Уклонение выпуклой оболочки ограниченных множеств

ТРУДЫ МФТИ. — 2012. — Том 4, № 4
Г. М. Иванов
105
УДК 517.982.252
Г. М. Иванов
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Уклонение выпуклой оболочки ограниченных множеств
Исследуется наибольшее уклонение выпуклой оболочки множества (УВО) от самого
множества при условии, что множество содержится в единичном шаре. Для конечномерного пространства получена точная оценка сверху УВО в зависимости от размерности пространства. Приведена оценка сверху УВО через константу Липшица оператора
метрического проектирования на гиперплоскость. Эта константа Липшица в свою очередь оценена сверху через модули гладкости и выпуклости пространства.
Ключевые слова: уклонение выпуклой оболочки, модуль опорной выпуклости.
1.
Основные определения
Пусть 𝐸 – линейное нормированное пространство размерности больше 1 (возможно,
бесконечномерное). Через ⟨𝑝, 𝑥⟩ обозначим значение функционала 𝑝 ∈ 𝐸 * на векторе 𝑥 ∈ 𝐸.
Для вектора 𝑎 ∈ 𝐸 и функционала 𝑝0 ∈ 𝐸 * через B𝑅 (𝑎) и B*𝑅 (𝑝0 ) обозначим шары с
радиусом 𝑅 в пространствах 𝐸, 𝐸 * соответственно:
B𝑅 (𝑎) = {𝑥 ∈ 𝐸 : ‖𝑥 − 𝑎‖ 6 𝑅} ,
B*𝑅 (𝑝0 ) = {𝑝 ∈ 𝐸 * : ‖𝑝 − 𝑝0 ‖ 6 𝑅} .
Через co 𝐴, 𝜕𝐴, int 𝐴 обозначим соответственно выпуклую оболочку, границу и внутренность множества 𝐴 ⊂ 𝐸 , через 𝜌(𝑥, 𝐴) – расстояние от точки 𝑥 ∈ 𝐸 до множества 𝐴.
Уклонением множества 𝐴 ⊂ 𝐸 от множества 𝐵 ⊂ 𝐸 называется величина
ℎ+ (𝐴, 𝐵) = sup 𝜌(𝑥, 𝐵).
𝑥∈𝐴
Заметим, что в ситуации 𝐵 ⊂ 𝐴, которая имеет место ниже, уклонение ℎ+ (𝐴, 𝐵) совпадает
с расстоянием Хаусдорфа между множествами 𝐴 и 𝐵 . Величина ℎ+ (co 𝐷, 𝐷) называется
уклонением выпуклой оболочки (УВО) множества 𝐷 ⊂ 𝐸 . УВО-модулем пространства 𝐸
назовем величину
𝜁𝐸 = sup ℎ+ (co 𝐷, 𝐷).
𝐷⊂B1 (0)
Замечание 1.1. Непосредственно из определения следует, что для любого пространства
𝐸 справедливы неравенства 1 6 𝜁𝐸 6 2.
Пространство упорядоченных наборов 𝑥 = (𝑥1 , . . . , 𝑥𝑛 ) из 𝑛 действительных чисел 𝑥𝑖 с
нормой ‖𝑥‖ = (|𝑥1 |𝑝 + . . . + |𝑥𝑛 |𝑝 )1/𝑝 обозначим через ℓ𝑛𝑝 .
Определение 1.1. Модулем выпуклости нормированного пространства 𝐸 называется
функция 𝛿𝐸 : (0, 2] → R, определяемая формулой
{︂
}︂
‖𝑥 + 𝑦‖
: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, ‖𝑥‖ = ‖𝑦‖ = 1, ‖𝑥 − 𝑦‖ ≥ 𝜀 .
𝛿𝐸 (𝜀) = inf 1 −
2
Нормированное пространство 𝐸 называется равномерно выпуклым, если 𝛿𝐸 (𝜀) > 0 для
любого 𝜀 ∈ (0, 2].
Определение 1.2. Модулем гладкости нормированного пространства 𝐸 называется функция 𝜌𝐸 : [0, +∞) → R, определяемая формулой
{︂
}︂
‖𝑥 + 𝑦‖ ‖𝑥 − 𝑦‖
𝜌𝐸 (𝜏 ) = sup
+
− 1 : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, ‖𝑥‖ = 1, ‖𝑦‖ = 𝜏 .
2
2
106
ТРУДЫ МФТИ. — 2012. — Том 4, № 4
Нормированное пространство 𝐸 называется равномерно гладким, если
lim
𝜏 →+0
𝜌𝐸 (𝜏 )
= 0.
𝜏
Далее будет часто использовано следствие теоремы Хана—Банаха ( [6] теорема 3.2): для
любого вектора 𝑥 из банахова пространства 𝐸 существует функционал 𝑝 ∈ 𝜕B*1 (0) такой,
что ⟨𝑝, 𝑥⟩ = ‖𝑥‖.
Будем говорить, что функционал 𝑝 ∈ 𝐸 * является двойственным функционалом к вектору 𝑥 из банахова пространства 𝐸 , а вектор 𝑥 будем называть двойственным вектором
к функционалу 𝑝, если ⟨𝑝, 𝑥⟩ = ‖𝑝‖ · ‖𝑥‖. Заметим, что для рефлексивного банахова пространства для любого функционала 𝑝 ∈ 𝐸 * существует ему двойственный ненулевой вектор.
