Применение теоремы об изменении кинетической энергии и

Министерство образования Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
профессионального высшего образования
«Ивановская государственная текстильная академия»
Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов
Применение теоремы об изменении кинетической энергии и
уравнения Лагранжа 2-го рода к изучению движения
механической системы
Методические указания с примерами решения задач в помощь к
выполнению курсовой работы по
теоретической механике
Иваново 2003
В методических указаниях даны краткие теоретические выкладки с
целью определения скоростей тел системы при помощи теоремы об
изменении кинетической энергии системы, а также определение ускорений
тел с помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы и
уравнения Лагранжа 2-го рода.
Составили: канд. техн. наук, доц. Н.Ф. Калабин,
д-р техн. наук, проф. В.И. Смирнов
Научный реактор канд.техн.наук, проф. С.И. Колотилов
Редактор Т.В. Федорова
Корректор Т.В. Белова
Лицензия ИД №06309 от 19.11.2001. Подписано в печать
Формат 1/8 60 х 84. Бумага писчая. Плоская печать.
Усл. печ.л.
Уч.-изд.л.
Тираж 100 экз. заказ
Редакционно-издательский отдел Ивановской государственной
текстильной академии
Участок оперативной типографии ИГТА
153000 г. Иваново, пр. Ф. Энгельса, 21
Краткое теоретическое изложение
1. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Для абсолютно твердого тела сумма работ всех внутренних сил
системы равна нулю, следовательно, теорему об изменении кинетической
энергии в конечной форме можно представить в виде
Т-Т0=Ак (е),
где Т0 и Т– кинетическая энергия системы в начальном и конечном её
положениях;
Ак (е)- сумма работ внешних сил.
Кинетическая энергия твердого тела.
а). При поступательном движении:
mv 2
Т
,
2
где m-масса тела;
V-скорость любой точки тела.
б). При вращении вокруг неподвижной оси:
I z 2
T
,
2
где Iz- момент инерции тела относительно оси вращения Z;
ω- угловая скорость вращения тела.
в). При плоском (плоскопараллельном) движении:
mv c2 I zc 2
T

,
2
2
где m-масса тела;
vc-скорость центра масс тела;
I zc -момент инерции тела относительно оси Z, проходящей через центр
масс перпендикулярно плоскости движения;
ω- мгновенная угловая скорость тела.
Моменты инерции тел (применительно к курсовой работе)
а). Для тела, если известны его радиус инерции ρ относительно оси
вращения Z и масса m:
I z  m z2 .
б). Для цилиндрического катка, масса которого m и радиус R;
mR 2
Iz 
.
2
Работа сил (применительно к заданию)
а). Силы тяжести
A (P) =±Ph=±mgh,
где P- Сила тяжести;
m- масса тела;
h- высота подъема или опускания точки приложения силы тяжести.
Знак работы «+» если тело опускается.
б). Постоянной силы на прямолинейном перемещении:
A(F)=Fscosα,
где F- модуль постоянной силы;
S- Модуль перемещения;
α- угол между направлением вектора силы и перемещением
Знак работы зависит от угла α.
в). На вращательном движении при М=const:
A(M)= ±Мφ ,
где М- момент силы или пары сил;
φ- угол поворота тела;
Если М вращательный момент, то знак работы «+»; если М момент
сопротивления, то знак работы «-».
2. Уравнения Лагранжа 2-го рода
Поскольку не все наложенные на тела системы связи идеальны
(трущиеся шероховатые поверхности) то, считая плоскости идеально
гладкими, шероховатость поверхности можно компенсировать силой
трения. В таком случае все связи системы окажутся идеальными и для ее
движения можно составить одно уравнение Лагранжа (система имеет одну
степень свободы):
d T T
( )
 Qq ,
dt q q
где Т – кинетическая энергия системы;
q – обобщенная координата (угол φ или перемещение S);
q - обобщенная скорость;
Qq -
обобщенная сила, соответствующая выбранной обобщенной
координате q.
Обобщенными силами
Qq
называются коэффициенты, стоящие в
выражении элементарной работы активных сил при соответствующих
приращениях обобщенных координат.
 Aa  Qq q .
Следовательно,
Qq 
 A
q
a
.
(a)
Описание алгоритма расчета механической системы с
применением уравнений Лагранжа 2-го рода
1. Определить число степеней свободы механической системы (во
всех предложенных вариантах система с одной степенью свободы).
2. Ввести независимые обобщенные координаты и обобщенные
скорости.
3. Определить кинетическую энергию системы и выразить ее через
выбранные обобщенные координаты и обобщенные скорости.
4. Найти частные производные кинетической энергии по
обобщенной скорости, т.е.
T
.
q
d T
( ).
dt q
6. Определить частную производную кинетической энергии по
T
обобщенной координате
.
q
7. Изобразить действующие на систему активные силы и определить
обобщенную силу системы, соответствующую выбранной обобщенной
координате. Поскольку не все действующие силы потенциальны, то
используем формулу (a).
8. Результаты, полученные в пунктах 5,6,8, подставим в уравнение
Лагранжа 2-го рода.
5.
Найти производную по времени
Пример выполнения задания
Механическая система состоит из груза 1, ступенчатого барабана 2 с
радиусами ступеней R2=0,4м. и r2=0,2м и радиусом инерции
относительно оси вращения ρ2=0,2м, цилиндрического катка 3 радиуса
R3=0,2м. Коэффициент трения качения катка δ=0,15см, коэффициент
трения скольжения груза f=0,1. На груз 1 кроме силы тяжести действует
постоянная сила F=25Н, направленная в сторону движения груза, а на
барабан 2 момент сопротивления М=1,5 Н.м.
Массы тел системы: m1=5кг, m2=3кг, m3=2кг.
Определить скорости и ускорения тел системы на перемещении груза
1
S1=0,1π м, если α=600,β=300. Нити невесомы, нерастяжимы и
параллельны плоскостям. Вначале система находится в покое.
Применение теоремы об изменении кинетической энергии
к изучению движения механической системы
1. Расчет скоростей тел механической системы
Для определения скоростей тел системы воспользуемся теоремой об
изменении кинетической энергии:
T  T0   Ak(e) .
(1)
а). Определение кинетической энергии системы.
Поскольку вначале система находилась в покое, следовательно,
скорости всех ее тел в этот момент равны нулю и тогда T0  0 .
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий тел,
образующих эту систему :
T T1 T2 T3 •
(2)
Тело 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия
m1V12
T1 
•
2
Тело 2 совершает вращательное движение. При таком движении
кинетическая энергия тела находится по формуле
I 2 22
T2 
•
2
Тело 3 совершает плоские движения. Его кинетическая энергия
m3VC23 I C 332
T3 

