ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ

ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА УРАВНЕНИЙ С
ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
АННОТАЦИЯ. Классическая теория Клейна уравнений с параметрами рассматривает приведенные уравнения. Чтобы получить
теорию, охватывающую и неприведенные уравнения, в данной
работе строится проективный аналог теории Клейна. Благодаря этому доказывается теорема о существовании определяющей
кривой.
Библиография: 2 названия.
ВВЕДЕНИЕ
В книге Ф.Клейна [1] изложено два геометрических метода решения уравнений вида
ϕ(x) + pχ(x) + qψ(x) = 0,
(0.1)
где x неизвестная, ϕ(x), χ(x), ψ(x) многочлены, p, q параметры. Мы остановимся на втором методе, который является более
интересным (с нашей точки зрения). Изложим сначала этот метод
в общих чертах. Прежде всего заметим, что если в уравнении (0.1)
зафиксировать x, то есть положить x = x0 , то получим линейное
относительно p, q уравнение
ϕ(x0 ) + pχ(x0 ) + qψ(x0 ) = 0.
(0.2)
Это уравнение определяет прямую lx0 на координатной плоскости
с координатами p, q (см. рис. 01). Мы будем предполагать, что при
разных значениях x0 получаются разные прямые. Если фиксированное x менять, то получим семейство прямых {lx }, −∞ < x < +∞,
на плоскости Opq, но не все прямые на плоскости Opq входят в
это семейство. Ф.Клейн утверждает, что существует кривая Γ на
плоскости Opq, обладающая следующими свойствами:
1) каждая прямая lx0 семейства {lx } является касательной к
кривой Γ в некоторой единственной точке Mx0 ∈ Γ (см. рис. 01).
2) каждая касательная прямая к кривой Γ принадлежит семейству прямых {lx }.
2
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
Эту кривую Γ Ф.Клейн называет определяющей кривой для уравнения (0.1).
Рисунок 01.
Сопоставим точке Mx0 ∈ Γ число x0 , тогда получим криволинейную координатную шкалу на кривой Γ. Эта криволинейная координатная шкала позволяет приближенно решать уравнение (0.1) при
фиксированных значениях параметров p, q.
Рисунок 02.
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
3
А именно, пусть p = p0 , q = q0 , тогда получаем точку M (p0 , q0 ) на
плоскости Opq. Проведем через точку M (p0 , q0 ) все касательные к
определяющей кривой Γ. Пусть, например, будет две касательных
к Γ, проходящих через точку M (p0 , q0 ), и Mx1 , Mx2 ∈ Γ их точки касания (см. рис. 02). Тогда числа x1 , x2 являются решениями
уравнения
ϕ(x) + p0 χ(x) + q0 ψ(x) = 0.
Заметим, что x1 , x2 криволинейные координаты точек касания на
кривой Γ.
К сожалению, не для каждого уравнения вида (0.1) существует
определяющая кривая. Например, уравнение
x+p+q =0
не обладает определяющей кривой, так как оно задает семейство
параллельных прямых на плоскости Opq. Уравнение
x + px + qx = 0
определяет только одну прямую p + q + 1 = 0, поэтому оно также не
обладает определяющей кривой. Таким образом, Ф.Клейн ошибается, когда говорит, что для каждого уравнения вида (0.1) существует определяющая кривая. Но, фактически, он рассматривает только
два примера, для которых определяющие кривые действительно существуют. Это приведенное квадратное уравнение x2 + px + q = 0
и приведенное кубическое уравнение вида x3 + px + q = 0.
В связи с этим возникает два вопроса: для каких уравнений вида
(0.1) существует определяющая кривая и как ее найти? Будем рассуждать следующим образом. Пусть для данного уравнения вида
(0.1) определяющая кривая существует, попробуем найти необходимое условие, которому должны удовлетворять ее точки. Если
точка M принадлежит определяющей кривой Γ, то у нее имеются
три координаты x0 , p0 , q0 , где x0 ее криволинейная координата на
кривой Γ, а p0 , q0 ее декартовы координаты на плоскости Opq.
Оказывается, что числа x0 , p0 , q0 удовлетворяют системе уравнений
(см. [1])
(
ϕ(x) + pχ(x) + qψ(x) = 0,
(0.3)
ϕ0 (x) + pχ0 (x) + qψ 0 (x) = 0.
Это означает, что число x0 должно быть кратным корнем уравнения
ϕ(x) + p0 χ(x) + q0 ψ(x) = 0.
Система уравнений (0.3) определяет на плоскости Opq кривую,
которая называется дискриминантной кривой уравнения (0.1). Она