Через 𝐽1 (𝑥) обозначим множество единичных функционалов, двойственных к вектору 𝑥.
Замечание 1.2. Любое равномерно выпуклое или равномерно гладкое банахово простран-
ство рефлексивно [5].
Будем говорить, что вектор 𝑦 ∈ 𝐸 квазиперпендикулярен вектору 𝑥 ∈ 𝐸, и писать 𝑦q𝑥,
если существует функционал 𝑝 ∈ 𝐽1 (𝑥) такой, что ⟨𝑝, 𝑦⟩ = 0.
2.
Уклонение выпуклой оболочки множеств в конечномерных
пространствах
Лемма 2.1. Если множество B1 (𝑂) ∖ int B𝑟 (𝑂1 ) не пусто, то оно линейно связно.
Доказательство.
Будем предполагать, что 𝑂 ̸= 𝑂1 , иначе доказываемое утверждение тривиально. Обозначим
точку пересечения луча 𝑂1 𝑂 с границей шара B1 (𝑂) через 𝑃. Из неравенства треугольника
следует, что если множество B1 (𝑂)∖int B𝑟 (𝑂1 ) не пусто, то оно содержит точку 𝑃. Покажем,
что множество 𝜕B1 (𝑂) ∖ int B𝑟 (𝑂1 ) линейно связно, откуда следует утверждение леммы.
Для этого докажем, что в двумерном случае любая точка множества 𝜕B1 (𝑂) ∖ int B𝑟 (𝑂1 )
связана с точкой 𝑃. Предположим противное. Тогда на единичной окружности существуют
точки 𝐴1 , 𝐵1 такие, что они лежат по одну сторону от прямой 𝑂𝑂1 , принадлежат окружностям 𝜕B𝑟 (𝑂1 ), 𝜕B1 (𝑂), и на дуге 𝐴1 𝐵1 окружности 𝜕B1 (𝑂) найдется точка 𝐶1 такая, что
‖𝐶1 𝑂1 ‖ > 𝑟. Из точки 𝑂 проведем лучи, параллельные лучам 𝑂1 𝐴1 , 𝑂1 𝐵1 соответственно,
пусть они пересекают единичную окружность 𝜕B1 (𝑂) в точках 𝐴, 𝐵 соответственно. Из
подобия шаров B1 (𝑂), B𝑟 (𝑂1 ) следует, что 𝐴1 𝐵1 ‖ 𝐴𝐵. Из того, что точки 𝐴, 𝐵, 𝐴1 , 𝐵1
лежат по одну сторону от прямой 𝑂𝑂1 и 𝑂𝐴 ∩ 𝑂1 𝐴1 = ∅, 𝑂𝐵 ∩ 𝑂1 𝐵1 = ∅, и выпуклости единичного шара, следует, что отрезки 𝐴𝐵, 𝐴1 𝐵1 лежат на одной прямой, откуда ‖𝐶1 𝑂1 ‖ = 𝑟.
Противоречие. Теорема 2.1. Пусть 𝐸𝑛 – линейное нормированное пространство размерности 𝑛 > 2.
𝑛
Тогда 𝜁𝐸𝑛 6 2 𝑛−1
𝑛 . Причем равенство достигается при 𝐸𝑛 = ℓ1 .
Доказательство.
Обозначим 𝑟𝑛 = 2 𝑛−1
𝑛 > 1.
Докажем неравенство. Предположим противное.
Существует банахово пространство 𝐸𝑛 размерности 𝑛 > 2, множество 𝐷 ⊂ B1 (0) ⊂ 𝐸𝑛
и точка 𝑂1 ∈ co 𝐷 такая, что B𝑟𝑛 (𝑂1 ) ∩ 𝐷 = ∅. Но раз 𝑂1 ∈ co 𝐷, то
𝑂1 ∈ co(B1 (0)∖ int B𝑟𝑛 (𝑂1 )). Множество 𝐵 = B1 (0)∖ int B𝑟𝑛 (𝑂1 ) по лемме 2.1 связно, значит, в силу усиления теоремы Каратеодори ( [8], p.241, satz A) точка 𝑂1 есть выпуклая
комбинация не более чем 𝑛 точек из множества 𝐵 . Обозначим их 𝐴1 , ...𝐴𝑘 , 𝑘 6 𝑛, они
образуют (𝑘 − 1)-мерный симплекс 𝐴, точка 𝑂1 = 𝛼1 𝐴1 + ... + 𝛼𝑘 𝐴𝑘 лежит в его относительной внутренности (𝛼𝑖 > 0, 𝛼1 + ... + 𝛼𝑘 = 1). Пусть 𝐶𝑙 – пересечение луча 𝐴𝑙 𝑂1 с
противоположной гранью симплекса 𝐴, т.е. 𝑂1 = 𝛼𝑙 𝐴𝑙 + (1 − 𝛼𝑙 )𝐶𝑙 . Тогда
‖𝑂1 𝐴𝑙 ‖ = (1 − 𝛼𝑙 )‖𝐶𝑙 𝐴𝑙 ‖.
