроксимации на единицу, однако
сходимость имеет второй порядок O(h2), что можно показать, используя негативные нормы
[12].
6. Схема (2.17)−(2.20) эффективна при решении практических задач. Ниже для тестовой
задачи из статьи [5] приведен результат её решения.
Задача [5].
α ( x) = 50.0,
β( x) = 0.0,
F ( x) = 50.0.
Слой 2. 2.0 ≤ x ≤ 3.0,
α( x ) = 5.0,
β( x) = 0.0,
F ( x) = 0.0.
Слой 3. 3.0 ≤ x ≤ 5.0,
α( x) = 0.0,
β( x) = 0.0,
F ( x) = 0.0.
Слой 1. 0 ≤ x ≤ 2.0,
Слой 4. 5.0 ≤ x ≤ 6.0, α ( x) = 1.0,
β( x) = 0.9,
Слой 5. 6.0 ≤ x ≤ 8.0,
β( x) = 0.9,
α ( x) = 1.0,
F ( x) = 1.0.
F ( x) = 0.0.
В расчете по переменной µ взято восемь равноотстоящих узлов µq:
µ q = −1 + (q − 0.5)∆µ,
q = 1,...,8;
∆µ = 0.25.
По переменной x расчет выполнен на трех равномерных сетках: 24 интервала, 40 интервалов, 160 интервалов. На рис. 1 приведены результаты расчетов на этих сетках (решение на
160 интервалах на рисунке выделено жирной линией, а два другие решения легко отличить по
степени отличия от него). Решение на 160 интервалах можно считать точным, так как дальнейшее сгущение сетки не приводит к видимым изменениям. На рис. 2 для сравнения приведен результат решения на 40 интервалах по Sn-схеме (γω−0.5,q≡0.5).
4. Преобразование схемы (2.17)-(2.19) в схему на трехточечном шаблоне
1. Проведем сначала преобразование для схемы
ϕω+1 − ϕω
h
+ γϕω+1 + (1 − γ )ϕω = 0,
ˆ − 1,
ω = 1, 2,... , ω
(4.1)
9
Монотонные разностные схемы с весом для уравнения переноса в плоском слое
которая является аппроксимацией уравнения переноса (2.1) при α(x)=1 и Q(x)=0. В схеме (4.1)
коэффициент γ(h) определяется формулой (2.15).
Запишем схему на трехточечном шаблоне
ϕω+1 − ϕω
h
+ ϕω+1/ 2 = 0,
ϕω+1 − ϕω+1/ 2
+ θϕω+1 + (1 − θ)ϕω+1/ 2 = 0,
h/2
(4.2)
ˆ − 1.
ω = 1, 2,... , ω
В схеме (4.2) вес пока не определен. Потребуем, чтобы схемы (4.1) и (4.2) были эквивалентны,
т.е. чтобы полученное из (4.1) значение
ϕω+1 =
1 − (1 − γ )h
ϕω
1 + γh
и полученное из (4.2) значение
ϕω+1 =
1 − h / 2 + θh / 2
1 + h / 2 + θh / 2 + θh 2 / 2
ϕω
были тождественно равны. Решая уравнение
1 − h / 2 + θh / 2
2
1 + h / 2 + θh / 2 + θh / 2
=
1 − (1 − γ ) h
1 + γh
относительно θ и учитывая формулу (2.15) для γ, получаем
1 + h / 2 + 1 + h2 / 4
θ(h) = 1
≡ γ1 .
2
1 + 1 + h2 / 4
(4.3)
Весовая функция (4.3) монотонно возрастает от θ = 1/2 до θ=1 при изменении h от 0 до +∞.
2. Теперь, исходя из схемы (4.2), (4.3), запишем трехточечную схему для уравнения переноса (1.1) в плоском слое:
µq
µq
µq
N ω, q − N ω−1, q
hω−1 2
+ α ω−1 2 N ω−1/ 2, q = S ω−1 2,q ,
N ω−1,q − N ω−1/ 2, q
−1/ 2hω−1 2
N ω, q − N ω−1/ 2, q
−1/ 2hω−1 2
θω−1/ 2,q = 1
(4.4)
+ θω−1 2, q N ω−1, q + (1 − θω−1/ 2, q ) N ω−1/ 2, q = S ω−1, q ,
+ θω−1 2,q N ω, q + (1 − θω−1/ 2, q ) N ω−1/ 2, q = S ω, q ,
2
1 + h%ω−1/ 2,q / 2 + 1 + h%ω−
1/ 2, q / 4
2
−1 ≤ µ q ≤ +1;
2
1 + 1 + h%ω−
1/ 2, q
−1 < µ q < 0;
0 < µ q < +1;
α
, h%ω−1/ 2,q = hω−1/ 2 ω−1/ 2 .
