Уравнения Навье-Стокса

Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Уравнения Навье-Стокса
Мы ограничимся рассмотрением уравнений движения
газа с постоянными теплоемкостями).

∂ρ


+ (u · ∇) ρ + ρ ∇ · u = 0


∂
t


∂u
ρ
+ ρ (u · ∇) u + ∇p = ∇ · τ

∂
t




 ρ ∂ e + ρ (u · ∇) e + p∇ · u = Φ − ∇ · q
∂t
для совершенного газа (идеального
Уравнение неразрывности
Уравнение импульса
Уравнение энергии
Уравнение состояния
p = ρ RT ,
где R = R/M, универсальная газовая постоянная R = 8314 Дж/(кмоль·K).
Тензор вязких напряжений
∂ ui ∂ u j 2 ∂ uk
, вторая (объемная) вязкость λ ≡ 0.
τi j = µ
+
− δi j
∂ x j ∂ xi 3 ∂ xk
C1T 3/2
Первая (сдвиговая) вязкость: µ = µ (T ), формула Сазерленда µ =
C2 + T
Вычислительная аэродинамика
Внутренняя энергия
e = cvT = RT /(γ − 1), показатель адиабаты γ = c p/cv = const.
Диссипативная функция
∂ ui µ ∂ ui ∂ u j 2 ∂ uk 2
Φ = τi j
=
+
− δi j
∂ x j 2 ∂ x j ∂ xi 3 ∂ xk
Поток тепла
q = −k∇T , теплопроводность k = µ c p/ Pr, число Прандтля Pr = const.
Для воздуха
C1 = 1, 458 · 10−6 кг/(м·с·К1/2), C2 = 110, 4 К, γ = 1, 4, Pr = 0, 72.
Лекция 1
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Консервативная форма уравнений
∂ Q ∂ (Fx − Fvx) ∂ (Fy − Fvy) ∂ (Fz − Fvz)
+
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
∂z








ρ
ρu
ρv
ρw
 ρu 
 ρ u2 + p 
 ρ uv
 ρ uw












 2





Q =  ρ v  , Fx =  ρ uv
 , Fy =  ρ v + p  , Fz =  ρ vw









 ρw 
 ρ uw
 ρ vw
 ρ w2 + p 


E
(E + p)u
(E + p)v
(E + p)w


0

τ

 ix
2
2
2
+
v
+
w
u


Fvi =  τiy
полная энергия E = ρ e +
.
,


2

 τiz
(E + p)ui + τi j u j − qi
Интегральная форма
∂
∂t
Z
V
Q dV +
I
S
(Fi − Fvi) ni dS = 0
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Уравнения Эйлера