ТРУДЫ МФТИ. — 2012. — Том 4, № 4
Г. М. Иванов
107
Так как 𝐶𝑙 𝐴𝑙 ⊂ 𝐴 ⊂ B1 (0), то ‖𝐴𝑙 𝐶𝑙 ‖ 6 2. Поэтому 𝑟𝑛 6 ‖𝑂1 𝐴𝑙 ‖ 6 2(1−𝛼𝑙 ). Следовательно,
𝛼𝑙 6 1 − 𝑟2𝑛 6 𝑛1 , а значит, 𝛼1 + · · · + 𝛼𝑘 6 𝑛𝑘 6 1. Противоречие.
Покажем, что равенство достигается.
Рассмотрим пространство 𝑙1 (𝑛). Пусть 𝐴𝑖 = 𝑒𝑖 ∈ B1 (0), где {𝑒𝑖 }𝑛𝑖=1 – стандартный базис
𝑛
в 𝑙1 , 𝐵 = 𝑛1 (𝐴1 + . . . + 𝐴𝑛 ) ∈ co{𝐴1 , . . . , 𝐴𝑛 }. Но расстояние от точки 𝐵 до произвольной
точки множества 𝐴 равно ‖𝐴𝑖 𝐵‖ = 2 𝑛−1
𝑛 . Из теоремы 1 и неравенства 𝜁𝐸 > 1 следует, что УВО-модуль любого двумерного нормированного пространства равен 1. Легко видеть, что УВО-модуль пространства ℓ1 равен 2.
Заметим, что в теореме фактически доказано, что если dim 𝐸 = 𝑛, то любой симплекс
𝑘
размерности 𝑘 < 𝑛, содержащийся в единичном шаре, накрывается шаром радиуса 2 𝑘+1
с
центром в центре тяжести симплекса. Отсюда и из теоремы Хелли получаем следующее.
Следствие 2.1. Пусть множества 𝑃 и 𝑄 – сечения единичного 𝑛-мерного шара двумя
параллельными аффинными подпространствами размерности 𝑘, причем аффинное подпространство, содержащее 𝑃, проходит через 0. Тогда 𝑄 параллельным переносом накры𝑘
вается множеством 2 𝑘+1
𝑃.
3.
Оценка УВО-модуля в произвольных банаховых пространствах
Введем следующую величину, характеризующую пространство:
𝜒𝐸 =
sup
sup ‖𝑥 − ⟨𝑝, 𝑥⟩𝑦‖.
𝑥,𝑦∈𝜕B1 (0) 𝑝∈𝐽1 (𝑦)
Заметим, что если 𝑦 ∈ 𝜕B1 (0), 𝑝 ∈ 𝐽1 (𝑦), то вектор (𝑥 − ⟨𝑝, 𝑥⟩𝑦) является метрической проекцией вектора 𝑥 на гиперплоскость 𝐻𝑝 = {𝑥 ∈ 𝐸 : ⟨𝑝, 𝑥⟩ = 0}. Поэтому
𝜒𝐸 = sup𝑦∈𝜕B1 (0) sup𝑝∈𝐽1 (𝑥) 𝜒𝑝𝐸 , где 𝜒𝑝𝐸 – это половина диаметра проекции единичного шара
на гиперплоскость 𝐻𝑝 . Отсюда вытекает следующее замечание.
Замечание 3.1. 𝜒𝐸 – это минимальная константа Липшица метрической проекции при
проектировании на гиперплоскость.
Оценим УВО-модуль пространства 𝐸 через величину 𝜒𝐸 .
Лемма 3.1. Пусть 𝑂1 ∈ co (B1 (𝑂)∖int B𝑟 (𝑂1 )), пусть единичный функционал 𝑝 двой-
ственен к вектору 𝑂𝑂1 . Тогда в гиперплоскости 𝐻𝑝 = {𝑥 ∈ 𝐸 : ⟨𝑝, 𝑥⟩ = ⟨𝑝, 𝑂1 ⟩} найдется
точка 𝑥 такая, что 𝑥 ∈ B1 (𝑂)∖ int B𝑟 (𝑂1 ).
Доказательство.
Обозначим 𝐵 = B1 (𝑂)∖int B𝑟 (𝑂1 ). Так как 𝑂1 ∈ co 𝐵, то существуют точки 𝐴1 , · · · , 𝐴𝑛 ∈ 𝐵
и набор положительных коэффициентов 𝜆1 , . . . , 𝜆𝑛 (𝜆1 + . . . + 𝜆𝑛 = 1) такие, что
(1)
𝑂1 = 𝜆1 𝐴1 + . . . + 𝜆𝑛 𝐴𝑛 .
Пусть 𝐻𝑝+ = {𝑦 ∈ 𝐸 : ⟨𝑝, 𝑦⟩ > ⟨𝑝, 𝑂1 ⟩. Из леммы 2 следует связность множества 𝐵.
Отсюда и непустоты множества 𝐵∖𝐻𝑝+ следует, что если доказываемое утверждение неверно, то 𝐵 ∩ 𝐻𝑝+ = ∅. Тогда ⟨𝑝, 𝐴𝑖 ⟩ < ⟨𝑝, 𝑂1 ⟩ и из формулы (1) следует, что
⟨𝑝, 𝑂1 ⟩ = 𝜆1 ⟨𝑝, 𝐴1 ⟩ + . . . + 𝜆𝑛 ⟨𝑝, 𝐴𝑛 ⟩ < ⟨𝑝, 𝑂1 ⟩.