µq
(4.5)
(4.6)
(4.7)
Схемы (2.17)−(2.19) и (4.4)−(4.7) эквивалентны, если правая часть S(x,µ)≡0. Если правая часть
отлична от нуля, то схемы отличаются трактовкой закона сохранения вторичных нейтронов.
Интеграл вторичных нейтронов в схеме (4.4)−(4.7) определяется квадратурной формулой
(0)
nω−
1/ 2 = ∑ N ω−1/ 2, q ∆µ q ,
(4.8)
10
В.Е.Трощиев, Ю.В.Трощиев
а в схеме (2.17)-(2.19) – формулой (2.20).
Отметим, что в двухточечной схеме (2.17)−(2.20) можно видоизменить формулы (2.20)
расчета правой части S(x,µ) таким образом, что схема станет полностью эквивалентной трехточечной схеме (4.4)−(4.8).
На рис.3 приведены результаты решения задачи [5] по схеме (4.4)−(4.8) на 24 интервалах. Для сравнения приведено также точное решение (жирная линия). Видно, что схема
(4.4)−(4.8) передает максимум решения более точно, чем схема (2.17)−(2.20) (см. рис.1).
Рис. 1.
Рис.2.
Рис.3.
5. Преобразование разностных схем для уравнения переноса первого порядка на многоточечных шаблонах в двухточечные схемы с весом
1. Можно предложить сколько угодно весов γ(h), обеспечивающих положительность и
монотонность двухточечных разностных схем для уравнения переноса в плоском слое.
Рассмотрим этот вопрос на примере схемы [9] на четырехточечном шаблоне для уравнения (2.1):
11
Монотонные разностные схемы с весом для уравнения переноса в плоском слое
ϕ p +1/ 2 − ϕ p
h/2
ϕ p +1 − ϕ p +1/ 2
h/2
ϕ p +3/ 4 − ϕ p +1/ 4
+ α p +1/ 2 ϕ p +1/ 4 = Q p +1/ 4 ,
h/2
+ α p +1/ 2 ϕ p +1/ 2 = Q p +1/ 2 ,
ϕ p +1 − ϕ p +3/ 4
+ α p +1/ 2 ϕ p +3/ 4 = Q p + 3/ 4 ,
h/4
+ α p +1/ 2 ϕ p +1 = Q p +1.
(5.1)
Исключая из системы (5.1) ϕ p+1/ 4 , ϕ p+1/ 2 , ϕ p+3/ 4 , мы получим соотношение
ϕ p +1 = A(h)ϕ p + B (h, Q ),
(
)
A(h) = 32 / 32 + 32h + 16h 2 + 4h 3 + h 4 ,
h = α p +1/ 2 h .
(5.2)
С другой стороны, запишем схему (5.1) в виде
ϕ p +1 − ϕ p
h
+ α p +1/ 2 ( γϕ p +1 + (1 − γ )ϕ p ) = C (h, Q).
(5.3)
Тогда из уравнения (5.3) следует, что
ϕ p +1 = ϕ p
1 − α p +1/ 2 (1 − γ )h
1 + α p +1/ 2 γh
+
C ( h, Q ) h
.
1 + α p +1/ 2 γh
(5.4)
Сравнивая (5.2) и (5.3), получаем уравнение для определения γ (h) :
1 − α p +1/ 2 (1 − γ )h
1 + α p +1/ 2 γh
= A(h).
(5.5)
Для схемы (5.1) получаем
3
1  
1
1
 3

γ ( h) =  1 + h + h 2 + h 3   2 + h + h 2 + h 3  .
16
16  
4
16 
 4
(5.6)
Легко показать, что при 0 < h < +∞ выполняется неравенство
1 / 2 < γ ( h) < 1
и γ (h) – монотонная функция.
2. Аналогичным образом для схемы из работы [6] на трехточечном шаблоне:
ϕ p +1 − ϕ p
h
+ ϕ p +1/ 2 = Q p +1/ 2 ,
ϕ p +1 − ϕ p +1/ 2
h/2
+ ϕ p +1 = Q p +1
(5.7)
можно получить весовой коэффициент
γ ( h) =
1+ h
.
