Лекция 7

Лекция 7
Механическая энергия (кинетическая,
потенциальная)
Система частиц (центр инерции, закон движения
центра масс)
3. Закон сохранения импульса
4. Реактивное движение
5. Закон сохранения энергии
1.
2.
1. Механическая энергия −
характеризует способность тела совершать работу
• Кинетическая энергия – это энергия движения, которая
зависит от массы тела, величины скорости и не зависит от
положения тела в пространстве.
mV 2
EК =
(7.1)
2
Связь работы и кинетической энергии
2
dS
aτ
1
V1
Рассмотрим движение матер. точки по криволинейной траектории
под действием силы F
V2
Найдем какую работу надо совершить, чтобы изменить скорость от
V1 до V2
Выделим бесконечно малый участок пути dS и найдем работу силы F
на этом участке
dA = F·dS cosα
α
a
F
an
следовательно dA = m
По второму закону Ньютона F = ma, поэтому dA = ma·cosα dS
Из геометрии видно, что
a cos α = aτ =
dV
dt
dV
dS
dS = m
dV = mVdV (7.2) − это работа, которую надо совершить,
dt
dt
чтобы изменить скорость на dV
V2
V2
Чтобы найти работу, которую надо совершить, чтобы
mV22 mV12
−
изменить скорость от V1 до V2 , нужно проинтегрировать A = dA = m VdV =
2
2
V1
V1
выражение (7.2) в пределах от V1 до V2
∫
∫
Работа, совершаемая любой силой, равна изменению
кинетической энергии тела
A = EК2 − EК1 = ∆ЕК
(7.3)
Если А > 0, то ∆Ек > 0 − кинетическая энергия возрастает
Если А < 0, то ∆Ек < 0 − кинетическая энергия убывает
• Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия, которая зависит
от положения тел или частей тела друг относительно друга.
Если в системе действуют консервативные силы, то система обладает
потенциальной энергией
поэтому консервативные силы называют потенциальными
Если консервативные силы совершают работу, то положение тел в системе меняется и
потенциальная энергия системы тоже изменяется
Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии
А = Еп1 – Еп2 = -∆Епот
• Полная механическая энергия – это сумма
потенциальной и кинетической энергии
(7.4)
Е = Епот + Ек
(7.5)
2. Система частиц (тел)
Изменение энергии и импульса могут происходить только при взаимодействии. Следовательно,
необходимо как минимум 2 частицы, чтобы происходило изменение энергии и импульса.
Система частиц (тел) – это система, состоящая из двух и более частиц (тел)
Силы, которые действуют между частицами системы – это внутренние силы
Силы, действующие на систему со стороны внешних частиц (тел) - это внешние силы
Если на систему не действуют никакие внешние силы или ими
можно пренебречь по сравнению с внутренними, то такую
систему называют замкнутой.
• Импульс системы – это векторная сумма импульсов частиц
(тел), образующих систему
n n
P = P1 + P2 + ⋅ ⋅ + Pn = ∑ Pi = ∑ mVi
i =1
i =1
(7.6)
Систему «тело-Земля»
можно считать
замкнутой, если
пренебречь действием
Солнца
Осколки в момент взрыва ,
т.к. силы, действующие
между осколками много
больше силы тяжести
(на «излете» осколков
это допущение уже
неверно)
• Центр масс системы – это точка, положение которой определяется
радиус-вектором Rц.м
n
n
ri - радиус-вектор iой частицы
mi ri ∑ mi ri
∑
m r + m2 r2 + ⋅ ⋅ mn rn
(7.7) mi – масса iой частицы
Rц . м = 1 1
= in
= i
М – масса системы
m1 + m2 + ⋅ ⋅ mn
M
m
∑ i
i
Поскольку масса является мерой инертности, центр масс называют центром инерции,
иногда его называют центром тяжести, имея в виду, что в этой точке приложена
равнодействующая сил тяжести всех частиц системы.
z m1
m2
Например, центр масс 2х частиц лежит на линии, соединяющей две
частицы и делит расстояние обратно пропорционально массам
0
r1
ц
•
r2
x
R
y
ц
Закон движения центра масс
Найдем скорость центра масс, взяв первую производную от радиус-вектора Rц
n по времени
′ dRц
1
=
Vц = Rц =
dt
M
n
dri
1
=
m
∑i i dt M
n
∑ miVi =
i
Из (7.8) следует, что импульс системы равен произведению
По 2ому закону Ньютона получим
закон движения центра масс:
M
dt
i
i
(7.8)
M
P = M ⋅ Vц
массы системы на скорость её центра масс
dV ц
∑P
= F1 + F2 + ⋅ ⋅ + Fn
Центр масс системы движется как материальная
точка, в которой сосредоточена масса всей системы и
на которую действует сила, равная геометрической
сумме всех внешних сил, действующих на систему
(7.9)
(7.10)
Центр масс замкнутой
системы движется
прямолинейно и равномерно,
либо остается
неподвижным
M
dVц
dt
= 0 ⇒ Vц = const
3. Закон сохранения импульса
Импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых
взаимодействиях тел этой системы
P = ∑ Pi = const
i
Это фундаментальный закон природы, он выполняется всегда
и везде
* в повседневной жизни
* в космосе
* в микромире
Закон сохранения импульса справедлив только для замкнутой системы тел
и является следствием 1го и 3го законов Ньютона.
