Билет 1 1. Алгоритмы и оценки их качества. Трудоемкость, память, точность. Приме-

Билет 1
1.
Алгоритмы и оценки их качества. Трудоемкость, память, точность. Примеры полиномиальных и экспоненциальных алгоритмов.
2.
Можно ли в сетевой модели сначала найти поздние времена наступления
событий, а затем ранние? Ответ обосновать.
3.
Для каких задач псевдополиномиальный алгоритм становится полиномиальным? Привести примеры.
Билет 2
1.
Потоки в сетях. Разрезы. Теорема Форда-Фалкерсона (с доказательством).
2.
Класс NP. Пример задачи распознавания свойств, которая не принадлежит
NP.
3.
Какие алгоритмы называются полиномиальными, а какие экспоненциальными? Привести примеры таких алгоритмов.
Билет 3
1.
Теорема об активных стратегиях (без доказательства). Игра 22.
2.
Пусть задачи P, Q  NP, P полиномиально разрешима и полиномиально
сводится к Q. Что можно сказать о Q?
3.
Какие задачи NP-полны в сильном смысле? Привести примеры таких задач.
Билет 4
1.
Решение матричной игры в смешанных стратегиях. Теорема Фон-Неймана
(с доказательством).
2.
Пусть задачи P, Q  NP, P  NPC и полиномиально сводится к Q. Что
можно сказать о Q?
3.
Является ли полиномиальным алгоритм Форда-Фалкерсона для нахождения максимального потока в сети?
Билет 5
1.
Полиномиальная сводимость. Лемма о сводимости (с доказательством).
2.
Можно ли с помощью алгоритма Дийкстра найти кратчайший путь между
парой вершин графа, ребра которого имеют отрицательные длины? Ответ
обосновать.
3.
Можно ли склеить пару вершин сетевой модели, между которыми нет фиктивной дуги, и получить эквивалентную сеть?
Билет 6
1.
Теорема Кука для задачи ВЫПОЛНИМОСТЬ (без доказательства). Схема
доказательства принадлежности задачи классу NP-полных проблем на основе леммы о полиномиальной сводимости.
2.
Можно ли найти самый длинный простой путь между парой вершин произвольного взвешенного графа с помощью алгоритма Форда?
3.
Два игрока «выбрасывают» произвольное количество пальцев одной руки.
Первый игрок выигрывает +1, если сумма пальцев четная и проигрывает
1, в противном случае. Существует ли решение игры в чистых стратегиях?
Билет 7
1.
Теорема об активных стратегиях (без доказательства). Схема решения игры 2n.
2.
Привести примеры NP-полных задач.
3.
Является ли NP-трудной задача нахождения пути минимальной длины между парой вершин в произвольном взвешенном графе с положительными
весами ребер?
Билет 8
1.
Метод ветвей и границ для задачи коммивояжера. Способы построения
нижних границ.
2.
Можно ли в сетевой модели сначала найти поздние времена наступления
событий, а затем ранние? Ответ обосновать.
3.
Является ли NP-трудной в сильном смысле булева задача о ранце?
Билет 9
1.
Применение теории NP- полноты для анализа задач.
2.
Теорема об активных стратегиях (с доказательством).
3.
Является ли NP-трудной (в сильном смысле) задача Гамильтонов цикл?
Билет 10
1.
Задачи с числовыми параметрами. Сильная NP-полнота и псевдополиномиальные алгоритмы.
2.
Является ли NP-трудной (в сильном смысле) задача коммивояжера?
3.
Два игрока бросают по 1 кости каждый. Первый игрок выигрывает выпавшую сумму, если эта сумма четная и проигрывает эту сумму, в противном
случае. Существует ли решение в чистых стратегиях?
Билет 11
1.
Теорема о (не)существовании приближенного полиномиального алгоритма
для задачи о ранце с гарантированной оценкой абсолютной погрешности
(с доказательством).
2.
Существует ли псевдополиномиальный алгоритм решения задачи о ранце?
3.
Два игрока бросают по 1 кости каждый. Выигрыш 1 игрока равен разнице
между числом, выпавшим на его кости, и числом, выпавшим на кости соперника. Имеет ли игра решение в чистых стратегиях?
Билет 12
1.
Теорема о минимальном разрезе и максимальном потоке (с доказательством).
2.
Пусть задачи P, Q  NP, Q полиномиально разрешима, и P полиномиально
сводится к Q. Что можно сказать о P?
3.
Можно ли решить линейную задачу о ранце за полиномиальное время, если веса всех предметов одинаковы?
Билет 13
1.
Теорема о (не)существовании приближенного полиномиального алгоритма
для задачи коммивояжера с гарантированной оценкой относительной погрешности.
2.
Задачи распознавания свойств и их связь с экстремальными задачами.
