Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå 17

×Í
Ê
Ç À ÄÇÀÀ Ä×ÀÍ
ÈÈÊ
«ÊÂÀÍÒÀ»
17
«ÊÂÀÍÒÀ»
Çàäà÷è
ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå
Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â
íåì çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé
ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû
îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 ñåíòÿáðÿ 2003 ãîäà ïî àäðåñó:
119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè
ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå
«Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹3– 2003» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå,
íàïðèìåð «Ì1861» èëè «Ô1868».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî. Â
ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì
êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé).
Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå:
«Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).
 íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü.
Çàäà÷è Ì1861—Ì1870, Ô1868—Ô1877
Ì1865*. Äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N = 46 ìîæíî
óêàçàòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî
Ì1861. Òî÷êè â êîëè÷åñòâå 2n + 1 ðàçäåëèëè îêðóæíîñòü íà 2n + 1 ðàâíûõ äóã, ãäå n > 1. Ñðåäè ýòèõ òî÷åê
n + 1 – êðàñíûå. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåòñÿ ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê ñ êðàñíûìè âåðøèíàìè.
Ì = 460100021743857360295716,
Â.Ïðîèçâîëîâ
Ì1862. Áèññåêòðèñû AD, ÂÅ è ÑF òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ
ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå I. Äîêàæèòå, ÷òî à) åñëè ID =
= IF = IE, òî òðåóãîëüíèê ÀÂÑ ïðàâèëüíûé; á) åñëè
òðåóãîëüíèê DFE ïðàâèëüíûé, òî è òðåóãîëüíèê ÀÂÑ
ïðàâèëüíûé.
îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1) ïåðâûå öèôðû ÷èñëà Ì ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷èñëî N; 2) åñëè ýòè
ïåðâûå öèôðû ïåðåíåñòè â êîíåö ÷èñëà Ì, òî (îòáðîñèâ ïðè íåîáõîäèìîñòè ïåðâûå íóëè) ïîëó÷èì ÷èñëî
M1 = 10002174385736029571646,
êîòîðîå ðîâíî â N ðàç ìåíüøå ÷èñëà Ì. Äëÿ êàêèõ åùå
íàòóðàëüíûõ N ñóùåñòâóåò ÷èñëî Ì, îáëàäàþùåå
òàêèìè æå ñâîéñòâàìè?
À.Çàñëàâñêèé, Â.Ñåíäåðîâ
È.Àêóëè÷
Ì1863*. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ïåðâûå äâà
÷ëåíà êîòîðîé ðàâíû 1 è 2 ñîîòâåòñòâåííî, à êàæäûé
ñëåäóþùèé ÷ëåí – íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî,
êîòîðîå åùå íå âñòðåòèëîñü
K
C â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è êîB
òîðîå íå âçàèìíî ïðîñòî ñ
M
ïðåäûäóùèì ÷ëåíîì ïîñL ëåäîâàòåëüíîñòè. Äîêàæèòå, ÷òî êàæäîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî âõîäèò â ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Ì1866. Îñòðîâ ðàçäåëåí íà êíÿæåñòâà, êàæäîå èç
êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íà êàðòå îñòðîâà ïàðàëëåëîãðàìì. Ïðè ýòîì ëþáûå äâà ïàðàëëåëîãðàììà ëèáî
íå èìåþò îáùåãî ó÷àñòêà ãðàíèöû, ëèáî â êà÷åñòâå
îáùåãî ó÷àñòêà ãðàíèöû èìåþò îáùóþ ñòîðîíó. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ïðàâèëüíîé ðàñêðàñêè êàðòû îñòðîâà
äîñòàòî÷íî òðåõ êðàñîê. (Ðàñêðàñêà ïðàâèëüíàÿ, åñëè
ëþáûå äâà êíÿæåñòâà, èìåþùèå îáùèé ó÷àñòîê ãðàíèöû, çàêðàøåíû â ðàçíûå öâåòà.)
A
N
D
Äæ.Ëàãàðèàñ, È.Ðåéíñ,
Í.Ñëîàí
Ì1864. Â êâàäðàò ABCD
âïèñàíà ëîìàíàÿ MKALN
òàêàÿ, ÷òî ∠MKA = ∠KAL = ∠ALN = 45o (ðèñ.1). Äîêàæèòå, ÷òî
Ðèñ.1
MK2 + AL2 = AK2 + NL2 .
2 Êâàíò ¹ 3
Â.Ïðîèçâîëîâ
Â.Ïðîèçâîëîâ
Ì1867*. Ïóñòü Ì – ìíîæåñòâî ÷ëåíîâ íåêîòîðîé
ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Êàêîâî íàèáîëüøåå âîçìîæíîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ïåðåñå÷åíèè ìíîæåñòâà Ì ñ
n
ìíîæåñòâîì à) 2n − 1 n ∈ Z ; á) 2 + 1 n ∈ Z ?
{
}
{
}
À.Ãîëîâàíîâ, Â.Ñåíäåðîâ
Ì1868*. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî âñåõ êâàäðàòíûõ òàáëèö p × p êëåòîê (p > 1), çàïîëíåííûõ íàòóðàëüíûìè
÷èñëàìè 1, 2, ..., p2 . Íàçîâåì ïðàâèëüíîé òàáëèöó, â
êîòîðîé â ïåðâîé ñòðîêå (ñòîëáöå) ñòîÿò ïî ïîðÿäêó