Введение в теорию случайных процессов

И.И.Гихман, А.В. Скороход
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Книга предназначена для первоначального изучения теории случайных
процессов на строгой математической основе. Предполагается, что читатель
знаком с общим курсом теории вероятностей. Необходимые сведения из теории
меры приведены без доказательств. В книге рассмотрены общие положения
теории, включая аксиоматику теории вероятностей и основные классы случайных
процессов. Первая глава посвящена более элементарному изложению теории.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов университетов, а также на
специалистов-нематема'и-ков,
желающих
ознакомиться
с
основными
математическими методами теории случайных процессов.
Второе издание книги существенно переработано.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию
5
Предисловие ко второму изданию
10
Глава I. Случайные процессы в широком смысле
11
§ 1. Определения
11
§ 2. Гауссовы случайные функции
22
§ 3. Процессы с независимыми приращениями
31
§ 4. Марковские процессы в широком смысле
42
§ 5. Процессы, стационарные в широком смысле
71
Глава II. Аксиоматика теории вероятностей.
88
§ 1. Аксиомы теории вероятностей и основные определения
88
§ 2. Построение вероятностных пространств
105
§ 3. Условные вероятности
114
§ 4. Независимость
124
Глава III. Случайные последовательности
132
§ 1. Мартингалы
132
§ 2. Ряды независимых случайных величин
146
§ 3. Эргодические теоремы
151
§ 4. Процесс восстановления
163
§ 5. Цепи Маркова
178
§ 6. Цепи Маркова со счетным числом состояний
191
Глава IV. Случайные функции
214
§ 1. Определение случайной функции
220
§ 2. Сепарабельные случайные функции
220
§ 3. Измеримые случайные функции
225
§ 4. Критерии отсутствия разрывов второго рода
228
§ 5. Непрерывные процессы
233
§ 6. Субмартингалы непрерывного аргумента
243
Глава V. Линейные преобразования случайных процессов
247
§ 1. Гильбертовы случайные функции
247
§ 2. Стохастические меры и интегралы
259
§ 3. Интегральные представления случайных функций
§ 4. Линейные преобразования
§ 5. Физически осуществимые фильтры
§ 6. Прогноз и фильтрация стационарных процессов
Глава VI. Процессы с независимыми приращениями
§ 1. Случайные блуждания на прямой
§ 2. Скачкообразный процесс с независимыми приращениями.
Обобщенный процесс Пуассона
§ 3. Непрерывные процессы. Винеровский процесс
§ 4. Строение общих процессов с независимыми приращениями
§ 5. Свойства выборочных функций
Глава VII. Скачкообразные марковские процессы
§ 1. Общее определение марковского процесса
§ 2. Общие скачкообразные марковские процессы
§ 3. Однородные процессы со счетным множеством состояний
§ 4. Процесс рождения и гибели
§ 5. Ветвящиеся процессы
Глава VIII. Диффузионные процессы
§ 1. Стохастический интеграл Ито
§ 2. Существование и единственность решений стохастических
дифференциальных уравнений
§ 3. Дифференцируемость решений стохастических уравнений по
начальным данным
§ 4. Метод дифференциальных уравнений
§ 5. Граничные задачи для диффузионных процессов
§ 6. Абсолютная непрерывность мер, отвечающих диффузионным
процессам
Глава IX. Предельные теоремы для случайных процессов
§ 1. Слабая сходимость распределений в метрическом пространстве
§ 2. Предельные теоремы для непрерывных процессов
§ 3. Сходимость сумм независимых случайных величин к процессу
броуновского движения
§ 4. Сходимость последовательностей цепей Маркова к диффузионному
процессу
§ 5. Пространство функций без разрывов второго рода
§ 6. Сходимость сумм одинаково распределенных независимых случайных
величин к однородному процессу с независимыми приращениями