2(1 + h / 2)
(5.8)
Схемы (5.1) и (5.7) обладают свойствами: 1) монотонны при Q(x)=0, 2) положительны,
если правая часть Q(x) на интервале xp < x < xp+1 есть положительная прямая линия1, 3) имеют
второй порядок точности.
Отметим, что схемы на многоточечных шаблонах для уравнения переноса 1-го порядка
обычно можно преобразовать в схемы для уравнения переноса 2-го порядка в самосопряженной
форме. Так четырехточечная схема (5.1) легко преобразуется в трехточечную схему для уравнения переноса 2-го порядка [7].
1
Более точно, например, для положительности схемы (5.7) должно выполняться неравенство
(2+h)Qp+1/2>Qp+1. Невыполнение этого неравенства указывает на необходимость уменьшения
шага h из-за быстрого роста функции Q(x) на интервале (xp,xp+1).
12
В.Е.Трощиев, Ю.В.Трощиев
Заключительные замечания
Отметим основные схемы и подходы к их построению, предложенные ранее для решения
уравнений переноса в характеристической форме.
1. В [13,14] методом искусственных ячеек в сочетании с дополнительными соотношениями, предложенными в работе [5], были построены для уравнения переноса (1.1) схемы, которые являются положительными и монотонными схемами 2-го порядка точности. Численные
расчеты подтвердили их высокую эффективность. Однако схемы [13,14] алгоритмически намного сложнее схемы (2.17)-(2.19).
2. К классу положительных и монотонных схем относятся методы сеточноаналитического типа, применявшиеся многими авторами, см. [10]. В этих методах вводится
сетка, а решение на интервале сетки определяется аналитически как точное решение характеристического уравнения. Наиболее ранним численным методом сеточно-аналитического типа является метод характеристик В.С. Владимирова [15], разработанный в 1952 году для решения
сферически-симметричных задач переноса нейтронов.
Развитием метода характеристик [15] является балансный метод характеристических
трубок [16], сформулированный в середине 60-х годов. В этом методе точно выполняются законы сохранения нейтронов при их свободном переносе и при взаимодействии со средой с появлением вторичных нейтронов. Теоретический анализ и практическое применение метода [16]
показывают, что свойства консервативности существенно увеличивают точность метода характеристик.
Построенные в данной статье схемы с весом можно эффективно использовать для получения сеточного решения вместо аналитического.
3. Для решения задач переноса теплового излучения в плоском слое известным подходом
является использование уравнения переноса второго порядка в самосопряженной форме Кузнецова-Владимирова [1,2] с последующим применением монотонной трехточечной схемы и метода прогонки [17,18]. Для решения этого класса задач применение монотонных весовых схем
второго порядка точности представляет практический интерес, особенно в многослойных задачах с контактными границами.
4. Разностная аппроксимация повышенной точности для решения кинетического уравнения в плоско-параллельной геометрии на крупных сетках рассмотрена в книге [19]. При построении схемы используются представления сеточного решения внутри интервала сетки в виде точного решения P1 – или P2 – уравнений метода сферических гармоник, а экспоненты аппроксимируются рациональными дробями. В настоящее время при практическом решении задач на современных компьютерах следует рассматривать вопрос, как эффективнее решать задачи: по схемам высокого порядка точности на крупных интервалах или по схемам второго порядка точности с большим числом узлов сетки.
Отметим, что в схемах данной статьи на многоточечных шаблонах после их преобразования в двухточечные схемы экспоненты аппроксимированы рациональными дробями, монотонно убывающими с увеличением шага сетки (см. (5.6), (5.8)). В схеме (2.17)−(2.19) экспонента аппроксимирована также монотонной, но иррациональной функцией (см. (2.19)).
5. Широкое применение для решения задач переноса получили нелинейные методы (см.
[20,3,4,10,21] и др.), начало развитию которых было положено разработкой В.Я. Гольдиным
квазидиффузионного метода [20]. В некоторых нелинейных методах требуется численно решать уравнение переноса вдоль отдельных характеристик как, например, в схемах из [4]. В таких методах схемы с весом могут иметь эффективное практическое применение.
В целом, построенные в статье положительные монотонные схемы с весом, зависящим
от шага сетки, имеют практическое значение для эффективной реализации методов характеристик в пространственно-одномерных задачах с плоской, сферической и цилиндрической симметриями. Кроме того, построенные схемы представляют интерес для обобщений различных
вариантов метода характеристик на многомерные уравнения переноса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Монотонные разностные схемы с весом для уравнения переноса в плоском слое
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
13
Е. С. Кузнецов. Об установлении баланса лучистой энергии в поглощающей и рассеивающей атмосфере. Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 1940.
