Функция Грина и рассеяние упругих волн в слоистой среде.

Санкт-Петербургский Государственный Университет
Физический Факультет
Кафедра статистической физики
Функция Грина и рассеяние упругих
волн в слоистой среде.
Магистерская диссертация студента дневного отделения
Никитиной Маргариты Александровны
Научный руководитель
д.ф.-м.н., профессор Вальков А. Ю.
Рецензент
д.ф.-м.н., профессор Ульянов С. В.
Санкт-Петербург
2013
Оглавление
Введение
2
1 Исходные уравнения
5
1.1 Уравнения движения в упругой среде для смещения и нормальные моды 5
1.2 Поле точечного источника в однородной неограниченной среде . . . . . 7
2 ФГ
2.1
2.2
2.3
2.4
для полупространства
^0 + G
^b
Построение ФГ как G
Дальняя зона . . . . . . . . .
Ближняя зона . . . . . . . .
Волны Релея . . . . . . . . .
3 ФГ
3.1
3.2
3.3
для слоистой среды
Матричный метод для расчета полей в слоистых средах . . . . . . . . .
ФГ для кусочно-однородной многослойной среды . . . . . . . . . . . . .
Задача о преломлении и отражении на границе двух сред. Углы Брюстера
3.3.1 Формула для потока энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 SH → SH. Волна распространяется из среды 2 в среду 1 . . . . .
3.3.3 P → P, SV. Волна распространяется из среды 1 в среду 2 . . . .
3.3.4 SV → SV, P. Волна распространяется из среды 1 в среду 2 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Применение ФГ к моделированию сейсмических явлений на о. Валаам
4.1 Поиск оптимальной модели среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Два типа источников: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Два типа сред: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Построение синтетических сейсмограмм и локализация источника землетрясения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
12
13
13
16
16
19
22
22
23
24
26
30
30
31
32
34
5 Рассеяние упругих волн
38
5.1 Теория: уравнение Липпмана-Швингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2 Однократное рассеяние: расчет нормальных мод . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Многократное рассеяние: моделирование методом Монте-Карло . . . . 41
Заключение
45
Благодарности
47
Литература
48
2
Введение
Актуальность темы этой работы связана с тем, что исследования распространения
упругих волн оказываются наиболее доступным и самым информативным источником знаний о ядре Земли в геофизике [1, 2, 3, 4, 5]. Множество сложных технологий,
разработанных ранее на основе применения упругих (акустических) волн, открывает новые перспективы в изучении сложных случайных сред. Эти методы и подходы
могут быть эффективно использованы для мониторинга невозобновляемых ресурсов, таких как нефть, газ, пресные водоемы, а так же в изучении эрозии почв и т.д.
Большой интерес в этой области состоит в том, чтобы минимизировать затраты на
диагностические процедуры, таким образом возникает желание использовать «естественные» акустические источники. Например, такие как шумы бурильных машин,
вибрации, порождаемые тяжелыми стационарными моторами, шумы на сейсмограммах [6] или даже землетрясения.
Понятие функции Грина (ФГ), с физической точки зрения соответствующее полю точечного источника, имеет основополагающее значение и широко используется в
теории распространения волн и ряде других задач математической физики. В частности, метод ФГ является основой современного подхода к теории рассеяния рассеяния в случайно-неоднородных средах [7, 8]. Кроме того имеются ситуации, в первую
очередь в области геофизики, ФГ является не просто математическим объектом, а
проявляется непосредственно в приложениях в связи с обширным практическим использованием точечных источников. В геофизических приложениях, как правило,
полупространство считается удовлетворительной геометрией.
В этой работе будет рассчитано распространение упругих волн в дальней и ближней зонах, генерируемых точечным источником, который локализован в малой пространственной области в бесконечной, полубесконечной или слоистой упругой среде. Следует отметить, что первые задачи о смещении, которое создается точечным источником, в упругой среде были решены еще более ста пятидесяти лет назад [9, 10, 11, 12]. В то же время задача не теряет свою актуальность и по сей
день [13, 14].
На основе известных свойств ФГ в работе был разработан метод локализации источника и построения синтетической сейсмограммы для землетрясений на о. Валаам.
Общие фундаментальные и прикладные характеристики полей точечного источника
в упругом пространстве (и, в несколько меньшей степени, — в полупространстве),
хорошо известны и широко описаны в литературе (см., например, [2]). Однако же
свойства ФГ в общих слоистых сред исследованы не столь подробно.
В данной работе был рассмотрен случай двух полупространств со слоем между
ними для определенных параметров среды были получены углы Брюстера.
Особый интерес представляют проблемы рассеяния упругих волн, в частности
многократного. В этой работе рассмотрена ФГ гармонического по времени поля смещений в упругом полупространстве в форме, удобной для реализации в задаче рассе-
3
яния волны. Следует отметить, что явные аналитические результаты в общей теории
рассеяния волн в приближении Борна [15] получаются обычно при использовании
асимптотики ФГ в дальней зоне. Такое ограничение достаточно хорошо упрощает
аналитические выкладки и расчеты в рассеянии. Для рассеяния света приближение
дальней зоны в большинстве случаев вполне адекватно экспериментальной ситуации. В то же время в рассеянии упругих волн представляет интерес также средняя
и ближняя зоны.
В работе была рассмотрена задача о рассеянии излучения от точечного источника гармонических колебаний в упругом полупространстве. Мы рассчитали зависимость интенсивности многократно рассеяния от расстояния между источником и
приемником. Проводится сравнение с соответствующими результатами моделирования, полученные с помощью ФГ для неограниченного пространства.
Апробация
Результаты работы докладывались на конференциях:
• Проблемы сейсмотектоники, 20–22 сентября 2011, Москва.
• 22-я Крымская Осенняя Математическая школа, 17–29 сентября 2011, Крым.
• International Student Conference «Science and Progress», 14–18 november 2012,
St-Petersburg-Peterhof.
Публикации
Опубликованы:
• A. Val’kov, V. Kuzmin, V. Romanov, M. Nikitina, S. Kozhevnikov and I. Meglinski;
Field of a point source in a semi-infinite elastic medium — Waves in a Random and
Complex Media., 22, 423, (2012).
• Nikitina Margarita; A matrix approach for dyadic Green’s function in multilayered
elastic media — Conference proceedings (International Student Conference «Science
and Progress»), 170, (2012).
Направлена в печать:
• A. Val’kov, V. Kuzmin, V. Romanov, M. Nikitina, I. Meglinski; Boundary effect on
multiple scattering of elastic waves in a half-space.
В дальнейшем предполагается также опубликовать результаты, отраженные в данной работе, по темам:
• ФГ волнового поля в многослоистых средах.
• Углы Брюстера для упругих волн в слоистых средах.
• Моделирование синтетических сейсмограмм для событий на о. Валаам.
4
Глава 1
Исходные уравнения
Среду называют упругой, если она обладает естественным состоянием (когда деформации и напряжения равны нулю), к которому возвращается, если устранить
приложенные силы. Под влиянием приложенных нагрузок происходит изменение и
напряжений, и деформаций; связь между ними, называемая «определяющим соотношением», является важной характеристикой среды. Аналитический подход к исследованию сейсмических колебаний в среде должен содержать по крайней мере три
следующие составляющие: описание сейсмических источников; уравнения движения
волн, распространяющихся в среде после того, как в каком-либо месте возникло возмущение в среде; теорию, связывающую описание источника с частным решением,
найденным для уравнений движения.
1.1
Уравнения движения в упругой среде для смещения и нормальные моды
Возмущение упругой среды в какой-либо её части описывается уравнением движения [16]:
∂2 uα
∂σαβ
ρ(r) 2 =
+ Fα ,
(1.1)
∂t
∂rβ
где u(r, t) — вектор смещения в точке r в момент времени t, F — это сила, приложенная к единице объема, ρ — плотность и σ
^ — тензор напряжений. Это возмущение
распространяется в виде волн с конечной скоростью. Здесь и далее по повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование. Тензор напряжений σ
^и
тензор деформации
)
(
1 ∂uα ∂uβ
uαβ =
+
(1.2)
2 ∂rβ
∂rα
связаны линейным соотношением
σαβ
(
)
1
= K(r)uγγ δαβ + 2µ(r) uαβ − δαβ uγγ ,
3
(1.3)
которое соответствует закону Гука. Здесь скалярные величины K(r) — модуль сжатия, а µ(r) — модуль сдвига.
Для изучения волн в реальных средах необходимо учитывать наличие границ
между средами с разными упругими константами,а также и свободную поверхность.
5
На границе S двух однородных сред из условия отсутствия деформации получаем
два непрерывных граничных условия:
(1.4)
(1.5)
u(r)|S− = u(r)|S+ ,
σ
^ n|S− = σ
^ n|S+ ,
где n вектор нормали к границе S. Первое выражение соответствует непрерывности
вектора смещения, а второе отвечает за равенство давлений с обеих сторон S+ и S−
на границе [16].
В случае, когда упругая среда граничит с вакуумом, вместо двух условий (1.4),
(1.5) остается только одно граничное условие, выражающее тот факт, что давление
на границу со стороны вакуума, должно равняться нулю:
(1.6)
σ
^ n|S = 0.
В однородном пространстве плотность и упругие параметры постоянны:
ρ(r) = ρ,
K(r) = K,
µ(r) = µ.
(1.7)
Подставляя (1.2)–(1.7) в (1.1) с учетом тождества
∆u = ∇ div u − rot rot u
получим волновое уравнение для упругих колебаний в однородной изотропной среде,
( 2
)
∂2 u
2
2
−
c
∆u
+
c
−
c
grad div u = F,
t
t
l
∂2 t
где
√
cl =
3K + 4µ
, ct =
3ρ
√
µ
ρ
(1.8)
(1.9)
— скорости поперечной и продольной волн в среде, соответственно [17]. Как видно
скорость продольной волны всегда больше, чем у поперечной.
Уравнение (1.8) в неограниченной среде имеет два хорошо известных решения в
виде плоских гармонических волн (нормальные моды)
u(r, t) = Aei(kr−ωt) ,
(1.10)
где вектор k определяет направление распространения волны, а вектор A — векторная «амплитуда», которая показывает величину и направление смещения в волне,
т.е. амплитуду волны и её поляризацию. Поляризации волн показаны на Рис.1.1.
Рис. 1.1: Движение частиц в волнах P, SV и SH.
6
• Первое решение — продольная волна, которая определяется условиями:
A ≡ Al ∥k,
k2 = k2l ≡
ω2
,
c2l
(1.11)
здесь и далее будет обозначаться индексом l. Это условие A∥k задает однозначно волну. В сейсмологии эту волну обозначают — волна P [17].
• Второе решение — поперечная волна, задается условиями
A ≡ At ⊥k,
k2 = k2t ≡
ω2
,
c2t
(1.12)
и будет обозначаться индексом t. Как следует из условия A⊥k мы получаем
две независимые продольные волны. В сейсмологии их обозначают — волны
SH и SV. Если волна поляризована в плоскости распространения волны, то это
волна SV, а если волна поляризована линейно, то это волна SH [17].
1.2
Поле точечного источника в однородной неограниченной среде
Рассмотрим точечный источник гармонических колебаний с частотой ω, располо^ 0 (r, r ′ ; t, t ′ ), которая
