Случайные векторы

Случайные векторы
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
1. Задан двумерный дискретный случайный вектор (ξ, η):
(ξ, η)
−1
0
1
−1
1/4
1/8
1/8
0
0
1/4
1/8
1
1/8
0
0
1) Построить ряды распределения компонент случайного вектора, найти M ξ,
Dξ, M η, Dη.
2) Зависимы или нет случайные величины ξ и η? Найти коэффициент корреляции Kξη .
2. Случайный вектор (ξ, η) имеет совместную плотность распределения вероятностей fξη (x, y), постоянную
в круге радиуса R в центром в начале координат.
√
1) Найти P (−ξ ≤ η ≤ 3ξ).
2) Найти плотности распределения вероятностей компонент случайного вектора fξ (x) и fη (y).
3) Доказать, что распределения компонент некоррелированы, но зависимы.
3. Случайный вектор (ξ, η) имеет совместную плотность распределения вероятностей fξη (x, y), постоянную в треугольнике с вершинами A(−a, 0), B(a, 0) и
C(0, a), a > 0.
1) Найти плотности распределения компонент случайного вектора fξ (x) и fη (y),
математические ожидания и дисперсии.
2) Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ и η.
3) Найти коэффициент корреляции Kξη .
4. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения вероятностей
A(x + y), 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1,
fξη (x, y) =
0,
ост. (x, y).
ww
w
1) Найти параметр A.
2) Найти P (ξ 2 + η 2 ≤ 1).
3) Найти плотности распределения вероятностей компонент случайного вектора
fξ (x) и fη (y).
4) Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ и η.
5) Найти коэффициент корреляции Kξη .
5. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения вероятностей
Ae−(x+y) , x ≥ 0, y ≥ 0,
fξη (x, y) =
0,
ост. (x, y).
1) Найти параметр A.
2) Найти P (0 ≤ ξ ≤ 1).
1
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
3) Найти плотности распределения вероятностей случайного вектора fξ (x) и
fη (y).
4) Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ и η.
5) Найти коэффициент корреляции Kξη .
6. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения вероятностей
p
A(R − x2 + y 2 ), x2 + y 2 ≤ R2 , R > 0,
fξη (x, y) =
0,
ост. (x, y).
Найти:
1) параметр A;
2) P (ξ 2 + η 2 ≤ r2 , 0 < r < R).
7. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения вероятностей
A cos x cos y, 0 ≤ x ≥ π/2, 0 ≤ y ≥ π/2,
fξη (x, y) =
0,
ост. (x, y).
1) Найти параметр A.
2) Найти P (0 ≤ ξ ≤ π/4, 0 ≤ η ≤ π/3).
3) Найти плотности распределения вероятностей компонент случайного вектора
fξ (x) и fη (y).
4) Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ и η.
5) Найти коэффициент корреляции Kξη .
8. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения вероятностей
2
2
Axye−2(x +y ) , x > 0, y > 0,
fξη (x, y) =
0,
ост. (x, y).
1) Найти параметр A.
2) Найти P (ξ 2 + η 2 ≤ 4).
3) Найти плотности распределения компонент случайного вектора fξ (x) и fη (y).
4) Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ и η.
5) Найти коэффициент корреляции Kξη .
ww
w
9. Случайный вектор (ξ, η) имеет плотность распределения вероятностей

 p A
, x2 + y 2 ≤ 1,
fξη (x, y) =
x2 + y 2

0,
ост. (x, y).
1) Найти параметр A.
2) Найти математические ожидания и дисперсии компонент случайного вектора
и коэффициент корреляции Kξη .
3) Выяснить, зависимы или нет случайные величины ξ и η.
10. Задана функция распределения случайного вектора (ξ, η)

0,
x < 0 или y < 0,


π
π
sin x sin y, 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ y ≤ ,
Fξη (x, y) =
2
2


