Выпуклая геометрия

HALIN Vladimir, Doctor of Economic Sciences, Candidate of Physical-Mathematical Sciences,
Professor, Head of Information Systems in Economics dpt.
Convex Geometry
Bachelor degree, 2nd term,
Workload – 31 lecture hours,
Grading – Test,
Language – Russian
1 ECTS
1.
The main aim of the course:
Introduce students principles of Convex Geometry and prepare students for more specified and
advanced mathematical and economic disciplines. After this course students will be able to apply
their knowledge of various sections of the course into practice. Course is also designed to
develop the student's logical and algorithmic thinking
2.
1.
2.
3.
4.
Key issues addressed in the course:
Affine and convex subset: straight line segments, planes, hyperplanes and half-space, the
definition, examples and basic properties of affine sets, affine independence of points,
simplexes and barycentric coordinates, the definition, examples and elementary properties
of convex sets, convex hull and properties, convex polyhedra, simplex and their simplest
properties.
The structure of convex sets: the distance from point to a convex set, the theorem on the
strict separation of the points from the convex closed set, the existence of a supporting
hyperplane at a boundary point of a convex set, the theorem of Caratheodory, a
presentation of a closed convex set as convex hull of its boundary points.
Cones: definition, examples and elementary properties of a cone and a conical shell Farkas
Lemma.
Elements of a linear programming formulation of the linear programming problem, the
geometry of the solution of linear programming, geometric method for solving linear
programming, examples of solving the transportation problem: the dual linear
programming problems.
3.
Requirements for students: “Linear Algebra” and “Additional Topics in Analytical
Geometry” courses
4.
List of basic textbooks:
1. Abramov, L., Kapustin, V., Mathematical Programming: Theory of convex
programming. - St. Publishing House, St. Petersburg State University, 2001. - 264.
2. Solodovnikov, A., Mathematics in economics. M. "Finance and Statistics." In 1998.
3. Solodovnikov, A., An introduction to linear algebra and linear programming. - M.:
Education, 1966. - 124 p.
4. Zaslavsky, J., Collection of problems in linear programming. Pergamon Press, 1969. 256 p.
5. The materials from digital portal “Russian Education” ( http://www.edu.ru) and
educational information resource center Exponenta (http://www.exponenta.ru)
ХАЛИН Владимир Георгиевич, доктор экономических наук, кандидат физикоматематических наук, доцент, заведующий кафедрой информационных систем в
экономике
Выпуклая геометрия
1 кредит (ECT)
Подготовка бакалавров по направлению «Бизнес-информатика», 2 семестр 2013 г,
Количество аудиторных часов - 31,
Форма аттестации – зачет,
Язык обучения – русский.
1. Основная цель курса: в ясной и удобной для восприятия форме дать студентуэкономисту весь объем необходимых ему математических знаний в части выпуклой
геометрии и подготовить его к восприятию других математических и экономических
дисциплин. Развить у студента логическое и алгоритмическое мышление, воспитать
умение строго излагать свои мысли.
2. Ключевые вопросы, рассматриваемые в курсе:
n
1. Аффинные и выпуклые подмножества R : прямые и отрезки, плоскости,
n
гиперплоскости и полупространства в пространстве R ; определение, примеры и
основные свойства аффинных множеств; аффинная независимость точек;
симплексы и барицентрические координаты; определение, примеры и простейшие
свойства выпуклых множеств; выпуклая оболочка множества и их свойства;
выпуклые многогранники, симплексы и их простейшие свойства.
2. Структура выпуклых множеств: расстояние от точки до выпуклого множества;
теорема о строгой отделимости точки от выпуклого замкнутого множества;
существование опорной гиперплоскости в граничной точке выпуклого множества;
теорема Каратеодори; представление выпуклого замкнутого множества как
выпуклой оболочки множества его граничных точек.
3. Конуса: определение, примеры и простейшие свойства конуса и конические
оболочки; лемма Фаркаша.
4. Элементы линейного программирования: постановка задачи линейного
программирования; геометрия решения задачи линейного программирования;
геометрический способ решения задач линейного программирования; примеры
решения транспортной задачи: двойственных задач линейного программирования.
3. Требования к студентам, слушающим курс:
Для успешного освоения материала курса студенты должны знать в полном объеме
материал школьного курса алгебры и начал математического анализа, а также материал
курса «Линейная алгебра» и «Аналитическая геометрия. Дополнительные разделы» за
первый семестр учебного плана подготовки бакалавров по направлению «Бизнесинформатика».
4. Перечень базовых учебников и информационных источников:
1. Абрамов Л.М., Капустин В.Ф.Математическое программирование: Теория выпуклого
программирования. – СПб.: Издательство С.-Петербургского государственного
университета, 2001. – 264 с.
2. Солодовников А.С.. Математика в экономике. М.“Финансы и статистика”. 1998.
3. Солодовников А.С. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. - М.:
Просвещение, 1966. – 124 с.
4. Заславский Ю.Л. Сборник задач по линейному программированию. М., Наука, 1969. –
256 с.
5. Материалы
электронных
библиотек
портала
«Российской
образование»
http://www.edu.ru и учебно-информационного ресурса http://www.exponenta.ru