женный в точке r ′ . Поле такого источника описывается ФГ G
удовлетворяет уравнению [18]:
[
(
)]
∂2
∂
∂
ρ(r)δαγ 2 −
Cαβγζ
Gγη (r, r ′ ; t, t ′ ) = δαη δ(r − r ′ )δ(t − t ′ ),
(1.13)
∂t
∂rα
∂rζ
где в изотропной среде [16]
Cαβγζ
(
)
2
= Kδαβ δγζ + µ δαγ δβζ + δαζ δγβ − δαβ δγζ ,
3
(1.14)
а t ′ — время в источнике, r ′ — радиус вектор источника. Так как мы рассматриваем
только случай жесткой границы (т.е граничные условия не зависят от времени), то
ФГ может зависеть от t и t ′ , только как разность t − t ′ , т. е.
^ 0 (r, r ′ ; t, t ′ ) = G
^ 0 (r, r ′ , t − t ′ )
G
из-за симметрии среды. Часто используются другие представления ФГ напишем формулы для их получения:
• (r, ω) — представление:
∫
^ 0 (r, ω).
^ 0 (r, t)eiωt dω = G
G
2π
(1.15)
^ 0 (r, ω)e−iq·r dr = G
^ 0 (q, ω).
G
(1.16)
• (q, ω) — представление:
∫
7
• (q⊥ , z) — представление:
∫
^ 0 (r⊥ , z, ω)e−iq⊥ ·r⊥ dr⊥ = G
^ 0 (q⊥ , z, ω).
G
(1.17)
Перепишем (1.13) в (q, ω) — представлении:
[( 2 2
)
(
)
]
^ 0 (q, ω) = ^I,
ct q − ω2 ^I + c2l − c2t q ⊗ q G
(1.18)
где решение данного уравнения можно получить в виде:
2^
^ 0 (q, ω) = 1 kt I − q ⊗ q + q ⊗ q .
G
ω2 q2 − k2t
q2 − k2l
(1.19)
Сделаем преобразование Фурье
∫
^ 0 (r, t) =
G
^ 0 (r, ω)eiωt dω
G
2π
уравнения (1.18). Тогда после вычислений получается:
(
) eikt R
eikl R
−2
−2
^ 0 (R, ω) = c−2
^
G
I
+
ω
∇
⊗
∇
−
ω
∇
⊗
∇
t
4πR
4πR
[(
) (
)
]
(
) eikt R
R
⊗
R
R
⊗
R
−2
−1
−2
^I −
= ct
+ ^I − 3
i(kt R) − (kt R)
R2
R2
4πR
[
(
)
] ikl R
(
)
R⊗R
R⊗R
e
+ c−2
− ^I − 3
i(kl R)−1 − (kl R)−2
. (1.20)
l
2
2
R
R
4πR
Здесь, мы используя условия излучение Зоммерфельда оставили только экспоненты
вида e+ikt,l R , а экспоненты вида e−ikt,l R опустили.
Это же решение можно переписать в других представлениях
• Это представление (q, ω) :
^ 0 (q, ω) =
G
q2
1
− k2t
(
^I
q⊗q
−
2
ω2
ct
)
+
q2
q⊗q
1
.
2
− kl ω2
(1.21)
• Это представление (R, t) :
∫R
3 R⊗R
− ^I cl
R2
G0 (R, t) = t
τδ(t − τ)dτ
R
4πR3
c
t
(
)
(
)
R⊗R
^I − R⊗R
R
R
2
2
R
+
δ t−
+ R 2δ t −
. (1.22)
ct
cl
4πRc2t
4πRcl
Последнее решение для уравнения движения (1.13) было получено Стоксом в 1849 [9].
Эта формула дает одно из наиболее важных решений задачи об излучении упругих
волн; исследуем его основные свойства.
Относительная величина различных членов ФГ зависит от расстояния R между
источником и приемником. Так первое слагаемое в формуле изменяется как R−2 для
8
источников, в интервале [ cRt , cRl ]. Но остальные слагаемые пропорциональны R−1 . То
есть первое слагаемое отвечает ближней зоне, а второе и третье дальней зоне [2].
Тогда в дальней зоне получим (kl,t R ≫ 1):
) ikt R
(
ikl R
e
R
⊗
R
−2 R ⊗ R e
−2
^ 0 (R) = ct ^I −
+
c
.
G
(1.23)
l
R2
4πR
R2 4πR
А в ближней зоне kl,t R ≪ 1, что также может быть представлено как решение
статической задачи ω → 0, а именно, мы получаем классическое решение Кельвина [10]:
^ 0 (R) =
G
[( −2
)
(
)
] 1
−2
^I + c−2
ct + c−2
^r ⊗ ^r
.
t − cl
l
8πR
(1.24)
Как видно из уравнения дальней зоны (1.23), первое слагаемое может быть трактовано как поперечная сферическая волна со скоростью ct , а второе слагаемое — как
продольная сферическая волна со скоростью cl . Но в ближней зоне все слагаемые
имеют смешанную тензорную структуру, и поле нет смысла разделять на поперечную
и продольную части.
9
Глава 2
ФГ для полупространства
2.1
^0 + G
^b
Построение ФГ как G
В полупространстве z > z0 будем искать решение задачи:
[( 2
)
(
)]
^ ω) = ^Iδ(r − r ′ ),
ct − c2l ∇ ⊗ ∇ − ^I ω2 + c2t ∆ G(r,
в виде:
^ r ′) = G
^ 0 (r − r ′ ) + G
^ B (r⊥ − r⊥′ ; z, z ′ ).
G(r,
(2.1)
(2.2)
Первый член в правой части дается формулой (1.13) и удовлетворяет неоднородному волновому уравнению (2.1). Поскольку этому же неоднородному уравнению
^ то и второй член G
^ B обязан удовлетворять соответствуудовлетворяет и вся ФГ G,
ющему однородному уравнению:
[( 2
)
(
)]
^ B (r, r0 , ω) = ^0.
ct − c2l ∇ ⊗ ∇ − ^I ω2 + c2t ∆ G
(2.3)
Произвол в решении однородного уравнения (2.3) будет использован для того
чтобы удовлетворить граничным условиям среда-вакуум при z = z0 .
^ B на бесконечности. Поскольку ФГ
Кроме того имеется граничное условие для G
^
^0
G должна удовлетворять условиям излучения Зоммерфельда [19], а слагаемое G
^ B обязан удовлетворять этим условиям.
также им удовлетворяет, то и член G
После перехода к 2D-Фурье представлению
∫
^
^ 0 (r⊥ , z; ω)eiq⊥ r⊥ ,
(2.4)
G0 (q⊥ , z; ω) = dr⊥ G
^ B (q⊥ ; z, z ′ ):
мы получим систему уравнений на компоненты матрицы G
)
(
∂
∂2
^
^
^ B (q⊥ ; z, z ′ ) = 0,
^
K2 2 + K1 + K0 G
∂z
∂z
(2.5)
^ 0,1,2 это:
где матрицы K
(
)
(
)
(K0 )αβ = ω2 − c2t q2⊥ δαβ − c2l − c2t Qα Qβ ,
)
(
(K1 )αβ = c2l − c2t (Qα nβ + nα Qβ ) ,
)
(
(K2 )αβ = c2t δαβ + c2l − c2t nα nβ .
10
(2.6)
Из однородной системы (2.5) и условий излучения Зоммерфельда имеем
^ B (q⊥ ; z, z ′ ) =
G
3
∑
−
′
Cjm u+
m (q⊥ ; z − z0 ) ⊗ uj (q⊥ ; z0 − z ),
(2.7)
j,m=1
где Cjm — неизвестные пока постоянные коэффициенты,
±
±iλj (q⊥ )z
u±
,
j (q⊥ , z) = ej (q⊥ )e
(2.8)
j = 1–3, где e±
j (q⊥ ) и λj (q⊥ ) вычисляются по формулам:
e±
1 (q⊥ ) = q⊥ × n/q⊥ ,
e±
2 (q⊥ ) = (±λt (q⊥ )q⊥ /q⊥ − q⊥ n) /kt ,
±
e3 (q⊥ ) = q±
l /kt ,
(2.9)
(2.10)
λ1,2 = λt , λ3 = λl ,
√
λt,l (q⊥ ) = k2t,l − q2⊥ .
(2.11)
Условия излучения Зоммерфельда в данном случае можно трактовать как отсутствие волн распространяющихся из бесконечности к источнику или к границе. А
′
именно: волны u−
j распространяются от источника z к границе среда-вакуум z0 . На
этой границе они генерируют волны u+
m , распространяющиеся от z0 к детектору в
точке z. Значения коэффициентов Cjm определяются из оставшихся граничных условий — условий на границе среда-вакуум. Соответствующие граничные условия «на
^ B имеют вид:
языке» G
(
)
(
)
∂
∂
′
′
^ 1 + iB
^0 G
^ B (q⊥ ; z, z )
^ 1 + iB
^0 G
^ 0 (q⊥ ; z, z )
B
B
=
−
,
(2.12)
∂z
∂z
z=z0
z=z0
^ 0,1 это
где z ′ произвольная точка внутри среды (z ′ > z0 ), а матрицы B
(
)
1
^
^
B1 = µI + K + µ n ⊗ n,
3
(
)
2
^
B0 = iµq⊥ ⊗ n + i K − µ n ⊗ q⊥ .
3
(2.13)
Подставляя (2.7) в (2.12), получаем систему уравнений на коэффициенты Cjm , решение которой имеет вид
i
ajm
Cjm = − c−2
,
(2.14)
j
2
λj D
где ajm и D это:
a11 = D, a1j = aj1 = 0, j = 2, 3, D = (q2⊥ − λ2t )2 + 4λt λl q2⊥ ,
[
]
a22 = a33 = − (q2⊥ − λ2t )2 − 4λt λl q2⊥ ,
kt
kl
a23 = 4 λl q⊥ (q2⊥ − λ2t ), a32 = −4 λt q⊥ (q2⊥ − λ2t ).
kl
kt
(2.15)
И тогда мы получаем [20]:
∫
3
i ∑ −2 dq⊥ amj iq⊥ ·R⊥
′
^
GB (R; z, z ) = −
c
e
2 j,m=1 j
(2π)2 Dλj
′
−
× ei(λm (z−z0 )+λj (z −z0 )) e+
m (q⊥ ) ⊗ ej (q⊥ ). (2.16)
11
2.2
Дальняя зона
Для дальней зоны q⊥ R⊥ + (z − z0 )κm + (z ′ − z0 )κj ≫ 1 и интеграл (2.16) берется
методом стационарной фазы с учетом того,что подынтегральная экспонента быстро
осциллирует. Основной вклад в каждый из 5 интегралов дает узкая окрестность
своей стационарной точки
qjm
st = qjm R⊥ /R⊥ ,
где скаляр qjm (0 6 qjm < kt,l ) являющаяся корнем уравнения:
−1
(z ′ − z0 )qjm κj−1 (qjm ) + (z − z0 )qjm κm
(qjm ) = R⊥ .
(2.17)
В этом приближении ФГ принимает вид:
′
^ st
G
B (R⊥ ; z, z )
3
∑
=−
c−2
j Fjm (qjm )
m,j=1
где
√(
Rjm =
eiΦjm (qjm ) + jm
jm
e (q ) ⊗ e−
j (qst ),
4πRjm (qjm ) m st
)
2 −2
Rjin kj + Rm
k
κ
κ
R⊥ q−1
jm ,
ref m j m
(2.18)
(2.19)
где Rjin и Rm
ref это геометро-акустический путь j-ой падающей и m-ой отраженной
нормальных мод, как проиллюстрировано на Рис. 2.1, а величина
Φjm = qjm R⊥ + (z − z0 )κm (qjm ) + (z ′ − z0 )κj (qjm )
(2.20)
— это общий фазовый путь волны вдоль геометро-акустического пути Rjm . Множите-
Рис. 2.1: Геометро-акустический путь Rjm = Rjin + Rm
ref
ли Fjm — коэффициенты трансформации нормальных сферических волн на границе,
Fjm =
amj (qst )
1
√ (
D(qst )λj (qst ) R⊥ Rm
ref
km +
qst
λ2
m
Rjin
k
λ2j j
).
(2.21)
Кроме трансформации амплитуд, коэффициенты Fjm учитывают фазовые сдвиги и
преобразование телесных углов, имеющее место при отражении сферических волн с
разными волновыми числами [2].
12
2.3
Ближняя зона
В ближней зоне q⊥ R⊥ + (z − z0 )κj + (z ′ − z0 )κm . 1, вклад в интеграл (2.16) вносит
большая окрестность q⊥ , включающая область q⊥ > kt,l , где волны u+
m (q⊥ ; z − z0 )
′
and u−
(q
;
z
−
z
)
экспоненциально
затухает.
Как
говорилось
ранее,
предел
ближ⊥ 0
j
ней зоны эквивалентен статическому пределу, а эта задача для полупространства
была в общем виде решена Миндлиным [21] (а ее частные случаи, когда источник
расположен на границе — Буссинеском [11] и Церрути [12]). Это решение имеет вид:
)
1 ( −2
′
^ NF
G
ct − c−2
g
^(R⊥ ; z, z ′ ),
B (R⊥ ; z, z ) =
l
8π
где вектор R⊥ параллелен оси Ox, а все ненулевые компоненты тензора g
^ приведены
ниже:
2c2t c2l
1
2Z1 Z2
1
+
+
,
3
2
2 2
RM
RM
(ct − cl ) RM + ZM
1
c2 + c2l R2⊥
2Z1 Z2 6Z1 Z2 R2⊥
2c2t c2l
1
gyy =
+ t2
+
−
+
2 3
3
5
2
2 2
RM cl − ct RM
RM
RM
(ct − cl ) RM + ZM
( 2
)
R⊥ ct + c2l z − z ′ 6Z1 Z2 ZM
2c2t c2l
1
gxz =
+
− 2
,
RM c2l − c2t R2M
R4M
(ct − c2l )2 RM + ZM
2c2 c2
R2⊥
− 2 t l2 2
,
(ct − cl ) RM (RM + ZM )2
(
)
R⊥ c2t + c2l z − z ′ 6Z1 Z2 ZM
2c2t c2l
1
gzx =
−
+ 2
,
RM c2l − c2t R2M
R4M
(ct − c2l )2 RM + ZM
c2t + c2l Z2M 2Z1 Z2 6Z1 Z2 Z2M
16c2l c2t − 3c4l − 15c4t 1
+
−
+
,
gzz =
RM c2l − c2t R3M
(c2l − c2t )2
R3M
R5M
gxx =
(2.22)
′
и RM = (R⊥ , ZM ), ZM = Z1 + Z2 , Z1 = z − z0 , Z2 = z ′ − z0 . Вектор rM
= r − RM =
′
′
(r⊥ , 2z0 − z ) можно интерпретировать как положение фиктивного источника r ′ . Это
прямая аналогия с искусственным источником в методе зеркального отображения
^ B ∼ R−1
в электростатике [22]. Важной особенностью (2.22) является то, что G
M при
RM → 0. Таким образом, если источник и приемник, находясь рядом друг с другом,
^ B имеет тот же тип асимптотики как
локализованы вблизи границы среды то ФГ G
−1
^
и G0 ∼ R (1.24).
2.4
Волны Релея
Волны Релея образуются в однородном полупространстве путем суперпозиции неоднородных P и SV волн. Оказывается, что при определенной кажущейся скорости,
одной и той же для P и SV волн, может быть удовлетворено граничное условие на
свободной поверхности, т.е. равенство нулю компонент напряжения, приложенного к
поверхности, в плоскости падения [17]. Это выполняется в так называемом релеевском полюсе ФГ, а именно при равенстве нулю D:
D = 0 ⇔ 16q6⊥ (k2t − k2l ) − 8q4⊥ k2t (3k2t − 3k2l ) + 8q2⊥ k6t − k8t = 0,
таким образом мы найдем корень этого уравнения q∗ , q∗ > min(kl , kt ).
13
(2.23)
С учетом условия устойчивости Im q∗ = +0, полюс подынтегральной функции
q⊥ = q∗ дает дополнительный вклад в интеграл
′
^ Rel
G
B (R⊥ ; z, z ) =
3
q∗ ∑ −2 a∗mj −|λ∗j |(z−z0 )
c
e
8πD∗′ j,m=1 j λ∗j
×e
−|λ∗m |(z ′ −z0 )
2π
∫
−
eiq∗ R⊥ cos ϕ e+
m (q∗ ) ⊗ ej (q∗ )dϕ, (2.24)
0
где
D∗′ = 8λt λl q∗ + 8q∗ (q2∗ − λ2t ) − 4
λl 3
λt
q∗ − 4 q3∗ , λ∗j,m = λj,m (q∗ ),
λt
λl
a∗mj = amj (q∗ ), a11 = a12 = a13 = a21 = a31 = 0, a22 = a33 = 8λ2t λ2l q2∗ ,
kt
kl
a23 = 4 λl q∗ (q2∗ − λ2t ), a23 = −4 λt q∗ (q2∗ − λ2t ),
kl
kt
q∗ = q∗ (cos ϕ, sin ϕ, 0)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
Проинтегрируем подынтегральное выражение и получим:
′
^ Rel
G
B (R⊥ ; z, z ) =
q2∗ [
2
−|λt |(z ′ +z−2z0 )
2
2
−|λt |(z ′ −z0 )−|λl |(z−z0 )
2λ
λ
q
R
e
+
(q
−
λ
)R
e
t
∗
2,2
2,3
l
∗
t
D∗′ ω2
]
2
2
−|λl |(z ′ −z0 )−|λt |(z−z0 )
2
−|λl |(z ′ +z−2z0 )
− (q∗ − λt )R2,3 e
+ 2λt λl q∗ R3,3 e
(2.28)
где матрицы