состоит из точек M (p0 , q0 ), для каждой из которых существует
4
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
число x0 такое, что тройка чисел x0 , p0 , q0 удовлетворяет системе
(0.3). Примеры показывают, что дискриминантная кривая не обязана быть определяющей кривой данного уравнения. Таким образом,
если определяющая кривая существует, то она должна быть частью
дискриминантной кривой.
Рассмотрим примеры. Для квадратного уравнения x2 + px + q = 0
дискриминантная кривая находится из системы уравнений
(
x2 + px + q = 0,
2x + p = 0.
Поэтому является параболой p2 − 4q = 0. Она является определяющей кривой (см. рис. 03).
Рисунок 03.
Координатная шкала на ней задается равенством x = −p/2.
Для кубического уравнения x3 + px + q = 0 дискриминантная
кривая находится из системы уравнений
(
x3 + px + q = 0,
3x2 + p = 0.
Поэтому является полукубической параболой 4p3 + 27q 2 = 0. Она
является определяющей кривой (см. рис. 04). Координатная шкала
на
на верхней половинке x =
p ней задается следующим образом: p
−p/3, а на нижней половинке x = − −p/3.
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
5
Рисунок 04.
Рисунок 05.
Для кубического уравнения x3 + px2 + q = 0 дискриминантная
кривая находится из системы уравнений
(
x3 + px2 + q = 0,
3x2 + 2px = 0.
6
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
Она является объединением кубической параболы 4p3 + 27q = 0 и
прямой q = 0, а определяющая кривая состоит только из кубической параболы 4p3 + 27q = 0 (см. рис. 05). Координатная шкала на
ней задается равенством x = − 2p
.
3
Теория Клейна имеет дело с приведенными уравнениями. Если теперь мы имеем, например, неприведенное квадратное уравнение a0 x2 + a1 x + a3 = 0, то его можно заменить на приведенное
x2 +px+q = 0, если положить p = a1 /a0 , q = a2 /a0 . Но тогда нужно
предполагать, что a0 6= 0, а случай a0 = 0 рассматривать отдельно.
Чтобы получить теорию без этого недостатка, мы применяем проективную геометрию. Уравнение a0 x2 + a1 x + a3 = 0 при каждом
фиксированном x = x0 определяет проективную прямую на проективной плоскости с однородными координатами (a0 : a1 : a2 ). Дискриминантная кривая в однородных координатах будет задаваться
уравнением a21 − 4a0 a2 = 0, то есть будет являться коникой. Эта коника является определяющей кривой, на ней можно ввести криволинейные однородные координаты (t0 : t1 ) с помощью соотношения
x = t1 /t0 . Тогда к аффинной определяющей кривой p2 − 4q = 0 добавляется точка (0 : 0 : 1), которая имеет криволинейные однородные координаты (0 : 1). Если представлять проективную плоскость
в виде круга, на границе которого отождествляются диаметрально
противоположные точки, то получается картинка, изображенная на
рисунке 06.
Рисунок 06.
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
7
Определяющая кривая a21 − 4a0 a2 = 0 разбивает проективную
плоскость на две области, одна из которых является диском, а
другая листом Мебиуса (см. рис. 07).
Рисунок 07.
Заметим, что касательной к определяющей кривой в точке с однородными координатами (0 : 0 : 1) не получается верхним способом, а все другие получаются. Чтобы устранить этот недостаток,
нужно полностью перейти на проективный язык. А именно, положим x = t1 /t0 , тогда в однородных координатах (t0 : t1 ) квадратное
уравнение a0 x2 + a1 x + a2 = 0 примет вид a0 t21 + a1 t0 t1 + a2 t20 = 0.
Рассмотрим теперь неприведенное кубическое уравнение вида
a0 x3 +a1 x+a2 = 0. Его можно заменить на приведенное x3 +px+q =
0, если положить p = a1 /a0 , q = a2 /a0 . Но тогда нужно предполагать, что a0 6= 0, а случай a0 = 0 рассматривать отдельно. Чтобы
получить теорию без этого недостатка, мы применяем проективную
геометрию. Уравнение a0 x3 + a1 x + a2 = 0 при каждом фиксированном x = x0 определяет проективную прямую на проективной
плоскости с однородными координатами (a0 : a1 : a2 ). Дискриминантная кривая будет состоять из кривой третьей степени(кубики)
4a31 + 27a0 a22 = 0 и прямой a0 = 0. Прямая a0 = 0 касается кубики
