СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Задачи и упражнения 9

Белорусский Государственный Университет, Минск
Физический факультет
WS 2011/2012
Я.М. Шнир
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Задачи и упражнения 9
1. Найти статистическую сумму, уравнение состояния, внутреннюю энергию и теплоемкость
ультрарелятивистского газа с законом дисперсии 𝜀(⃗𝑝) = 𝑐∣⃗𝑝∣.
2. Предположим, что реакция 𝐻 ⇆ 𝑝 + 𝑒 происходит в тепловом равновесии при
температуре 𝑇 = 4000∘ 𝐾, причем каждая из компонент электрически нейтральна
и представляет собой разреженный газ с очень низкой плотностью.
(i) Вычислить химический потенциал каждой из компонент предполагая что
водород может находится только в основном состоянии. Проверьте это предположение.
(ii) Определить условия теплового равновесия в системе.
(iii) Определить плотность нуклонной материи при 𝑇 = 4000∘ 𝐾, при которой
газ наполовину ионизарован. Заметим что эта ситуация соответствует той, что
происходила в нашей Вселенной на третьей минуте после Большого Взрыва.
3. Одномерный квантовый осциллятор находится в состоянии теплового равновесия
с резервуаром при температуре 𝑇 . Найти среднюю энергию осциллятора ⟨𝐸⟩ как
функцию температуры резервуара, среднеквадратичную флуктуацию энергии
Δ𝐸 и рассмотреть высокотемпературный и низкотемпературный пределы этих
выражений.
4. Квантовомеханические вращательные уровни энергии определяются собственными
значениями оператора углового момента как
𝜀𝑗 = 𝑗(𝑗 + 1)
ℎ2
8𝜋 2 𝑚𝑎2
где 𝑗 = 0, 1, 2 . . . и каждый уровень 2𝑗+1-кратно вырожден. Найти статистическую
сумму вращательного движения и ее высокотемпературное приближение в виде
интеграла. Вычислить среднюю энергию ротатора при высокой температуре и
его теплоемкость. Найти низкотемпературное приближение статсуммы ротатора,
и его среднюю энергию и теплоемкость в этом приближении.
5. Показать, что электрическая поляризуемость 𝑃 идеального двухатомного газа,
состоящего из 𝑁 молекул с постоянным электрическим дипольным моментом 𝑑
определяется выражением
[
(
)
]
𝑑𝐸
𝑘𝐵 𝑇
𝑁𝑑
coth
−
𝑃 =
𝑉
𝑘𝐵 𝑇
𝑑𝐸
где 𝐸- внешнее электрическое поле. Показать, что при высоких температурах
(то есть при ∣𝑑𝐸∣ ≪ 𝑘𝐵 𝑇 , диэлектрическая проницаемость газа равна
𝜀=1+
4𝜋𝑁 𝑑2
𝑉 3𝑘𝐵 𝑇
Решения
1. Одночастичная статсумма в данном случае записывается как
∫∞
𝑉
𝑍1 =
(2𝜋ℏ)3
−∞
(
𝑐∣⃗𝑝∣
𝑑𝑝𝑥 𝑑𝑝𝑦 𝑑𝑝𝑧 exp −
𝑘𝐵 𝑇
)
В силу сферической симметрии задачи
(
)
(
)
∫∞
∫∞
𝑐∣⃗𝑝∣
𝑐𝑝
2
𝐼 = 𝑑𝑝𝑥 𝑑𝑝𝑦 𝑑𝑝𝑧 exp −
= 4𝜋 𝑑𝑝𝑝 exp −
𝑘𝐵 𝑇
𝑘𝐵 𝑇
0
−∞
Замена переменных 𝑡 =
определяемой как Γ(𝑧) =
𝑐𝑝
𝑘𝐵 𝑇
∫∞
сводит вычисление этого интеграла к Γ-функции,
𝑡𝑧−1 𝑒−𝑡 𝑑𝑡. Тогда
0
(
𝐼 = 4𝜋
𝑘𝐵 𝑇
𝑐
)3 ∫∞
(
)3
(
)3
𝑘𝐵 𝑇
𝑘𝐵 𝑇
2 −𝑡
𝑑𝑡𝑡 𝑒 = 4𝜋
Γ(3) = 8𝜋
𝑐
𝑐
0
и статсумма релятивистского газа имеет вид
𝑉
𝑍1 =
8𝜋
(2𝜋ℏ)3
(
𝑘𝐵 𝑇
𝑐
)3
;
𝑍𝑁
𝑉𝑁
𝑍= 1 =
𝑁!