Противоречие. Лемма 3.2.
𝜁𝐸 6 sup
inf
sup
𝑦∈B1 (0) 𝑝∈𝐽1 (𝑦) 𝑥∈B1 (0):⟨𝑝,𝑥−𝑦⟩=0
Доказательство.
‖𝑥 − 𝑦‖.
(2)
Зафиксируем произвольное число 𝜀 > 0. Тогда по определению УВО-модуля найдется
108
ТРУДЫ МФТИ. — 2012. — Том 4, № 4
множество 𝐷 ⊂ B1 (0) такое, что ℎ+ (co 𝐷, 𝐷) > 𝜁𝐸 − 𝜀. Следовательно, найдется точка
𝑂1 ∈ co 𝐷 : 𝜌(𝑂1 , 𝐷) > 𝜁𝐸 − 2𝜀. Обозначим 𝑟 = 𝜌(𝑂1 , 𝐷). Тогда 𝐷 ⊂ B1 (0) ∖ int B𝑟 (𝑂1 ).
Следовательно, 𝑂1 ∈ co [B1 (0) ∖ int B𝑟 (𝑂1 )]. Обозначим 𝑦 = 𝑂1 , пусть 𝑝 ∈ 𝐽1 (𝑦). По лемме 3.1 существует вектор 𝑥 ∈ B1 (0) ∖ int B𝑟 (𝑂1 ) : ⟨𝑝, 𝑥 − 𝑦⟩ = 0. При этом 𝑟 6 ‖𝑥 − 𝑦‖.
Следовательно, 𝜁𝐸 6 ‖𝑥 − 𝑦‖ + 2𝜀. Устремляя 𝜀 к нулю, получаем доказываемое неравенство. Нетрудно понять, что
𝜒𝐸 =
sup
‖𝑥 − 𝑦‖.
sup
𝑦∈B1 (0),𝑝∈𝐽1 (𝑦) 𝑥∈B1 (0):⟨𝑝,𝑥−𝑦⟩=0
Тогда из леммы 3.2 следует утверждение.
Теорема 3.1. 𝜁𝐸 6 𝜒𝐸 .
Следствие 3.1. Для гильбертова пространства 𝐻 справедливо равенство 𝜁𝐻 = 1.
Вся оставшаяся часть работы посвящена оценке величины 𝜒𝐸 . В этом параграфе приведем достаточно неточную оценку, следующую из работ В.И. Бердышева. Согласно статье [4], обозначим
+
ℎ−
𝐸 = inf ‖𝑥 − 𝑦‖; ℎ𝐸 = sup ‖𝑥 − 𝑦‖,
где инфимум (супремум) берется по всем единичным векторам 𝑦, 𝑥 : 𝑦q𝑥. В этой же статье
приведена оценка на величину ℎ−
𝐸 :
ℎ−
𝐸 >
1
1
,
>
𝑡0
1 − 𝛿𝐸 ( 12 )
где 𝑡0 – корень уравнения
𝑡 + 2𝛿𝐸 (𝑡) = 1.
Оценим величину ℎ+
𝐸 . Пусть векторы 𝑥, 𝑦 такие, что ‖𝑥‖ = ‖𝑦‖ = inf 𝜏 ∈R ‖𝑥 − 𝜏 𝑦‖ = 1.
1
1
Тогда ‖−𝑦‖ = inf 𝜏 ∈R ‖𝑥 + 𝜏 (−𝑦)‖ = 1. Значит, ‖𝑥 + 𝑦‖ > ℎ−
𝐸 > 𝑡0 > 1−𝛿 ( 1 ) , откуда
𝛿𝐸 (‖𝑥 − 𝑦‖) 6 1 −
‖𝑥+𝑦‖
2
𝐸 2
61−
1
2𝑡0
61−
1
.
2(1−𝛿𝐸 ( 12 ))
Получаем, что
(︃
)︃
(︂
)︂
1
1
−1
−1
(︀ )︀)︀ .
1−
1 − (︀
ℎ+
6 𝛿𝐸
𝐸 = sup ‖𝑥 − 𝑦‖ 6 𝛿𝐸
2𝑡0
2 1 − 𝛿𝐸 21
(3)
Но можно действовать и другим способом:
1
‖𝑥 − 𝑦‖ 6 1 − 𝛿𝐸 (‖𝑥 + 𝑦‖) 6 1 − 𝛿𝐸
2
т.е.
ℎ+
𝐸
(︂
1
𝑡0
(︃
)︂
6 1 − 𝛿𝐸
1
1 − 𝛿𝐸 ( 12 )
)︃
,
(︃
(︃
)︃)︃
(︂
(︂ )︂)︂
1
1
= sup ‖𝑥 − 𝑦‖ 6 2 1 − 𝛿𝐸
6 2 1 − 𝛿𝐸
.
𝑡0
1 − 𝛿𝐸 ( 21 )
(4)
Лемма 3.3. В любом пространстве верны неравенства
𝜁𝐸 6 𝜒𝐸 6 ℎ+
𝐸.
Доказательство.
