Закон Симпсона

1) Найти среднеквадратическое отклонение случайной величины
имеет вид:
X , плотность распределения которой
- данная случайная величина распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке
 1 ; 1 .
Из рисунка запишем формулу f  x  :
 ax  a

f  x     ax  a
0

при  1  x  0
при 0  x  1
при x   1 ; 1

Поскольку
 f  x  dx  1 , то площадь фигуры под линией графика
f  x  должна быть равна 1; это площадь

треугольника
1
2a  1,
2
откуда получаем a  1 и
 x1

f  x    x  1
0

при  1  x  0
при 0  x  1
при x   1 ; 1
Среднеквадратическое отклонение найдём, используя формулы:
  D X 
D X  
M X  

  x  M  X 



2
 f  x  dx
x  f  x  dx

M X  


x  f  x  dx 

 x3 x2 



2 
 3
0

1
0
1
x   x  1 dx   x    x  1 dx 
 x3 x2 



3
2 
1 
0
1
0
0
1
1
0
2
2
  x  x  dx     x  x  dx 
 1 1  1 1
 0     0  0
 3 2  3 2
- интеграл равен нулю как интеграл от нечётной функции по симметричным пределам.
1 
D X  

 x  M  X    f  x  dx 
2

0

1
 x4 x3 
   x 3  x 2  dx     x 3  x 2  dx  


4
3


1
0
0
1
x 2   x  1 dx   x 2    x  1 dx 
1
0
0
 x4 x3 



4
3 
1 
1

0
1
1 1  1 1
 0     0 
6
4 3  4 3
  D X  
Ответ:

1
6

 0, 408
6
6
6
 0, 408 .
6
Литература:
1) Кремер Н.Ш. "Теория вероятностей и математическая статистика", 2006, стр. 143 (задача 3.72);
2) Емельянов Г.В., Скитович В.П. "Задачник по теории вероятностей и математической статистике", 2007, стр. 49 (задача 287).
2) Заданы плотности равномерно распределённых независимых случайных величин
f 1  x   1 в интервале  0 ; 1 , вне этого интервала f 1  x   0 ;
X иY:
f 2  x   1 в интервале  0 ; 1 , вне этого интервала f 2  x   0 ;
Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины
график плотности распределения g  z  .
Z  X  Y . Построить
Плотность вероятности для композиции (свёртке) двух непрерывных с.в.
g z 


f 1  x   f 2  z  x  dx

(здесь под композицией понимают с.в.
Z  X  Y при условии независимости с.в. X и Y )
В данном случае
1
1
0
0
g  z    1  f 2  z  x  dx   f 2  z  x  dx
z  0 , то для 0  x  1 имеем z  x  0 ; если z  2 , то для 0  x  1 имеем z  x  1 ,
следовательно, в этих случаях f 2  z  x   0 и g  z   0 .
Если
0  z  2 . Подинтегральная функция f 2  z  x  будет отлична от нуля только для значений x , при
которых 0  z  x  1 или, что то же самое, при z  1  x  z .
Пусть
z
Если 0  z  1 , то g  z    1dx  z .
Если 1 
z  2 , то g  z  
0
1

1dx  2  z .
z 1
2 Объединяя все случаи, получим:
0
z

g  z  
2z
 0
при
при
при
при
z0
0 z1
1 z  2
z2
- плотность распределения случайной величины
Z  X Y .
Полученный закон распределения называется законом распределения Симпсона или законом
равнобедренного треугольника.
Путём интегрирования получаем интегральную функцию распределения
0
 2
z
 2
F  z  
2  z 2

1


2

1
при z  0
при 0  z  1
при 1  z  2
при z  2
- функция распределения случайной величины Z  X  Y .
Изобразим графически плотность распределения g  z  :
Литература:
1) Кремер Н.Ш. "Теория вероятностей и математическая статистика", 2006, стр. 216 (пример 5.9).
3