9_Логарифмические уравнения

Молодечненский государственный политехнический колледж
Инструкция к практической работе: Логарифмические
уравнения.
Разработчик:
И. А. Кочеткова
Цель работы:
1) Отработать некоторые приѐмы решения логарифмических уравнений.
2) Научиться приводить логарифмические уравнения к
известным алгебраическим уравнениям, используя
свойства логарифмов, формулу перехода от логарифма
с одним основанием к логарифму с другим основанием,
свойства логарифмической функции и алгебраические
преобразования.
Оборудование: карта индивидуального задания,
микрокалькулятор.
Порядок выполнения работы:
1. Изучить указания к выполнению практической р аботы.
2. Ответить на контрольные вопросы:
1) Какое уравнение называется логарифмическим?
2) Какие приѐмы решения логарифмических уравнений
существуют?
3) Какие теоремы и формулы надо знать для преобразования логарифмического уравнения к виду logaf(x) =
loga g(x) или loga f(x) = b?
4) Как выяснить какие из найденных корней будут посторонними?
5) Когда возникает опасность потери корней?
3. Изучить условия заданий. Определить способ решения.
4. Решить уравнения.
5.Оформить отчѐт.
Указания к выполнению практической работы
Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма или
в основании логарифма, называется логарифмическим уравнением.
При выполнении работы, используйте рассмотренные ниже способы решения логарифмических уравнений.
1) Логарифмическое уравнение logaf(x)=b (1), где а>0, а≠0, b- любое
действительное число, равносильно уравнению f(х) = аb
Пример 1.
log2(x2 – Зх) = 2
Решение.
х2-Зх=22;
х2-Зх-4=0;
х 1 =-1;
Ответ: {-1;4}
x 2 =4.
Самостоятельно решите примеры из № 5.31 (1,2,4)
2) Логарифмическое уравнение logaf(х) = logag(x) (2) равносильно
уравнению f(x) = g(x).
Из найденных корней следует включить в ответ только те,
для которых f(х)>0, g(x)>0, либо необходимо проверить каждый из
них подстановкой в исходное уравнение.
Пример 2. log0,6(х 2 - 5 x + 6 ) = log0,6 (x-2)
Замечание.
уравнение к
подходящие
ние. Такими
Ответ: x=4
В некоторых случаях, для того, чтобы привести
виду (1) или (2), необходимо предварительно сделать
преобразования логарифмов, входящих в уравнепреобразованиями могут быть:
log a f(x) - log a g(x)
p log a f ( x )
log a
f(x)
g(x)
log a f(x) p
1 log a a , поэтому любое число k
k log a a
log a a k
а так же переход от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием:
log a x
Пример 3.
Решение.
log b x
, log a b
log b a
1
, log m b
a
log b a
lg(x-3) + lg(x-2) = l – lg5
1
log a b
m
lg(x-3) + lg(x-2)=l-lg5 lg((x-3)(x-2)) = lg10-lg5
lg(x2-3x-2x + 6)=lg2
ОДЗ:
x -3 0
x2-5x + 6 = 2
x-2
2
x -5x + 4 = 0
x1
4
x2
1
x
(3;
x
x
4
x
3
x
2
0
(3, )
)
Ответ: 4
Пример 4. log2(x - 2) + log8(x - 2) = -4
Решение. Приведѐм логарифмы к одному снованию 2
log 2 ( x 2) log 23 ( x 2)
log2 (x 2)
log2 ( x 2)
log2 (x 2)
log 2 ( x 2)
2 3;
x 2
x
x
1
8
(2;
4
1
log2 (x 2)
3
1
1
4
3
4
4
3
3
1
1
x
2 2
8
8
x
2
)
4
ОДЗ:
x – 2 > 0;
x>2;
x (2; )
1
8
Пример 5. 3∙log2x - log4x + 5∙log16x = 7,5
Пример 6. x - lg5 = x lg5 + 2lg2 - lg(l + 2x)
Ответ: 2,125.
Ответ: 4.
Решение. Применим свойства логарифмов и приведѐм уравнение к виду (2):
x lg 10 lg 5
x lg10x
lg 10 x
lg 5 lg 4 lg( 1 2 x )
lg 5 lg 5x
lg( 1 2 x )
lg( 10 x (1 2 x ))
10 x (1 2 x )
10x 10x 2x
lg 5 x
lg 4 lg 5
lg( 20 5 x )
20 5 x
х
20 5x разделим уравнение на 5
2 x 4 x 20
2 2 x 2 x 20 0
t 2 t 20 0
t1= -5, t2= 4.
Значит 2x = 4
x=2.
Пример 7.
lg 4 lg(1 2 x )
приведѐм степени к основанию 2
обозначим 2x = t, t > 0
решим квадратное уравнение относительно t
t2 не подходит
Ответ: 2.
Ответ: 1;2
3) Способ введения новой переменной
Для того, чтобы свести решение логарифмического уравнения к последовательному решению алгебраического и простейшего логарифмического уравнения, можно ввести переменную logaf(х)=t.
Пример 8.
log x 3 log 3 x
log
x
3 log 3 x
0,5
Решение. Приведѐм логарифмы к одному основанию 3, а затем введѐм новую перемен1
1
ную:
log 3 x 2 log x 3
log 3 x 0,5
log 3 x
2
1
log 3 x
log 3 x
2
log 3 x
1
log 3 x
2
1
.
2
Введѐм новую переменную log 3 x t :
1
2 t 1
t
t
t 2 2
Приведѐм дроби к одному знаменателю и решим получившееся уравнение:
2 2t 2 4 t 2 t
t2 t 2
0;
0;
t ≠ 0;
2t
2t
t2 t 2 0;
D=1+8=9;
t1=2;
Значит log 3 x
2 или log 3 x
x=32=9
Пример 9.
t2= -1.
1;
Ответ: 9;
x=1/3.
x log3 x
1
1
3
9
Решение. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
; применим теорему log a f(x) p p log a f ( x )
; раскроем скобки
log 32 x log 3 x
t2
2;
введѐм новую переменную log 3 x
t
t 2 0;
D=1+8=9;
t1=2;
t2= -1.
Вернѐмся к переменной х:
log 3 x
2 или log 3 x
x=32=9
x=1/3.
Пример 10.
1 lg x
x
1;
Ответ: 9;
0,001
2
3
1
3
Ответ: {0,01; 10}