−λ2t ( q∗JR1 ⊥ − J2 )
0
−iλt q∗ J1
,
R2,2 (R⊥ ; q∗ ) = 
0
−λ2t q∗JR1 ⊥
0
2
iλt q∗ J1
0
q∗ J 0


−λt q∗ ( q∗JR1 ⊥ − J2 )
0
iλt λl J1

R2,3 (R⊥ ; q∗ ) = 
0
− JR1⊥λt
0
2
iq∗ J1
0
−q∗ λl J0
 2 J1

q∗ ( q∗ R⊥ − J2 ) 0
iq2∗ J1
J1 λt
R3,2 (R⊥ ; q∗ ) = 
0
0 ,
R⊥
iλt λl J1
0 q∗ λl J0

 2 J1
q∗ ( q∗ R⊥ − J2 )
0
−iλl q∗ J1
.
R3,3 (R⊥ ; q∗ ) = 
0
0
q2∗ qR∗⊥J1
iλl q∗ J1
0
−λ2l J0
(2.29)
(2.30)
(2.31)
(2.32)
В данных уравнениях J0,1,2 обозначают функции Бесселя 0, 1, и 2-го порядков, которые имеют своим аргументом величину q∗ R⊥ , Jν = Jν (q∗ R⊥ ).
Если мы рассмотрим полученное уравнение в дальней зоне q∗ R⊥ → ∞, то воспользовавшись асимптотикой для функции Бесселя [23]
√
(
νπ π )
2
sin x −
−
.
Jν (x) ∼
πx
2
4
Получим тогда приближенный ответ в виде:
′
GRel
B (R⊥ ; z, z )ij ∼ aij R⊥
−1/2
14
−3/2
+ bij R⊥ .
(2.33)
Выражения для матричных элементов aij , bij в виду их громоздкости здесь не приводим.
Как видно основной асимптотикой волны Релея при q∗ R⊥ → ∞ является поправ−1/2
−3/2
ка порядка R⊥ , а следующей поправкой является R⊥ , что убывает быстрее по
сравнению с обычным вкладом GB ∼ R−1 .
15
Глава 3
ФГ для слоистой среды
В этом разделе приводится общая схема расчета для вычисления поля смещения и
ФГ для слоистой среды.
3.1
Матричный метод для расчета полей в слоистых
средах
В этой части мы рассмотрим слоистую среду, где параметры среды зависят только от
координаты z. Пусть рассматриваемая упругая среда располагается в слое l1 ≤ z ≤
l2 , а с двух сторон её окружают бесконечные полупространства с вакуумом. Система
превращается в неограниченную среду при устремление l1 → −∞ и l2 → +∞.
Тогда ФГ должна удовлетворять такому уравнению:
(
)
∂2
∂
^
^ ⊥ ; z; z ′ ) = ^Iδ(z − z ′ ),
^
^
K2 (z) 2 + K1 (z) + K0 (z) G(q
(3.1)
∂z
∂z
^ 2 (z), K
^ 1 (z), K
^ 0 (z) были даны ранее в (2.6), с той разницей, что теперь
где матрицы K
скорости ct = ct (z) и cl = cl (z) зависят от z.
Представление ФГ как суммы G0 + GB не является особенно эффективным в этом
случае, поскольку кроме точки z = z ′ , «склейку» в которой и помогает сделать это
представление, в данной задаче необходимо производить «склейку» решений во всех
промежуточных слоях. Мы будем использовать стандартную схему построения ФГ,
используемую для задач Штурма-Лиувиля [24]. Она основана на том, что ФГ должна
удовлетворять 3-м условиям:
• При несовпадающих аргументах z ̸= z ′ ФГ удовлетворяет однородному уравнению, следовательно мы получаем, что в каждой из областей z < z ′ и z > z ′
решение имеет вид линейной комбинации решений однородного уравнения (но
с различными коэффициентами).
• Эти линейные комбинации должны удовлетворять условиям сшивания на границе между областями, обеспечивающих необходимый в (3.1) характер сингулярности ФГ в точке z = z ′ .
• Полученное решение должно удовлетворять граничным условиям на обоих границах.
16
Начнем с однородного уравнения:
(
)
∂2
∂
^
^
^
K2 (z) 2 + iK1 (z) + K0 (z) u(z) = 0.
∂z
∂z
(3.2)
Рассмотрим общий третий тип граничных условий (называемых также смешанными
или условиями Робина):
(
)
∂u
^
^
B1 (lj )
+ iB0 (lj )u = 0; j = 1, 2,
(3.3)
∂z
z=lj
^ 1,0 (lj ) матрицы размерности 3 × 3. Для случая, когда l1 и l2 стремятся к бескогде B
нечности, эти матрицы имеют вид:
^ 0 = µQ ⊗ n + (K − 2µ/3) n ⊗ Q,
B
^ 1 = µ^I + (K + µ/3) n ⊗ n,
B
(3.4)
где надо учитывать,что µ = µ(lj ) и K = K(lj ). Для неограниченного пространства
условие излучения Зоммерфельда требующее, чтоб из бесконечности к источнику не
шли волны, можно эффективно учесть включив бесконечно малое затухание kt,l →
^ 1 (lj ) = ^0 и
kt,l + i0sign(ω). В таком случае для бесконечном удаленных lj положим B
^ 0 (lj ) = ^I.
B
В общем случае существуют 6 независимых решений системы дифференциальных
уравнений (3.2). Если по отдельности накладывать граничные условия для каждой
границы, то мы получим две группы решений:
• Три решения, для которых выполнены граничные условия на границе lj = l2 :
(1)
(2)
(3)
u> (z), u> (z), u> (z).
• Три решения, для которых выполнены граничные условия на границе lj = l1 :
(1)
(2)
(3)
u< (z), u< (z), u< (z).
Для удобства мы представим эти решения в виде двух матриц (3 × 3), столбцами
которых являются соответствующие решения:
(
)
(
)
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
^
^
V> (z) = u> , u> , u> , V< (z) = u< , u< , u< .
Теперь мы учтем,что при z > z ′ ФГ G(z, z ′ ) удовлетворяет однородному условию
на границе z = l2 ,
)
(
∂
′ ^
^
^
= 0,
(3.5)
B1 (l2 ) + iB0 (l2 ) G(z, z )
∂z
z=l2
а при z < z ′ — для границы z = l1 ,
(
)
∂
′
^ 1 (l1 ) + iB
^ 0 (l1 ) G(z,
^ z )
= 0.
B
∂z
z=l1
(3.6)
Тогда ФГ можно записать как:
{
^ z ′) =
G(z,
^ > (z ′ ), z ≥ z ′ ,
V^> (z)C
^ < (z ′ ), z < z ′ ,
V^< (z)C
17
(3.7)
^ > (z) и C
^ < (z) имеют размерность 3 × 3. Как мы знаем из (3.1) вторая
где матрицы C
^ по z приводит к δ-образной сингулярности в z = z ′ . Поэтому первая
производная от G
^ по z скачкообразая, а сама ФГ непрерывна в этой точке.
производная от от G
Условия непрерывности и условия на скачок первой производной при z = z ′ дают:
^ > (z) = V^< (z)C
^ < (z), V^>′ (z)C
^ > (z) − V^<′ (z)C
^ < (z) = K
^ −1
V^> (z)C
2 (z).
(3.8)
^ > (z), C
^ < (z) дает:
Решение этой системы матричных уравнений для матриц C
^ < (z) = V^<−1 (z)W
^ −1 (z),
C
^ −1 (z),
^ > (z) = V^>−1 (z)W
C
где матрица
)
(
^
^ 2 (z) V^<′ (z)V^<−1 (z) − V^>′ (z)V^>−1 (z)
W(z)
=K
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(j)
может трактоваться как матричный аналог Вронскиана для набора функций: u> ,
(j)
u< , j = 1–3.
Таким образом ФГ принимает форму:
{
′
^
^ −1 ′ ^ −1 ′
^ z ′ ) = V> (z)V> (z )W (z ), z ≥ z ,
G(z,
(3.12)
^ −1 (z ′ ), z < z ′ .
V^< (z)V^<−1 (z ′ )W
Чтобы рассчитать матрицы V^< (z), V^< (z), мы введем матрицу V(z), столбцы которой это линейно-независимые решения уравнения (3.2) u(1) (z),. . . , u(6) (z):
(
)
^
V(z)
= u(1) (z), . . . , u(6) (z) .
(3.13)
(1,2,3)
(1,2,3)
Это матрица (3 × 6). Так как решения u<
и u>
представляют собой линейную
(1)
(6)
^
комбинацию u (z), . . . , u (z), то можно выразить матрицы V^< (z), V^< (z) через V(z).
Тогда мы получаем:
^ ^J1 , V^> (z) = V(z)
^ ^J2 ,
V^< (z) = V(z)
(3.14)
где ^J1,2 — это матрицы коэффициентов линейной комбинации (6 × 3).Чтобы найти
матрицы ^J1 , ^J2 мы подставим (3.14) в граничные условия (3.3), для j = 1 и j = 2 .
Таким образом получим:
[
]
^ 1 (lj )V^ ′ (lj ) + iB
^ 0 (lj )V(l
^ j ) ^Jj = 0, j = 1, 2.
B
(3.15)
Нам достаточно найти любое нетривиальное решение (3.15). Представим
(3)× 6)(
^ 1 (lj )|A
^ 2 (lj ) , где
матрицу, стоящую выше в квадратных скобках как блочную i A
матрицы
(
)
^ 1,2 (lj ) = −iB
^ 1,2
^ 1 (lj )V^ ′ (lj ) + B
^ 0 (lj )V(l
^ j) E
A
(3.16)
имеют размерность (3 × 3), и
^1 =
E
( )
( )
^I
^0
^
^0 , E2 = ^I
— это матрицы (6 × 3). Тогда получим:
(
)
(
)
^I
^ −1
^ 2 (l1 )
−
A
(l
)
A
1
1
^J2 =
, ^J1 =
.
^ −1
^
^I
−A
2 (l2 )A1 (l2 )
18
(3.17)
В итоге подставляя полученные выше уравнения в (3.7) получится ФГ для слоистой
среды.
Отметим, что матрицы ^Jj определены неоднозначно, с точностью до умножения на
^j : ^Jj → ^Jj X
^j , Эта неоднозначность не
произвольные невырожденные (3 × 3) матрицы X
^
сказывается в ФГ, поскольку матрицы Xj как легко видеть сокращаются в финальном
уравнении. Необходимо подчеркнуть, что выбор набора шести линейно-независимых
решений однородного уравнения (3.2) u(1) , . . . , u(6) в (3.13) также неоднозначен. В
частности, вместо матрицы V^ в (3.13) можно использовать матрицу
^˜
^ C,
^
V(z)
= V(z)
(3.18)
^ — произвольная невырожденная постоянная матрица размерности (6×6). Можгде C
^
^˜
но показать, что при преобразовании V(z)
→ V(z)
согласно (3.18) в (3.14), (3.17)
возникает также замена
^Jj → ^˜Jj = C
^ −1^Jj Y^j ,
где Y^j (j = 1,2) — некоторые (сравнительно громоздкие) невырожденные (3 × 3)^иA
^ 1,2 (lj ). В результате матрицы V^<,> в уравнении
матрицы, зависящие от матриц C
(3.14) преобразуются по правилу
^˜ <,> (z) = V(z)
^˜ ^˜J1,2 = V(z)
^ ^J1,2 Y^1,2 ,
V
что, фактически, соответствует замене ^Jj → ^Jj Y^j в (3.14). А такая замена, как мы
только что видели, не сказывается в выражении для ФГ.
3.2
ФГ для кусочно-однородной многослойной среды
В первом разделе мы получили общую формулу для ФГ в локально изотропной слоистой среде с произвольно меняющимися вдоль оси z свойствами, выраженную через
полное семейство линейно-независимых решений однородного волнового уравнения
u(j) , j = 1– 6. В общем случае получить явные аналитические формулы для u(j) (z)
невозможно и развитая ранее схема расчета ФГ может быть использована только
для численных вычислений.
В данном разделе мы рассмотрим важный для приложений частный случай, когда можно получить аналитические формулы для u(j) (z), j = 1–6. Это случай среды
с кусочно-постоянными свойствами, когда система состоит из конечного числа однородных изотропных слоев произвольной толщины, со своими упругими постоянными
K и µ в каждом слое.
Будем считать, что слоистая среда, занимающая полупространство z > z0 , состоит из конечного числа N пространственно однородных слоев: zp−1 6 z 6 zp ,
p = 1, . . . , N, zN = +∞. Скорости продольной и поперечной упругих волн в p-ом
слое мы будем обозначать clp and ctp .
^
Согласно (3.12), (3.11) для вычисления ФГ достаточно найти матрицу V(z),
со
столбцами из независимых решений однородного волнового уравнения (3.2). Удобно
далее ввести обозначение
^
V(z)
= V^p (z), for zp−1 6 z 6 zp .
^
для матрицы V(z)
в p-ом слое.
19
(3.19)
Поскольку в пределах каждого слоя среда является пространственно однородной,