∂ρ


+ ∇ · (ρ u) = 0


∂
t


∂ ρu
+ ∇ · (ρ uu + pI) = 0

∂
t




 ∂ E + ∇ · (E + p)u = 0
∂t
Несжимаемые уравнения Навье-Стокса

∇·u = 0




 ∂u
1
+ (u · ∇) u + ∇p = µ ∇2u
∂t
ρ




 ∂ T + (u · ∇) T = κ ∇2T, κ = k/ρ c p
∂t
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Гиперболические уравнения
Гиперболические уравнения появляются всюду, где происходят процессы распространения
информации с конечной скоростью.
• Самое известное гиперболическое уравнение — волновое уравнение
• Самое простое гиперболическое уравнение — уравнение переноса
utt = c2 ∇2u
ut + aux = 0
• Очень полезное гиперболическое уравнение — невязкое уравнение Бюргерса
(уравнение Хопфа)
ut + uux = 0
Другие примеры гиперболических уравнений:
• Нестационарные уравнения Эйлера (см. предыдущий слайд)
• Стационарные уравнения Эйлера для сверхзвукового течения
• Уравнения мелкой воды
• Уравнения идеальной магнитной гидродинамики
• Уравнения теории упругости
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Скалярный закон сохранения
Рассмотрим задачу Коши для скалярного закона сохранения
ut + f (u)x = 0,
Два примера:
u(0, x) = φ (x),
−∞ < x < ∞, t > 0.
f (u) = au — линейное уравнение переноса,
f (u) = u2/2 — невязкое уравнение Бюргерса.
Продифференцировав f по x, получаем неконсервативную форму
ut + a(u) ux = 0,
где a(u) = f 0(u).
Проинтегрировав от x = a до x = b, получаем интегральную форму
d
dt
Z
b
u(x,t) dx = f (u(t, a)) − f (u(t, b)).
a
Решение линейного уравнения переноса:
u(x,t) = φ (x − at)
∂u
∂ u ∂ u dx ∂ u du
+a
=
+
=
= 0,
∂t
∂ x ∂ t dt ∂ x dt
если
dx
= a.
dt
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Характеристики
Характеристики — это кривые в x − t плоскости, определенные уравнением
dx(t)/dt = a(u(t, x(t)).
Если решение u(t, x) дифференцируемо, то оно постоянно вдоль характеристик.
du(t, x(t))
dx(t)
= ut +
ux = ut + a(u) ux = 0.
dt
dt
Если решение задачи Коши дифференцируемо, то оно дается неявной формулой
u = φ (x − a(u) t).
Это легко проверяется прямым вычислением производных и их подстановкой в уравнение.
ut = φ · (−a − tut a )
0
0
ux = φ · (1 − tux a )
0
0
⇒
aφ 0
ut = −
1 + φ 0 a 0t
⇒
φ0
ux =
1 + φ 0 a0 t
Что, однако, случится, если знаменатель (1 + φ 0a0t) обратится в нуль?
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Нарушение гладкости решения
Рассмотрим следующую задачу Коши для невязкого уравнения Бюргерса
ut + (u2/2)x = 0,
u(0, x) = sin(x),
−∞ < x < ∞, t > 0.
Для нее наклон характеристик суть a(u) = u. В начальный момент времени в точке x = π /2
u = 1, тогда как в точке x = 3π /2 u = −1.
t
???
u=1
u = -1
x
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Эволюция решения во времени
1
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
-0.2
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.4
-0.6
-0.6
-0.6
-0.8
-0.8
-0.8
-1
0
50
100
150
t =0
200
250
300
-1
0
50
100
150
200
t = 0, 1
250
300
-1
0
50
100
150
200
250
t = 0, 5
Если начальные данные φ (x) гладкие, и φ 0 (x) где-то отрицательно, то в процессе эволюции
гладкость нарушается впервые в момент времени
T=
−1
min φ 0 (x)
300
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Понятие слабого решения
Естественный путь определить обобщенное решение, которое может иметь разрывы — это
обратиться к интегральной форме закона сохранения и потребовать, чтобы
Z
t2 Z b
t1
(ut + fx) = 0
a
для всех t1, t2, a, b.
Другой, часто более удобный, путь — ввести пробные функции
и определить понятие слабого решения.
η (x,t) ∈ C0∞(R × R+)
Слабое решение скалярного закона сохранения — это функция u(x,t), удовлетворяющая
соотношению
Z
0
∞Z ∞
−∞
ηt u + ηx f (u) dxdt +
Z
∞
−∞
η (0, x)ϕ (x) dx = 0,
для всех пробных функций η ∈ C0∞. Выписанное соотношение легко получить, умножая закон
сохранения на η (x,t) и интегрируя по частям (так что все дифференцирования переносятся
на пробную функцию) над полуплоскостью (x,t).
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Осторожно — следуют помнить, что одному и тому же уравнению, записанному в
неконсервативной форме может соответствовать несколько законов сохранения, например
(1) ut + (u2/2)x = 0
и
(2) (u2/2)t + (u3/3)x = 0
для
Приведенные выше определения вводятся именно для закона сохранения.
ut + uux = 0.
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Соотношения Рэнкина-Гюгонио
Рассмотрим разрыв решения, движущийся со скоростью s. Пусть траектория движения
разрыва суть x(t), значение u слева о разрыва обозначим uL, справа от разрыва — uR.
Интегральную форму закона сохранения
d
dt
Z
b
u(x,t) dx = f (u(t, a)) − f (u(t, b))
a
можно переписать как
Z x(t)
Z b
d
u(x,t) dx +
u(x,t) dx = f (u(t, a)) − f (u(t, b)).
dt a
x(t)
Выполняя дифференцирование, получаем
Z
a
x(t)
ut dx + u(t, x(t) − ε ) x (t) +
0
Z
b
ut dx − u(t, x(t) + ε ) x0(t) = f (u(t, a)) − f (u(t, b)).
x(t)
Подставив ut = − f x и выполняя интегрирование, получаем
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
f (u(t, a)) − f (u(t, x(t) − ε )) + u(t, x(t) − ε ) x0 (t) +
f (u(t, x(t) + ε )) − f (u(t, b)) − u(t, x(t) + ε ) x0 (t) = f (u(t, a)) − f (u(t, b)).
Окончательно получаем
s(uL) − uR) = f (uL) − f (uR) .
В частности, для невязкого уравнения Бюргерса имеем
fL − fR u2L /2 − u2R/2 uL + uR
s=
=
=
.
uL − u R
uL − u R
2
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Потеря единственности
Пример 1. Рассмотрим задачу
ut + (u2/2)x = 0,
−∞ < x < ∞, t > 0,
u(x, 0) =
0, x < 0
1, x > 0
Два обобщенных решения этой задачи:
u1(x,t) =