(5)
Зафиксируем векторы 𝑦, 𝑦2 на единичной сфере. Расcмотрим двумерное сечение 𝐸2 исходного пространства 𝐸 плоскостью 𝑦𝑂𝑦2 . Возьмем на единичной окружности в пространстве
𝐸2 точку 𝑥 такую, что опорная прямая к единичному кругу в этой точке параллельна вектору 𝑦. Ясно, что длина вектора метрической проекции любого вектора из единичного круга
𝐸2 ∩ B1 (𝑂) на гиперплоскость 𝐻𝑝 = {𝑎 ∈ 𝐸 : ⟨𝑝, 𝑎⟩ = 0} для некоторого 𝑝 ∈ 𝐽1 (𝑦) не превосходит длины метрической проекции вектора 𝑥 на эту гиперплоскость. Пусть 𝑙 = 𝐻𝑝 ∩ 𝐸2 .
ТРУДЫ МФТИ. — 2012. — Том 4, № 4
Г. М. Иванов
109
Проведем прямые 𝑙− , 𝑙+ , параллельные 𝑙, проходящие через точки −𝑦, 𝑦 соответственно.
Ясно, что 𝑙− , 𝑙+ являются опорными прямыми к единичному кругу в плоскости 𝐸2 . Значит,
прямая 𝑙𝑥 ‖ 𝑙, проходящая через 𝑥, пересекает отрезок [−𝑦; 𝑦]. Обозначим [−𝑦; 𝑦] ∩ 𝑙𝑥 = 𝑧.
Тогда ‖𝑧 − 𝑥‖ и есть длина метрической проекции вектора 𝑥 на 𝐻𝑝 . Но для любой точки
𝑧0 ∈ [−𝑦; 𝑦] верно неравенство ‖𝑧0 − 𝑥‖ 6 max {‖𝑥 + 𝑦‖ ; ‖𝑥 − 𝑦‖} 6 ℎ+
𝐸 . Откуда и следует
утверждение леммы. 4.
Модуль опорной выпуклости
Пусть ‖𝑦‖ = ‖𝑥‖ = 1; 𝑦q𝑥, 𝑟 > 0. Если существует такое число 𝛽, что ‖𝑥 + 𝑟𝑦 − 𝛽𝑥‖ 6 1,
то положим 𝜆𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑟) = inf {𝜆| ‖𝑥 + 𝑟𝑦 − 𝜆𝑥‖ = 1}. Если такого 𝛽 не существует, положим
𝜆𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑟) = +∞. Заметим, что из центральной симметричности шара следует, что величины 𝜆𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑟), 𝜆𝐸 (𝑥, −𝑦, 𝑟) либо обе конечны, либо равны +∞. Обозначим
𝜆−
𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑟) = min{𝜆𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑟), 𝜆𝐸 (𝑥, −𝑦, 𝑟)};
𝜆+
𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑟) = max{𝜆𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑟), 𝜆𝐸 (𝑥, −𝑦, 𝑟)}.
Определение 4.1. Назовем модулями локальной опорной выпуклости функции
𝜆±
𝐸 : 𝐸 × (0, +∞) → R, задаваемые соотношениями
−
𝜆−
𝐸 (𝑥, 𝑟) = inf 𝜆𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑡);
+
𝜆+
𝐸 (𝑥, 𝑟) = sup 𝜆𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑡),
где 𝑥 ∈ 𝐸, ‖𝑥‖ = 1, 𝑟 > 0, а супремум (инфимум) берется по всем таким наборам (𝑦, 𝑡), что
‖𝑦‖ = 1, 𝑦q𝑥, 0 6 𝑡 6 𝑟 и 𝜆+
𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑡) < +∞.
−
+
Ясно, что выполняются неравенства 𝜆−
𝐸 (𝑥, 𝑟) 6 𝜆𝐸 (𝑥, 𝑟) и 𝜆𝐸 (𝑥, 𝑟) 6 1.
Определение 4.2. Назовем модулями 𝑚-опорной и 𝑝-опорной выпуклости, функции
+
𝜆−
𝐸 (𝑟), 𝜆𝐸 (𝑟), задаваемые соотношениями
−
+
+
𝜆−
𝐸 (𝑟) = inf 𝜆𝐸 (𝑥, 𝑡); 𝜆𝐸 (𝑟) = sup 𝜆𝐸 (𝑥, 𝑡),
где супремум (инфимум) берется по всем наборам (𝑥, 𝑡), что ‖𝑥‖ = 1, 0 6 𝑡 6 𝑟 и
𝜆+
𝐸 (𝑥, 𝑡) < +∞.
+
Приведем некоторые оценки на 𝜆−
𝐸 (𝑟), 𝜆𝐸 (𝑟).
Лемма 4.1. Для любого 𝑟 ∈ (0, 2] верны следующие неравенства:
(︂
)︂
𝑟 )︁
𝑟
1 −1
1 −1 (︁
1−
1−
6 1 − 𝛿𝐸
(6)
6 𝜆+
1 − 𝛿𝐸
𝐸 (𝑟).
2
2
2
𝜒𝐸
Доказательство.
