ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ натуральные уравнения

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
натуральные уравнения кривой
ШИМАНЧУК Дмитрий Викторович
shymanchuk@mail.ru
Санкт-Петербургский государственный университет
Факультет прикладной математики – процессов управления
Санкт-Петербург – 2014г.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
1 / 11
Длина дуги кривой I
Если γ – дуга гладкой кривой и r = r(t), t ∈ (a, b) – ее параметризация, то
длина этой дуги s(γ) определяется по формуле
s(γ) =
Zb
|r 0 (t)|dt.
a
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
2 / 11
Длина дуги кривой II
Если гладкая кривая задана уравнениями
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ (a, b), то ее длина
s(γ) =
Zb p
x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 dt.
a
Если гладкая кривая задана уравнениями y = y(x), z = z(x), x ∈ (a, b), то
ее длина
s(γ) =
Zb p
1 + y 0 (x)2 + z 0 (x)2 dx.
a
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
3 / 11
Естественная параметризация
Определение
Параметр на кривой называется натуральным, если, с точностью до
постоянного слагаемого, он равен длине дуги этой кривой, отсчитываемой (со
знаком) от какой-либо ее точки в каком-нибудь выбранном направлении.
Определение
Натуральный параметр обозначается буквой s, а сама параметризация
r = r(s), s ∈ (α, β) называется естественной параметризацией.
Замечание
Естественная параметризация r = r(s), s ∈ (α, β) регулярной кривой без особых
точек является регулярной, причем |r 0 (t)| = 1.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
4 / 11
Кривизна кривой I
Определение
Кривизной k кривой в данной точке называют модуль скорости вращения
касательной по отношению к длине дуги.
Регулярная дважды дифференцируемая без особых точек кривая γ,
заданная векторной функцией r = r(t), t ∈ (a, b), имеет в каждой точке
определенную кривизну, причем
k(t) =
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
|r 0 (t) × r 00 (t)|
.
|r 0 (t)|3
2014г.
5 / 11
Кривизна кривой II
Если кривая задана естественной параметризацией r = r(s), s ∈ (α, β), то
k(s) = |r 00 (s)|.
При параметрическом способе задания кривой
x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ (a, b), кривизна вычисляется по формуле
k2 (t) =
0
y (t)
00
y (t)
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2 0
x (t) z 0 (t) 2 x0 (t)
z 0 (t) + 00
+ 00
x (t)
x (t) z 00 (t) z 00 (t) (x0 (t)2 + y 0 (t)2 + z 0 (t)2 )3
2
y 0 (t) y 00 (t) .
2014г.
6 / 11
Кривизна кривой III
Кривизна плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями
x = x(t), y = y(t), t ∈ (a, b), определяется из соотношения
k2 (t) =
(x0 (t)y 00 (t) − y 0 (t)x00 (t))2
.
(x0 (t)2 + y 0 (t)2 )3
Если плоская кривая задана уравнением y = y(x), x ∈ (a, b), то
k2 (t) =
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
y 00 (t)2
.
(1 + y 02 (t))3
2014г.
7 / 11
Кручение I
Определение
Кручением κ кривой называют скорость вращения соприкасающейся плоскости
вокруг касательной.
Регулярная трижды дифференцируемая кривая γ без особых точек,
заданная векторной функцией r = r(t), t ∈ (a, b), имеет в каждой точке,
где кривизна отлична от нуля, определенное кручение, причем
κ(t) =
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(r 0 (t), r 00 (t), r 000 (t))
.
|r 0 (t) × r 00 (t)|2
2014г.
8 / 11
Кручение II
В случае естественной параметризацией кривой r = r(s), s ∈ (α, β), тогда
κ(s) =
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
(r 0 (s), r 00 (s), r 000 (s))
.
k(s)2
2014г.
9 / 11
Натуральные уравнения кривой I
Замечание
Если кривая задана естественной параметризацией r = r(s), s ∈ (α, β), то
кривизна и кручение будут являться функциями длины дуги.
Определение
Систему двух соотношений
k = k(s), κ = κ(s)
называют натуральными уравнениями кривой.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
10 / 11
Натуральные уравнения кривой II
Натуральные уравнения полностью определяют форму кривой ...
... они связывают инварианты, которые не меняются при преобразовании
координат (при изменении положения указанной кривой в пространстве
относительно системы координат).
Если две гладкие кривые γ1 и γ2 без особых точек, заданные своими
параметризациями r = r1 (s), r = r 2 (s) соответственно, имеют одинаковую
длину и в соответствующих точках этих кривых k1 (s) = k2 (s),
κ1 (s) = κ2 (s), то
γ1 и γ2 совпадают или отличаются лишь положением в пространстве.
ШИМАНЧУК Д. В. (СПбГУ)
2014г.
11 / 11