Сложное движение точки. Сложное движение твердого тела.

http://teormex.net/
13
Сложное движение точки (тела) – такое движение, при котором точка (тело) одновременно участвует в нескольких движениях (напр. пассажир, перемещающийся по
движущемуся вагону). В этом случае вводится подвижная система координат
(Oxyz), которая совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат (O1x1y1z1). Абсолютным движением точки назыв. движение
по отношению к неподвижной системе координат. Относительное движение – движение по отношению к подвижной системе коорд. (движение по вагону). Переносное движение – движение подвижной сист. координат относительно неподвижной
 

(движение вагона). Теорема о сложении скоростей:    O  r ,





 dx  dy  dz   
z1
di
dj
dk
 d d O
M
v

 ( x  y  z)  ( i
 j  k ) ; i , j, k -орты
z
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
r
(единичные вектора) подвижной системы координат, орт вращает

х
O y
di  
ся вокруг мгновенной оси, поэтому скорость его конца
 e  i
o
y1
O1
dt




 dx  dy  dz
 d O 
v




(
i
x

j
y

k
z
)

(
i
 j  k ),
и
т.д.,
:
х1
e
dt
dt
dt
dt










dx
dy
dz

i x  j y  kz  r ; i
 j k
 i v rx  j v ry  kv rz  v r – относительная скорость.
dt
dt
dt
 

 
 


v  v O  e  r  v r ; переносная скорость: v e  v O  e  r , поэтому абсолютная
скорость точки = геометрической сумме ее переносной (ve) и относительной (vr)
 
 

скоростей v  v e  v r , модуль: v  v e2  v 2r  2 v e v r cos( v e , v r ) . Теорема о сложении




 dv d 2  O
d2 i
d2 j
d 2k
a

 ( 2 x  2 y  2 z) 
dt
dt 2
dt
dt
dt
ускорений (теорема Кориолиса):



2
2
2
d x d y d z
d i dx d j dy dk dz
 ( i 2  j 2  k 2 )  2(


)
dt dt dt dt dt dt
dt
dt
dt





de 
d2 i d di
d  
di  

(
)

(


i
)


i






i



(


i ) и т.д. Слагаемые
e
e
e
e
e
dt
dt
dt
dt 2 dt dt
d 2O 

 a O – ускорение полюса О;
выражения, определяющего ускорения a : 1)
2
dt



  
 
  
 
d2 i
d2 j
d2k
x

y

z

[


i



(


i
)]

x

[


j



(

e
e
e
e
e
e  j )]  y 
2) dt 2
dt 2
dt 2

  

  
 
 [ e  k  e  (e  k )]  z   e  r  e  (e  r );
 d2x  d2 y  d2z 



3) i 2  j 2  k 2  i  a rx  j  a ry  k  a rz  a r – относительное ускорение точки;
dt
dt
dt



 dx  dy  dz




 
d i dx d j dy dk dz 
4)


 e  ( i
 j  k )  e  ( i v rx  j v ry  kv rz )  e  v r ,
dt dt dt dt dt dt
dt
dt
dt
 
  
  


получаем: a  a O   e  r  e  (e  r )  a r  2(e  v r ) .
http://teormex.net/
14
Первые три слагаемых представляют собой ускорение точки в переносном движе ос 
 

 

нии: a O – ускорение полюса О; a вр
e   e  r – вращательное уск., a e   e  ( e  r ) –



 ос
осестремительное уск., т.е. a e  a О  a вр
e  a e . Теорема о сложении ускорений (тео 
 


рема Кориолиса): a  a е  a r  a c , где a c  2e  v r – ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) – в случае непоступательного переносного движения абсолютное
ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова
ускорений. Кориолисово ускорение характеризует: 1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения; 2) изменение
направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения. Модуль ускорения Кориолиса: ас= 2|evr|sin(e^vr), направление вектора

a c определяется по правилу векторного произведеvr

ния, или по правилу Жуковского: проекцию относительной скорости на плоскость, перпендикуляр
ную переносной угловой скорости, надо повернуть
на 90о в направлении вращения.
Кориолисово уск. = 0 в трех случаях: 1) e=0, т.е. в
ас
90о
vrsin
случае поступательного переносного движения
или в момент обращения угл. скорости в 0; 2) vr=0; 3) sin(e^vr)=0,

