эффективный алгоритм расчета постоянной маделунга и его
advertisement
УДК 669.713.7 И.Е.Еремин, М.С.Сычев Амурский государственный университет, г. Благовещенск, Россия ЭФФЕКТИВНЫЙ АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ПОСТОЯННОЙ МАДЕЛУНГА И ЕГО КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ Авторами предложен эффективный алгоритм расчета постоянной Маделунга и его компьютерная реализация. Согласно алгоритму, структура кристаллической решетки задается при помощи матриц параметров, что позволяет унифицировать рассмотрение любых типов решеток и значительно сократить время расчета постоянной Маделунга. Как известно [1], постоянная Маделунга является одной из важнейших величин в физике конденсированного состояния. К примеру, с использованием данной величины рассчитывается внутренняя кулоновская энергия кристаллических веществ. Существуют различные методы вычисления постоянной Маделунга, такие как метод Эвальда, Эвьена, прямой метод суммирования. На практики все эти методы являются громоздкими и сложными для реализации. Сущность прямого математического метода расчета постоянной Маделунга состоит в вычислении текущих значений знакопеременных решеточных сумм, укладывающихся в общее определение медленно сходящегося численного ряда. Вполне очевидно, что точность практического определения постоянных Маделунга, соответствующих тому или иному типу кристаллической решетки, зависит от количества разбираемых координационных слоев. При этом увеличение их числа приводит к затруднению проводимых вычислений. Например, для хлорида натрия, в первый координационный слой входит 3 координационные сферы, содержащие 26 частиц, во второй 9 уже с 124 частицами и так далее. В свою очередь, одновременный учет 512 слоев, образующих кубический кристалл, объемом порядка 0,01 мкм3, требует анализа более 22,5 миллионов сфер, включающих в себя около 1 миллиарда ионов. При этом для расчета требуемых решеточных сумм необходимо использовать пространственные координаты, а также значения зарядов частиц. Следовательно, общий объем непосредственных исходных данных, объективно возрастает минимум в четыре раза. В свою очередь, для улучшения сложившейся ситуации авторами был разработан эффективный вычислительный алгоритм, оптимизирующий прямой метод расчета энергетической постоянной Маделунга. Его идея состоит в предложении осуществлять вычисление значений решеточных сумм текущих координационных слоев разноименных ионов на базе описания их параметров, непосредственно необходимых для конечных расчетов, в векторно-матричной форме. Например, параметры кристаллической решетки типа NaCl задаются двумя матрицами: mtmp(:,:,1)=[1, -1; -1, 1]; %Матрица параметров NaCl для 1 слоя mtmp(:,:,2)=[-1, 1; 1, -1]; %Матрица параметров NaCl для 2 слоя Следует отметить, что коренные преимущества предлагаемого подхода заключаются в следующем. Во-первых, приведение традиционного описания геометрических и физических характеристик частиц, образующих трехмерный (кубический) слой, к его эквивалентной математической модели, представленной плоской (квадратной) матрицей, дает возможность существенно уменьшить набор исходных числовых данных. Во-вторых, расчетов векторно-матричный позволяет значительно способ увеличить реализации практических действительную скорость выполнения их компьютерных программ, а также существенно снижает реальную нагрузку на оперативную память ЭВМ. К настоящему моменту разработан пробный вариант универсальной компьютерной программы расчета постоянной Маделунга, реализованный на макроязыке вычислительной среды MatLab. Характеристики ее утилитарного использования выглядят следующим образом. Величина постоянной Маделунга решетки типа NaCl, рассчитанная для 512 слоев, составила 1,74756569584338. При этом общепринятое значение данной физической величины, обычно используемое в типовых инженерно- физических расчетах, равно 1,748 [2]. Отметим, что рабочее время реализации программы, затрачиваемое ПЭВМ на получение приведенного результата, принимая во внимание ее посредственные технические характеристики, составляет около двадцати минут. Кроме того, предложенный алгоритм позволяет унифицировать рассмотрение любых кристаллических решеток, формируя соответствующие матрицы параметров, численно отражающие расположение и заряды частиц их элементарных ячеек. Пробный расчет постоянной Маделунга для решетки типа CsCl дает довольно точный результат, хотя числовой ряд для данной решетки является медленно сходящимся в сравнении с NaCl. 1. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 2. Жданов Г.С. Физика твердого тела. М.: Изд-во МГУ, 1961.
