В6_ вписанные_окружности

В6. Открытый банк заданий. Вписанные окружности
1. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен
31 3
. Найти сторону этого
6
треугольника.
2. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 31 3 . Найти сторону этого
треугольника.
3. Катеты прямоугольного треугольника равны 72 и 21. Найти радиус вписанной окружности.
4. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 68 + 34 2 . Найти радиус окружности,
вписанной в этот треугольник.
5. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 596, а основание равно 408. Найти радиус
окружности, вписанной в этот треугольник.
6. Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен 56. Две его стороны равны 15 и 21.
Найти большую из оставшихся сторон.
7. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 5 и 1. Найдите среднюю линию
трапеции.
8. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона
равна 37. Найдите радиус окружности.
0
9. Сторона ромба равна 38, острый угол равен 30 . Найти радиус вписанной в ромб окружности.
10. Около окружности, радиус которой равен 33 2 , описан квадрат. Найти радиус окружности, описанной
около этого квадрата.
11. Около окружности, радиус которой равен 2 3 , описан правильный шестиугольник. Найти радиус
окружности, описанной около этого шестиугольника.
Чуть более сложные задачи
1. В прямоугольном треугольнике радиусы вписанной и описанной окружностей равны 6 и 15. Определить
длины сторон треугольника.
2. Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 15. Определить расстояние от центра вписанной
окружности до высоты, опущенной на гипотенузу.
3. Центр вписанной окружности делит высоту равнобедренного треугольника на отрезки длины 5 и 3,
считая от вершины. Определить длины сторон треугольника.
4. Основания трапеции равны 4 и 16. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей, если известно,
что эти окружности существуют.
Задание уровня С-4
5. Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него
четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найти радиус этой окружности, если
отрезок прямой, заключённой внутри треугольника, равен 24, а отношение катетов треугольника
5:12.
6. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найти высоту трапеции.
7. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону в
отношении 1:3. Через вершину трапеции и центр вписанной окружности проведена прямая,
которая отсекает от трапеции треугольник. Найти отношение площади этого треугольника к
площади трапеции.
8. В треугольнике АВС стороны АВ=7, ВС=9, АС=4. На прямой ВС выбрана точка D так, что
BD:DC=1:5. В треугольники АВD и ADC вписаны окружности, которые касаются прямой AD в
точках E и F. Найти длину отрезка EF.
9. Окружности, радиусов 2 и 3, с центрами в точках O1 и O2 (соответственно), касаются в точке А.
Прямая, проходящая через точку А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, а
большую – в точке С. Найти площадь треугольника BCO2 , если ∠ABO1 = 300 .