В. С. Владимиров. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Тр. Математического института АН СССР. −М.: Изд. АН СССР, 1961, 158 с.
В.Е. Трощиев. Решение кинетического уравнения и уравнения квазидиффузии по согласованным разностным схемам. Сб. “Численные методы решения задач математической физики”, − М.: Наука, 1966,
с. 177−185. (Дополнение к ЖВМ и МФ, т.6, № 4).
В.Я. Гольдин, Н.Н. Калиткин, Т.В. Шишова. Нелинейные разностные схемы для гиперболических
уравнений. ЖВМ и МФ, 1965, т.5, № 5, с.938−944.
W. H. Reed. New Difference Schemes for the Neutron Transport Equation. Nucl. Sci. Eng., 46, 1971,
p.309−315.
Е.В. Грошев, А.М. Пастушенко, В.Ф. Юдинцев. Об одной трехточечной разностной схеме с весовым
множителем для уравнения переноса. ВАНТ, Серия: Методики и программы численного решения задач математической физики, 1985, вып. 2, с.87−96.
В.Е. Трощиев. Метод построения блочно-треугольных разностных схем для уравнения переноса в самосопряженной форме. Математическое моделирование, 1998, т.10, № 1, с.117−125.
Troshchiev V.E., Troshchiev Yu.V. On Equivalent Approximations for the First and the Second-Order Transport Equations. – Proceedings of the Second International Conference “Finite-Difference Methods: Theory
and Application”, − Minsk: 1998, v.3, p.117−122.
В.Е. Трощиев, А.В. Нифанова. Построение и исследование разностных схем для уравнения переноса
1-го и 2-го порядка в плоском слое. Препринт ТРИНИТИ N0052-А, ЦНИИАТОМИНФОРМ, 1999, 6с.
Л. П. Басс, А. М. Волощенко, Т. А. Гермогенова. Методы дискретных ординат в задачах о переносе
излучения. ИПМ АН СССР, − М.: 1986.
А. Н. Крылов. Лекции о приближенных вычислениях. − М.: Госиздат, 1954.
А. А. Самарский. Теория разностных схем. − М.: Наука, 1983.
V. E. Troshchiev. Difference schemes with triangular matrices on oblique-angled grids for two-dimensional
transport equations. Methods of monotonization of schemes. Intern. Sympozium " Numerical Transport Theory", − Moscow: 1992, p.248-251.
С. Р. Меркулова, В. Е. Трощиев. Монотонные разностные схемы для уравнения переноса и метод их
построения. Препринт ИАЭ им. И. В. Курчатова, №5458/16, − М.: 1992.
В.С. Владимиров. Численное решение кинетического уравнения для сферы. – Вычислительная математика, − М.: Изд. АН СССР, 1958, №3, с.3−33.
А. В. Никифорова, В. А. Тарасов, В. Е. Трощиев. О решении кинетических уравнений дивергентным
методом характеристик. ЖВМ и МФ, 1972, т.12, № 4, с.10411048.
Yelesin V.A., Troshchiyev V.E., Yudintsev V.F. The numerical solution of spectral problems of thermal radiation transport by iterative correction methods. - Numerical methods in fluid dynamics. Moscow, Mir Publishers, 1984, p. 141-158. (На русском языке: В.А. Елесин, В.Е. Трощиев, В.Ф. Юдинцев. Численное
решение спектральных задач переноса теплового излучения итерационными методами поправок. Сб.
научных трудов к 90-летию со дня рождения академика Ю.Б. Харитона: Вопросы математического
моделирования, вычислительной математики и информатики. Москва – Арзамас-16, 1994, с.206-228.)
В.А. Елесин, В.Е. Трощиев, В.Ф. Юдинцев. Развитие численных методов и программ расчета одномерных спектральных задач переноса теплового излучения во ВНИИЭФ. ВАНТ, серия: Методики и программы численного решения задач математической физики, 2002, вып. 1.
Г.И. Марчук, В.И. Лебедев. Численные методы в теории переноса нейтронов. − М.: Атомиздат, 1981.
Гольдин В.Я. Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения. ЖВМ и МФ, 1964, т.4,
№ 6, с.1078-1084.
Д.Ю. Анистратов, В.Я. Гольдин. Сравнение нелинейных потоковых методов численного решения
уравнения переноса. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, № 130, 1989.
Поступила в редакцию 07.05.2002