matematika_olimpx

Дистанционная олимпиада по математике (II тур).
Работа ученика 11 класса Шаяхметова Айдара.
Школа: 452120, Альшеевский р-н, с. Раевский, ул. Коммунистическая, 17, МБОУ СОШ
№4
Задание №1
Условие:
Найти действительные решения уравнения (x+2)4+x4=82
Решение:
(x+2)4+x4=82
Произведем замену: пусть некоторая переменная “a” будет равна x+1
a=x+1;
Отсюда x=a-1, подставим это в исходное уравнение:
(a+1)4+(a-1)4=82;
Если раскрыть скобки c 4-ой степенью, получаем:
(a4+4a3+6a2+4a+1)+(a4-4a3+6a2-4a+1)=82;
Получаем:
2a4+12a2+2-82=0;
2a4+12a2-80=0;
a4+6a2-40=0;
Произведем замену: пусть a2 будет равно некоторой переменной k;
Получаем квадратное уравнение:
k2+6k-40=0;
Посчитаем дискриминант, найдем корни:
D=36+4*(-40)=196;
k1=(-6+14)/2=4;
k2=(-6-14)/2=-10;
Вернемся к замене a2=k;
a2=4, отсюда a=2; a=-2;
a2=-10, здесь нет корней;
Вернемся к замене a=x+1;
2=x+1, отсюда x=1;
-2=x+1, отсюда x=-3;
Таким образом, корнями уравнения являются -3 и 1.
Действительные решения (корни): -3,1.
Ответ: -3;1.
Задание №2
Условие:
Если a  b  c делится на 6, то
числа).
a 3  b3  c 3
делится на 6 (a, b, c – целые
Решение:
a3+b3+c3 – данное выражение можно раскрыть по специальному тождеству,
воспользуемся им:
a3+b3+c3=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)+3abc;
Если a+b+c делится на 6, то a3+b3+с3 получается сравнимо по модулю 6 с
3abc. Из этого получаем, что 3abc должно делится на 6, чтобы все выражение
делилось на 6. 3abc/6 – получается произведение abc - четное.
Предположим, что это не так. Если все три числа a,b,c нечетные, то значит,
что их сумма тоже нечетная и не может делится на 6 нацело, а это
противоречит условию, следовательно 3abc делится на 6. Получается, что,
выражение (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)+3abc делится тоже на 6. А отсюда
следует, что a3+b3+c3 делится на 6 нацело, дает целое число при деление на 6.
Что и следовало доказать, выражение a3+b3+c3 делится на 6.
Задание №3
Условие:
Найти все действительные решения уравнения
Решение:
x 2  2 x sin( xy)  1  0 .
x 2  2 x sin( xy)  1  0 .
Найдем корни уравнения через дискриминант:
D=(2*x*sin(xy))2-4=4*x2*sin2(xy)-4=4*(x2*sin2(xy)-1)
Корни уравнения:
x1=-2*x*sin(xy)-sqrt(4*(x2*sin2(xy)-1));
квадратный)
(поясняю,
sqrt
–
это
корень
x2=-2*x*sin(xy)+sqrt(4(x2*sin2(xy)-1));
Отсюда получается, что |sin(xy)|=1, раскрыв модуль, получаем x1=1, x2=-1
1) Если x1=1, то
12+2*1*sin(1*y)+1=0
2*1*siny=-2
siny=-1, y=1.5*п, где п – «пи» 3,14 – постоянная величина;
2) Если x2=-1, то
sin(-y)=1;
y=-п/2=-0.5*п
Ответ: (1;1.5*п),(-1;0.5*п).
Задание №4
Условие:
Найти четырехзначное число, которые в 4 раза меньше числа, записанного
теми же цифрами, но в обратном порядке.
Решение:
Пусть abcd – это самое число, а dcba/4=abcd;
4*abcd=dcba;
«a» может быть равно 1 или 2, если будет равно 3 – число будет не
четырехзначное.
«а» будет равно 2 значит,
Получается d равно 8
b=1, c=7.
Исходное число 2178.
Если разделить 8712 на 4, то получается именно 2178, следовательно,
определено верно.
Ответ: 2178.
Задание №5
Условие:
Доказать, что сечение параллелепипеда плоскостью не может быть
правильным пятиугольником.
Ответ: Сечение параллелепипеда не может быть правильным
пятиугольником,
может
быть
только
прямоугольником
или
параллелограммом (4 угла).
Задание №6.
Условие:
Вычислить: √2 + √2 + √2 + ⋯
Решение:
Из одного корня извлекается одно и то же число постоянно (одинаковый
показатель под корнем).