4a31 + 27a0 a22 = 0 в точке (0 : 0 : 1), которая является точкой перегиба для кубики 4a31 + 27a0 a22 = 0. Если представлять проективную
плоскость в виде круга, на границе которого отождествляются диаметрально противоположные точки, то получается картинка, изображенная на рисунке 08. Определяющая кривая состоит из одной
8
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
кубики 4a31 + 27a0 a22 = 0. На ней можно ввести криволинейные однородные координаты (t0 : t1 ) с помощью соотношения x = t1 /t0 .
Дискриминантная кривая разбивает проективную плоскость на две
области ("правую" и "левую"). Если точка (a0 : a1 : a2 ) принадлежит правой области, то уравнение a0 t31 +a1 t20 t1 +a2 t30 = 0 имеет одно
однородное решение, а если точка (a0 : a1 : a2 ) принадлежит левой
области, то уравнение a0 t31 + a1 t20 t1 + a2 t30 = 0 имеет три однородных
решения (см. рис. 08).
Рисунок 8.
Рассмотрим теперь неприведенное кубическое уравнение вида
a0 x3 + a1 x2 + a3 = 0. Его можно заменить на приведенное уравнение x3 + px2 + q = 0, если положить p = a1 /a0 , q = a2 /a0 . Но тогда
нужно предполагать, что a0 6= 0, а случай a0 = 0 рассматривать
отдельно. Чтобы получить теорию без этого недостатка, мы применяем проективную геометрию. Уравнение a0 x3 + a1 x2 + a2 = 0 при
каждом фиксированном x = x0 определяет проективную прямую на
проективной плоскости с однородными координатами (a0 : a1 : a2 ).
Дискриминантная кривая будет состоять из кривой третьей степени(кубики) 4a31 + 27a20 a2 = 0 и прямой a2 = 0. Прямая a2 = 0
касается кубики 4a31 + 27a0 a22 = 0 в точке (1 : 0 : 0), которая является точкой перегиба для кубики 4a31 + 27a20 a2 = 0. Если представлять
проективную плоскость в виде круга, на границе которого отождествляются диаметрально противоположные точки, то получается
картинка, изображенная на рисунке 09. Определяющая кривая состоит из одной кубики 4a31 + 27a0 a22 = 0. На ней можно ввести
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
9
криволинейные однородные координаты (t0 : t1 ) с помощью соотношения x = t1 /t0 . Дискриминантная кривая разбивает проективную
плоскость на две области. Если точка (a0 : a1 : a2 ) принадлежит
первой области, то уравнение a0 t31 + a1 t20 t1 + a2 t30 = 0 имеет одно однородное решение, а если точка (a0 : a1 : a2 ) принадлежит второй
области, то уравнение a0 t31 + a1 t20 t1 + a2 t30 = 0 имеет три однородных
решения (см. рис. 09).
Рисунок 09.
После рассмотрения примеров сформулируем общую задачу. Итак,
пусть дано уравнение
a0 ϕ0 (t0 , t1 ) + a1 ϕ1 (t0 , t1 ) + a2 ϕ2 (t0 , t1 ) = 0,
(0.4)
где ϕ0 (t0 , t1 ), ϕ1 (t0 , t1 ), ϕ2 (t0 , t1 однородные многочлены степени d, и a0 , a1 , a2 параметры. Будем предполагать, что многочлены ϕ0 (t0 , t1 ), ϕ1 (t0 , t1 ), ϕ2 (t0 , t1 ) общих нулей не имеют, тогда при
фиксированных t0 , t1 уравнение (4) определяет проективную прямую lt на проективной плоскости P2 с однородными координатами
(a0 : a1 : a2 ), а t = (t0 : t1 ) фиксированная точка на проективной прямой P1 . Мы будем предполагать, что при разных значениях
t ∈ P1 получаются разные прямые. Если фиксированное t менять,
то получим семейство прямых {lt }, t ∈ P1 , на плоскости P2 , но не
все прямые на плоскости P2 входят в это семейство. Будем говорить, что кривая Γ на плоскости P2 является определяющей кривой
для уравнения (0.4), если она удовлетворяет следующим требованиям:
10
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
1) каждая прямая lt семейства {lt } является касательной к кривой Γ в некоторой единственной точке Mt ∈ Γ.
2) каждая касательная прямая к кривой Γ принадлежит семейству прямых {lt }.
Возникает вопрос о том, когда уравнение вида (0.4) имеет определяющую кривую. Прежде чем ответить на этот вопрос заметим,
что из определения определяющей кривой вытекает, что кривая Γ
обязана удовлетворять также следующим свойствам:
a) Γ не имеет точек самопересечения;
b) каждая касательная прямая к кривой Γ касается ее только в
одной точке.
Заметим еще, что уравнение (0.4) всегда определяет кривую G в
проективной плоскости с однородными координатами (y0 : y1 : y2 ),
если положить