т.е. (e^vr)=0, когда относительная скорость vr параллельна оси
переносного вращения. В случае движения в одной плоскости –
угол между vr и вектором e = 90о, sin90o=1, ас=2evr.
vr
Сложное движение твердого тела
ас=0 При сложении двух поступательных движений результирующее
движение также является поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений. Сложение вращений тв. тела вокруг пересекающихся осей. Ось вращения, положение которой в пространстве изменяется со временем назыв. мгновенной осью
вращения тела. Вектор угловой скорости – скользящий вектор, направленный вдоль
мгновенной оси вращения. Абсолютная угловая скорость тела = геометрической сумме
скоростей составляющих вращений – правило
e
параллелограмма угловых скоростей.
 


  e   r . Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольr
ких осей, пересекающихся в одной точке, то
z

 








...


1
2
n . При сферическом движении твердо

го тела, одна из точек которого во все время движения
остается неподвижной, имеем уравнения сферического
движения: =f1(t); =f2(t); =f3(t).  – угол прецессии,  –
y
угол нутации,  – угол собственного вращения — углы
O


d
х
Эйлера. Угловая скорость прецессии 1 
, угл. ско
J
dt
http://teormex.net/
15


d
d  
, угл. ск. собственного вращения 3 
.   1   2  3 ,
dt
dt
2
2
2
      2
  cos – модуль угловой скорости тела вокруг мгновенной
 
оси.
Через
проекции
на
неподвижные
оси
координат:
 
 sin  sin ; y   sin   
 sin  cos ; z  
 cos – кинематиx   cos   
рость нутации  2 
ческие уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.
1) Вращения направлены в одну сторону. =2+1, С – мгновенvA
ный центр скоростей и через нее проходит мгновенная ось

2
v
v
v  v B 1


1
вращения,   B  A  A
,
. 2) Вра 2 
B
A
С
BC AC
AB
BC AC AB
vB
щения
направлены
в
разные
стороны.
v
v
v  vA
, =2—1
  B  A  B
BC AC
AB



С – мгн. центр ск. и мгн. ось вращения, 1  2 
. Векто2
1
BC
AC
AB
С
B
A
 ры угловых скоростей при вращении вокруг ||-ых осей складыvA
ваются так же, как векторы параллельных сил. 3) Пара вращеvB
ний – вращения вокруг ||-ных осей направлены в разные сторо

ны и угловые скорости по модулю равны ( 2  1 – пара угло2
1
вых скоростей). В этом случае vA=vB, результирующее движеB
A
ние тела – поступательное ( или мгновенное поступательное)
движение со скоростью v=1AB – момент пары угловых скороvA
vB
стей (поступательное движение педали велосипеда относит-но
рамы). Мгн. центр скоростей находится в бесконечности. Сложение поступательного и вращательного движений. 1) Скоp '

рость поступательного движения  к оси вращения – плоскопараллельное движение – мгновенное вращение вокруг оси Рр с
P
A
угловой скоростью ='.
v
2) Винтовое движение – движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси Аа с угл.ск.  и поступательного
" 
со скоростью v||Аа. Ось Аа – ось винта. Если v и  в одну стоa
рону, то винт – правый, если в разные – левый. Расстояние,
проходимое за время одного оборота любой точкой тела, леvM
v
жащей на оси винта, наз. шагом винта – h. Если v и  постоянM
h
v
ны, то h= 2 =const, при постоянном шаге любая ()М, не ле
A
жащая на оси винта описывает винтовую линию.
v M  v 2   2 r 2 направлена по касательной к винтовой линии.
3) Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения, в этом случае движение можно рассматривать как слагающееся из серии мгно-
http://teormex.net/
16
венных винтовых движений, вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей –
мгновенно–винтовое движение.