Это закономерность. То есть постоянно к корню из 2 прибавляется корень из
2 и так до бесконечности. Обозначим данную бесконечную закономерность
через “x”.
То есть данное выражение √2 + √2 + √2 + ⋯ будет равно √2 + x
Как-то так получается. Возможно и не совсем корректен ответ, объяснил
свои мысли, как смог.
Задание №7
Условие:
Доказать,
что
при
любом
натуральном
значении
n( n  1) число
4n  15n  1 делится на 9.
Решение:
Докажу что c делится на 9 с помощью математической индукции.
Для начала подставлю любое значение, например 1:
41+15*1-2=18, число 18 делится на 9, значит верно.
Предположим, что данное выражение 4  15n  1 выполняется при неком
a, тоесть n=a; тогда докажу, что это условие выполняется и с помощью
n=a+1;
n
4a + 1 + 15*(a + 1) - 1 = 4*4a + 15a +15-1 = 4a + 15a - 1 + 3*4a + 15 (переход мат.
индукции).
По условию перехода 4
что 3*4a +15 делится на 9.
n
 15n  1 делится на 9, теперь нужно доказать,
Если вынести 3 за скобки, то получается:
3*(4a+5)
Значит 4a+5 делится на 3, следовательно выражение 3*(4a+5) делится на 9.
Следовательно, переход доказан, значит
4n  15n  1 делится на 9.
Задание № 8
Условие:
Решить систему уравнений:
𝐱𝐲 = 𝟏
{
𝐱 + 𝐲 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐳 = 𝟐.
Решение:
Из первого выражения x=1/y; поставим это во второе выражние:
1/y+y+cos2z-2=0;
Приведем общие знаменатели и умножим обе части на y для избавления от
знаменателя:
1/y+y2/y+y*cos2z/y-2y/y=0 /*y
y2-2y+1+y*cos2z=0;
y2-2y+1=(y-1)2 – сокращенное у-е;
(y-1)2+y*cos2z=0;
Из размышлений и подставлении дробных чисел вместо x,y понял, что они не
могут быть дробными (во втором выражении в системе cos2z=2-x-y в правой
части выражения будет отрицальное число, а косинус в квадрате не может
давать отрицальное значение).
Значит x,y – положительные, целые числа (не дробные). И не могут быть
больше 1 (если одно из них будет больше 1, то второе число должно быть
дробным для того, чтобы в выражение xy=1 получилось 1, что протеворечит
выше моим рассуждениям).
Отсюда вытекает, что x=y, x и y могут принимать только значение 1.
То есть xy=1; 1*1=1, верно.
1+1+cos2z=2;
cos2z=0;
cosz=0;
z=0.5*пи+пи*k (k – обороты в числовой окружности косинусов, пи –
постоянная величина).
Ответ: (1;1;0.5*пи+пи*k).
Задание №9
Условие:
Найдите максимум a  b , если a  2b  1 .
Решение:
a и b не могут быть отрицательными как вместе, так и по отдельности (a*b –
тут вообще отрицательное число при одном из множителей, а если оба
отрицательных, то a+2b=1 будет противоречить этому).
Значит они оба положительные.
Так же они не будут равны нулю, как вместе, так и по отдельности
(максимум во любом случаи будет больше нуля).
Рассмотрим выражение a+2b=1;
Так как обе переменные положительные и не равны нулю, то:
Обе переменные могут быть вместе дробными или вместе целыми.
Рассмотрев это выражение, понял, что целых значений здесь нет (нет таких
чисел, которые давали бы в результате 1).
Значит обе переменные дробные и не могут быть больше 1. Рассмотрю
несколько вариантов.
Пусть a=0.5, тогда b=0.25, 0.5+2*0.25=1, верно. Максимум – 0.125
Пусть a=0.25,
предыдущего).
тогда
b=0.375.
Максимумом
будет
0.0935
(меньше
Пусть a=0.1, тогда b=0.45. Максимумом будет 0.045 (еще меньше
предыдущего)
Отсюда получается, что чем меньше “a”, тем меньше максимум.
Попробую подобрать 0.5<a<=1;
Пусть a=0.6, тогда b=0.2, максимум будет равен 0.12
Пусть a=0.75, тогда b=0.125. Максимум = 0.09375 (меньше предыдущего).
Пусть a=0.8, тогда b=0.1, максимум = 0.08 (еще меньше).
Пусть a=1, тогда b=0.5, максимум = 0.5
Из всех вариантов максимум самым большим оказался при a=1, b=0.5
Значит максимум равен 0.5
Ответ: 0.5