то любое решение однородного уравнения (3.2) в p-ом слое может быть выражено через линейную комбинацию шести стандартных нормальных решений для однородной
среды типа (3.8):
±
±iλjp (q⊥ )z
u±
,
(3.20)
jp (q⊥ , z) = ejp (q⊥ )e
j = 1–3, где e±
jp (q⊥ ) и λjp (q⊥ ) вычисляются по формулам:
e±
1 (q⊥ ) = q⊥ × n/q⊥ ,
(
)−1/2
2
2
|λ
|
q
+
e±
(q
)
=
(±λ
(q
)q
/q
−
q
n)
,
t
⊥
t
⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
2
(
)−1/2
2
±
2
e±
(q
)
=
q
q
+
|λ
|
,
⊥
l
⊥
3
l
λ1,2 = λt , λ3 = λl ,
√
λt,l (q⊥ ) = k2t,l − q2⊥ .
(3.21)
(3.22)
(3.23)
со скоростями звука ct = ctp , cl = clp в этом слое. В матричной форме этот базовый
набор шести независимых решений уравнения (3.20) можно записать в виде блочной
(3 × 6) матрицы:
( +
)
^ p (z) = U
^ p (z)|U
^−
U
(3.24)
p (z) ,
где
( ± ±iλ z ± ±iλ z ± ±iλ z )
1p
^±
U
; e2p e 2p ; e3p e 3p .
p (z) = e1p e
Это матрица размерности (3 × 3) со столбцами из векторов (3.20).
Так как столбцы матрицы V^p (z) соответствуют решениям однородного уравнения
(3.2) в p-ом слое, то каждый из них является линейной комбинацией нормальных
решений (3.20). В матричной форме это соответствует равенству
^ p (z)C
^p ,
V^p (z) = U
(3.25)
^ p размерности (6×6) определяет коэффициенты линейной комбинации.
где матрица C
Поскольку столбцы матриц V^p (z) и V^p+1 (z) (p = 1, . . . , N − 1) в соседних слоях с
номерами p и p + 1 должны удовлетворять межслоевым граничным условиям (1.4),
^p и C
^ p+1 связаны
(1.5), то с учетом формулы (1.3) получаем, что коэффициенты C
между собой условиями сшивания на границе z = zp между слоями:
^p (zp )C
^p = S
^p+1 (zp )C
^ p+1 ,
S
(3.26)
^p и S
^p+1 размерности (6 × 6) определяются выражением
где блочные матрицы S
(
)
^ p (z)
U
^p (z) =
S
(3.27)
^ 1p U
^ p (z)Λ
^p + B
^ 0p U
^ p (z) .
B
Верхний блок (3.27) это результат граничных условий (1.4), а нижний из (1.5). Здесь
мы учли формулу дифференцирования
^ p (z)Λ
^p ,
^ p′ (z) = iU
U
где диагональная матрица 6-го порядка
( +
)
^p 0
Λ
^
Λp =
.
^−
0 Λ
p
20
(3.28)
(3.29)
^±
Здесь Λ
p — диагональные матрицы 3-го порядка с элементами ±λ1p , ±λ2p , ±λ3p на
^ 1p и B
^ 0p определяются формулами (3.4) с постоянными среды
диагонали. Матрицы B
µ = µp и K = Kp зависящими от номера слоя p. Отсюда получаем рекуррентную
формулу пересчета матричных коэффициентов из слоя в слой:
^ p+1 = M
^ pC
^p,
C
(3.30)
где
^
^p≡S
^−1
M
p+1 (zp )Sp (zp ).
(3.31)
Это (6 × 6)-матрица. Откуда следует,
^p = M
^ p−1 . . . M
^ 1C
^1,
C
(3.32)
и, в частности,
^N = M
^ N−1 . . . M
^ 1C
^1,
C
^ 1 = (M
^ N−1 . . . M
^ 1 )−1 C
^N,
C
(3.33)
(3.34)
и далее
^ p = (M
^ N−1 . . . M
^ p )−1 C
^N.
C
(3.35)
Подставляя (3.32) или (3.35) в (3.25) мы получаем решение (3.19) во всей среде,
^ 1 или C
^ N . После
выраженное через одну произвольную матрицу коэффициентов C
^
подстановки полученного таким образом выражения для V(z)
в (3.14), (3.17) произ^
^
вольные матрицы C1 or CN в (3.11), (3.12) сокращаются. Поэтому без ограничения
^1 и C
^ N единичными матрицами.
общности можно далее считать соответствующие C
Итоговые выражения для матриц V^> (z) и V^< (z) в p-ом слое имеют вид
(
)
^I
>
^ p (z)M
^p
V^> (z) = U
,
(3.36)
−A−1
2 (l2 )A1 (l2 )
(
)
−1
−A
(l
)A
(l
)
1
2
1
<
1
^ p (z)M
^p
V^< (z) = U
,
(3.37)
^I
где
{
^ N−1 . . . M
^ p )−1 , p < N,
(M
^>
M
=
(3.38)
p
^I,
p = N,
{
^I,
p = 1,
^<
M
=
(3.39)
p
^ p−1 . . . M
^ 1 , p > 1.
M
^ 1 (l1,2 ) и A
^ 2 (l1,2 ) из (3.16) для данного случая имеют вид
Матрицы A
^ 1,2 (l2 ) = B
^ 1 (l2 )U
^±
^± ^
^±
A
N (l2 )ΛN + B0 (l2 )UN (l2 ),
^ 1,2 (l1 ) = B
^ 1 (l1 )U
^±
^±
^
^±
A
1 (l1 )Λ1 + iB0 (l1 )U1 (l2 ).
(3.40)
(3.41)
^ 1 , а нижние — к
В этой формуле верхние знаки в описании матриц ± относятся к A
^ 2.
A
Подставляя (3.36), (3.37) в (3.11), (3.12) с учетом (3.28), получаем замкнутое вы^ ⊥ ; z, z ′ ) в (q⊥ , z)-представлении для произвольной многослойной
ражение для ФГ G(q
среды. ФГ в координатном представлении дается выражением
∫
′
^ ⊥ ; z, z ) = G(q
^ ⊥ ; z, z ′ )eiq⊥ ·R⊥ dq⊥ .
(3.42)
G(R
(2π)2
Как и в случае однородного полупространства существует вклады в интеграл
(3.42), соответствующие физически различным типам волн:
21
— Вклады соответствует геометроакустическому подходу учитывающему объемные
продольные и поперечные сферические волны многократно отраженные и преломленные на границах слоев. Они порождены узкой окрестностью q⊥ вблизи
точек стационарной фазы.
— Вклады соответствующие поверхностным волнам. На границе среда-вакуум порождаются волны Релея, а также волны Лява (в случае наличия, хотя бы одного
слоя), а на межслоевых границах — волны типа Стоунли. Проникновение этих
волн в соседние слои соответствует эффекту просачивания [25]. Эти вклады
связаны с полюсами ФГ на действительной оси, порожденными нулями опре^ p.
делителей матриц M
— Кроме поверхностных волн на границе среда-вакуум и межслоевых границах
возникают головные волны. Их возникновение связанно с обращением в ноль
на вещественной оси q⊥ у величин λjp в знаменателе (3.34).
— В ближней зоне существенны и остальные значения q⊥ .
В ближней зоне, основной вклад в ФГ вносит область больших q⊥ ≫ ktp , klp .
Фактически асимптотика ближней зоны соответствует статическому режиму ω → 0.
Если точки r и r ′ близки к друг другу, но далеки от границ слоев и границы средавакуум, то асимптотика ближнего поля определяется формулой Кельвина (1.24) с
параметрами ct и cl относящимися к данному слою. Если же r и r ′ близки к друг
другу и к одной из границ, то в случае границы среда-вакуум в главном порядке ФГ
соответствует формулам Бусенеска-Церутти [11, 12] или Миндлина [21]. В случае близости r и r ′ к межслоевой границе, решение определяется результатами работы [26],
где рассматриваются волны типа Стоунли.
3.3
Задача о преломлении и отражении на границе
двух сред. Углы Брюстера
Рассмотрим отражение волн SH в SH, P в P и SV в SV. Будем искать углы Брюстера,
то есть те углы, при которых прекращается отражение определенного типа волн [27].
Найденный угол Брюстера в каждом из случаев будем обозначать как jB . Рассмотрим
два полупространства с заданными параметрами среды (они будут указаны в каждом
конкретном случае). Будем строить зависимость потока упругой энергии от угла
падения.
3.3.1
Формула для потока энергии
Запишем уравнение движения без возмущающей силы:
d2
∂
(λikνµ (r)uνµ (r)) = 0,
ρ(r) 2 ui −
dt
∂xk
где согласно (1.2) uνµ (r) = 1/2( ∂x∂µ uν + ∂x∂ν uµ ). Домножим его на
сразу выделить слагаемое связанное с кинетической энергией:
(
)
d2
d ρ(r)u̇i u̇∗i
d ∗
d
ρ(r) 2 ui ui =
= wk (r),
dt dt
dt
2
dt
22
(3.43)
d ∗
u.
dt i
Тогда можно
(3.44)
где u̇ = du/dt.
Мы хотим получить уравнение в виде закона сохранения:
d
(wk (r) + wp (r)) + div(S) = 0.
dt
(3.45)
В такой записи потенциальная энергия будет выглядеть как:
1
∂uν ∂u∗i
wp (r) = λikνµ (r)
.
2
∂xµ ∂xk
(3.46)
Тогда формула для потока получается в виде:
Si = −
du∗i
∂uν
λikνµ (r)
.
dt
∂xµ
(3.47)
Рассмотрим поток энергии более подробно применительно в каждому типу волн.
Здесь нам понадобится явный вид λikνµ и явный вид зависимости смещение от времени и координаты. Мы будем считать среду однородной и изотропной (т.е. считать ^λ
константой — этот параметр не будет зависеть от координаты) и рассмотрим плоские
волны:
λikνµ = λδik δνµ + µ(δiν δkµ + δiµ δkν ),
(3.48)
uj = Aej exp(i(k · r − ωt)).
(3.49)
Так же учтем формулы (1.9). После упрощения получим формулу для потока энергии
в векторном виде:
S = −ρω[(c2l − c2t )u∗ (k · u) + c2t k(u · u∗ )].
(3.50)
В частности,
• P-волна: kl =
ω
s,
cl l
sl — единичный вектор вдоль kl , kl ||u,
Sl = −ρω2 cl |A|2 sl .
• SH и SV-волны: kt =
ω
s,
ct t
(3.51)
st — единичный вектор вдоль kt , kt ⊥u,
St = −ρω2 ct |A|2 st .
(3.52)
Далее в виду громоздкости k всех выражений, будем выписывать только выражения амплитуд отраженных волн, из которых можно получить численное значение
угла Брюстера в том или ином случае.
3.3.2
SH → SH. Волна распространяется из среды 2 в среду 1
Схематически геометрия волн при преломлении и отражении их на границе показана
на Рис. 3.1. Напишем соотношения Снеллиуса для углов:
)
(
ct1
sin(j2 ) .
j1 = arcsin
ct2
Далее запишем уравнение для коэффициента отражения волны SH в SH:
RSH→SH =
ρ2 ct2 cos(j2 ) − ρ1 ct1 cos(j1 )
.
ρ2 ct2 cos(j2 ) + ρ1 ct1 cos(j1 )
23
(3.53)
Рис. 3.1: Геометрия отражения и преломления при падении SH-волны из среды 1 в
среду 2.
В этом случае можно получить явное аналитическое решение для нулей этого коэффициента [28]:
√
ρ21 c2t2 c2t1 − ρ42 c4t2
jB =
.
(3.54)
ρ41 c4t1 − ρ42 c4t2
Величина угла Брюстера jB = 1.32 рад при параметрах сред:
ρ1 = 2.3; ρ2 = 3.2; ct1 = 0.51; ct2 = 0.53,
что так же видно на Рис. 3.2.
Рис. 3.2: Энергии для волн, порождаемых волной SH. Индексы t и r указывают на
преломленные (прошедшие — transmitted) и отраженные (reflected) волны, а пара
индексов ss — на типы падающих и образующихся волн (в данном случае все волны
имеют один тип SH).
3.3.3
P → P, SV. Волна распространяется из среды 1 в среду
2
Схематически геометрия волн при преломлении и отражении их на границе показана
на Рис. 3.3. Напишем соотношения Снеллиуса для углов:
24
Рис. 3.3: Геометрия отражения и преломления при падении P-волны из среды 1 в
среду 2.
(
j1 = arcsin
)
(
)
(
)
ct1
ct2
cl2
sin(i1 ) , j2 = arcsin
sin(i1 ) , i2 = arcsin
sin(i1 ) .
cl1
cl1
cl1
Далее запишем уравнение для коэффициента отражения волны P в P:
 (
RP→P =
1 
D
(
ρ2 1 −
(
2c2t2 sin(i1 )2
c2l1
(
ρ1 1 −
(
×
(
+
2ρ1 c2t1 sin(i1 )2
c2l1
cl1
2c2t1 sin(i1 )2
c2l1
(
ρ2 1 −
(
ρ1 1 −
)
)
2c2t2 sin(i1 )
c2l1
2c2t1 sin(i1 )2
c2l1
cos(i1 )
2ρ2 c2t2 sin(i1 )2
c2l1
+
cl2
)
2
)
+
+
)
cos(i2 )
2ρ1 c2t1 sin(i1 )2
c2l1
ct1
)
−
2ρ2 c2t2 sin(i1 )2
c2l1