𝑙1 𝑙2
Первое неравенство в цепочке (6) следует из нера
венства 𝜒𝐸 6 2. Зафиксируем произвольную точку
𝑋0 на единичной сфере. Зафиксируем в гиперплос 𝐴`X
X`𝐴2
кости 𝐻𝑥 , опорной к единичному шару в точке 𝑋0 ,
точку 𝑋1 такую, что ‖𝑋0 𝑋1 ‖ = 𝑟. Обозначим луч
𝑂`
𝑌
X
1
X
𝑂𝑋0 + 𝛼𝑋0 𝑋1 ; 𝛼 > 0 как 𝑙. Пусть 𝑙1 , 𝑙2 – прямые, паX`XX ` 𝑌
раллельные вектору 𝑂𝑋0 , причем 𝑙2 – опорная к еди 2
ничному шару 𝐸2 в точке 𝑌2 и 𝑙2 ∩ 𝑙 = 𝑋2 , а прямая 𝑙1
𝐵`
XX` пересекает луч 𝑙 в точке 𝑋1 и единичную окружность
`
` ` 𝐵2
𝑋1 𝑋2
в точках 𝐴, 𝐵. Пусть 𝑌1 = 𝑂𝑌2 ∩ 𝐴𝐵. Из определения
𝑋0
𝑙
𝜆+
(𝑟)
и
центральной
симметричности
шара
следует,
𝐸
что ‖𝐴𝐵‖ > 2(1−𝜆+
𝐸 (𝑟)). Ясно, что ‖𝑌1 𝑌2 ‖ > 𝛿𝐸 (‖𝐴𝐵‖),
Рис. 1
откуда
+
𝛿𝐸 (2(1 − 𝜆𝐸 (𝑟))) 6 𝛿𝐸 (‖𝐴𝐵‖) 6 ‖𝑌1 𝑌2 ‖ .
(7)
Используя теорему Фалеса, получаем
‖𝑌1 𝑌2 ‖ =
‖𝑌1 𝑌2 ‖
‖𝑋1 𝑋2 ‖
‖𝑋0 𝑋2 ‖ − ‖𝑋0 𝑋1 ‖
𝑟
𝑟
=
=
=1−
61−
.
‖𝑂𝑌2 ‖
‖𝑋0 𝑋2 ‖
‖𝑋0 𝑋2 ‖
‖𝑋0 𝑋2 ‖
𝜒𝐸
(8)
110
ТРУДЫ МФТИ. — 2012. — Том 4, № 4
Из неравенств (7), (8) получаем
𝛿𝐸 (2(1 − 𝜆+
𝐸 (𝑟))) 6 1 −
𝑟
,
𝜒𝐸
откуда следует неравенство (6).
Лемма 4.2. Для любого 𝑥 ∈ [0; 2] верны следующие неравенства:
𝛿𝐸 (𝑥) 6 𝜆+
𝐸
(︁ 𝑥 )︁
2
−
𝛿𝐸 (𝑥) 6 𝜆𝐸 (𝑥).
(9)
;
(10)
Доказательство.
Пусть на единичной сфере выбраны точки 𝐴, 𝐵 так, что ‖𝐴𝐵‖ = 𝑥. Рассмотрим сечение
исходного пространства двумерной плоскостью 𝐸2 = 𝐴𝑂𝐵. В плоскости 𝐸2 на единичной окружности найдется такая точка 𝑌2 , что через нее можно провести опорную прямую
𝑙2 , параллельную 𝐴𝐵, и 𝑂𝑌2 ∩ 𝐴𝐵 = 𝑌1 . Пусть точки 𝐴2 , 𝐵2 принадлежат проекциям
точек 𝐴, 𝐵 соответственно на прямую 𝑙2 , причем отрезки 𝑌1 𝑌2 , 𝐴𝐴2 и 𝐵𝐵2 параллельны и равны (как параллельные отрезки, заключенные между параллельными прямыми).
Понятно, что 𝛿𝐸 (𝑥) 6 ‖𝑌1 𝑌2 ‖ . Не ограничивая общности, считаем, что ‖𝑌2 𝐴2 ‖ 6 𝑥2 . Тогда
+ 𝑥
‖𝑌1 𝑌2 ‖ = ‖𝐴𝐴2 ‖ 6 𝜆+
𝐸 (‖𝑌2 𝐴2 ‖) 6 𝜆𝐸 ( 2 ). Так как ‖𝑌2 𝐴2 ‖ 6 ‖𝑌2 𝐵2 ‖ и ‖𝐴𝐴2 ‖ = ‖𝐵𝐵2 ‖ , то
−
−
‖𝐵𝐵2 ‖ 6 𝜆−
𝐸 (𝑌2 , ‖𝑌2 𝐵2 ‖) 6 𝜆𝐸 (𝑌2 , ‖𝐴2 𝐵2 ‖) = 𝜆𝐸 (𝑌2 , 𝑥). Переходя к инфимуму, получим
неравенство (10). −
−
Лемма 4.3. Пусть 𝜆−
𝐸 (𝑟) < ∞. Обозначим 𝜆 = 𝜆𝐸 (𝑟). Верно неравенство
𝜆− 6 (1 − 𝜆− )𝜌𝐸
(︂
𝑟
1 − 𝜆−
)︂
(11)
6 𝜌𝐸 (𝑟) .
Доказательство.
Зафиксируем точки 𝑥, 𝑦 ∈ 𝜕B1 (0), 𝑦q𝑥. Пусть 𝜆1 = 𝜆−
𝐸 (𝑥, 𝑦, 𝑟). Тогда верны следующие
неравенства:
‖𝑥 − 𝜆1 𝑥 + 𝑟𝑦‖ > 1; ‖𝑥 − 𝜆1 𝑥 − 𝑟𝑦‖ > 1.