y0 = ϕ0 (t0 , t1 )
y1 = ϕ1 (t0 , t1 )

y = ϕ (t , t ).
2
2 0 1
Если определяющая кривая Γ для уравнения (0.4) существует, то
между кривыми Γ, G имеется взаимно однозначное соответствие.
Действительно, каждой точке t ∈ P1 однозначно соответствует точка Mt ∈ Γ и точка Mt∗ = (ϕ0 (t0 , t1 ) : ϕ1 (t0 , t1 ) : ϕ2 (t0 , t1 )) ∈ G,
поэтому соответствие Mt ↔ Mt∗ определяет взаимно однозначное
соответствие между кривыми Γ, G. Поэтому, вполне возможно, что
если кривая Γ удовлетворяет свойствам a), b), то кривая G также
будет удовлетворять этим свойств, а также верно обратное утверждение. Следовательно, можно высказать гипотезу:
Пусть кривая G удовлетворяет свойствам:
a) G не имеет точек самопересечения;
b) каждая касательная прямая к кривой G касается ее только в одной точке.
Тогда уравнение (0.4) имеет определяющую кривую.
Главная цель этой работы доказать сформулированную гипотезу.
1. ОДНОРОДНЫЕ
ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение 1.1. Функция F (x, y), определенная в R2 , называется однородной степени d, если для каждых (x, y) ∈ R2 , t ∈ R
выполняется равенство
F (tx, ty) = td F (x, y).
(1.1)
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
11
Примеры. 1) Функция
F (x, y) =
X
aij xi y j ,
i+j=d
где i > 0, j > 0, aij вещественные числа, является однородной
степени d. Она называется однородным многочленом (однородной
формой) степени d.
2) Функция
p
F (x, y) = 3 x4 + y 4
является однородной степени 4/3.
Для однородной функции F (x, y) степени d, имеющей непрерывные частные производные выполняется равенство
Fx0 (x, y) · x + Fy0 (x, y) · y = d · F (x, y).
(1.2)
Оно называется формулой Эйлера. Для доказательства продифференцируем равенство 1.1 по переменной t, тогда получим равенство
Fx0 (tx, ty) · x + Fy0 (tx, ty) · y = d · td−1 · F (x, y).
Осталось положить t = 1.
Задача. Показать, что из равенства 1.2 вытекает равенство 1.1.
2. ПРОЕКТИВНАЯ
ПРЯМАЯ
Рассмотрим уравнение
F (x, y) = 0,
где F (x, y)
(2.1)
однородная функция. Тогда множество точек
M (x0 , y0 ) ∈ R2 ,
удовлетворяющих этому уравнению состоит из прямых на плоскости R2 , проходящих через начало координат (см. рис. 1).
Определение 2.1. Множество всех прямых в R2 , проходящих через точку (0, 0), обозначается через P1 и называется проективной прямой.
Элементы проективной прямой называют точками, поэтому однородное уравнение 2.1 задает множество точек на проективной
прямой.
12
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
Рисунок 1.
Рисунок 2.
Прежде чем представлять как выглядит такое множество нужно понять как выглядит вся проективная прямая. Очень наглядно
проективная прямая P1 получается из окружности S 1 , заданной
уравнением (см. рис.2)
x2 + y 2 = 1.
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
13
Каждая прямая l пересекает окружность S 1 в двух диаметрально противоположных точках. Поэтому P1 получается из S 1 отождествлением диаметрально противоположных точек. В частности,
проективную прямую P1 можно представлять в виде окружности
(см. рис. 2).
Можно дать другое описание проективной прямой как одноточечное расширение аффинной прямой. Для этого на декартовой
плоскости с координатами x, y рассмотрим прямую L = R, заданную уравнением y = 1. Каждая точка M на прямой L задает прямую OM , проходящую через начало координат, то есть точку проективной плоскости (см. рис. 3). Таким образом, имеем отображение R → P1 , которое является вложением. Но для точки, заданной
прямой y = 0, при этом отображении нет прообраза. Поэтому дополним аффинную прямую R точкой ∞, тогда получим биекцию
R ∪ {∞} → P1 . Следовательно, можно считать, что проективная
прямая P1 равна R ∪ {∞}.
Рисунок 3.
3. ОДНОРОДНЫЕ
ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение 3.1. Функция F (x, y, z), определенная в R 3 , называется однородной степени d, если для каждых (x, y, z) ∈ R3 , t ∈ R
выполняется равенство
F (tx, ty, tz) = td F (x, y, z).
(3.1)
14
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
Примеры. 1) Функция
F (x, y, z) =
X
aijk xi y j z k ,
i+j+k=d
где i > 0, j > 0, k > 0, aijk вещественные числа, является однородной степени d. Она называется однородным многочленом (однородной формой) степени d.
2) Функция
p
F (x, y, z) = x4 + y 4 + z 4
является однородной степени 2.
Для однородной функции F (x, y, z) степени d, имеющей непрерывные частные производные выполняется равенство
Fx0 (x, y, z) · x + Fy0 (x, y, z) · y + Fz0 (x, y, z) · z = d · F (x, y, z).
(3.2)
Оно называется формулой Эйлера. Для доказательства продифференцируем равенство 3.1 по переменной t, тогда получим равенство
Fx0 (tx, ty, tz) · x + Fy0 (tx, ty, tz) · y + Fz0 (tx, ty, tz) · z = d · tm−1 · F (x, y, z).
Осталось положить t = 1.
Задача. Показать, что и равенства 3.2 вытекает равенство 3.1.
4. ПРОЕКТИВНАЯ
ПЛОСКОСТЬ
Рассмотрим уравнение
F (x, y, z) = 0,
(4.1)
где F (x, y, z) однородная функция. Тогда множество точек
M (x0 , y0 , z0 ) ∈ R3 , удовлетворяющих этому уравнению образуют
коническую поверхность K в R3 (см. рис. 4). Таким образом множество K состоит из прямых, проходящих через точку (0, 0, 0).
Определение 4.1. Множество всех прямых в R3 , проходящих через точку (0, 0, 0), обозначается через P2 и называется проективной плоскостью.
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
15
Рисунок 4.
Рисунок 5.
Элементы проективной плоскости называют точками, поэтому
однородное уравнение 4.1 задает множество точек на проективной
плоскости. Прежде чем представлять как выглядит такое множество нужно понять как выглядит вся проективная плоскость. Очень
наглядно проективная плоскость P2 получается из сферы S 2 , заданной уравнением (см. рис. 5)
x2 + y 2 + z 2 = 1.
16
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
Каждая прямая l пересекает сферу S 2 в двух диаметрально противоположных точках. Поэтому P2 получается из S 2 отождествлением диаметрально противоположных точек. В частности, проективную плоскость P2 можно представлять как лист Мебиуса, к
которому по границе приклеен круг (см. рис. 5).
Далее следуя традиции будем обозначать координаты в R3 через x0 , x1 , x2 . Попробуем с помощью координат описать точки проективной плоскости. Каждая точка проективной плоскости это