)
cos(j1 )
+
)
cos(j2 )
ct2


( (
)
)
(
2c2t2 sin(i1 )2
2c2t1 sin(i1 )2
ρ2 1 −
− ρ1 1 −
c2l1
c2l1
)
(2ρ2 c2t2 − 2ρ1 c2t1 ) cos(i1 ) cos(j2 )
+
cl1 ct2
( (
)
(
)
2
2ct2 sin(i1 )2
2c2t1 sin(i1 )2
× ρ2 1 −
− ρ1 1 −
c2l1
c2l1
)
)
(2ρ2 c2t2 − 2ρ1 c2t1 ) cos(i2 ) cos(j1 )
2
sin(i1 ) , (3.55)
−
cl2 ct1
1
− 2
cl1
где D это:
(
D=
(
ρ2 1 −
2c2t2 sin(i1 )2
c2l1
)
+
2ρ1 c2t1 sin(i1 )2
c2l1
cl1
( (
ρ1 1 −
+
2c2t1 sin(i1 )2
c2l1
)
cos(i1 )
)
+
cl2
25
2ρ2 c2t2 sin(i1 )2
c2l1
)
cos(i2 )


(
×
(
ρ2 1 −
2c2t2 sin(i1 )2
c2l1
)
+
2ρ1 c2t1 sin(i1 )2
c2l1
ct1
( (
ρ1 1 −
)
2c2t1 sin(i1 )2
c2l1
cos(j1 )
+
)
+
2ρ2 c2t2 sin(i1 )2
c2l1
ct2
)
cos(j2 )


( (
)
(
)
2c2t2 sin(i1 )2
2c2t1 sin(i1 )2
ρ2 1 −
− ρ1 1 −
c2l1
c2l1
)
(2ρ2 c2t2 − 2ρ1 c2t1 ) cos(i1 ) cos(j2 )
−
cl1 ct2
(
)
2
2
2
2(ρ2 ct2 + ρ1 ct1 ) sin i1
2(ρ2 c2t2 − ρ1 c2t1 ) cos i2 cos j1
×
− ρ1 − ρ2 −
sin2 i1 . (3.56)
cl2 ct1
c2l1
1
+ 2
cl1
Угол Брюстера jB = 1.3 рад при параметрах сред:
ρ1 = 2.3; ρ2 = 3.2; µ1 = 0.6; µ2 = 0.9; K1 = 3.5; K2 = 4.7,
что так же видно на Рис. 3.4.
Рис. 3.4: Энергии для волн, порождаемых волной P. Обозначения аналогичны, использованным на Рис. 3.2.
3.3.4
SV → SV, P. Волна распространяется из среды 1 в среду
2
Схематически геометрия волн при преломлении и отражении их на границе показана
на Рис. 3.5.
Напишем соотношения для углов:
(
)
(
)
(
)
cl1
cl2
ct2
i1 = arcsin
sin(j1 ) , i2 = arcsin
sin(j1 ) , j2 = arcsin
sin(j1 ) .
ct1
ct1
ct1
26
Рис. 3.5: Геометрия отражения и преломления при падении SV-волны из среды 1 в
среду 2.
Далее запишем уравнение для коэффициента отражения волны SV в SV:
)
)
 ( (
2c2t2 sin2 j1
2
ρ
1
−
+
2ρ
sin
j
1
1 cos i1
1  2
c2t1
Rsv−sv = −
−
D
cl1
)
(

2ρ2 c2t2 sin2 j1
ρ1 cos 2j1 +
cos
i
2
2
ct1

cl2
)
)
(
)
( (

2c2t2 sin2 j1
2ρ2 c2t2 sin2 j1
2
ρ2 1 −
+
2ρ
sin
j
cos
j
cos
j
ρ
cos
2i
+
1
1
1
2
1
1
2
2
ct1
ct1

×
+
ct1
ct2
(
)
)
(
1
2(ρ2 c2t2 − ρ1 c2t1 ) cos i1 cos j2
2c2t2 sin2 j1
+ 2 ρ1 cos 2j1 − ρ2 1 −
+
cl1 ct2
ct1
c2t1
( (
)
)
)
2
2c2t2 sin j1
2(ρ2 c2t2 − ρ1 c2t1 ) cos i2 cos j1
2
× ρ2 1 −
− ρ1 cos 2j1 +
sin j1 , (3.57)
cl2 ct1
c2t1
где D это:
( (
ρ2 1 −
D=
2c2t2 sin(j1 )2
c2t1
(
)
)
+ 2ρ1 sin(j1 )2 cos(i1 )
+
cl1
(
)
ρ1 1 − 2 sin(j1 )2 +
2ρ2 c2t2 sin(j1 )2
c2t1
)
cos(i2 )


cl2
(
)
)
)
( (

2c2 sin2 j
2ρ c2 sin2 j
ρ2 1 − t2c2 1 + 2ρ1 sin2 j1 cos j1
ρ1 cos 2i1 + 2 t2c2 1 cos j2
t1
t1