После деления на 2(1 − 𝜆1 ) и сложения обоих неравенств получаем
⃦
⃦ ⃦
⃦
⃦
⃦
𝑟𝑦 ⃦
𝑟𝑦 ⃦
𝑥
+
+
𝑥
−
⃦
⃦
⃦
1−𝜆1
1−𝜆1 ⃦
1
6
.
1 − 𝜆1
2
Используя определение модуля гладкости, получаем, что
(︂
)︂
𝜆1
𝑟
6 𝜌𝐸
,
1 − 𝜆1
1 − 𝜆1
домножив последнее выражение на 1 − 𝜆1 и перейдя к супремуму, получим неравенство
(11). Второе неравенство в формуле (11) следует из выпуклости модуля гладкости.
Лемма 4.4. Пусть 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸, 𝑥 ̸= 0, 𝑝 ∈ 𝐽1 (𝑥). Тогда
(︂
‖𝑥 + 𝑦‖ 6 ‖𝑥‖ + ⟨𝑝, 𝑦⟩ + 2 ‖𝑥‖ 𝜌𝐸
Доказательство.
‖𝑦‖
‖𝑥‖
)︂
.
Из определения модуля гладкости следует, что
(︂
)︂
)︂
(︂
1 ‖𝑥 + 𝑦‖ ‖𝑥 − 𝑦‖
‖𝑦‖
+
− 1 6 𝜌𝐸
,
2
‖𝑥‖
‖𝑥‖
‖𝑥‖
(12)
ТРУДЫ МФТИ. — 2012. — Том 4, № 4
Г. М. Иванов
111
домножая неравенство на 2 ‖𝑥‖ и преобразуя, получим следующую цепочку неравенств:
(︂
)︂
‖𝑦‖
‖𝑥 + 𝑦‖ 6 2 ‖𝑥‖ − ‖𝑥 − 𝑦‖ + 2 ‖𝑥‖ 𝜌𝐸
6
‖𝑥‖
(︂
(︂
)︂
)︂
‖𝑦‖
‖𝑦‖
6 2 ‖𝑥‖ + ⟨𝑝, 𝑦 − 𝑥⟩ + 2 ‖𝑥‖ 𝜌𝐸
= ‖𝑥‖ + ⟨𝑝, 𝑦⟩ + 2 ‖𝑥‖ 𝜌𝐸
.
‖𝑥‖
‖𝑥‖
Лемма 4.5. Пусть 𝜆 = 𝜆+
𝐸 (𝑟) < 1. Тогда
(︂
𝜆 6 2(1 − 𝜆)𝜌𝐸
𝑟
1−𝜆
)︂
.
(13)
Доказательство.
Пусть 𝜇 ∈ (0, 𝜆) и пусть существуют векторы 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐸 и функционал 𝑝 ∈ 𝐽1 (𝑥) = 𝐽1 (𝑥 − 𝜇𝑥),
удовлетворяющие соотношениям ‖𝑥‖ = ‖𝑥 − 𝜇𝑦‖ = 1, ‖𝑥 − 𝑦‖ 6 𝑟, ⟨𝑝, 𝑦⟩ = 1. Тогда в силу
леммы 4.4 имеем
(︂
(︂
)︂
)︂
𝑟
𝑟
1 = ‖𝑦 − 𝜇𝑥‖ 6 ‖𝑥 − 𝜇𝑥‖ + ⟨𝑝, 𝑦 − 𝑥⟩ + 2(1 − 𝜇)𝜌𝐸
= 1 − 𝜇 + 2(1 − 𝜇)𝜌𝐸
.
1−𝜇
1−𝜇
Откуда следует неравенство (13). Теорема 4.1. Верны следующие неравенства:
𝜒𝐸 6
1−
𝜒𝐸 6
1−
𝜆+
𝐸
𝜆−
𝐸
1
(︁
(︀
1−𝜆−
𝐸 (1)
2
)︁ ;
1
)︀ .
1 − 𝜆−
𝐸 (1)
(14)
(15)
Доказательство.
Зафиксируем точку 𝑋0 на единичной сфере. Пусть прямая 𝑙 — опорная к сфере в точке
𝑋0 , а прямая 𝑙2 касается сферы в точке 𝑌2 и такая, что 𝑙2 ‖ 𝑂𝑋0 и 𝑙2 ∩ 𝑙 = 𝑋2 , причем
‖𝑌2 𝑋2 ‖ 6 1. На отрезке 𝑋0 𝑋2 отметим точку 𝑋1 такую, что ‖𝑋0 𝑋1 ‖ = 1, и проведем через
нее прямую 𝑙1 ‖ 𝑂𝑋0 . Точку пересечения прямой 𝑙1 и отрезка 𝑂𝑌2 обозначим 𝑌1 , а точки
пересечения прямой 𝑙1 с единичной сферой 𝐴 и 𝐵, причем 𝐴 ∈ 𝑋1 𝑌1 . В доказательстве
леммы 4 показано, что
1
‖𝑋0 𝑋2 ‖ =
.