прямая, проходящая через начало координат O. Эта прямая определяется точкой M , отличной от O и лежащей на прямой (см. рис. 8).
У точки M имеются декартовы координаты (x0 , x1 , x2 ), они называются однородными координатами прямой OM , т. е. однородными координатами соответствующей точки проективной плоскости.
Заметим, что однородные координаты точки на проективной плоскости определены неоднозначно: если мы их умножим на ненулевое число λ, то точка с координатами (λx0 , λx1 , λx2 ) лежит на той
же самой прямой. Следовательно, однородные координаты точки
на проективной плоскости определены с точностью до ненулевого
множителя λ, поэтому их обычно пишут не через запятую, а через
знак деления (x0 : x1 : x2 ). Рассмотрим множество точек на проективной плоскости P2 , которые удовлетворяют неравенству x0 6= 0.
Обозначим это множество через U0 и рассмотрим отображение U0
в арифметическую плоскость R2 , определенное формулами
x2
x1
x= , y= .
x0
x0
Заметим, что если координаты (x0 , x1 , x2 ) умножить на λ, то отношения
x2
x1
x= , y=
x0
x0
не изменятся. Tаким образом, действительно имеем отображение
U0 в арифметическую плоскость R2 . Это отображение определяет систему координат на множестве U0 . Итак, для каждой точки
множества U0 имеются однородные координаты (x0 : x1 : x2 ), которые определены неоднозначно, а также координаты (x, y), которые
определены однозначно. Они называются аффинными координатами точки на проективной плоскости. Аффинные координаты x, y
определены не для всех точек проективной плоскости, а только для
точек, удовлетворяющих неравенству x0 6= 0. Аналогично рассмотрим множество U1 , определенное неравенством x1 6= 0, и введем на
нем аффинные координаты
x0
x2
u= , v= .
x1
x1
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
17
А также рассмотрим множество U2 с аффинными координатами
x0
x1
s= , t= .
x2
x2
В итоге мы получаем три системы аффинных координат на проективной плоскости. Каждая из них называется аффинной картой,
а все вместе они называются аффинным атласом. Эти названия
напоминают географические термины, что вполне обоснованно, так
как каждая географическая карта дает изображение куска поверхности Земли, а географический атлас, как полный набор карт дает
изображение всей поверхности Земли.
5. ПРОЕКТИВНЫЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
Рассмотрим уравнение
F (x0 , x1 , x2 ) = 0,
(5.1)
где F (x0 , x1 , x2 ) однородный многочлен степени d. Тогда это уравнение задает множество точек на проективной плоскости P2 . А
именно, будем считать, точка M ∈ P2 удовлетворяет верхнему уравнению, если ее однородные координаты (x0 : x1 : x2 ) удовлетворяют
этому уравнению. Например, если рассмотрим уравнение первой
степени a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 = 0, то получим проективную прямую
(почему?).
Рассмотрим более подробно однородные уравнения степени 2.
Они определяют на проективной плоскости множества, которые
называются кониками. Мы изучим три коники, которые определяются уравнениями:
1) x20 + x21 + x22 = 0,
2) x20 − x21 + x22 = 0,
3) x20 − x21 − x22 = 0.
Первому уравнению удовлетворяют только числа x0 = x1 = x2 = 0.
Они не являются однородными координатами какой-либо точки,
поэтому первое уравнение определяет пустое множество на проективной плоскости. Рассмотрим второе уравнение. Если точка M
удовлетворяет этому уравнению, то ее координата x1 ненулевая.
Разделим это уравнение на x21 . Так как x0 /x1 = u, x2 /x1 = v, то
уравнение 2) в аффинных координатах u и v примет вид u2 +v 2 = 1.
Это уравнение определяет окружность. Таким образом вторая рассматриваемая коника является окружностью. Рассмотрим третье
уравнение. Если точка M удовлетворяет этому уравнению, то ее
координата x0 ненулевая. Разделим это уравнение на x20 . Так как
18
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
x1 /x0 = x, x2 /x0 = y, то уравнение 3) в аффинных координатах
x и y примет вид x2 + y 2 = 1. Это уравнение определяет окружность. Таким образом, третья рассматриваемая коника также является окружностью. Рассмотрим другую конику x0 x1 = x22 . В аффинной карте с координатами x, y эта коника задает параболу x = y 2 .
В аффинной карте с координатами u, v эта коника задает параболу
u = v 2 . В аффинной карте с координатами s, t эта коника задает
гиперболу st = 1.
Наоборот, если мы имеем уравнение f (x, y) где f (x, y) произвольный многочлен от двух переменных x, y, то из этого уравнения можно получить однородное уравнение F (x0 , x1 , x2 ) = 0,
где F (x0 , x1 , x2 ) = xd0 f (x1 /x0 , x2 /x0 ), d это степень многочлена
f (x, y). Например, рассмотрим уравнение параболы y = x2 . Тогда
из него получаем уравнение коники x0 x2 = x21 .
Выведем уравнение касательной прямой к проективной алгебраической кривой, заданной уравнением 5.1, но сначала нужно ее
определить. Заметим, что уравнение 5.1 определяет в пространстве
R3 коническую поверхность. Касательная плоскость к ней должна проходить через начало координат, то есть ее уравнение имеет
вид a0 x0 + a1 x1 + a2 x2 = 0. Таким образом, получаем прямую в
проективной плоскости, которая называется касательной прямой.
Уравнение касательной плоскости в точке (x00 , x01 , x02 ) к конической
поверхности, заданной уравнением 5.1, имеет вид
∂F (x00 , x01 , x02 )
∂F (x00 , x01 , x02 )
(x0 − x00 ) +
(x1 − x01 )+
∂x0
∂x1
∂F (x00 , x01 , x02 )
(x2 − x02 ) = 0
∂x2
С другой стороны теорема Эйлера дает равенства
+
∂F (x00 , x01 , x02 ) 0 ∂F (x00 , x01 , x02 ) 0 ∂F (x00 , x01 , x02 ) 0
x0 +
x1 +
x2 =
∂x0
∂x1
∂x2
= d · F (x00 , x01 , x02 ) = 0.
Следовательно, уравнение касательной прямой к алгебраической
кривой 5.1 в точке (x00 : x01 : x02 ) имеет вид
∂F (x00 , x01 , x02 )
∂F (x00 , x01 , x02 )
∂F (x00 , x01 , x02 )
x0 +
x1 +
x2 = 0.
∂x0
∂x1
∂x2
(5.2)
Задача. Показать, что касательную к проективной кривой в неособой точке можно определять обычным образом, а именно, как предельное положение секущей (см. рис. 6)
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
19
Рисунок 6.
Точки проективной плоскости, удовлетворяющие системе уравнений

