Об аппроксимационных свойствах полных ортонормированных

Труды
Математического
Ж5,
института АН
СССР
том 172
У Д К 517.5
Б.С.КАШИН
ОБ АППРОКСИМАЦИОННЫХ СВОЙСТВАХ
ПОЛНЫХ ОРТОНОРМИРОВАННЫХ СИСТЕМ
Предлагаемая работа состоит из двух частей. В первой части доказывается
одно геометрическое неравенство. Это неравенство применяется затем (см.
подробнее часть 2°) для исследования задачи о приближении классов гладких
функций всевозможными полиномами вида:
m
k=l
где
{ф
п
{x)}n=i,
х
Œ
(О, 1),— заданная полная ортонормированная система.
N
1°. Введем сначала некоторые обозначения: для х = {x }
ложим
ЕЕ B
k k=1
по­
N
Х
х
II II2 = Il II v =
4) % Il II ,N=
х
V
(S
max j x \
k
N
и пусть S ^ , 2?f и Вы — соответственно евклидова сфера в R , евклидов шар
в R и куб — ( Ж Е R : II ж||
<^ ! } • Обозначим через "И^у множество вершин
N
N
оо
N
куба В^о и зададим на W естественную меру v положив v (z) = 2~ для каж­
дой вершины z ЕЕ
Наконец, пусть Е , n = I, 2,
система всех я-элементных подмножеств натурального ряда. Имеет место
Т е о р е м а 1. Существует абсолютная постоянная К такая, что для
любой последовательности { е * } | = 1 CZ R W = 1, 2, . . .), удовлетворяющей
условиям
N
Nl
N
п
N
~
5
||е,||| =
1,
m a x И в* Н> =
г=1
(!)
1<г<оо
2
гг/?гг n < р~ w любом у ^ О справедливо неравенство
V {V)
N
=
VNUŒW :
N
sup
(S(z,
в^У
/
г
1
>г/Аг /
1
2
р
}<^(^)-1 хр(-- /8^).
(2)
е
Д о к а з а т е л ь с т в о . Можно считать, что г/
1, так как при у ^ 1
правая часть в (2) больше единицы, если К ^> 2 (мы учли здесь, что тгр < ; 1,
ниже условие лгр < ; 1 использоваться не будет, т. е. для у ^> 1 неравенство (2)
имеет место при любом п = 1, 2, . . .). Пусть для z Œ R и Q CZ {1» 2, • . .}
2
2
N
187
Тогда для любого множества Q ЕЕ Е
п
а потому
(у) <
{G
(3)
ДО),
где
G (у) = { 2 £
x
sup / (z, Q) > / J/prcV*}.
2
fiS£„
Рассмотрим подробнее множество G (у). Пусть для z 6= W
N
и r = 0, 1, . . .
Л (z) = {i: j (z, в,) I e e/ i/p2 , V z/ 2 <-4}
r
г
r
2
2
P
и
A
(z, Q )
r
4 (z) p
-
r
Q
• (Q
e
Отметим, что для z EE Wyv и i "== 1, 2, . . .
v*, *i) < Il z H H et H , < ^ / . p ,
т. е. при 2 ~ J > N множество A (z) пусто. С учетом этого замечания мы полу­
чаем для каждого Q ЕЕ Е :
2
2
r
x
1/z
r
п
/ (z, ß ) = £ I ] ( > i) '
2
и
если
Го
с
S
а
г
z
e
2
r
lo
a , r = 0 , . . ., r , — произвольный
r
4
»= [4- *» ^] + «
набор
0
4
< >
положительных
чисел
< 1, то
{ Z G ^ : / ( z ,
Q) >
1
/ 2 ^ V p } CZ
(j
2
r
=
{ ^ E ^ :
^
(z,
2
e,) >
-i" < / W }
.
(5)
i e A ( z , Q)
0
r
Таким образом (см. ( 3 ) , ( 5 ) ) ,
G (y) CZ
[J
S
{ZŒW :
N
1>?га 2-2г-2}.