𝑁!
(
𝑘𝐵 𝑇
𝑐𝜋 2/3 ℏ
)3𝑁
Следовательно, свободная энергия есть
]
[
𝑉
𝐹 = −𝑁 𝑘𝐵 𝑇 ln + 3 ln 𝑇 + const
𝑁
и внутренняя энергия газа равна
∂
𝐸 = −𝑇
∂𝑇
2
( )
𝐹
= 3𝑁 𝑘𝐵 𝑇
𝑇
а его теплоекость - 𝐶𝑉 = 3𝑁 𝑘𝐵 , то есть уравнение состояния имеет тот же вид
что и для классического нерелятивистского газа:
(
)
∂𝐹
𝑁 𝑘𝐵 𝑇
𝑃 =−
=
∂𝑉
𝑉
2. (i) В случае идеального бесспинового газа средняя плотность числа частиц на
единицу объема определяется статистикой Больцмана:
(
𝜇/𝑘𝐵 𝑇
𝑛 = 𝑁/𝑉 = 𝑒
⋅
2𝜋𝑚𝑘𝐵 𝑇
ℎ2
)3/2
Поскольку электроны и протоны имеют спин 1/2, то
(
𝑛𝑝 = 2𝑒
𝜇𝑝 /𝑘𝐵 𝑇
⋅
2𝜋𝑚𝑝 𝑘𝐵 𝑇
ℎ2
)3/2
(
𝜇𝑒 /𝑘𝐵 𝑇
;
𝑛𝑒 = 2𝑒
⋅
2𝜋𝑚𝑒 𝑘𝐵 𝑇
ℎ2
)3/2
Атом водорода электрически нейтрален и может иметь 4 конфигурации спина,
его энергия ионизации 𝜀. Следовательно
(
𝑛𝐻 = 4𝑒
𝜇𝐻 /𝑘𝐵 𝑇 𝜀/𝑘𝐵 𝑇
𝑒
⋅
2𝜋𝑚𝐻 𝑘𝐵 𝑇
ℎ2
)3/2
При заданных значениях плотностей частиц эти соотношения определяют соответствующие
химпотенциалы.
(ii) Условие равновесия означает что 𝜇𝐻 = 𝜇𝑒 +𝜇𝑝 . Поскольку 𝑚𝐻 ∼ 𝑚𝑝 и 𝑛𝑒 = 𝑛𝑝 ,
то равновесное значение плотности электронов в единице объема равно
𝑛𝑒 =
√
(
𝑛𝐻 ⋅
2𝜋𝑚𝑒 𝑘𝐵 𝑇
ℎ2
)3/2
⋅ 𝑒−𝜀/2𝑘𝐵 𝑇
(iii) Если газ наполовину ионизирован, то 𝑛𝑒 = 𝑛𝑝 = 𝑛𝐻 = 𝑛. Следовательно,
(
𝑛=
2𝜋𝑚𝑒 𝑘𝐵 𝑇
ℎ2
)3/2
⋅ 𝑒−𝜀/𝑘𝐵 𝑇 ≈ 3.3 ⋅ 1016 𝑚−3
3. Статистическая сумма одномерного осциллятора есть
∞
∑
(
𝜀𝑛
𝑍=
exp −
𝑘𝐵 𝑇
𝑛=0
)
[ (
)
]
1
ℏ𝜔
2
=
exp − 𝑛 +
=
2 2𝜋𝑘𝐵 𝑇
sinh 2𝑘ℏ𝜔
𝑛=0
𝐵𝑇
∞
∑