 0, x < 0
u2(x,t) = x/t, 0 ≤ x ≤ t

1
x>t
0, x < t/2
1, x > t/2
t
x
Скачок движется со скоростью
s = 1/2.
Решение
u1
неудовлетворительно:
оно
неустойчиво к возмущениям
и не определяется полностью
начальными
данными.
"Правильным"
решением
является u2.
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Энтропийное условие
Пример 2. Задача
ut + (u2/2)x = 0,
−∞ < x < ∞, t > 0,
u(x, 0) =
1, x < 0
0, x > 0
имеет решение
u(x,t) =
1, x < t/2
0, x > t/2
t
Скачок также движется со
скоростью s = 1/2. Это
решение со сходящимися
характеристиками
удовлетворяет всем разумным
требованиям.
x
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Энтропийное условие
Предположим, что функция f (u) выпуклая: f 00 (u) > 0. Тогда разрыв с левым значением uL и
правым uR будет удовлетворять энтропийному условию, если
f 0(uL ) > s > f 0(uR).
Задача Коши для закона сохранения с выпуклой функцией потока f (u) и произвольными
интегрируемыми начальными данными имеет единственное слабое решение в классе
функций, удовлетворяющих энтропийному условию на всех скачках.
Если функция f (u) не является выпуклой, энтропийное условие формулируется более
сложным образом:
f(u)
f (uL) − f (u) f (uR) − f (uL)
≥
uL − u
uR − u L
ur
ul
u
для всех u ∈ [uL , uR] или [uR, uL]
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Исчезающая вязкость.
Отметим, что энтропийное условие нарушает симметрию по отношению к обращению
времени.
Альтернативный путь введения энтропийного условия связан с рассмотрением уравнения с
вязкостью
ut + f (u)x = ε uxx ,
ε > 0.
Слабое решение невязкого уравнения можно тогда ввести как предел при ε → 0 решений
вязкого уравнения (последние всегда гладкие).
Пусть E(u) — некоторая строго выпуклая (E 00 (u) > 0) функция (энтропийная функция).
Умножим вязкое уравнение на E 0 (u):
E 0 (u) ut + E 0(u) f (u)x = E 0(u) ε uxx
Далее
⇒
E(u)t + F(u)x = ε E 0(u) uxx ,
где F 0(u) = E 0(u) f 0(u)
E(u)xx = [E 0(u) ux ]x = E 00 (u) (ux)2 + E 0(u) uxx ,
E(u)t + F(u)x = ε [E(u)xx − E 00(u) (ux)2] ≤ ε E(u)xx
При ε → 0, получаем
E(u)t + F(u)x ≤ 0 .
Таким образом,
d R∞
Edx ≤ 0.
dt −∞
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Общие определения
Рассмотрим квазилинейную систему n уравнений от двух независимых переменных
 
u1
U =  ...  ,
un
 
b1
B =  ...  ,
bn
Ut + A Ux + B = 0,
(∗)


a11 · · · a1n
...
...  , a = a (x,t, u , . . . , u ), b = b (x,t, u , . . . , u )
A =  ...
ij
ij
1
n
i
i
1
n
an1 · · · ann
Система будет линейной с переменными коэффициентами, если ai j = ai j (x,t), bi = bi(x,t), и
с постоянными коэффициентами, если ai j = const, bi = const.
Система Ut + F(U)x = 0 называется системой законов сохранения.
Ut + F(U)x = 0
⇒
Ut + A Ux = 0, где A = ∂ F/∂ U — матрица Якоби.
Уравнение на собственные значения: Ar = λ r. Числа λi, такие что det(A− λ I) = 0, называются
собственными значениями, а соответствующие им ri — правыми собственными векторами.
Аналогично, из уравнения lT A = λ lT , определяются левые собственные векторы li.
Определение. Система (*) называется гиперболической в точке (x,t), если матрица A имеет
n вещественных собственных значений λ1, . . ., λn и соответствующий набор n линейно
независимых правых собственных векторов ri. Она будет строго гиперболической, если
все λi различны.
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Гиперболичность уравнений Эйлера
Одномерные уравнения Эйлера можно записать в следующей неконсервативной форме
 