×
+
ct1
ct2
( (
)
)
1
2c2t2 sin2 j1
2(ρ2 c2t2 − ρ1 c2t1 ) cos i1 cos j2
− 2 ρ2 1 −
− ρ1 cos 2j1 −
cl1 ct2
ct1
c2t1
( (
)
)
2
2
2
2
2ct2 sin j1
2(ρ2 ct2 − ρ1 ct1 ) cos i2 cos j1
× ρ2 1 −
− ρ1 cos 2j1 −
sin2 j1 . (3.58)
cl2 ct1
c2t1
Угол Брюстера jB = 0.5 рад при параметрах сред:
ρ1 = 2.3; ρ2 = 3.2; µ1 = 0.6; µ2 = 0.9; K1 = 3.5; K2 = 4.7
Но кроме этого угла здесь имеются еще два особых угла — это, что угол 0.38 рад,
при котором прекращается отражение и преломление волны SV в P, и угол 1.28 рад,
27
при котором прекращается преломление в волну SV, и далее мы наблюдаем эффект
полного отражения. Что так же видно на Рис. 3.6, 3.7 и 3.8.
Рис. 3.6: Энергии для волн, порождаемых волной SV. Обозначения аналогичны, использованным на Рис. 3.2.
Рис. 3.7: Энергии для волн, порождаемых волной SV, приближенные на интервале
−0.3 6 j1 6 0.5 (рад).
28
Рис. 3.8: Энергии для волн, порождаемых волной SV, приближенные на интервале
1.2 6 j1 6 1.4 (рад).
29
Глава 4
Применение ФГ к моделированию
сейсмических явлений на о. Валаам
Во многих приложениях сейсмологии данные о приповерхностной области получаются из вычислений, использующих только время прохождения наблюдаемых сейсмических волн. Этот подход адекватен для многих ситуаций и относительно прост
в вычислении. Однако он не учитывает рассеяние волн на неоднородностях и изменения формы волны и амплитуды при прохождении структуры среды. Чтобы интерпретировать это, нужно использовать сложные теоретические выкладки для моделирования изменения сейсмических волн при прохождении через среду. Одна из
главных целей этих обработок состоит в том, чтобы вычислить отклик для смоделированного сейсмического источника. Он может быть показан как синтетическая
сейсмограмма, которая сопоставляется с наблюдаемыми данными.
Эта глава работы разбита на две части, в первой будет найдена, согласно полученным данным, оптимальная модель среды, основываясь на геологии данного района,
а во второй части источник будет локализован в пространстве и будет получена синтетическая сейсмограмма.
4.1
Поиск оптимальной модели среды
Как было показано ранее колебания упругой среды описываются уравнением движения на смещение, зависящее от случайной силы. Тогда строится решение на основе
известной ФГ и на выборе формы нашего источника.
∫
∫t
uγ (r, t) = dr1
dt1 Gγη (r, r1 ; t − t1 )Fη (r1 , t1 ).
(4.1)
−∞
Рассмотрим случай однородного изотропного бесконечного пространства. Пусть
точечная сила, меняющаяся со временем как X0 (t), приложена в начале координат
вдоль rj : Fη (r1 , t1 ) = δjη X0 (t1 )δ(r1 ). Точное решение этой задачи было получено Стоксом в 1849 г. [9] (см., напр., в [2]):
γi γj − δij
ui (r, t) =
4πρr3
r/c
∫t
r/cl
)
(
γi γj
r
τX0 (t − τ) dτ +
X0 t −
cl
4πρc2l r
(
)
γi γj − δij
r
−
X0 t −
, (4.2)
ct
4πρc2t r
30
где γi = ri /r — направляющие косинусы.
Будем считать, что источник находится в дальней зоне, т.е. kt,l r ≫ 1. Тогда можно
весьма упростить формулу Стокса, а именно получим, что i-я компонента смещения
имеет вид:
(
)
(
)
γi γj
r
γi γj − δij
r
−
.
(4.3)
ui (r, t) ≈
X0 t −
X0 t −
cl
ct
4πρc2l r
4πρc2t r
Так как в реальной среде источник имеет конечный размер (т.е. он не точечный),
то функция X0 (t) отлична от δ-функции. При моделировании мы будем использовать
следующее представление δ-функции:
(
sin(ε(t − cr ))
r)
1
δ t−
=
lim
,
c
2π ε→∞ sin(1/2(t − cr ))
(4.4)
где ε – параметр, зависящий от r, а c — скорость волны (cl или ct ). По своему смыслу
ε — характерная «ширина» δ-функции.
На фоне множества мелких событий, происходящих около о. Валаам, подберем
подходящую модель среды и тип источника, учитывая,что землетрясение, которое
мы собираемся локализовать, согласно геологическим оценкам, произошло в тех же
породах, но при дополнительном условии — сейши. Сейша — это стоячие волны большого периода на водоемах, которые возникают под влиянием разности атмосферного
давления. После прекращения ветра и выравнивания давления водная масса стремится возвратиться в состояние равновесия, что происходит в виде затухающих колебаний. Высота сейши на крупных озерах обычно составляет 20–30 см. Такого рода
явления иногда происходят в Ладожском озере во время шторма с резким перепадом
давления [29].
4.1.1
Два типа источников:
a. Центр расширения. Таким типом источника может быть описано сферически
симметричное поле продольной волны. Его можно представить как наложение
взаимно-перпендикулярных диполей без момента. И математически эту силу
можно записать как
(
(
r)
r)
X0 t −
= 4π∇δ t −
.
(4.5)
c
c
b. Диполь без момента. Такой источник эквивалентен сдвигу по разлому. Он
образован двумя равными по величине и противоположно направленными простыми сосредоточенными силами, приложенными к точкам, расположенным на
линии, направление которой совпадает с направлением действия сил
(
r)
∂ (
r)
X0 t −
= 4π δ t −
,
c
∂rj
c
(4.6)
где rj — направление действия силы, обратим внимание,что здесь X0 скалярная
величина.
Как видно из Рис. 4.1, лучшее совпадение с реальной сейсмограммой имеет случай
диполя без момента. Это обусловлено тем, что центр расширения не зависит от его
угловых координат источника, и синтетическая сейсмограмма не будет различаться
для разных составляющих, чего нет в реальности.
31
Рис. 4.1: Сейсмограмма реального события(практическая сейсмограмма), а так же
синтетические сейсмограммы для модели источника диполь без момента(диполь) и
модели источника центр расширения.
4.1.2
Два типа сред:
a. Верхний слой состоит из раздробленных габродиабазов (с мощностью 10 м,
скоростями S волны 3.3 км/с и Р волны 5.5 км/с), а нижний представляет
собой полупространство, сложенное осадочными породами (скорости S волны
2.1 км/с и Р волны 3.5 км/с).
b. Верхний слой тот же, что и в случае а, а нижний слой сложенный массивными габродиабазами, в данной модели представляет собой полупространство (со
скоростями S волны 3.3 км/с и Р волны 5.7 км/с).
Рис. 4.2: Сейсмограмма для двух моделей среды: модель a и модель b.
32
Видно из Рис. 4.2, что синтетическая сейсмограмма, построенная для первого
случая, кардинально отличается от практически полученной сейсмограммы, следовательно, второй вариант лучше описывает поставленную задачу. Это объясняется тем, что приповерхностный слой с меньшими скоростями усиливает проходящую
волну, и мы можем наблюдать как волну P, так и волну S, о чем свидетельствует
синтетическая сейсмограмма.
Далее проверим обоснованность выбора такого направления диполя, построив
объемную сейсмограмму в зависимости от ориентации диполя.
Рис. 4.3: Зависимость смещения от угла и времени на поверхности для станций,
расположенных вокруг источника на расстоянии 300 м.
То есть моделируется источник — диполь, ориентация его показана на Рис. 4.3. Он
находится на глубине 100 м, расстояние до приемника 300 м, плоскость поверхности
составляют оси Ox и Oy. Ось Ox направлена вдоль юго-востока, а ось Oy направлена
вдоль юго-запада. Строится зависимость смещения от угла и времени на поверхности
для станций, расположенных вокруг источника на расстоянии 300 м. Зависимость
смещения приведена на Рис. 4.3.
Рассматриваемая станция Валаам находится на северо-востоке. Не трудно заметить, что из приложенного рисунка на нашей сейсмограмме будет виден минимум
волны P и среднее значение для волны S. Если поставить станцию на северо-запад,
то можно получить максимум значений амплитуд для обеих волн, что не удалось сделать из-за нехватки аппаратуры. Как видно из Рис. 4.3 волна S меняет знак вступления на юго-западе и северо-востоке, тогда можно говорить о механизме очага Рис.
4.4.
Рис. 4.4: Предварительный механизм очага
33
4.2
Построение синтетических сейсмограмм и локализация источника землетрясения
Перейдем ко второй части: займемся локализацией источника и подбором всех оставшихся параметров для получения наиболее оптимальной модели с синтетической
сейсмограммой наименее отличающейся от реальной. Для этого события подправим
скоростной разрез в виду того, что слой раздробленных габродиабазов имеет разную
толщину по всему берегу, а так же основываясь величине на амплитуде волны P.
Мной было предложено заменить слоистую структуру на полупространство раздробленных габродиабазов со скоростями cl = 4.5 км/с, cl /ct = 1.73. Тогда зная разницу
времени ∆t между приходами волн P и S по сейсмограмме, узнаем расстояние до
источника
cl ct
r=
∆t.
cl − ct
Полученное расстояние говорит о том, что источник нашего землетрясения имеет
другую природу, нежели мелкие события, что проиллюстрировано на Рис. 4.5.
Рис. 4.5: Карта региона, с указанием на ней мелких событий (черные точки) [29] и
землетрясения (черная звездочка).
На сейсмограмме скоростей Рис. 4.6 видно,что только на осях NS и EW (NS —
север, EW — восток) можно выделить амплитуду волны P и SH, но так как амплитуда
волны P очень мала, что подтверждается предыдущими рассуждениями, то далее мы
будем заниматься моделированием только волны SH.
Поместим эпицентр землетрясения в начало координат, а оси направим согласно
Рис. 4.7 [2].
Углы и вектора указанные на Рис. 4.7 — это:
• ϕs — угол простирания;
• δ — угол падения;
• λ — угол уклона, т.е. угол между плоскостью (x, y) и вектором u;
34
Рис. 4.6: Реальная сейсмограмма землетрясения.
• iξ — угол выхода из источника в приемник, т.е. угол между вертикальной осью
и γ;
• ϕ — угол азимута с источника на приемник;
• u — вектор скорости частиц в источнике;
• γ — вектор, указывающий направление от источника на приемник;
• ν — вектор нормали к разрыву.
Так же перепишем координаты через расстояния от эпицентра до приемника и новые
углы:
• x = −r sin(ϕs ) sin(δ),
• y = r cos(ϕs ) sin(δ),
• z = −r cos(δ).
Тогда, воспользовавшись формулами [2, 4] и ранее выбранным видом источника,
а именно — диполем без момента, получим выражение для скорости волны SH, с
которым и будем в дальнейшем работать [30]:
)
(
r
ω
d X0 (t − ct ) − 2Q
t
e t ((l · n)(lsh · D) + (l · D)(lsh · n)) .
(4.7)
v ≈ lsh
dt
4πrct
35
Рис. 4.7: Расположение осей и эпицентра землетрясения.
Здесь учтена часто вводимая в таких задачах поправка на конечную добротность
среды Qt , связанная с наличием поглощения. В формуле (4.7) были приняты следующие обозначения:


− sin(δ) sin(ϕs )
• n =  sin(δ) cos(ϕs )  — вектор нормали волны,
− cos(δ)


cos(λ) cos(ϕs ) + cos(δ) sin(λ) sin(ϕs )
• D =  cos(λ) sin(ϕs ) − cos(δ) sin(λ) cos(ϕs )  — вектор подвижки,
− sin(δ) sin(λ)