F (x0 , x1 , x2 ) = 0



F 0 (x , x , x ) = 0
0
1
2
x0
0

F
(x
,
x
,
x
0
1
2) = 0

x

 01
Fx2 (x0 , x1 , x2 ) = 0,
называются особыми точками для кривой, заданной уравнением
5.1. В особой точке уравнение 5.2 определяет всю плоскость. Далее
мы будем предполагать, что на кривой имеется только конечное
число особых точек, причем они могут быть только следующего
вида (см. рис. 7):
a) изолированная, в малой ее окрестности нет других точек кривой;
b) двойная точка (или узел), в ней две ветви кривой пересекаются, но не касаются;
c) точка возврата первого рода (или острие), две ветви кривой
лежат по разные стороны от общей полукасательной;
d) точка возврата второго рода(или клюв), две ветви кривой
лежат по одну сторону от общей полукасательной;
e) точка соприкосновения, две ветви кривой касаются.
20
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
Рисунок 7.
Каждая такая особая точка попадает в одну аффинную карту,
поэтому задача определения типа особой точки сводится к аналогичной аффинной задаче. Как определяется тип особой точки
аффинной кривой можно посмотреть в [2].
6. ПРОЕКТИВНАЯ
ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Далее мы будем рассматривать два экземпляра проективной плоскости, первая с однородными координатами (x0 : x1 : x2 ) будет обозначаться через P2x , а вторая с однородными координатами (y0 : y1 :
y2 ) будет обозначаться через P2y . Рассмотрим уравнение
x0 y0 + x1 y1 + x2 y2 = 0.
(6.1)
Это уравнение определяет тело ∆ в декартовом произведении проективных плоскостей P2x × P2y . Заметим, что проекции
px : ∆ → P2x , py : ∆ → P2y
сюръективны. Возьмем точку M (x00 : x01 : x02 ) ∈ P2x и подставим
ее координаты в уравнение 6.1, тогда получим уравнение прямой
x00 y0 + x01 y1 + x02 y2 = 0 в плоскости P2y , обозначим эту прямую через
M ∗ и назовем двойственной прямой к точке M . Аналогично, возьмем точку N (y00 : y10 : y20 ) ∈ P2y и подставим ее координаты в уравнение 6.1, тогда получим уравнение прямой y00 x0 + y10 x1 + y20 x2 = 0
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
21
в плоскости P2x , обозначим эту прямую через N ∗ и также назовем двойственной прямой к точке N . Заметим, что выполняются
∗
−1
равенства M ∗ = py (p−1
x (M )) (см. рис. 8), N = px (py (N )).
Рисунок 8.
Наоборот, возьмем в плоскости P2x прямую l, она задается уравнением a0 x0 + a1 x0 + a2 x2 = 0. Сопоставим этой прямой точку
l∗ (a0 : a1 : a2 ) ∈ P2y и назовем ее двойственной точкой для прямой l. Аналогично, можно взять прямую на плоскости P2y , тогда
получим двойственную точку на плоскости P2x .
Задача. Доказать равенства
(M ∗ )∗ = M, (l∗ )∗ = l, M1∗ ∩ M2∗ = (M1 M2 )∗ , l1∗ l2∗ = (l1 ∩ l2 )∗ ,
где M, M1 , M2
точки, а l, l 1 , l2
прямые.
7. ДВОЙСТВЕННАЯ
КРИВАЯ
Пусть кривая Γ ⊂ P2x задана уравнением вида 5.1, причем будем предполагать, что особых точек конечное числа и отсутствуe множество неособых
ют изолированные точки. Обозначим через Γ
e определена
точек на кривой Γ, тогда для каждой точки M ∈ Γ
касательная прямая lM к кривой Γ. Множество двойственных точек (lM )∗ ∈ P2y образует кривую (может быть незамкнутую) на
e∗ , а замыкание этой кривой
плоскости P2y , обозначим ее через Γ
∗
∗
обозначим через Γ . Кривая Γ называется двойственной к кривой Γ. Заметим, что правило M 7→ (lM )∗ определяет сюръективное
22
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
e → Γ
e∗ . Оно может быть неинъективным. Дейотображение D : Γ
e в двух точках, то эти
ствительно, если прямая l касается кривой Γ
точки при отображении D перейдут в одну двойную точку l ∗ (см.
рис. 9). Далее будем предполагать, что прямая может касаться кривой в одной или двух точках. Во втором случае прямая называется
бикасательной. Будем предполагать, что бикасательных конечное
число.
Рисунок 9.
Задача. Доказать утверждения:
a) точки перегиба кривой Γ преобразуются в точки возврата первого рода на кривой Γ∗ и наоборот;
b) точка возврата второго рода преобразуется в точку возврата
второго рода;
c) двойная точка преобразуется в две точки;
d) точка соприкосновения преобразуется в точку соприкосновения.
Теорема 7.1. Пусть кривая Γ удовлетворяет верхним условиям,
тогда дважды двойственная кривая совпадает с Γ, то есть
выполняется равенство (Γ∗ )∗ = Γ.
e точки касания бикасаДоказательство. Выбросим из кривой Γ
тельных, полученную кривую обозначим через Γ0 . Достаточно доказать равенство ((Γ0 )∗ )∗ = Γ0 , так как замыкание Γ0 равно Γ, а
замыкание ((Γ0 )∗ )∗ равно (Γ∗ )∗ . Заметим теперь следующее. Если
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
23
взять на кривой Γ0 две близкие точки M1 , M2 и провести касательные l1 , l2 к Γ0 в этих точках, то секущая l1∗ l2∗ кривой Γ0 ∗ двойственна
точке пересечения касательных M = l1 ∩ l2 (см. рис. 10).
Рисунок 10.
Таким образом, если устремить точку M2 к точке M1 , то секущая
l1∗ l2∗ = M ∗ устремится к касательной к кривой (Γ0 )∗ в точке l1∗ . Так
как точка M будет стремиться к точке M1 , то точка M1 получается
из касательной к кривой (Γ0 )∗ в точке l1∗ . Следовательно, точка M1
принадлежит кривой ((Γ0 )∗ )∗ . Теорема доказана.
Замечание. Если кривая Γ задана уравнением
(7.1)
F (x0 , x1 , x2 ) = 0,
то двойственная кривая Γ∗ находится из системы уравнений