ρ
u ρ 0
Wt + A Wx = 0,
W =  u  , A = 0 u 1/ρ  .
p
0 γp u
Найдем собственные значения.
det(A − λ I) = (u − λ )3 − (u − λ )γ p/ρ = 0
p
λ1 = u − a, λ2 = u, λ3 = u + a,
где a = γ p/ρ .
Соответствующие собственные векторы






1
1
1
r1 =  u − a  , r 2 =  u  , r 3 =  u + a  ,
H − ua
u2/2
H + ua
γp
E + p u2
≡ +
.
H=
ρ
2 (γ − 1)ρ
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Линейные системы
Пример.
ut + A ux = 0 :
0
u1
0 1
u1
=
+
,
0
1 0
u2 t
u2
u1(x, 0) = 0,
u2(x, 0) =
2, x < 0
0, x ≥ 0
Собственные значения и векторы равны
1
λ1 = 1, r1 =
,
1
λ2 = −1, r2 =
1
,
−1
Характеристические переменные w = R−1u,
R−1 ut + R−1AR = 0,
⇒
wt + Λ wx = 0
Решение wk = w0k (x− λkt), где w01 = w1(x, 0) =
R=
1 1
,
1 −1
Λ = R−1 AR =
1 0
.
0 −1
1
u
u
w1
+
u
1
2
= R−1 1 =
,
w2
u2
2 u1 − u 2
⇒
w1t + λ1w1x = 0, w2t + λ2w2x = 0.
1, x < 0
,
0, x ≥ 0
w02 = w2(x, 0) =
−1, x < 0
.
0, x ≥ 0
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Окончательно получаем
w1(x,t) =
1, x − t < 0
,
0, x − t ≥ 0
w2(x,t) =
−1, x + t < 0
.
0, x + t ≥ 0


 0, x < −t
 2, x < −t
u1(x,t) = 1, −t ≤ x ≤ t , u2(x,t) = 1, −t ≤ x ≤ t .