− sin(ϕ)
• lsh =  cos(ϕ)  — вектор направления распространения волны SH,
0


sin(iξ ) cos(ϕ)
• l =  sin(iξ ) sin(ϕ)  — вектор направления волны P.
cos(iξ )
В ходе моделирования было получено хорошее совпадение с реальной сейсмограммой
при углах: δ = 89◦ , ϕs = ϕ = 145◦ , λ = 132◦ , iξ = −47◦ , что представлено ниже на
Рис. 4.8.
36
Рис. 4.8: Сравнение реальной сейсмограммы (указано синим цветом) и синтетической
(указано красным пунктиром).
37
Глава 5
Рассеяние упругих волн
5.1
Теория: уравнение Липпмана-Швингера
Мы будем интересоваться гармоническими по времени полями, с зависимостью от
^ r ′ ; ω)
времени вида ∝ e−iωt , где ω — круговая частота. Соответствующая ФГ G(r,
^ r ′ ; t − t ′ ).
представляет собой частотное преобразование Фурье от временной ФГ G(r,
Кроме когерентных волн, распространяющихся от точечного источника в неоднородной упругой среде появляются еще и рассеянные волны. Нас будет интересовать
^ r ′ ; ω) во флуктуирующей упругой среде. В такой среполе точечного источника G(r,
^
де параметры ρ(r) и C(r)
удобно представить в виде
^
^ (0) (r) + δC(r),
^
ρ(r) = ρ(0) (r) + δρ(r), C(r)
=C
(5.1)
^
где δρ(r) и δC(r)
описывают флуктуационные отклонения параметров среды от ре^ (0) (r). Поле точечного источника в регулярной среде
гулярных значений ρ(0) (r) и C
^ 0.
мы будем обозначать G
^ иG
^ 0 в интегральной форме имеет вид [18]:
Связь между G
∫
′
0
′
2
Gαβ (r, r ) = Gαβ (r, r ) + ω G0αν (r, r1 )δρ(r1 )Gνβ (r1 , r ′ )dr1
∫
∂G0αν (r, r1 )
∂Gψβ (r1 , r ′ )
−
δCνγφψ (r1 )
dr1 . (5.2)
∂r1γ
∂r1φ
^ r ′ ; ω) считая частоту ω фиксированной.
Здесь и далее мы опускаем аргумент ω в G(r,
^
Если флуктуации δρ(r) and δC(r)
малы, то в правой части интегрального уравнения
^ можно в главном порядке заменить на невозмущенную ФГ
(5.2) функцию Грина G
^ 0 . Это дает явную формулу для расчета ФГ в борновском приближении.
G
Проблема при использовании уравнения (5.2) в слоистой среде состоит в том, что
^ 0 (r, r ′ ) в координатном представлении даже в простейшем случае
выражение для G
полупространства имеется только в виде интегральных представлений. Был предложен альтернативный подход к описанию рассеяния волн в слоистых средах на
^ 0 в смешанном G
^ 0 (q⊥ ; z, z ′ ) представлении Фурье. Метод
основе использования ФГ G
был подробно разработан для электромагнитных волн. Достоинство этого подхода
применительно к упругим волнам состоит в том, что, как мы увидим ниже ФГ в
^ 0 (q⊥ ; z, z ′ ) удается получить в алгебраической форме,
смешанном представлении G
которая помимо простоты автоматически учитывает все типы волн, существующих
в таких средах: объемные — продольные и поперечные, поверхностные — типа Релея
и Лява, Стоунли, головные.
38
Параметры слоистой среды зависят только от одной координаты. Поэтому для
регулярной структуры,
^ (0) = C
^ (0) (z),
ρ(0) = ρ(0) (z), C
(5.3)
ось Oz направлена поперек слоев. Так как регулярная структура однородна в плос^ 0 (r, r ′ ) = G
^ 0 (r⊥ − r⊥′ ; z, z ′ ), где r⊥ = (x, y).
кости (x; y), то справедливо соотношение G
Используя 2D-преобразование Фурье для полей и ФГ
∫
dq⊥ iq⊥ ·r⊥
f(r) = f(r⊥ , z) =
e
f(q⊥ , z),
(2π)2
∫
(5.4)
−iq⊥ ·r⊥
f(q⊥ , z) = dr⊥ e
f(r⊥ , z),
где q⊥ = (qx , qy ), формула (5.2) в борновском приближении принимает вид
′
′
−iq⊥ ·r⊥
G0αβ (q⊥ ; z, z ′ )
′
2 −iq⊥ ·r⊥
∫
Gαβ (q⊥ , z, r ) = e
+ω e
dz1 G0αν (q⊥ ; z, z1 )·
(
)
∫
∫
dp⊥
′
−iq⊥
0
′
−iq⊥ ·r⊥
G0 (q ; z, z1 )·
δρ(q⊥ − p⊥ ; z1 )Gνβ (p⊥ ; z1 , z ) − e
dz1
∂/∂z1 γ αν ⊥
(2π)2
(
)
∫
dp⊥
i(p⊥ − q⊥ )
Cνγφψ (q⊥ − p⊥ ; z1 )
G0ψβ (p⊥ ; z1 , z ′ ). (5.5)
2
∂/∂z
(2π)
1
φ
Здесь мы использовали символическое обозначение:
)
(
∂F(z)
a⊥
F(z) = a⊥γ F(z) + δ3γ
,
∂/∂z γ
∂z
где индекс 3 в δ3γ относится к оси Oz.
5.2
Однократное рассеяние: расчет нормальных мод
Рассмотрим случай однократного рассеяния в неограниченном пространстве, то есть
∫
uα (r) =
u0α (r)
2
+ω
G0αµ (r, r1 )δρ(r1 )u0µ (r1 , r ′ )dr1
∫
∂G0αβ (r, r1 )
∂u0µ (r1 )
−
δCβγρµ (r1 )
dr1 , (5.6)
∂r1γ
∂r1ρ
^
где δρ(r) и δC(r)
описывают флуктуационные отклонения параметров среды от регу^
^ 0 (r, r1 ) — это ФГ невозмущенной среды. Учитывая,
лярных значений ρ(r) и C(r),
аG
что среда в целом однородна,не считая нескольких неоднородностей, тогда запишем
^ 0 (r, r1 ) = G
^ 0 (r − r1 ). Будем использовать приближение дальней зоны для
ФГ как G
ФГ в тензорном виде, а именно
ikt R
1
eikl R
^ 0αβ (R) = 1 (δαβ − erα erβ ) e
+
e
e
,
G
rα
rβ
4πR c2l
4πR
c2t
(5.7)
^
где R = |r − r1 |, er = R/R. Здесь C(r)
— это 4-х индексный тензор, определенный в
(1.14).
39
Невозмущенное смещение u0 (r) будем представлять в виде плоской волны c единичной амплитудой:
u0α (r) = enα eikn ·r .
(5.8)
Рассмотрим геометрическую интерпретацию однократного рассеяние: где r — это
координата приемника, r1 — это координата источника. Учитывая малость r1 по
сравнению с r (источник расположено в рассеивающем объеме, малом по сравнению
с расстоянием до приемника), то воспользуемся разложением модуля в экспонентах,
√
√
√
r
|r − r1 | = (r − r1 )2 = r2 − 2r · r1 + r21 ≈ r2 − 2r · r1 ≈ r − · r1 ,
(5.9)
r
а в знаменателе ФГ опустим в виду малости вектор r1 .
Тогда получим подставляя все выше приведенные формулы в (5.6):
∫
ω2 (δαµ − erα erµ )enµ eikt r
0
uα (r) = uα (r) +
δρ(r1 )eiksct ·r1 dr1
4πc2t r
∫
ω2 (erα erµ )enµ eikl r
δρ(r1 )eikscl ·r1 dr1
+
4πc2l r
∫
kt erγ (δαµ − erα erµ )enµ eikt r
−
δCβγρµ (r1 )eiksct ·r1 dr1
4πc2t r
∫
kl erγ (erα erµ )enµ eikl r
−
δCβγρµ (r1 )eikscl ·r1 dr1 , (5.10)
2
4πcl r
где ksct = kn − kt er kscl = kn − kl er .
Рассмотрим два вида падающих волн, а именно поперечную и продольную волны,
и в каждом из эти случаев упростим полученные уравнения подставив явный вид
^ Как можно видеть полученные интегралы это преобразование Фурье от
тензора C.
соответствующих функций, тогда введем обозначения:
∫
• δρ(r1 ) exp(iksct · r1 )dr1 = δρ(ksct );
∫
• δρ(r1 ) exp(ikscl · r1 )dr1 = δρ(kscl );
∫
• δµ(r1 ) exp(iksct · r1 )dr1 = δµ(ksct );
∫
• δµ(r1 ) exp(iksct · r1 )dr1 = δµ(kscl );
∫
• δK(r1 ) exp(iksct · r1 )dr1 = δK(ksct );
∫
• δK(r1 ) exp(iksct · r1 )dr1 = δK(kscl ).
1. Падает продольная волна en ||kn , enµ knµ = kl
ω2 (δαµ − erα erµ )enµ exp(ikt r)
δρ(ksct )
4πc2t r
ω2 (erα erµ )enµ exp(ikl r)
k2l exp(ikl r)
δρ(kscl ) −
erα δK(kscl )
+
4πc2l r
4πc2l r
kt exp(ikt r)
−
δµ(ksct )(erγ enγ knα + erγ enα knγ − 2erγ erα erβ enγ knβ )
4πc2t r
kl exp(ikl r)
−
δµ(kscl )(2erµ erα erβ enµ knβ − 2/3erα kl ). (5.11)
4πc2l r
uα (r) = u0α (r) +
40
2. Падает поперечная волна en ⊥ kn , enµ knµ = 0
ω2 (δαµ − erα erµ )enµ exp(ikt r)
δρ(ksct )
4πc2t r
ω2 (erα erµ )enµ exp(ikl r)
+
δρ(kscl )
4πc2l r
kt exp(ikt r)
−
δµ(ksct )(erγ enγ knα + erγ enα knγ − 2erγ erα erβ enγ knβ )
4πc2t r
kl exp(ikl r)
δµ(kscl )2erµ erα erβ enµ knβ . (5.12)
−
4πc2l r
uα (r) = u0α (r) +
Как видно из полученных уравнений флуктуации параметра K (модуля сжатия) не
вносят вклада в рассеяние поперечной волны (это следствие ортогональности векторов en и kn ).
5.3
Многократное рассеяние: моделирование методом Монте-Карло
В этом разделе нашей целью является изучение влияния границы на многократное
рассеяние. Оно было детально изучено для случая электромагнитного поля в течение длительного времени [31]. Но граничные условия в геофизике оказываются
отличными на границе с вакуумом от граничных условий для электромагнитных полей. А именно в случае упругих волн и границы среда-вакуум рассеянное излучение
остается в среде, в отличие от электромагнитного поля, что позволяет игнорировать
отражения на границе диэлектрик-вакуум с учетом многократного рассеяния.
Для того, чтобы проиллюстрировать влияние границ на многократное рассеяние
упругих волн введем ряд приближений.
Во-первых мы будем пренебрегать тензорным видом волнового уравнения (5.2).
Тогда ФГ для полупространства принимает форму суммы двух скалярных сферических волн:
G(r, r ′ ) = G0 (r − r ′ ) + GB (r; r ′ );
(5.13)
здесь первое слагаемое это поле точечного источника в бесконечной среде:
G0 (r − r ′ ) = 1/(4πρc2 ) |r − r ′ |
−1
а второе
exp (ik |r − r ′ |) ,
′
)
GB (r; r ′ ) = −G0 (r − rM
(5.14)
(5.15)
может быть интерпретировано как поле от зеркального изображения источника, рас′
= (x ′ , y ′ , −z ′ ), где r ′ = (x ′ , y ′ , z ′ ) и c — это скорость расположенного в точке rM
сматриваемой волновой моды. Волновой вектор k = k ′ +ik ′′ состоит из вещественной
части k ′ = ω/c и мнимой k ′′ = 1/(2l), где l — это длина экстинкции; экстинкция —
−1
это вклад от упругого рассеяния и адсорбции l−1 = l−1
a + ls , где ls — длина рассеяния, и la — длина адсорбции. Упрощенная скалярная модель была использована в
моделировании методом Монте-Карло в упругих задачах [32].
Во-вторых, мы будем пренебрегать колебаниями модуля упругости по сравнению
с флуктуациями плотности. Этот подход соответствует широко известным предположениям, что флуктуации производных термодинамических величин должны быть
41
меньше, чем сами величины, таким образом можно отбросить второе слагаемое в
(5.2).
В результате мы приходим к скалярному приближению для рассматриваемой волновой задачи рассеяния. В частности, мы пренебрегаем разницей в отражении конкретных волновых мод и не считаем нетривиальные преобразования продольных и
поперечных волн при рассеянии. Эти эффекты являются значительными, но требуют
специального рассмотрения.
Отметим также, что с этими упрощениями моделирование упругих волн оказывается в точности таким же, как и моделирование световых волн в случайной среде
в рамках подхода скалярного поля [33] помимо граничных условий; в отличие от
рассеяния света мы добавили учет вклада отраженного излучения для каждого акта
рассеяния .
Интенсивность рассеянного поля Isc (r, r ′ ),которая передается от источника в точке r ′ к приемнику в точке r, пропорциональна квадрату модуля ФГ:
2
Isc (r, r ′ ) ∝ G(fl) (r, r ′ ) .
(5.16)
Итерируя интегральное уравнение (5.2) и умножая его на комплексно сопряженное,
получаем квадратичную форму (5.16) в виде ряда по порядкам рассеяния.
Для проблем, связанных с многократным рассеянием, всеми вкладами, в которых
фазовый сдвиг между парой комплексно-сопряженных полей не компенсируется, как
известно, можно пренебречь из-за случайной конфигурации неоднородностей среды.
В результате можно ограничиться только лестничным вкладом, в котором пути пройденные парой комплексно-сопряженных полей совпадают.
Таким образом интенсивность рассеяния может быть представлена в виде ряда
′
Isc (r, r ) ∝
∑∫
)
(
1
0
Λ(r1 , r ′σ0 )
dr1 Λ(r, rσ1 1 )B kσ(s)1
− kσ(i)0
σ1 ,σ0
+
∑ ∫
)
(
2
1
dr1 dr2 Λ(r, rσ2 2 )B kσ(s)2
− kσ(i)1
σ2 ,σ1 ,σ0
×
Λ(r2 , rσ1 1 )B
(
1
kσ(s)1
−
0
kσ(i)0
)
Λ(r1 , r ′σ0 ) + . . . (5.17)
где пропагатор в бесконечной среде Λ(R, R ′ ) образован из пары ФГ (5.13) и описывает перенос излучения между двумя последовательными актами рассеяния, произошедшими в точках rj+1 и rj :
(
)2
Λ(rj+1 , rσj ) = G0 rj+1 − rσj .
(5.18)
Перекрестные члены G0 G∗B , G∗0 GB опускаются в виду неупорядоченности фазовых
сдвигов на неоднородностях.
Индексы j = 1, 2, . . . , n нумеруют события рассеяния, а индексы j = 0 и j = n + 1
относятся к источнику и приемнику, r0 = r ′ , rn+1 = r, соответственно, Рис. 5.1;
{
rj ,
σ = 0,
(5.19)
rσj =
rjM , σ = 1,
точки rj и rjM это позиции j-ого рассеивателя и его зеркального изображения, r0M
и rn+1,M — это зеркальные изображения источника и приемника Рис. 5.2. Волновой
42
Vacuum
B
d
r
Receiver
Source
Elastic medium
r'
r1
r2
rn
rj
r3
rn −1
rj +1
r j −1
Рис. 5.1: Стохастические траектории, которые представляют собой путь из n последовательных актов рассеяния фононов.
r j+1M
r j-1M
r jM
B
σ=1
k (s)
j −1
r j −1
σ=1
σ=1
k (s) j
k (i) j
σ=1
k (i)
j +1
rj
σ=0
σ=0
k (i)
j = k (s) j −1
σ=0
σ=0
k (s)
j = k (i) j +1
rj +1
Рис. 5.2: Волновой вектор падающей волны, kσ(i)j , и рассеяния, kσ(s)j ,упругих волн
участвующие в j-ом рассеянии. Индексы σ = 0 и σ = 1 соответствуют прямому
распространению луча и распространению с промежуточным отражением, соответственно.
43
вектор падающей, kσ(i)j , и рассеянной, kσ(s)j , упругих волн в j-ом акте рассеянии
) (
) (
kσ(i)j = k ′ rj − rσj−1 / rj − rσj−1 , kσ(s)j = k ′ rσj+1 − rj / rσj+1 − rj .
(5.20)
Суммируя σ0 , σ1 , . . . в (5.17), мы учитываем отражения падающей и рассеянной
волн во всех актов рассеяния. Таким образом, учет граничных эффектов дает удвоение числа членов уравнения (5.17) на каждом новом акте рассеяния по сравнению
со случаем пренебрежения границей.
Фазовая функция B(q) определяется преобразованием Фурье корреляционной
функции плотности
∫
B(q) = dR exp(q(R − R ′ ))⟨δρ(R)δρ(R ′ )⟩
на переданном импульсе q = k(s) − k(i) . В изотропной среде B(q) = B(q).
Для изотропного рассеяния фазовая функция B(q) константа; для анизотропного
рассеяния фазовая функции зависит от угла рассеяния θ между k(s) и k(i) , q =
2k ′ sin(θ/2).
С учетом явного вида ФГ скалярного поля для полупространства (5.13), (5.14),
пропагатор, описывающий перенос излучения между двумя последовательными актами рассеяния в (5.17), можно записать следующим образом:
(
)
Λ rj+1 , rσj =
1
rj+1 − rσj −2 e−|rj+1 −rσj |/l .