F (x0 , x1 , x2 ) = 0



y = F 0 (x , x , x )
0
0
1
2
x0
0

y
=
F
(x
,
x
,
x
1
0
1
2)

x1


0
y2 = Fx2 (x0 , x1 , x2 )
с помощью исключения переменных x0 , x1 , x2 .
8. ПРОЕКТИВНАЯ
ТЕОРИЯ
КЛЕЙНА
Пусть дано уравнение
a0 ϕ0 (t0 , t1 ) + a1 ϕ1 (t0 , t1 ) + a2 ϕ2 (t0 , t1 ) = 0,
(8.1)
24
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
где ϕ0 (t0 , t1 ), ϕ1 (t0 , t1 ), ϕ2 (t0 , t1 ) однородные многочлены степени d, и a0 , a1 , a2 параметры. Будем предполагать, что многочлены ϕ0 (t0 , t1 ), ϕ1 (t0 , t1 ), ϕ2 (t0 , t1 ) общих нулей не имеют, тогда при
фиксированных t0 , t1 уравнение 8.1 определяет проективную прямую lt на проективной плоскости P2 с однородными координатами
(a0 : a1 : a2 ), а t = (t0 : t1 ) фиксированная точка на проективной прямой P1 . Мы будем предполагать, что при разных значениях
t ∈ P1 получаются разные прямые. Если фиксированное t менять,
то получим семейство прямых {lt }, t ∈ P1 на плоскости P2 , но не
все прямые на плоскости P2 входят в это семейство. Будем говорить, кривая Γ на плоскости P2 является определяющей кривой для
уравнения 8.1, если она удовлетворяет следующим требованиям:
1) каждая прямая lt семейства {lt } является касательной к кривой Γ в некоторой единственной точке Mt ∈ Γ.
2) каждая касательная прямая к кривой Γ принадлежит семейству прямых {lt }.
Возникает вопрос о том, когда уравнение вида 8.1 имеет определяющую кривую. Прежде чем ответить на этот вопрос заметим,
что из определения определяющей кривой вытекает, что кривая Γ
обязана удовлетворять также следующим свойствам:
a) Γ не имеет точек самопересечения;
b) каждая касательная прямая к кривой Γ касается ее только в
одной точке.
Заметим еще, что уравнение 8.1 всегда определяет кривую G в
проективной плоскости с однородными координатами (y0 : y1 : y2 ),
если положить


y0 = ϕ0 (t0 , t1 )
y1 = ϕ1 (t0 , t1 )