(16)
1 − ‖𝑌1 𝑌2 ‖
Заметим, что ‖𝑋1 𝐵‖ = 1, откуда ‖𝐴𝐵‖ > 1 − 𝜆−
рассуждения из леммы
𝐸 (1). Применяя
(︁
)︁
−
)︀
(︀
1−𝜆
+
−
𝐸 (1)
(1)
и
‖𝑌
𝑌
‖
6
𝜆
4.2, получаем, что ‖𝑌1 𝑌2 ‖ 6 𝜆−
1
−
𝜆
. Откуда и следует
1
2
𝐸
𝐸
𝐸
2
утверждение теоремы. Замечание 4.1. Оценка (14) в случае гильбертова пространства является точной.
Выражение, стоящее в правой части в неравенстве (14), не превосходит 2.
Гипотеза. Оценка (14) точна для пространства 𝐿𝑝 , 𝑝 ∈ (1; +∞).
5.
Следствия
Подставляя различные полученные оценки на модули опорной выпуклости, нетрудно
получить серию оценок на величину 𝜒𝐸 . Например, подставляя в неравенство (15) оценки
(10), (11) на величину 𝜆−
𝐸 , получаем следующее утверждение.
Следствие 5.1. В любом банаховом пространстве 𝐸 верны неравенства:
𝜁 𝐸 6 𝜒𝐸 6
1
,
1 − 𝜌𝐸 (1 − 𝛿𝐸 (1))
(17)
112
ТРУДЫ МФТИ. — 2012. — Том 4, № 4
что позволяет оценить УВО-модуль пространства через модули равномерной выпуклости
и гладкости.
Замечание 5.1. Оценка (17) не точная, но отражает связь модуля выпуклости гладкости
и УВО-модуля пространства. Так, в случае гильбертова пространства выражение, стоящее
в правой части неравенства (17), приблизительно равно 32 , хотя в этом случае 𝜁𝐸 = 𝜒𝐸 = 1.
Согласно работе [7] множество 𝐴 ⊂ 𝑋 называется проксимально гладким с константой
𝑅, если функция расстояния 𝑥 → 𝜌(𝑥, 𝐴) непрерывно дифференцируема на множестве
𝑈 (𝑅, 𝐴) = {𝑥 ∈ 𝑋 : 0 < 𝜌(𝑥, 𝐴) < 𝑅}.
В работе [2] показано, что в равномерно выпуклом и равномерно гладком банаховом
пространстве 𝑋 метрическая проекция на замкнутое проксимально гладкое с константой
𝑅 множество 𝐴 ⊂ 𝑋 непрерывна на множестве 𝑈 (𝑅, 𝐴). Отсюда и из теоремы 1 получаем
следующий результат.
Теорема 5.1. Пусть замкнутое множество 𝐴 из равномерно выпуклого и равномерно
гладкого банахова пространства 𝑋 является проксимально гладким с константой 𝑅 и
содержится в шаре радиуса 𝑟 < 𝜁𝑅𝑋 . Тогда 𝐴 стягиваемо.
Доказательство.
Заметим, что поскольку множество co 𝐴 выпукло и ограничено, то оно стягиваемо, то
есть существует точка 𝑥0 ∈ co 𝐴 и непрерывная функция 𝐹 : [0, 1] × co 𝐴 → co 𝐴 такие,
что 𝐹 (0, 𝑥) = 𝑥, 𝐹 (1, 𝑥) = 𝑥0 для любого 𝑥 ∈ co 𝐴. Из определения УВО-модуля следует,
что множество co 𝐴 содержится в 𝑅-окрестности множества 𝐴. С другой стороны, 𝐴
является проксимально гладким с константой 𝑅 множеством, а значит, согласно работе
[2] отображение метрического проектирования 𝜋 : co 𝐴 → 𝐴 однозначно и непрерывно.
Поэтому отображение 𝐹˜ : [0, 1] × 𝐴 → 𝐴, заданное формулой 𝐹˜ (𝑡, 𝑥) = 𝜋(𝐹 (𝑡, 𝑥)) при всех
𝑡 ∈ [0, 1], 𝑥 ∈ 𝐴, является стягиванием множества 𝐴. Выражаю огромную признательность моему научному руководителю Г.Е. Иванову за
тяжелую работу по корректировке этой работы и ценные замечания.
Литература
1. Иванов Г.Е. Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения. – М.:
Физматлит, 2006.
2. Балашов М.В., Иванов Г.Е. Cлабо выпуклые и проксимально гладкие множества в
банаховых пространствах // Известия РАН. Серия математическая. – 2009. – Т. 73,
№ 3. – С. 23–66.
3. Гурарий В.И. О равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых простран-
ствах // Теория функций, функциональный анализ и их приложения: респ. науч. сб.
/ Харьковский государственный университет им. А.М. Горького. –– Харьков: Изд-во
Харьковского ун-та, 1965. –– Вып. 1. –– С. 205–211.
4. Бердышев В.И. Связь между неравенством Джексона и одной геометрической задачей
// Математические заметки. – 1968. – Т. 3, № 3. – С. 327–338.
5. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. – Киев: Вища школа, 1980.
6. Рудин У. Функциональный анализ. – М.: Мир, 1975.
7. Clarke F. H., Stern R. J., Wolenski P. R. Proximal Smoothness and Lower–𝐶 2 Property //
J. Convex Anal. – 1995. – V. 2, N 1–2. – P. 117–144.
8. Fenchel W. Über Krilmmung and Windung geshlossener Raumkurven // Math. Ann. 1929.
– V. 101. – P. 589–593.
Поступила в редакцию 29.02.2012.