1,
ост. (x, y).
2
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
1) Найти плотность распределения вероятностей fξη (x, y).
2) Найти P (0 ≤ ξ ≤ π/4, π/6 ≤ η ≤ π/3).
11. Задана функция распределения случайного вектора (ξ, η)
0,
x < 0 или y < 0,
Fξη (x, y) =
−x
−y
−(x+y)
1−2 −2 +2
, x ≥ 0, y ≥ 0.
1) Найти плотность распределения вероятностей fξη (x, y).
2) Найти P (1 ≤ ξ ≤ 2, 3 ≤ η ≤ 5),
3) Вероятность попадания в треугольник с вершинами A(1, 3), B(3, 3), C(2, 8).
12. Задана функция распределения случайного вектора (ξ, η)
0,
x < 0 или y < 0,
Fξη (x, y) =
−4x
−4y
(1 − e )(1 − e ), x ≥ 0, y ≥ 0.
1) Найти плотность распределения вероятностей fξη (x, y).
2) Найти P (0 ≤ ξ ≤ ln 2, ln 2 ≤ η ≤ ln 3).
Функции случайных величин
1. Случайная величина ξ принимает значения −2, −1, . . . , 4, 5 с равными вероятностями. Найти P (2ξ 2 > 3ξ + 2).
2. Баскетболист забрасывает мяч с вероятностью 0, 8. Случайная величина ξ —
число бросков до первого попадания. Найти M η, где η = 2ξ 2 + 3ξ − 1.
3. Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром a > 0. Найти закон распределения случайной величины η = (−1)ξ , M η,
Dη.
4. Дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром a = ln 3. Найти M η, где η = cos(πξ).
ww
w
5. Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром p > 0. Найти закон распределения случайной величины η = (−1)ξ , M η,
Dη.
6. Обозначим τ число испытаний в схеме Бернулли до появления первого успеха
включительно. Найти закон распределения τ , M τ .
7. Задан двумерный дискретный случайный вектор (ξ, η):
(ξ, η)
−1
0
1
−1
1/4
1/8
1/8
0
0
1/4
1/8
1
1/8
0
0
3
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
1) Построить ряды распределения случайных величин α = ξ + η, β = ξη и их
совместное распределение.
2) Зависимы или нет случайные величины α и β? Найти коэффициент корреляции Kαβ .
8. Случайные величины ξ, η независимы и имеют распределения:
ξ
−1
0
1
p
1/2
1/4
1/4
η
0
1
p
1/4
3/4
1) Построить совместное распределение (ξ, η).
2) Построить ряды распределения случайных величин α = ξ + η, β = ξ − η,
γ = ξη и найти их характеристики.
3) Построить совместное распределение (α, β) Зависимы или нет случайные
величины α и β? Найти коэффициент корреляции Kαβ . 4) Построить совместное
распределение (α, γ) Зависимы или нет случайные величины α и γ? Найти
коэффициент корреляции Kαγ .
9. Случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей

 √1
, x ∈ (−1, 1),
fξ (x) =
π 1 − x2

0,
x 6∈ (−1, 1).
Найти плотность распределения вероятностей и математическое ожидание случайной величины η = |ξ| − 3.
ww
w
10. Непрерывная случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке [0, 1].
1) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η = 2ξ +
1, M η, Dη.
2) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины θ = ln(1−
ξ), M θ, Dθ.
11. Непрерывная случайная величина ξ распределена равномерно на отрезке
[−1, 3].
1) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η =
4ξ + 3, M η, Dη.
2) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины θ = |ξ|,
M θ, Dθ.
12. Непрерывная случайная величина ξ распределена равномерно на интервале
(−π/2, π/2). Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η = cos ξ, M η, Dη.
4
С
.m и
в
at к
em ов
а
at Е
em .О
.ru .
13. Случайная величина ξ распределена по показательному закону с параметром
λ > 0.
1) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η1 = aξ +
b, M η1 , Dη1 .
√
2) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η2 = ξ,
M η2 , Dη2 .
3) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η3 = ξ 2 ,
M η3 , Dη3 .
ln ξ
4) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η4 =
,
λ
M η4 , Dη4 .
5) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η5 = 1 −
e−λξ , M η5 , Dη5 .
14. Случайная величина ξ подчинена закону Лапласа с плотностью f (x) = 1/2e−|x| .
Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η = 3 − 2ξ,
M η, Dη.
15. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону с параметрами
m = 0, σ = 1 (стандартное нормальное распределение).
1) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η1 = ξ 2 .
2) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η2 = ξ 4 .
3) Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η3 = eξ
(логарифмически нормальное распределение).
16. Случайная величина ξ распределена по нормальному закону с параметрами m,
σ. Найти плотность распределения вероятностей случайной величины η = aξ+b.
17. Независимые случайные величины ξ и η распределены по закону Пуассона с
параметрами a1 и a2 соответственно. Найти закон распределения случайной
величины θ = ξ + η.
18. Случайный вектор (ξ, η) равномерно распределен в области |x| ≤ 1, |y| ≤ 1.
Найти плотности распределения вероятностей случайных величин α = ξ + η,
β = ξ − η.
ww
w
19. Независимые случайные величины ξ и η распределены по показательному закону с параметрами λ1 и λ2 соответственно. Найти плотность распределения
случайной величины θ = ξ + η.
20. Независимые случайные величины ξ и η распределены по нормальному закону
с параметрами m = 0, σ = 1.
1) Найти плотность распределения случайной величины α = ξ + η.
2) Найти плотность распределения случайной величины β = ξ 2 + η 2 .
3) Найти плотность распределения случайной величины γ = arctg(ξ/η).
5