•
2
2
Выражение (2) в нашем случае будет иметь вид :
m1V12 I 2 22 m3VC23 I C 332
T



2
2
2
2
•
(3)
Показав на рисунке картину распределения скоростей, выразим
скорости тел через какую-либо одну (удобнее через скорость того тела,
перемещение которого известно). Выразим скорости через V1.:
V1
•
r2
 R VR
2 R2  2VC 3  VC 3  2 2  1 2 •
2
2r2
VC
VR
3  3  1 2 •
CCv 2r2 R3
 2 r2  V1   2 
(4)
В выражении для ω3 CV – мгновенный центр скоростей. Выразим
входящие в (3) моменты инерции тел 2 и 3 (радиус инерции тела 2 задан, а
тело 3 –цилиндрический каток).
I 2  m2  22
,
m3 R32
I c3 
.
2
Подставим (4) и (5) в (3).
(5)
V12
m2  22 m3 R22 m3 R32 R22
T  (m1  2 

)•
2
2 2
2
r2
4r2
24r2 R3
Приведем два последних слагаемых в скобках к общему знаменателю.
Тогда
V12
m2  22 3m3 R22
T  (m1  2 
)•
2
2
r2
8r2
(6)
б). Определение работы внешних сил, действующих на систему.
P1 , P2
N1 , N 3 и составляющие реакции подшипника тела 2 X 02
Изобразим действующие на систему внешние силы: тяжести
P3 ; реакции
Y02 , силы трения и сцепления Fтр , Fсц , постоянную силу F
и
и
и момент
сопротивления M.
Выразим работу каждой из сил при перемещении, которое будет иметь
система, когда тело 1 пройдет путь S1  0,1 м.
A(F )  FS1 ;
A(P1)  P1h1  m1 gS1 sin  ;
A(Fтр )   Fтр S1 cos180   fm1 g cosS1 ;
Fтр  fN1  fP1 cos  fm1 g cos ;
Работы сил
A( N1)  N1S 1cos 90  0 •
P2 , X 02 и Y02 , равны нулю, т.к.
перемещение точки
приложения этих сил ОZ равно нулю.
A(P2 )  A( X 02 )  A(Y02 )  0;
A(M )  M 2 ;
A(P3 )  P3hС 3  m3 gSС 3 sin  
Работы сил
N 3 , Fсц
равны нулю, т.к. эти силы приложены в
мгновенном центре скоростей, следовательно, учитывая аналогию между
скоростями и перемещениями, перемещение точки приложения этих сил
равно нулю.
A(M с )  M c 3  m3 g cos 3 ;
M c  N 3  P3 cos   m3 g cos  •
По аналогии с выражением скоростей тел системы через V1 (4), выразим
перемещения, входящие в выражения работ, через S1
2 
S1
r2
,
S c3 
S1R2
2r2
,
3 
S1R2
2r2 R3
•
При найденных выражениях φ2 ,SС3 , φ3 для суммы работ всех внешних
сил получим:
m g sin R2S1 m3 g cos R2 S1
M
(e)
S1  3

