Описание дискретных систем разностными уравнениями

Описание дискретных систем
разностными уравнениями
- уравнение 1-го порядка
- уравнение k-го
порядка
Порядок разностного уравнения — наибольший интервал времени между входящими
в него членами
- уравнение 40-го порядка
- уравнение первого
порядка
Переход от уравнений высокого
порядка к системам уравнений
первого порядка
обозначим:
система k уравнений первого порядка
Пример:
- уравнение 3-го порядка
обозначим:
- система 3-х уравнений 1-го порядка
Автономные и неавтономные
уравнения
Автономное уравнение — уравнение, не содержащее
явной зависимости от времени
Классификация уравнений:
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
линейные
нелинейные
автономные
параметрические
неавтономные
под действием
внешней силы
Линейные уравнения
линейное уравнение
если
также является решением
- решения, то
Пример:
Ипотечный кредит на 1 000 000 рублей, сроком на 20 лет по ставке 15% годовых с
ежемесячным начислением процентов на остаток долга. Погашение —
ежемесячными равными долями.
Размер выплат?
Сумма выплат?
- остаток на начало n-го месяца
- ежемесячные выплаты
- ежемесячные отчисления
- уравнение для
суммы долга
- начальные условия
- граничные условия
1) решение автономной системы
где
решение
2) решение неавтономной системы при нулевых н.у.
найдем p:
полная сумма выплат:
Переход от ОДУ к разностным
уравнениям
- система ОДУ
Переход от дифференциальных уравнений к разностным уравнениям по методу
Эйлера
Представление линейных
дискретных систем как
четырехполюсников
вход
выход
разностное уравнение,
описывающее линейный
рекурсивный четырехполюсник
порядок уравнения
Структурная схема
нерекурсивного четырехполюсника
+
Рекурсивные четырехполюсники
цепь обратной связи
Импульсная характеристика
- отклик системы на воздействие в
виде δ-импульса
x
импульсная характеристика
аналогового сигнала
для цифровых сигналов:
воздействие (δ(n))
n
y
отклик (h(n))
n
оператор,
описывающий
четырехполюсник
Каузальные четырехполюсники
h(n)
h(n)
импульсная
характеристика
каузального
устройства
n
импульсная
характеристика
некаузального
устройства
n