К решению уравнения переноса в однородном шаре

Т РЕТЬЕ РОССИЙСКО - АРМЯНСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ , КОМПЛЕКСНОМУ АНАЛИЗУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ
К решению уравнения переноса в однородном
шаре
В.В. Тер-Аветисян
Институт математики НАН Армении
E-mail: van88teravetisyan@gmail.com
Рассмотрим следующее интегральное уравнение свертки
∫
𝑒−𝜏
𝜆 𝑟
𝜏 𝑆(𝜏 ) =
+
(𝐸1 (∣𝜏 − 𝑡∣) − 𝐸1 (𝜏 + 𝑡))𝑡𝑆(𝑡)𝑑𝑡,
𝜏
2 0
(1)
где 𝑟 конечное фиксированное число, а 𝐸1 интегрально–показательная
∫ ∞ −𝑥𝑠
функция: 𝐸1 (𝑥) = 0 𝑒 𝑠 𝑑𝑠. Этим уравнением описывается перенос излучения в однородном шаре оптического радиуса 𝑟, в центре каторого распаложен точечный источник света(см. [1]). Здесь 𝑆(𝑡) - искомая функция
источника на оптическом расстоянии 𝑡 от центра шара.
Уравнение (1) является интегральным уровнением с суммарно - разностным ядром. Специфика этого уравнения заключается в том, что сво−𝑡
бодный член 𝑔(𝑡) = 𝑒 𝑡 не интегруемый на рассматриваемом промежутке [0, 𝑟]. Поэтому существующие методы теории уравнений свертки непосредственно неприменимы для уравнения с таким свободным членом.
Перепишем (1) в операторной форме:
𝜏 𝑆 = 𝑔 + (𝐾1 − 𝐾2 )𝜏 𝑆.
(2)
Отмеченная выше специфика уравнения (1) проявляется в том, что операторы 𝐾1 и 𝐾2 в отдельности не действуют на свабодный член (соответствующие интегралы расходятся). Введем новую искомую функцию 𝑓
посредством
𝑒−𝜏
𝑓 (𝜏 )
𝑆(𝜏 ) = 2 +
(3)
𝜏
𝜏
относительно которой получим следующее уравнение
∫
𝜆 𝑟
(𝐸1 (∣𝜏 − 𝑡∣) − 𝐸1 (𝜏 + 𝑡))𝑓 (𝑡)𝑑𝑡,
(4)
𝑓 (𝜏 ) = 𝑔1 (𝜏 ) +
2 0
со свабодным членом
𝜆
𝑔1 (𝜏 ) =
2
∫
𝑟
(𝐸1 (∣𝜏 − 𝑡∣) − 𝐸1 (𝜏 + 𝑡))
0
151
𝑒−𝑡
𝑑𝑡.
𝑡
(5)
152
В.В. Тер-Аветисян
Покажем, что эта функция интегрируема на промежутке [0, 𝑟]. Действительно,
1 убывающая, поэтому 𝑔1 является неотрицатель∫ 𝑟 функция∫𝐸∞
𝑔1 (𝑡)𝑑𝑡. Покажем теперь, что интеграл в правой
𝑔1 (𝑡)𝑑𝑡 ≤
ной и
0
0
части неравенства сходится.