Покажем это
Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из 3х тел
F1
f12
F2
f 21
i
2
1
f 23
f13
f 31
f 32
3
∑ Fвн = F1 + F2 + F3 = 0
Внутренние силы, с которыми тела действуют
друг на друга, по 3ему закону Ньютона имеют вид
f 21 = − f 12 ; f 13 = − f 31 ; f 23 = − f 32
Напишем уравнения движения для каждого
тела, используя 2ой закон Ньютона в виде
dP
= ∑ Fi
dt
i
F3
dP1 = f12 + f13
dt
dP2
= f 21 + f 23
dt
dP3 = f 32 + f 31
dt
d ( P1 + P2 + P3 ) = ( f12 + f 21 ) + ( f 31 + f13 ) + ( f 23 + f 32 ) = 0
dt
dP
= 0 (7.11), где P = P1 + P2 + P3 − импульс системы
dt
Из (7.11) следует, что
P = const
(7.12)
Закон сохранения импульса можно применять к каждой из
компонент импульса
Рх = const; Py = const; Pz = const
4. Реактивное движение
Реактивное движение – это движение тела, масса которого меняется за счет
приобретения или потери вещества, например, масса ракеты уменьшается за
счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива.
Уравнение движения тела переменной массы – это прямое
следствие законов Ньютона
Ракета с топливом представляет замкнутую систему.
Сгорая газы с большой скоростью истекают из сопла ракеты и
воздействуют на ракету, сообщая ей ускорение.
Если вся масса сгоревшего топлива
выбрасывается из ракеты
одновременно, то из закона сохранения
импульса следует ,что скорость ракеты
после истечения газов равна:
m V =− U
M
U - скорость газов относительно ракеты.
m – масса газов
M – масса ракеты
Импульс такой системы не изменяется со временем,
поэтому ракета должна начать двигаться в сторону,
противоположную истечению газов
На самом деле истечение газов происходит
постепенно в течение всего времени ускоренного
движения ракеты .
Точная формула для конечной скорости ракеты
имеет вид
M 0 формула
V = U ln
ЦИОЛКОВСКОГО
M
М0 – начальная масса ракеты
М - конечная масса ракеты.
Уравнение Мещерского
Это уравнение движения тела переменой массы (впервые получено И.В. Мещерским)
Получим это уравнение на примере движения ракеты
Если в момент времени t масса ракеты m, а её скоростьV, то по истечении времени dt
её масса уменьшится на dm и станет равной (m – dm), а скорость – (V + dV)
Изменение импульса системы за отрезок времени dt будет иметь вид
dP = [( m − dm)(V + dV ) + dm(V + U )] − mV газов относительно ракеты
, где U – скорость истечения
После преобразований с учетом того, что (dm dV) – это величина высшего порядка малости
по сравнению с остальными, получим
dP = mdV + Udm (7.13)
Если на систему действуют внешние силы, то dP = Fdt , поэтому
Fdt = mdV + Udm
В уравнении (7.14)
U
или, поделив на dt,
m
dV
dm
= F −U
dt
dt
dm
= F р - это реактивная сила
dt
Таким образом, уравнение (7.14) запишется в виде
ma = F + F р
(7.15)
(7.14)
уравнение
Мещерского
Если на ракету не действуют никакие внешние
C = U ln M 0 определяется из начальных
силы (ракета движется прямолинейно), то получим
условий. Следовательно,
m
dV
dm
dm
= −U
⇒ V = −U ∫
= −U ln m + C
dt
dt
m
V = U ln(
M 0 формула Циолковского
)
M
5. Закон сохранения энергии
Это еще один фундаментальный закон природы
Рассмотрим замкнутую систему тел, между
которыми действуют только консервативные
силы (потенциальные).
Каждое состояние характеризуется
соответственно кинетической и
потенциальной энергией.
При переходе системы из одного состояния в другое силы, приложенные к телам,
совершают работу.
Работа консервативных сил с одной стороны равна увеличению кинетической
энергии, с другой стороны – убыли потенциальной энергии, то есть
−
А12 = Ек2 – Ек1
А12 = Еп1 – Еп2
Вычтем из второго уравнения первое
А12 – А12 = (Еп1 + Ек1) – (Еп2 +Ек2 ) = 0
или
Е = Ек + Еп = const
В замкнутой системе тел, между которыми
действуют только консервативные силы, полная
механическая энергия остается постоянной при
любых процессах внутри системы.
Если в системе действуют неконсервативные силы, то
постоянство полной механической энергии нарушается.
Ек1 + Еп1 = Ек2 + Еп2
(7.16)
В любых явлениях природы
энергия не исчезает и не
возникает, а только переходит
из одного вида в другой в
эквивалентных количествах
Общий закон сохранения энергии