6.7. Вычисление моментов инерции тел

6.7. Вычисление моментов инерции тел
Каждое тело независимо от того, вращается оно или находится в состоянии
покоя, обладает определенным моментом инерции относительно любой
выбранной оси подобно тому, как тело имеет массу независимо от его состояния
движения или покоя. Таким образом, момент инерции является мерой инертности
тела при вращательном движении. Очевидно, что проявляется момент инерции
только тогда, когда на тело начинает действовать момент внешних сил, который
вызывает угловое ускорение.
Согласно определению момент инерции — величина аддитивная. Это
означает, что момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме
моментов инерции отдельных его частей. Отсюда следует метод расчета
моментов инерции тел.
Для вычисления момента инерции необходимо мысленно разбить тела на
достаточно малые элементы ∆mi , точки которых лежат на одинаковом расстоянии
ri от оси вращения, затем найти произведение массы каждого элемента и квадрата
его расстояния до оси и, наконец, просуммировать все произведения. Чем больше
элементов берется, тем точнее метод. В случае, когда тело разбивается на
бесконечно большое количество бесконечно малых элементов dm, суммирование
заменяется интегрированием по всему объему тела
I = lim ∑ ∆mi ri 2 = ∫ r 2 dm .
(6.33)
∆mi →0
i
Для тела с неравномерным распределением массы формула ρ = m V дает
среднюю плотность. В этом случае плотность в данной точке определяется как
предел отношения массы бесконечно малого элемента ∆m к его объему ∆V
∆m dm
ρ = lim
=
.
(6.34)
∆V →0 ∆V
dV
Отсюда можно выразить элементарную массу через плотность и
элементарный объем
dm = ρdV .
(6.35)
Расчет момента инерции произвольных тел является довольно трудоемкой
задачей. Приведем в качестве примера вычисление моментов инерции некоторых
однородных тел правильной геометрической формы относительно их осей
симметрии.
Для вычисления момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой m
относительно оси, проходящей через центр перпендикулярно плоскости кольца,
мысленно разделим его на малые дуговые элементы длиной dl и массой
m
dl (рис. 6.13, б). В соответствии с формулой (6.33), в результате
2πR
интегрирования по всей длине окружности получим:
2 πR
m
(6.36)
I = ∫ R2
dl = mR 2 .
2
π
R
0
dm =
Вычислим момент инерции сплошного цилиндра (диска) радиусом R,
толщиной h и массой m относительно оси, проходящей через центр
перпендикулярно основанию цилиндра. Разобьем цилиндр на тонкие кольцевые
слои радиусом r и толщиной dr (рис. 6.13, а).
Поскольку dr << r ,
то можем считать, что
расстояние всех точек
слоя от оси равно r. Для
каждого
отдельного
такого кольцевого слоя
момент инерции
i = ∑ ∆mr 2 = r 2 ∑ ∆m ,
где
Рис. 6.13
∑ ∆m — масса всего
слоя.
Объем
слоя
2πrhdr , где h — высота
слоя. Если плотность
материала цилиндра ρ ,
то масса слоя будет
2πρrhdr , а его момент
i = 2πρhr 3dr .
инерции
Для вычисления момента инерции цилиндра необходимо просуммировать
моменты инерции слоев от центра цилиндра ( r = 0 ) до его края ( r = R ), т. е.
вычислить интеграл:
R
R
1
2
I = πρhR 4 .
или
I = ∫ r dm = 2πρh ∫ r 3 dr ,
2
0
0
С учетом того, что масса цилиндра m = πρhR 2 , получим:
1
I = mR 2 .
(6.37)
2
Приведем без вывода моменты инерции некоторых других тел, выполненных
из однородных материалов, часто встречающиеся при решении задач.
1. Момент инерции толстостенного цилиндра массой m и радиусами R1 и R2
относительно оси симметрии (рис. 6.13, в)
1
I = m ( R12 + R22 ) .
(6.38)
2
2. Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с его диаметром,
(рис. 6.13, г)
1
I = mR 2 .
(6.39)
4
3. Момент инерции шара относительно оси, совпадающей с его диаметром,
(рис. 6.13, д)
2
I = mR 2 .
(6.40)
5
4. Момент инерции тонкого стержня длиной l и массой m относительно оси,
которая проходит через его центр перпендикулярно стержню, (рис. 6.13, е)
1
I = ml 2 .
(6.41)
12