∫ ∞
∫ ∫ ∫
∫ ∞ −(𝜏 +𝑡)𝑠
𝜆 ∞ 𝑟 ∞ 𝑒−∣𝜏 −𝑡∣𝑠
𝑒−𝑡
𝑒
𝑔1 (𝜏 )𝑑𝜏 =
𝑑𝑠 −
𝑑𝑠)
𝑑𝑡𝑑𝜏 =
(
2 0
𝑠
𝑠
𝑡
0
1
0
1
∫
∫ ∫
𝜆 𝑟 𝑒−𝑡 ∞ ∞ −∣𝜏 −𝑡∣𝑠
𝑑𝑠
=
(𝑒
− 𝑒−(𝜏 +𝑡)𝑠 )𝑑𝜏 𝑑𝑡
2 0 𝑡 1
𝑠
0
С учетом равенства
∫
0
∞
𝑒−∣𝜏 −𝑡∣𝑠 𝑑𝜏 =
2 1 −𝑡𝑠
− 𝑒
𝑠 𝑠
получаем
∫
∫
𝑑𝑠
𝜆 𝑟 𝑒−𝑡 ∞ 2
(1 − 𝑒−𝑡𝑠 ) 𝑑𝑡 =
𝑔1 (𝜏 )𝑑𝜏 =
2
𝑡
𝑠
𝑠
0
0
1
∫ ∞
∫
∫ ∞
∫
1 𝑟 (1 − 𝑒−𝑡𝑠 )
1 𝑠𝑟 1 − 𝑒−𝑡
=𝜆
𝑑𝑡𝑑𝑠
=
𝜆
𝑑𝑡𝑑𝑠 ≤
𝑠2 0
𝑡
𝑠2 0
𝑡
1
1
∫ ∞
√
1
√ 𝑑𝑠.
≤ 2𝜆 𝑟
𝑠 𝑠
1
∫
∞
В последнем неравенстве мы воспользовались следующим неравенством:
∫ 𝑎 1−𝑒−𝑡
∫𝑎
√
𝑑𝑡 ≤ 2 𝑎 = 0 √1𝑡 𝑑𝑡, 𝑎 > 0. Это неравенство равносильно сле𝑡
0
дующему легко проверяемому неравенству:
√
𝑒−𝑡 + 𝑡 ≥ 1, при 𝑡 ≥ 0.
(6)
Нами показано, что 𝑔1 ∈ 𝐿1 [0, 𝑟]. Уравнение (4) со свободным членом 𝑔1
обладает единственным решением в 𝐿1 [0, 𝑟]. Имеет место
Теорема 1. Решение уравнения (1) имеет вид (3) где 𝑓 ∈ 𝐿1 [0, 𝑟] определяется из уравнения (4).
Для решения уравнения (4) можно применить метод работы [2]. Для
практической реализации этого метода необходимо построить функцию
𝑔1 с любой наперед заданной точностю. Для этого освободимся
∫ 𝑟 от сингулярности интеграла в 𝑔1 в точке 0. Обозначим 𝑔1𝜖 (𝜏 ) = 𝜆2 𝜖 (𝐸1 (∣𝜏 −
−𝑡
𝑡∣) − 𝐸1 (𝜏 + 𝑡)) 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 и выведем оценку погрешности при замене 𝑔1 на 𝑔1𝜖
в прастранстве 𝐿1 [0, 𝑟].
∫ ∫ (∫ ∞ −∣𝜏 −𝑡∣𝑠
∫ ∞ −(𝜏 +𝑡)𝑠 ) −𝑡
𝜆 𝑟 𝜖
𝑒
𝑒
𝑒
∥ 𝑔1 − 𝑔1𝜖 ∥=
𝑑𝑠 −
𝑑𝑠
𝑑𝑡𝑑𝜏.
2 0 0
𝑠
𝑠
𝑡
1
1
К решению уравнения переноса в однородном шаре
153
Воспользуемся оценками интегралов испрользованных в доказательстве
утверждении 𝑔1 ∈ 𝐿1 [0, 𝑟]. Получим
∫ ∞
√
√
1
√ 𝑑𝑠 = 4𝜆 𝜖.
(7)
∥ 𝑔1 − 𝑔1𝜖 ∥≤ 2𝜆 𝜖
𝑠
𝑠
1
Результаты настаящей работы могут быть распрастранены на уравнение переноса в однородном шаре, в катором учитывается перераспределение излучения по частотам внутри спектральной линии.
Список литературы
[1] В.В. Соболев. Курс теоретической астрофизики, Москва, Наука,
1985.
[2] А.Г. Барсегян. Интегральное уравнение с суммарно-разностным ядром на конечном промежутке. Известия НАН РА, Математика, Ер.:
2005, т. 40, №3, с.22-32.