Примечания
Литература
Обозначения
Предметный указатель
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Безгранично делимые распределения
34
269
274
284
297
314
314
329
344
355
369
383
383
395
406
422
431
449
451
469
481
488
493
501
514
515
521
525
527
539
547
553
559
565
566
Вероятностное пространство 91
Верхняя функция для процесса 375
Возвратные состояния 194
Дифференцирование (с. к.) процессов
254
Закон больших чисел 252
— «повторного логарифма» 380
— «0 или 1» 129
Импульсная переходная функция 249
Интегрирование функций 249
Ковариация 248
Корреляционные функции 18
— — взаимные 19
Марковский момент времени 135
Мартингал 102
Метод Винера в теории прогноза 302
— Яглома в теории прогноза 305
Момент первого выхода из области
493
Неравенство Гёльдера 102
— для субмартингалов 137—141
— Иенсена 101
— Колмогорова 138
— Минковского 102
Нижняя функция для процесса 375
Операторы, порождаемые
вероятностями перехода 94
Плотности мер, соответствующих
диффузионным процессам 508
Плотность мер 501
Подклассы периодического класса
сообщающихся состояний 202
Поток σ-алгебр 132
Пределы мартингалов
(субмартингалов) 142—146
Процесс броуновского движения 32
— винеровский 346
— марковский 383
— — в широком смысле 44
— — — — — диффузионный 67
— — — — — с конечным или
счетным числом состояний 49
— — — — — скачкообразный 54
— — — — — слабо
дифференцируемый 65
— — однородный со счетным
числом состояний 407
— — скачкообразный 398
— — — регулярный 400
— — ступенчатый 394
— с независимыми приращениями
31, 62
— Пуассона 34
— — обобщенный 41
— рождения и гибели 422
Процессы ветвящиеся 431
— стационарные 71
— — в широком смысле 72
Равномерная интегрируемость 109
Разложение процесса в
ортогональный ряд 256
Распределение величины- и момента
перескока случайного
блуждания 328
— — — — — обобщенного процесса
Пуассона 344
— максимума винеровского процесса
351
— — и минимума винеровского
процесса 352
— — случайного блуждания 326
Разложение момента первого выхода
из области 493
Распределение Юла — Фарри 431
Регулярные условные вероятности
119
Сепарабельная случайная функция
220
Слабая компактность мер 516
— сходимость мер 516
Случайная функция 214
Случайный элемент 93
— — в широком смысле 13
Состояния возвратные 194
— мгновенные 411
— нулевые 203
— положительные 203
— регулярные 411
Спектральная плотность 79
— функция 79
Спектральное разложение
стационарного процесса 272
Стохастическая мера 262
— непрерывность 21
Стохастический интеграл 261
— — Ито 461
Стохастическое дифференциальное
уравнение 469
Строгая марковость 190, 392
Субмартингал 132
Супермартингал 132
Сходимость по вероятности 90
— с вероятностью 198
— средняя квадратическая 248
Теорема Биркхофа — Хинчина 154
— Бореля — Кантелли 128
— Гирсанова 502
— Колмогорова о построении
вероятностных пространств 109
— — — трех рядах 148
Теорема теории восстановления
основная 173
— — — элементарная 166
— Хинчина о стационарных
процессах 79
Уравнение восстановления 165
Уравнения Колмогорова 49
— — для диффузионных процессов
68, 69, 489
— — — скачкообразных процессов
57, 58
— — — слабо дифференцируемых
процессов 66
— — — процессов с независимыми
приращениями 65
— — — — со счетным числом
состояний 53, 413, 418
Усиленный закон больших чисел 161
Условия непрерывности случайного
процесса 238
— отсутствия у случайного процесса
разрывов второго рода 233
— перемешивания 161
Фильтр 278
Формула Ито 460
Цепь Маркова 186
— — апериодическая 200
— — неприводимая 193
Цилиндрические множества 110
Частотная характеристика 276
Эргодическая теорема для цепей
Маркова 203
Эргодические преобразования 159