0, x ≥ t
0, x ≥ t
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Начальные данные
u
z
0
0
x
v
x
w
0
0
x
Примитивные переменные
x
Характеристические переменные
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Решение
u
z
0
0
x
v
x
w
0
0
x
Примитивные переменные
x
Характеристические переменные
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Общий случай
Задача о распаде разрыва (задача Римана).
ut + A ux = 0,
u(x, 0) =
uL , x < 0
uR , x > 0
n
Решение
u(x,t) = ∑ v0k (x − λkt) rk
k=1
Обозначим v0k (x) =
vkL , x < 0
vkR x > 0
Пусть λ1 < λ2 . . . < λn.
q
u(x,t) =
∑
k=1
n
vkRrk +
∑
k=q+1
q
vkL rk = uL + ∑ (vkR − vkL) rk ,
k=1
λq < x/t < λq+1
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
t
u1
u2
q
uq = uL + ∑ (vkR −vkL) rk
k=1
u3
uL
u0 = u L ,
uR
x
un = uR
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Нелинейные системы
ut + f(u)x = 0,
Матрица Якоби A = ∂ f/∂ u
Собственные значения λ1(u) < λ2(u) < . . . < λn(u),
собственные векторы r1(u), r2(u), . . ., rn(u).
Условие выпуклости f 00 (u) 6= 0 обобщается на системы как:
• k-ое характеристическое поле называется истинно линейным,
если rTr ∇uλk (u) 6= 0 для всех u.
Для линейного скалярного уравнения f 00(u) = 0. Аналогом этого условия является
следующее
• k-ое характеристическое поле называется линейно вырожденным,
если rTr ∇uλk (u) = 0 для всех u.
∂a
∂a
.
Здесь ∇ua =
, . . .,
∂ u1
∂ un
Обсудим далее три типа решений:
1) Ударные волны
2) Волны разрежения 3) Контактные разрывы
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Ударные волны
Пусть k — истинно нелинейное характеристическое поле. Разрыв называется ударной волной
в k-ом характеристическом поле, если выполняются условия Рэнкина-Гюгонио
s(uL − uR) = f(uL) − f(uR),
и имеют место равенства
λk (uL ) > s > λk (uR),
λk−1(uL) < s < λk+1(uR)
Набор состояний uR, которые могут быть связаны с uL через ударную волну в k-ом
характеристическом поле образует гладкое однопараметрическое семейство
uR = u(p), −p0 ≤ p ≤ 0, uR(0) = uL .
s0(p)(uL − uR) − s(p)u0R(p) = −∂ f/∂ u(u) u0R(p)
A(uL) u0R(0) = s(0)u0R(0)
⇒
u0R(0) = c rk (uL), s(0) = λk (uL )
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Волны разрежения
Волны разрежения находятся как автомодельные решения u(x,t) = b(x/t) = b(ξ ).
−
x 0 1
b + A(b) b0 = 0
2
t
t
⇒
(A(b) − ξ ) b0 = 0.
Отсюда решение выражается через собственные значения и собственные векторы:
ξ = λ (b(ξ )) b0 = cr(b).
Используя то, что поле истинно нелинейное, можно показать, что c = 1. Для заданного
состояния uL можно решить обыкновенное дифференциальное уравнение
b0(ξ ) = r(b(ξ )),
ξ0 ≤ ξ ≤ ξ0 + p,
ξ0 = λ b(ξ0)).
Состояние uR = b(ξ0 + p) связано с uL = b(ξ0) через волну разрежения в k-ом
характеристическом поле.
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
u1
t
x
x
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Истинно нелинейное поле
Итак, если k-ое поле является истинно нелинейным, тогда для заданного состояния u L
существует однопараметрическое семейство состояний, uR = u(p), −p0 ≤ p ≤ p0 которые
могут быть связаны с посредством ударной волны p ≤ 0 или волны разрежения p ≥ 0.
u2
2-S
uL
1-S
1-R
2-R
u1
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Римановы инварианты
k-инвариант Римана — гладкая скалярная функция w(u1, . . . , un), такая что rTk ∇uw = 0.
Существует (n − 1) k-инвариантов Римана с линейно независимыми градиентами.
Векторное поле
rTk ∇u
n
= ∑ ri(u)
i=1
∂
может быть координатным преобразованием v = v(u)
∂ ui
∂
, и мы выберем w1(v) = v2, . . . , wn−1(v) = vn. Тогда функции wi, i =
∂ v1
∂ wi
1, . . . , n − 1 удовлетворяют уравнению
= 0 и имеют линейно независимые градиенты.
∂ v1
Обратное преобразование дает функции wi(u) обладают желаемыми свойствами.
приведено к виду
k-инварианты Римана постоянны в волне разрежения в k-ом характеристическом поле.
Решение в волне разрежения удовлетворяет соотношению u0(ξ ) = rk (u(ξ )). Пусть w — kинвариант Римана. Тогда dw/d ξ = 0 и w постоянна в волне разрежения.
Отсюда получаем следующие соотношения для двух состояний связанных волной
разрежения в характеристическом поле:
wi(uL) = wi(uR)
i = 1, . . . , n − 1.
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Контактные разрывы
du(p)
= rk (u(p)).
dp
собственное значение постоянно вдоль этой кривой, поскольку из линейной вырожденности
следует
Пусть поле k линейно вырождено. Определим кривую u(p) так, чтобы
d λk (u) du
=
∇uλk = 0.
dp
dp
Состояния на кривой u(p) могут быть связаны с uL через разрыв, движущийся со скоростью
s = λk (uL) = λk (u(p)).
G(u(p)) = f(u(p)) − su(p)
⇒
dG
du
= (A(u(p)) − s)
= 0.
dp
dp
Отсюда f(u(p)) − su(p) = const = f(uL) − suL и условия Рэнкина-Гюгонио удовлетворяются.
Такие разрывы называются контактными разрывами. Соответствующие характеристики
параллельны контактному разрыву. Такие волны во многом подобны решениям линейного
уравнения ut + aux = 0 с разрывом в начальных данных.
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Задача Римана для нелинейных гиперболических систем
ut + f(u)x = 0,
u(x, 0) =
uL x < 0
uR x > 0
t
2-rarefaction
1-shock
3-shock
u1
u2
uR
uL
x
Вычислительная аэродинамика
Лекция 1
Задача Римана для нелинейных гиперболических систем
t
u2
uM
1-s
uR
2-r
2-s
1-r
uR
uL
2-rarefaction
uL
2-r
u
1-shock
uM
uM
1-s
uL
1-r
2-s
uR
u1
x
x