 Ak  FS1  m1g sinS1  fm1g cosS1 
r2
2r2
2r2 R3
Или
 

 cos   R2  M  (7)
(e ) 

  g  S1
A

F

m

sin


f
cos



m
sin


 k
3
  1
R
3

 2r2  r2 
 
Приравняв (6) и (7), получим равенство
2
2

 cos  R2  M (8)
V12  m22 3m3R2   

 g S1
m1 2  2 Fm1sin f cosm3sin


R3 2r2  r2 
r2
8r2   
2



Откуда
 

 cos   R2  M 

  g  S1
2F  m1sin  f cos m3sin  
R3  2r2  r2 
 

V1  

2
2
m  3m R
m1  2 2 2  3 2 2
r2
8r2
 
0.0015  0.87  0.4  1.5 

225 50.870.10.52 0.5
10 0.1


0.2

 20.2 0.2

 
1.7м/с
2
2
30.2 320.4
5

2
0.2
80.22
Воспользовавшись кинематическими зависимостями (4), произведем
расчет скоростей остальных тел системы.
V1 1.7

 8.5c 1 ,
r2 0.2
V R 1.70.4
V c3  1 2 
1.7м/с ,
2r2
20.2
VR
1.70.4
3  1 2 
 8.5c 1 •
2r2 R3 20.20.2
2 
2). Расчет ускорений тел механической системы
Поскольку Т0 =0, то теорема о кинетической энергии системы (1)
примет вид:
T   Ak(e) •
Продифференцируем последнее равенство по времени. Получим:
dT d
  Ak(e)
dt dt
•
(9)
Таким образом, взяв производную по времени от выражения (8), в
котором переменные V1 и S1, имеем:
2V1dV1 m222 3m3R22   
 cos  R2 gMdS1
m1

F m1sin f cos m3sin 


• (10)


2
2



2dt 
R
2
r
r
dt
r
8r

3  2
2

2
Заметив, что в (10)
2
  
a1 


dS
dV1
и V  1 , получим
1
dt
dt
R
 m222 3m3R22 
a1m1  2  2   F  m1sin  f cos  m3sin   cos  2 g  M •

R3  2r2  r2
r2
8r2 



Откуда


 cos   R2  M
  g 
F  m1 sin   f cos   m3  sin  
R3  2r2 
r2 •


a1 
m2  22 3m3 R22
m1  2 
r2
8r22
(11)

0.00150.87  0.4  1.5

2550.870.10.52 0.5

10 0.2
0
.
2
2

0
.
2


2•


a1 

4
.
4
м
с
30.22 320.42
5

2
0.2
80.22
Произведем расчет ускорений остальных тел системы учитывая,
что ускорения аналогичны скоростям (4):
a1 4.4

 22c2 ,
r2 0.2
 R 220.4
ac3  2 2 
 4.4м/с 2 ,
2
2
a
4.4
 3  c3 
 22c2 .
R3 0.2
2 
Применение уравнения Лагранжа 2-го рода к изучению движения
механической системы
Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной
координаты q перемещение S=S1 груза 1. Тогда исходным уравнением
Лагранжа 2-го рода будет
d  T  T

 Q.
 

dt   S  S
(12)

Кинетическая энергия системы согласно (6), где
S  V1

m2  22 3m3 R22  2
1 
S .
T  m1  2 
2 

r2
8r2 
2
Отсюда частная производная от кинетической энергии по обобщенной
скорости равна
m2  22 3m3 R22  
T 
S •
 m1  2 
2
r2
8r2 
S 
(13)
Поскольку выражение кинетической энергии не содержит S, то
T  0 
S
Производная по времени от (13)
2
2
d  T    m  m2  2  3m3 R2 S.
2 
dt     1 r22
8
r
2

S  
(14)
Определим обобщённую силу Q, используя зависимость
Q
AK
.
S
(15)
Дадим системе возможное перемещение и найдём элементарную
работу действующих на систему сил. Это выражение отличается от
полученного ранее (7) для полной работы сил на величину δ, т.е.
 

Cos  R2 
  g 
AK  F m1Sin  fCos m3 Sin 
R3  2r2 

 
M
 S.
r2 
В таком случае обобщённая сила Q согласно (15) будет иметь значение
QF

 m1 Sin   fCos 




Cos 

 m3  Sin 

R3



 R2

 2r
 2


g



M
r2
. (16)
Приравнивая правые части (14) и (16) получим





m2 22 3m3R22  

Cos  R2 

M

 m1 
S  F  m1Sin  fCos m3  Sin 

g



2
2 


R3  2r2  r2

r
8
r

2
2




Отсюда


 Cos 
F   m1 Sin   fCos   m3  Sin  
R3


a1  S 
 R2 
M

g 
r2
 2 r2 
.
m 2  22 3m3 R 22
m1  2 
r2
8r22
Данное выражение для нахождения а1 совпадает с полученным ранее
(11) при помощи теоремы об изменении кинетической энергии системы.