3.
Почтовый голубь может выбрать три высоты полета. За ним охотятся
кошка, хулиган с рогаткой и коршун. На первой высоте кошка поймает голубя с вероятностью 0.4, хулиган попадет с вероятностью 0.3 и коршун
поймает с вероятностью 0.1. На второй высоте соответствующие вероятности: 0.1, 0.4 и 0.5. И на третьей высоте – 0, 0.2 и 0.8. Существует ли решение игры в чистых стратегиях?
Билет 14
1.
Лемма о сводимости NP- полных проблем (с доказательством).
2.
Как осуществить правильное упорядочивание дуг в сетевой модели, имея
правильную нумерацию вершин?
3.
Почтовый голубь может выбрать три высоты полета. За ним охотятся кошка, хулиган с рогаткой и коршун. На первой высоте кошка поймает голубя
с вероятностью 0.3, хулиган попадет с вероятностью 0.3 и коршун поймает
с вероятностью 0.1. На второй высоте соответствующие вероятности: 0.2,
0.2 и 0.3. И на третьей высоте – 0, 0.1 и 0.5. Существует ли решение игры в
чистых стратегиях?
Билет 15
1.
Сетевые модели планирования и управления. Сети «работы-дуги», «работы-вершины». Упрощение сети путем склейки вершин. Необходимое и
достаточное условие эквивалентности сетей до и после склейки.
2.
Пусть задачи P, Q  NP, Q  NPC, и P полиномиально сводится к Q. Что
можно сказать о P?
3.
Почтовый голубь может выбрать три высоты полета. За ним охотятся кошка, хулиган с рогаткой и коршун. На первой высоте кошка поймает голубя
с вероятностью 0.1, хулиган попадет с вероятностью 0.2 и коршун поймает
с вероятностью 0. На второй высоте соответствующие вероятности: 0, 0.1 и
0.2. И на третьей высоте – 0, 0 и 0.2. Существует ли решение игры в чистых стратегиях?
Билет 16
1.
Ранг события в сетевой модели. Алгоритм Форда и доказательство его
корректности. Вычисление ранних и поздних времен наступления событий.
2.
Для каких задач применим метод ветвей и границ?
3.
Выписать математическую постановку следующей задачи. У студента осталось T часов до экзамена и Q невыученных вопросов. Для подготовки
вопроса i требуется ti часов. Ценность выученного вопроса i равна ci. Требуется определить какие вопросы учить, чтобы максимизировать суммарную ценность выученных вопросов.
Билет 17
1.
Правильная нумерация событий и правильное упорядочивание работ в сетевых моделях. Особенности вычисления характеристик сети в этом случае
(с доказательством).
2.
Дать определение матричной игры? Привести примеры.
3.
В каких случаях целесообразно переходить от прямой задачи о ранце к обратной?
Билет 18
1.
Теорема об активных стратегиях (без доказательства). Схема решения игры m2.
2.
Является ли необходимым (достаточным) условие целочисленности пропускных способностей ребер для реализации алгоритма Форда-Фалкерсона
для нахождения потока максимальной мощности?
3.
Записать математическую постановку следующей задачи. Имеется множество складов, для каждого из которых задано количество хранящегося
продукта. Известно множество потребителей продукции, для каждого из
которых задана потребность. Известны затраты на транспортировку единицы продукции из любого склада к любому потребителю. Требуется определить объемы поставки из каждого склада потребителям т.о., что суммарные транспортные затраты минимальны.
Билет 19
1.
Решения матричной игры в чистых стратегиях (с доказательством соотв.
теоремы). Примеры.
2.
Можно ли с помощью алгоритма Форда найти самый длинный простой
путь между парой вершин в неориентированном взвешенном графе?
3.
Записать математическую постановку следующей задачи. Имеется множество складов, для каждого из которых задано количество хранящегося
продукта. Известно множество потребителей продукции, для каждого из
которых задана потребность. Известны затраты на транспортировку единицы продукции из любого склада к любому потребителю. Требуется определить объемы поставки из каждого склада потребителям т.о., что максимальные транспортные затраты, связанные с поставкой продукции из
некоторого склада некоторому потребителю, минимальны.
Билет 20
1.
Потоки минимальной стоимости. Алгоритмы. Доказательство корректности алгоритма Клейна.
2.
В каких случаях следует переходить от прямой задачи о ранце к обратной?
3.
Пусть задачи P, Q  NP, Q полиномиально разрешима, и P полиномиально
сводится к Q. Что можно сказать о P?
Билет 21
1.
Общая задача о ранце и схема динамического программирования для ее
решения.
2.
Если частный случай проблемы является NP-полной задачей, то является
ли NP-полной исходная проблема?
3.
Имеется граф, отражающий связи университета со всеми общежитиями.