y = ϕ (t , t ).
2
2 0 1
Если определяющая кривая Γ существует, то из ее определения
следует, что построенная кривая G является двойственной кривой
к Γ, то есть G = Γ∗ . Но мы не знаем еще о существовании определяющей кривой.
Теорема 8.1. Пусть построенная кривая G удовлетворяет свойствам:
a) G не имеет точек самопересечения;
b) каждая касательная прямая к кривой G касается ее только в одной точке.
Тогда определяющая кривая существует и она равна G∗ .
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
25
Доказательство вытекает из теоремы предыдущего пункта. Действительно, если положим Γ = G∗ , то кривая Γ будет удовлетворять
условиям определяющей кривой.
9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Мы получили достаточные условия для существования определяющей кривой для проективной задачи, но их можно применять
и для аффинной ситуации. А именно, если имеем аффинное уравнение
ϕ(x) + pχ(x) + qψ(x) = 0,
(9.1)
то положим
ϕ0 (t0 , t1 ) = td0 ϕ(t1 /t0 ), ϕ1 (t0 , t1 ) = td0 χ(t1 /t0 ), ϕ2 (t0 , t1 ) = td0 ψ(t1 /t0 ),
где d максимальная из степеней многочленов ϕ(x), χ(x), ψ(x).
Тогда уравнения


y0 = ϕ0 (t0 , t1 )
y1 = ϕ1 (t0 , t1 )

y = ϕ (t , t )
2
2 0 1
определяют кривую G ⊂ P2y . Если кривая G удовлетворяет условиям теоремы 8.1, то соответствующая проективная задача имеет
определяющую кривую, а поэтому и первоначальная аффинная задача 9.1 имеет определяющую кривую.
В книге Ф.Клейна [1] изложено два геометрических метода решения уравнений вида 9.1. Мы рассмотрели проективный аналог
второго метода, сформулируем сейчас проективный аналог первого
метода. А именно, заменим уравнение
a0 ϕ0 (t0 , t1 ) + a1 ϕ1 (t0 , t1 ) + a2 ϕ2 (t0 , t1 ) = 0
на равносильную систему

a0 y 0 + a 1 y 1 + a 2 y 2 = 0



y = ϕ (t , t )
0
0 0 1

y
=
ϕ
1
1 (t0 , t1 )



y2 = ϕ2 (t0 , t1 ).
(9.2)
(9.2)0
Первое уравнение этой системы задает проективную прямую la на
проективной плоскости P2y , а три последних уравнения определяют кривую G. На этой кривой имеются криволинейные однородные
координаты (t0 : t1 ). Система уравнений задает пересечение прямой la с кривой G. Криволинейные однородные координаты точек
пересечения дают решения проективного уравнения 9.2.
26
В. А. КРАСНОВ
А. В. КРАСНОВА
В книге Ф.Клейна [1] изложено два геометрических метода решения аффинных уравнений с тремя параметрами. Мы кратко изложим соответствующую проективную теорию. Пусть дано уравнение
a0 ϕ0 (t0 , t1 ) + a1 ϕ1 (t0 , t1 ) + a2 ϕ2 (t0 , t1 ) + a3 ϕ3 (t0 , t1 ) = 0,
(9.3)
где ϕ0 (t0 , t1 ), ϕ1 (t0 , t1 ), ϕ2 (t0 , t1 ), ϕ3 (t0 , t1 ) однородные многочлены степени d. Заменим это уравнение на равносильную систему
уравнений

a0 y 0 + a 1 y 1 + a 2 y 2 + a 3 y 3 = 0





y0 = ϕ0 (t0 , t1 )
(9.3)0
y1 = ϕ1 (t0 , t1 )



y2 = ϕ2 (t0 , t1 )



y3 = ϕ3 (t0 , t1 ).
Первое уравнение этой системы задает проективную плоскость Pa в
проективном пространстве P3y , а четыре последних уравнения определяют кривую G ⊂ P3y . На этой кривой имеются криволинейные
однородные координаты (t0 : t1 ). Система уравнений (9.3)0 задает
пересечение плоскости Pa с кривой G. Криволинейные однородные
координаты точек пересечения дают решения проективного уравнения 9.3.
Это мы рассмотрели первый способ решения уравнения 9.3, чтобы рассмотреть второй способ, нужно построить двойственную кривую Γ = G∗ ⊂ P3x в проективном пространстве с однородными координатами (x0 : x1 : x2 : x3 ). Эта кривая строится следующим
образом. Для каждой точке M ∈ G рассмотрим соприкасающуюся
проективную плоскость PM к кривой G в точке M . Плоскость PM
задает двойственную точку (PM )∗ ∈ P3x . Множество двойственных
точек (PM )∗ дает кривую Γ = G∗ ⊂ P3x . При предположениях на
кривую G, аналогичным предположениям в теореме 8.1 (каких?),
мы получим определяющую кривую Γ = G∗ ⊂ P3x . Применять ее
нужно аналогично, только касательные прямые заменяются на соприкасающиеся плоскости.
СПИСОК
ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. T.1. М.:
Наука, 1987.
[2] Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. М.:
Наука, 1987.
ПРОЕКТИВНАЯ ТЕОРИЯ КЛЕЙНА
ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
E-mail address: krasnov@uniyar.ac.ru
27