г
(6)
В силу известной (см., например, [1, с. 76]) оценки для полиномов по системе
Радемахера для любого е ЕЕ R и t ; > 0
N
v* {2 Е ^ : | ( м ) | >
0 < 2 ехр {_*V||
Щ},
поэтому (см. (6))j
Г
оо
0
Viv {G(У)}
<
2 « (na p
J^V {ZŒ
r
W:
N
r=0
N
| (z,
e<
) | > j,p• 2 - J } <
i=l
Если положить при r = 0, 1, . . . a = 2 ~
r
3 r
r_1
и учесть оценку:
r
S 2 exp(—4 0<C exp — * > Ô > 0 ,
ô
(8)
то из неравенства (7) мы получим, что
оо
v*{Gü/)}<№j]expf--^e!
188
(9)
Наконец, учитывая соотношения (1), (3) и снова используя неравенство (8)
из (9) мы выводим:
г
22
0
VN (У) <
vjv {G (у)} < К'п*
£
expfe.f
1
a
< ЛГ'/г-
2 2 t o + V exp j - ^
2
1
4 « } < К (np )'
exp { -
.
Теорема 1 доказана.
С л е д с т в и е 1. В условиях теоремы 1*
min
sup ( V (z, etf)
h
< -i-,
2
/гр < 1 м абсолютная постоянная с ^> О достаточно мала.
З а м е ч а н и е . Аналогично теореме 1 доказывается, что для любой по­
следовательности
С B с условием (1)
0
N
N
m
N
{z ΠS
а
: sup ( J , (z, е,) )
ßs£
m
1/я
2
> ynW^p}
2
< Я (лгр )-1 ехр { - г/ /8},
гей
если у > 0 и /г < р~
2
N
(здесь rajv — нормированная мера Лебега на сфере S ).
2°. Пусть Ф = {ф }^=1 ~ полная система элементов банахова пространства
X. Для / ЕЕ X и п = 1, 2, . . . положим
е (/,Ф,Х)= inf||/-P || ,
(10>
П
т
m
где inf берется по всем полиномам Р
x
вида
т
m
=
S
0>к<Рщ,
1 <
Al<
Ä2 < . . .
<
A .
m
В последнее время такой «неклассический» способ приближения активно изу­
чался для конкретных пространств X и систем Ф . Было выяснено (см., напри­
мер, [2, 3]), что в случае, когда X = С [0, 1] == С — пространство непрерывных
функций, для многих естественных функциональных компактов К и систем Ф
(в частности, для тригонометрической системы или системы Фабера — Шаудера)величина
supe (/,0,C)
m
убывает при m ->- оо существенно быстрее, чем
sup
где
Е
т
(/, Ф , С) — наилучшее
Я (/,Ф.С),
Т
приближение
функции / полиномами
вида
m
S
ЗДП
(Я).
п=1
2
2
В этой работе изучаются величины (10) в случае, когда X = L ( 0 , 1) = L ,
а
Ф = { ф (#)}n=i ~~ произвольная полная ортонормированная
система
(п. о. н. с ) . Для полных ортонормированных систем величины е (/, Ф , L )
были введены С. Б . Стечкиным [4] при рассмотрении им вопросов абсолютной
сходимости общих ортогональных рядов. В [4] показано, что для / EL L
п
2
т
2
оо
I! / Ib + S
m=l
оо
1
тг*1ч} (/, Ф , Щ х 2 I 5 /Ф» dx I .
т
189
Г7с=1
о
(11)
2
Мы будем рассматривать поведение величин е
ций /. Пусть при г = О, 1, . . . . и a ЕЕ (О, 1]
(/, Ф , L ) для гладких функ­
т
а
я^ = | / ( х ) : | | / | |
с
+||/^|| <1 и
l
f
{
r
)
с
^ ~ ^
(
y
)
<1,
l
[0,1]}
ЕЕ
^ ( г ) — _ производная функции /, /(°) = / ) .