Известна длина каждого ребра этого графа. Можно ли с полиномиальной
трудоемкостью найти пути минимальной длины от всех общежитий в университет?
Билет 22
1.
Динамическое программирование. Принцип оптимальности. Схема решения задачи производства и хранения продукции.
2.
Если частный случай проблемы – полиномиально разрешимая задача, то
является ли полиномиально разрешимой исходная проблема?
3.
Имеется граф, отражающий связи университета со всеми общежитиями.
Известна стоимость создания дороги по каждому ребру графа. Можно ли с
полиномиальной трудоемкостью найти дерево минимальной стоимости,
которое связывает все общежития и университет?
Билет 23
1.
Теорема о связи прямой и обратной задач о ранце (с доказательством).
2.
Пусть задачи P, Q  NP, P  NPC и полиномиально сводится к Q. Что
можно сказать о Q?
3.
Можно ли в сетевой модели сначала найти поздние времена наступления
событий, а затем ранние? Ответ обосновать.
Билет 24
1.
Задача о ближайшем соседе. Схема динамического программирования для
ее решения в случае произвольного числа отрезков разбиения.
2.
Пусть задачи P, Q  NP, P полиномиально разрешима и полиномиально
сводится к Q. Что можно сказать о Q?
3.
Записать математическую постановку следующей задачи. Имеется n исполнителей и n работ. Затраты, связанные с назначением i-го исполнителя
на j-ю работу равны cij. Требуется назначить по одному исполнителю на
каждую работу т.о., чтобы суммарные затраты были минимальны.
Билет 25
1.
Алгоритм построения максимального паросочетания в двудольном графе
(без доказательств).
2.
Какие требования достаточно наложить на параметры задачи о ранце, чтобы реализовать схему динамического программирования?
3.
Записать математическую постановку следующей задачи. Имеется n исполнителей и n работ. Исполнитель i выполняет работу j за tij часов. Требуется назначить по одному исполнителю на каждую работу т.о., чтобы все
работы были выполнены за минимальное время.
Билет 26
1.
Алгоритм динамического программирования для решения задачи производства и хранения продукции.
2.
Записать задачу РАЗБИЕНИЕ («О камнях») как частный случай задачи о
ранце.
3.
Привести пример матричной игры, которая решается (не решается) в чистых стратегиях.
Билет 27
1.
Приближенные алгоритмы. Априорный и апостериорный анализ. Аппроксимационные схемы.
2.
Двойственная связь паросочетания и вершинного покрытия.
3.
Отношение доминирования в матричной игре. Примеры упрощения платёжной матрицы
Билет 28
1.
Приближенные алгоритмы с оценками. Класс APX. Полиномиальные приближенные схемы.
2.
При каком предположении задача коммивояжера не может быть решена за
полиномиальное время?
3.
Можно ли свести задачу построения max паросочетания в двудольном графе к задаче построения потока max мощности?
Билет 29
1.
Алгоритм решения задачи о назначениях.
2.
Упростить платежную матрицу
3
0
2
-2
4
0
-1
-1
-1
-5
2
1
4
2
0
Сводится ли за полиномиальное время задача о ранце к задаче коммивояжера?
3.
Билет 30
1.
Построение математических моделей оптимизационных задач. Их характеристики. Примеры. Определение вполне полиномиальной приближенной
схемы.
2.
Записать задачу РАЗБИЕНИЕ («О камнях») как частный случай задачи о
ранце.
3.
Сводится ли за полиномиальное время задача Гамильтонов цикл к задаче о
ранце?
Билет 31
1.
Приближенные алгоритмы. Алгоритмы локального поиска. Генетический
алгоритм.
2.
Записать математическую постановку следующей задачи. Имеется n исполнителей и n работ. Исполнитель i выполняет работу j за tij часов. Требуется назначить по одному исполнителю на каждую работу т.о., чтобы все
работы были выполнены за минимальное время.
3.
Является ли NP-трудной в сильном смысле задача РАЗБИЕНИЕ?
Билет 32
1.
Приближенные алгоритмы. Анализ точности приближенных алгоритмов.
Приближенное решение линейной задачи о ранце.
2.
Является ли NP-трудной в сильном смысле задача о ближайшем соседе?
3.
Является ли достаточным (необходимым) условие целочисленности пропускных способностей ребер для реализации алгоритма Форда-Фалкерсона
для нахождения потока максимальной мощности?
Билет 33
1.
Приближенные алгоритмы. Анализ точности приближенных алгоритмов.
Приближенное решение задачи коммивояжера.
2.
Является ли NP-трудной в сильном смысле задача о ранце?
3.
Упростить платежную матрицу
1
-1
3
0
3
-1
2
1
1
-2
-1
2
4
5
0