Следовательно, его средняя энергия равна
ℏ𝜔
∂
ln 𝑍 =
coth
⟨𝐸⟩ = 𝑘𝐵 𝑇
∂𝑇
2
2
(
ℏ𝜔
2𝑘𝐵 𝑇
)
и ее среднеквадратичная флуктуация равна
Δ𝐸 2 = ∣ < (𝐸 − ⟨𝐸⟩) > ∣2 =< 𝐸 2 > − < 𝐸 >2 =
∂2
∂⟨𝐸⟩
ln 𝑍 = −
2
∂𝛽
∂𝛽
Поскольку
∂⟨𝐸⟩
𝐶𝑉 =
,
∂𝑇
√
1
𝛽=
,
𝑘𝐵 𝑇
и следовательно Δ𝐸 =
ℏ𝜔
(
2 sinh
Δ𝐸 2 = 𝐶𝑘𝐵 𝑇 2 ;
ℏ𝜔
2𝑘𝐵 𝑇
Δ𝐸 = 𝑇
𝑘𝐵
∂⟨𝐸⟩
∂𝑇
)
В высокотемпературном пределе 𝑘𝐵 𝑇 ≫ ℏ𝜔 и ⟨𝐸⟩ → 𝑘𝐵 𝑇, Δ𝐸 (→ 𝑘𝐵)𝑇 . В
низкотемпературном пределе 𝑘𝐵 𝑇 ≪ ℏ𝜔 и ⟨𝐸⟩ → ℏ𝜔
, Δ𝐸 → ℏ𝜔 exp − 𝑘ℏ𝜔
2
𝐵𝑇
4. Cтатсумма квантовомеханического ротатора записывается как
)
(
∞
∞
∑
∑
𝑗(𝑗 + 1)ℎ2
−𝜀𝑗 /𝑘𝐵 𝑇
𝑍=
𝑔(𝑗)𝑒
=
(2𝑗 + 1) exp − 2 2
8𝜋 𝑚𝑎 𝑘𝐵 𝑇
𝑗=0
𝑗=0
2
При высоких температурах Θ𝑟𝑜𝑡 = 8𝜋2ℎ𝑚𝑎2 ≪ 𝑘𝐵 𝑇 и
(
)∑
)
(
)
∞ (
∞
∑
ℎ2
1
(𝑗 + 1/2)2 ℎ2
Θ𝑟𝑜𝑡 /4𝑘𝐵 𝑇 𝑘𝐵 𝑇
−𝜀2
𝑍 = 2 exp
𝑗
+
exp
−
=
2𝑒
𝜀
𝑒
Δ𝜀𝑗
𝑗
32𝜋 2 𝑚𝑎2 𝑘𝐵 𝑇 𝑗=0
2
8𝜋 2 𝑚𝑎2 𝑘𝐵 𝑇
Θ𝑟𝑜𝑡 𝑗=0
√
√
Θ𝑟𝑜𝑡
𝑟𝑜𝑡
где 𝜀𝑗 = (𝑗 + 1/2) 𝑘𝐵 𝑇 и Δ𝜀𝑗 = 𝜀𝑗+1 − 𝜀𝑗 = Θ
Таким образом, заменяя сумму
𝑘𝐵 𝑇
интегралом по переменной 𝜀, получим высокотемпературный предел статсуммы
квантового ротатора:
𝑍 ≈ 2𝑒
Θ𝑟𝑜𝑡 /4𝑘𝐵 𝑇
𝑘𝐵 𝑇
Θ𝑟𝑜𝑡
∫∞
𝜀𝑒
−𝜀2
0
8𝜋 2 𝑚𝑎2 𝑘𝐵 𝑇
𝑘𝐵 𝑇
=
𝑑𝜀 ≈
Θ𝑟𝑜𝑡
ℎ2
При этом внутренняя энергия и теплоемкость есть
𝐸 = 𝑘𝐵 𝑇 2
∂
ln 𝑍 = 𝑘𝐵 𝑇 ;
∂𝑇
𝐶𝑉 =
∂𝐸
= 𝑘𝐵
∂𝑇
При низких температурах можно воспользоваться разложением в ряд, то есть
𝑍 ≈ 1 + 3𝑒−Θ𝑟𝑜𝑡 /𝑘𝐵 𝑇
Тогда
𝐸=
3Θ𝑟𝑜𝑡 𝑒−Θ𝑟𝑜𝑡 /𝑘𝐵 𝑇
;
1 + 3−Θ𝑟𝑜𝑡 /𝑘𝐵 𝑇
𝐶𝑉 =
3(Θ𝑟𝑜𝑡 /𝑘𝐵 𝑇 )2 𝑒−Θ𝑟𝑜𝑡 /𝑘𝐵 𝑇
(1 + 3−Θ𝑟𝑜𝑡 /𝑘𝐵 𝑇 )2