Следующая теорема отвечает на вопрос, поставленный К. И. Осколковым:
Т е о р е м а 2. Для г = 0, 1, . . . и а ЕЕ (0, 1] найдется такая постоянная
e = с (г, а )
0, что <9./1я
= 1, 2, . . . и любой п. о. н. с. Ф — { ф ( # ) } n = i
г
я
п
2
sup
е (/,Ф,£ )>сга-(
г + а
).
т
r
/GH -
a
Теорема 2 вытекает из такого следствия теоремы 1:
С л е д с т в и е 2. Пусть Ф = {cp (х)}^
— п. о. н. с. и B
N-мерный куб, т. е.
t
2
CZ L (0, 1) —
N
N
#N = { S
K
l < l , 7 = l , ; . . , ^ , { % } j L i — о.н.с.}.
Тогда
sup 4 ( i v -
, / 2
2
/,o^ )>4-'
£сли m < c ./V, где c ^> 0 — постоянная из следствия 1.
В самом деле, пусть при î = 1, 2, . . . г =
(#) — ортогональная проекция
функции ф г на подпространство L , натянутое на функции г|? -, 7 = 1 , 2 , . . .
. . ., N. Тогда
0
0
г
N
7
со
S
II i V ~ 4 | | Ь = 1,
i=l
max H ЛГ'/'е, || , = p <
N-''\
t
l<i<oc
Легко видеть, что для f ЕЕ L
N
el (N~H
2
Ф, L ) = II N-^f
|| . L
sup
1/2
S (/, ЛГ е,)
2
(12)
i
•
(здесь (/, g) = ^ fg dx^j . Используя изоморфизм всех ЛГ-мерных евклидовых
о
пространств и следствие 1, мы из (12) выводим, что при m ^ c N
sup е (N- *f, Ф, L ) > 1 - 1/4 = / .
0
2
lf
2
3
т
Следствие 2 доказано.
Доказательство
= 1 , 2 , . . . положим
I
4
теоремы 2.
I,
если х = 0,
0,
если
Пусть
сначала г = 0. При N =
\x\^(2Ny\
-1
1
линейна и непрерырна на [0, (27V) ] и [—(2N)" , 0]
и рассмотрим на отрезке [0, 1] семейство функций
N
B
N
= {/ : / = (ЗЛГ)*/. £
а Л*
4
{ ж - ( Ü ^ L ) } , [
a
i
| <
1, i = 1 , . . . ЛГ}
{такие семейства функций использовались и в задачах об абсолютной сходимос­
ти общих ортогональных рядов, см., например, [5]).
190
2
Легко видеть, что B
N
— куб в L и что при О < а < ! 1
(3iV
a + 1 / 2
l ß
0
a
)- ive^ ' ,
поэтому, если взять число N таким, что m ^ c N < 7/г + 1, то из следствия 2
мы получим
0
sup e (/, Ф, I?) > - i - sup е (N^f,
m
п
2
Ф, £ ) >
8
JV"* > - | -
что и требовалось проверить. Случай г
О рассматривался аналогично, при
этом вместо функций A (x) надо использовать подобные им гладкие функции.
N
ЛИТЕРАТУРА
1. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.
2. Осколков К. И. Аппроксимационные свойства суммируемых функций на множествах
полной меры.— Мат. сб., 1977, т. 103, № 4, с. 563—589.
3. Майоров В. Е. О линейных поперечниках соболевских классов.— Докл. А Н СССР,
1978, т. 243, № 5, с. 1 1 2 7 - 1 1 3 0 .
4. Стечкин СБ.
Об абсолютной сходимости ортогональных рядов.—Докл. А Н СССР,
1955, т. 102, № 1, с. 37—40.
5. Вочкарев С. В. Метод усреднений в теории ортогональных рядов и некоторые вопросы
теории базисов.—Тр. МИАН СССР, 1978, т. 146, с. 1—87.