(4πρc2 )2
(5.21)
Экспоненциальное затухание в (5.14) возникает в связи с мнимой частью волнового
вектора k = k ′ + ik ′′ .
В методе Монте-Карло имитируются стохастические траектории (Рис. 5.1). Средняя интенсивность по этим траекториям — это интенсивность рассеянного излучения. Таким образом, многочисленные пространственные интегралы из ряда (5.17)
для Isc (r, r ′ ), рассчитываются как средние по всевозможным траекториям.
Случайная траектория строится рекуррентно. Пусть rj это координата j-ого рассеивателя. Тогда координата следующего рассеивателя — это rj+1 = rj + r. Пусть U1 ,
U2 , и U3 — это три случайных числа из интервала (0; 1); они определяют сферические
координаты вектора r, а именно:
расстояние r = |r|, полярный и азимутальный углы,
θ и ϕ. Расстояние r = rj+1 − rσj разыгрывается с помощью подстановки r = −l ln U1 .
Таким образом реализуется известный в теории метода Монте-Карло метод обратного преобразования, который учитывает экспоненциальное затухание в уравнении
(5.21). Угол θ в собственной системе координат для вектора rj разыгрывается также
методом обратного преобразования, используя подстановку θ = F−1 (U2 ), где F−1 —
это обратная функция к
( ∫π
F(x) =
)−1 ∫ πx
B(2k ′ sin(θ/2))dθ,
B(2k sin(θ/2))dθ
′
0
0
которая определяют U2 как функцию от θ.
σj
Угол ϕ определяется проекцией вектора рассеяния k(s)j
на плоскость перпендиσj−1
кулярную вектору k(i)j , и получаем ϕ = 2πU3 .
На каждом шаге (j+1)-ая координата рассеивателя rj+1 и индекс σj определяются
следующим образом. Если точка rj +rn находится внутри упругого полупространства
44
(т.е. rjz + rnz ≥ 0), то rj+1 = rj + rn и мы получаем σj = 0. В ином случае, тогда в
точке rj + rn происходит отражение: rj+1 = (rj + rn)M и мы получаем σj = 1.
Число актов рассеяния nmax должно быть достаточно большим для набора статистики, в нашем случае для nmax оказалось достаточным значения не превосходящие
нескольких сотен.
Мы применяем метод Монте-Карло для моделирования скалярной модели рассеяния на расстояниях от границы с вакуумом, значительно превышающих характерную
длину экстинкции.
Для подхода, основанного на теории переноса излучения, требуется чтобы длина
волны быть мала по сравнению с длиной экстинкции. В вычислениях мы использовали такие параметры среды: скорость упругой волны c = 2.5 × 103 м/с, круговая
частота ω = 102 Гц, длина волны λ = 25 м. Мы рассматриваем длину экстинкции
l = 200–1000 м. Описывать анизотропию рассеяния мы будем фазовой функцией
Хенея-Гринштейна,
B (2k ′ sin(θ/2)) ∝ (1 − g2 )(1 + g2 − 2g cos θ)−3/2 ,
(5.22)
которая содержит в себе единственный параметр, косинус угла рассеяния g = ⟨cos θ⟩.
Эта функция широко используемая в теории переноса излучения [7], является частным случаем функции фон-Кармана [1]
(
)−3/2−κ
B (q) ∝ 1 + q2 a2
,
(5.23)
широко известной в геофизике, с экспонентой Хёрста κ = 0 и характерным масшта√
бом неоднородностей a = k−1 g/(1 − g).
На Рис. 5.3 представлены результаты численного моделирования для интенсивности рассеяния в зависимости от расстояния между источником и приемником. Мы
представим результаты в двух случаях:источник на границе или на глубине d в среде;приемник расположен на границе. Были выполнены расчеты для двух различных
видов граничных условий в предположении, что они подходят для моделирования
либо упругих или электромагнитных полей;а именно для моделирования многократного рассеяния акустических волн мы рассмотрим случай полного отражения на границе, и смоделируем многократное рассеяния света, где мы полностью пренебрежем
отражением на границе диэлектрика с вакуумом. Таким образом, мы можем сравнить скорости затухания с разными расстояниями между источником и приемником
для акустических или оптических случаев. На Рис. 5.3 представлено изотропное рассеяние с g = 0 и анизотропное с g = 0.8. Как видно из представленных графиков
излучение многократно рассеянных упругих волн спадает значительно медленнее,
чем для оптических волн. Очевидно, это объясняется потерей интенсивности из-за
того, что фотоны при пересечении границы диэлектрического вакуума возвращаются
в среду лишь частично, в отличие от полного отражения «фононов» (акустического
излучения).
45
Scattering intensity Isc (arb. units)
103
102
10
1
0
1
2
4
|r - r'|/ltr
5
Scattering Iintensity
Isc (arb. units)
103
102
10
1
1
2
|r - r'|/ltr
4
5
Рис. 5.3: На левом рисунке: интенсивность многократно рассеянного излучения от
расстояния между источником и приемником для изотропного рассеяния,с такими параметрами: g = 0; длина свободного пробега ls = 1000 m, длина адсорбции
la = 10000 km. Приемник движется вдоль поверхности, а источник локализован: N
— на поверхности, — на глубине 1 км; падая на границу, излучение полностью
возвращается обратно в среду, имитируя преломленные волны в упругой среде у
границы с вакуумом. На двух графиках: △ — источник на границе, ♢ — источник
на глубине 1 км; отражением излучения на границе пренебрегают полностью, тем
самым моделируется распространение световой волны на границе в среде без флуктуаций, т.е. это тоже самое,что и случайная среда. Число событий — Nph = 2 · 106 . На
правом рисунке: тоже, что и на левом только для анизотропного рассеяния, g = 0.8,
с длиной свободного пробега ls = 200 м.
46
Заключение
Кроме общего физического предмета, связывающего данную работу — упругих волны в слоистых системах, различные результаты, полученные в разных главах данной
работы, объединяет одно общее фундаментальное математическое понятие — функция Грина. В первых двух главах были сформулированы и получены базовые результаты по ФГ в упругих средах, необходимые для дальнейших расчетов. Результаты
второй главы уже опубликованы [20]. В третьей главе был построен матричный метод нахождения ФГ и поля смещений в общей слоистой среде и ее важном частном
случае — многослойной среде с кусочно-постоянными свойствами. Этот метод применен для получения явных выражений функции Грина в полупространстве, а также в
расчете углов Брюстера в задаче о прохождении упругой волны через границу двух
полупространств. Планируется публикация этого результата.
Кроме чисто теоретической части работа содержит обработку экспериментальных
данных данных. А именно — в четвертой главе был разработан метод локализации
источника излучения, а для тех случаев, когда фиксируется множество событий от
одного источника, можно локализовать не только положение источника, но и его ориентацию. Этот метод дает достаточно хорошее согласие с реальными сейсмограммами, а его дополнительным преимуществом является возможность учета слоистости
среды. В дальнейшем его можно распространить на более сложные сред, а так же для
учета других типов волн, такие как волны Релея и Лява. Планируется публикация
этих результатов совместно с сотрудниками ГАО РАН.
В заключительной части работы проведено численное моделирование многократного рассеяние упругих волн в случайно-неоднородных средах. В простейшем случае
мы ограничились моделью скалярного поля, что позволило учитывать граничные эффекты методом зеркального изображения. При этом, однако, влияние границы учитывалось в ФГ для всех кратностей рассеяния. Статья, A.Yu. Val’kov, V.L. Kuzmin,
V.P. Romanov, M.A. Nikitina, I.V. Meglinski; Boundary effect on multiple scattering of
elastic waves in a half-space, содержащая эти результаты, направлена в печать. В настоящее время проводится работа по обобщению этого моделирования на векторный
случай, что даст возможность учесть все типы упругих волн в рассеянии.
47
Благодарности
Хочу выразить благодарность моему научному руководителю А.Ю. Валькову за
мое обучение, за увлекательные и сложные поставленные задачи. Моих соавторов
В.П. Романова и В.Л. Кузьмина благодарю за полезное обсуждение и помощь в решении возникающих задач. Также хочу поблагодарить рецензента данной работы
С.В.Ульянова за проявленный интерес.
Особую благодарность хочу выразить отделу сейсмологии в ГАО РАН, где мне
была предоставлена уникальная возможность познакомиться с данными по сейсмическим событиям о. Валаам. Там узнала и освоила методы обработки сейсмических
данных, что позволило мне применить применить разработанные теоретические методы для решения практических задач.
В заключение хочу выразить мою признательность кафедре статистической физики, где я активно занималась поставленными задачами и получала полезные навыки для разработки и расчета методов и формул, указанных выше.
48
Литература
[1] H. Sato, M.C. Fehler and T.A. Maeda. Seismic Wave Propagation and Scattering in the Heterogeneous Earth. — 2nd. Ed., Springer, Berlin Heidelberg,
(2012).
[2] K. Aki and P.G. Richards. Quantitative Seismology: Theory and Methods, —
2nd Ed., University Science Books, Sausalito, (2002).
[3] Дж.Э. Уайт. Возбуждение и распространение сейсмических волн. —
Москва: Недра, (1986).
[4] И.И. Гурвич, В.П. Номоконова (ред). Сейсморазведка. Справочник геофизика. — Москва: Недра, (1981).
[5] H. Kumagai; Volcano seismic signals, source quantification of in Extreme Environmental Events. Complexity in Forecasting and Early Warning. R. Meyers
(Editor), 1146–1178 (2011).
[6] N.M. Shapiro, M. Campillo, L. Stehly, M.H. Ritzwoller; High resolution surface wave
tomography from ambient seismic noise., Science, 307, 1615–1618, (2005).
[7] A. Ishimaru. Wave Propagation and Scattering in Random Media. — Wiley,
New York, (1999).
[8] E.R. Pike, P.C. Sabatier (Editors). Scattering: scattering and inverse scattering in Pure and Applied Science. — Academic Press, London, (2002).
[9] Sir G.G. Stokes; On the theories of the internal friction of fluids in motion, and of the
equilibrium and motion of elastic solids. — Trans. Cambridge Phil. Soc., 8, 287–319,
(1849).
[10] W. Thomson; Theorems with reference to the solution of certain Partial Differential
Equations — Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 3, 84–87, (1848).
[11] J. Boussinesq. Application des potentiels а l’étude de l’équilibre et du
mouvement des solides élastiques. — Paris, France: Gauthier-Villars, (1885).
[12] V. Cerruti; Sulle vibrazioni dei corpi elastici isotropi. — Mem. Fis. Mat, (1880);
Ricerche intorno all’equilibrio dei corpi elastici isotropi in Mem. d. Acc. naz. d. Lincei,
cl. di sc. fis., s. 3, XIII, 81–122 (1882).
[13] L.R. Johnson; Green’s function for Lamb’s problem. — Geophys. J. R. Astr. Soc., 37,
99–131, (1974).
49
[14] M. Kachanov, B. Shafiro, Ig. Tsukrov. Handbook of elasticity solutions. —
New York: Springer-Verlag, (2009).
[15] С.М. Рытов, Ю.А. Кравцов и В.И. Татарский. Введение в статистичекую
радиофизику. — Москва: Наука, т. 2, (1978).
[16] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория упругости. — 5-е изд., Москва: Физматлит, (2003).
[17] Т.Б. Яновская. Основы сейсмологии. — Санкт-Петербург: ВВМ, (2006).
[18] R. Snieder; Chapter 1.7.1 — General Theory of Elastic Wave Scattering in [8].
[19] В.С. Владимиров. Уравнения математической физики. — Москва: Наука,
(1981).
[20] A. Val’kov, V. Kuzmin, V. Romanov, M. Nikitina, S. Kozhevnikov and I. Meglinski;
Field of a point source in a semi-infinite elastic medium. — Waves in a Random and
Complex Media., 22, 423–424, (2012).
[21] R.D. Mindlin; Force at a point in the Interior of a semi-infinite Solid. — J. Appl.
Phys., 7, 195–202, (1936).
[22] Дж.Д. Джексон. Классическая электродинамика — Москва: Мир, (1965).
[23] М. Абрамовиц, И.И. Стиган. Справочник по специальным функциям. —
Москва: Наука, (1979).
[24] Ф.М. Морс, Г. Фешбах, Методы теоретической физики — т. 1, Москва: ИЛ,
(1958).
[25] Л.М. Бреховских, О.А. Годин. Акустика неоднородных сред. — Москва:
Наука, (1989).
[26] L. Rongved, Force interior to one of two joined semi-infinite solids. Proc. of the 2nd
Midwestern Conference on Solid Mechanics, J.L. Bogdanoff (Editor), Research Series
No. 129, Engineering Eeeriment Station, Purdue Univ., Indiana, 1–13 (1955).
[27] Л.М. Бреховских. Волны в слоистых средах. — Москва: Наука, (1973).
[28] Э.Д. Гай, С.Дж. Радзевикьюс; Безотражательное рассеяние SH–волн на границе раздела двух сред — Письма в ЖТФ, 30, Вып. 9, 44–51, (2004).
[29] Б.А. Ассиновская, М.К. Овсов, В.В. Карпинский, Д.Ю. Мехрюшев; Сейсмические события на Ладоге. — ГеоРиск, №3, 6–12, (2009).
[30] Peter Bormann (Editor) IASPEI: New Manual of Seismological Observatory
Practice (NMSOP) —- V. 1, GeoForschungsZentrum, Potsdam (2002).
[31] M.C.W. van Rossum and T.M. Nieuwenhuizen; Multiple scattering of classical waves:
microscopy, mesoscopy, and diffusion — Rev. Mod. Phys., 71, Iss. 1, 313-371, (1999).
[32] T. Maeda, H. Sato and T. Nishimura; Synthesis of coda wave envelopes in randomly
inhomogeneous elastic media in a half-space: single scattering model including
Rayleigh waves. — Geophysical Journal International, 172, Iss. 1, 130–154 (2008).
50
[33] I.V. Meglinski, V.L. Kuzmin, D.Y. Churmakov and D.A. Greenhalgh; Monte Carlo
simulation of coherent effects in multiple scattering. — Proceeding of the Royal
Society A, 461, No. 2053, 43–53 (2005).
51