5. Статсумма молекулы рассматриваемого идеального газа определена как 𝑍1 =
(
)3/2
𝐵𝑇
𝑍𝑡𝑟 𝑍𝑟𝑜𝑡 , где 𝑍𝑡𝑟 = 𝑣 2𝜋𝑚𝑘
и классическая стасумма вращательного движения
ℎ2
определена как
∫𝜋 ∫2𝜋 ∫∞
𝑑𝑝𝜃 𝑑𝑝𝜙 −𝐻𝑟𝑜𝑡 /𝑘𝐵 𝑇
𝑍𝑟𝑜𝑡 = 𝑑𝜃 𝑑𝜙
𝑒
(2𝜋ℏ)2
0
0
−∞
где классический гамильтониан вращательного движения есть
𝐻𝑟𝑜𝑡 =
𝑝2𝜙
𝑝2𝜃
+
2𝐼 2𝐼 sin2 𝜃
Здесь 𝜃, 𝜙 - полярный и азимутальный углы в системе координат, в которой ось
симметрии молекулы, совпадающей с направлением ее дипольного момента 𝑑⃗
задана как ось 𝑧, а угловые переменные задают ориентацию вектора внешнего
⃗
электрического поля 𝐸.
Поскольку оба интеграла по обобщенным импульсам гауссовы, вычисление интегралов
в статсумме дает (см. конспект лекции)
𝑍𝑟𝑜𝑡
𝐼𝑘𝐵 𝑇
=
ℏ2
∫𝜋
𝑒𝑑𝐸 cos 𝜃/𝑘𝐵 𝑇 sin 𝜃𝑑𝜃 =
0
2𝐼𝑘𝐵 𝑇 sinh(𝑑𝐸/𝑘𝐵 𝑇 )
ℏ2
𝑑𝐸/𝑘𝐵 𝑇
Таким образом, 𝑍 = 𝑍1𝑁 /𝑁 ! и свободная энергия газа определяется как
(
)
2𝐼𝑘𝐵 𝑇 sinh(𝑑𝐸/𝑘𝐵 𝑇 )
𝐹 = −𝑘𝐵 𝑇 ln 𝑍 = −𝑘𝐵 𝑇 𝑁 ln
+1
ℏ2
𝑑𝐸/𝑘𝐵 𝑇
Поляризация системы молекул определяется как производная от ее свободной
энергии по напряженности электрического поля
[
(
(
)
)]
𝑑𝐸
∂𝐹
𝑘𝐵 𝑇
= 𝑁 𝑑 coth
𝑉𝑃 =−
−
∂𝐸 𝑇,𝑉,𝑁
𝑘𝐵 𝑇
𝑑𝐸
Если 𝑑𝐸 ≪ 𝑘𝐵 𝑇 , то разложение в ряд величины в скобках приводит к поляризуемости
𝑃 ≈
𝑁 𝑑2 𝐸
2𝑘𝐵 𝑇 𝑉
⃗ и диэлектрическая проницаемость
Учитывая, что вектор электрической индукции 𝐷
⃗ = 𝜀𝐸
⃗ =𝐸
⃗ + 4𝜋 𝑃⃗ , то
𝜀 связаны соотношением 𝐷
𝜀=1+
4𝜋𝑁 𝑑2
𝑉 3𝑘𝐵 𝑇