Cím

Е.В.Лысь, В.В.Лисица, Г.В.Решетова, В.А.Чеверда
Ин-т нефтегазовой геологии и геофизикиСО РАН
(Россия, 630090, Новосибирск, пр. Коптюга, 3,
тел.(383) 3302796, E-mail: lysev@ipgg.nsc.ru)
Конечно-разностное моделирование акустического каротажа в
трехмерных неоднородных трансверсально-изотропных средах с
поглощением
Ведение:
Ключевое предназначение метода акустического каротажа это детальное
определение структуры и механических свойств пород в околоскважинной зоне,
посредством измерения и изучения волнового поля создаваемого источником
сейсмоакустических волн, расположенным в скважине. Эта задача в упрощённой
постановке (скважина в однородной изотропной среде) впервые была исследована
в работе [2]. Впоследствии множество авторов внесло свой вклад в изучение этой
проблемы [5], [6]. Однако вплоть до настоящего времени отсутствует детальное
понимание особенностей процессов распространения акустических волновых
полей для реалистичных неоднородных трехмерных сред с анизотропией и
поглощением. Поэтому численное моделирование является, по нашему мнению,
единственной возможностью изучения волнового поля, возникающего при
выполнении акустического каротажа. В работе представлена модификация ранее
разработанного метода конечно-разностного моделирования акустического
каротажа для изотропной вязкоупругой среды [6], позволяющая проводить
расчёты для трансверсально-изотропной упругой среды с поглощением.
Благодаря специальному виду тензора упругих модулей в случае VTI среды
можно, как и в изотропном случае применить для построения схемы сдвинутую
сетку Верьё[8] и как следствие нет необходимости менять основу разработанного
ранее алгоритма, включая измельчение сетки по радиусу и азимуту. Главные
изменения коснулись двух областей: описания поглощения и ограничения
расчётной области.
Поглощение в анизотропной среде:
Для введения поглощения предлагается естественное обобщение подхода,
представленного в [9].
Для начала напомним, что в изотропной среде поглощение вводится независимо
для P и S волн и определяется добротностями Q p ( ) и Qs ( ) . В анизотропной
среде ввести поглощение независимо для каждой из трёх волн qP, qSV и qSH не
представляется возможным. Рассмотрим тензор, связывающий напряжения с
деформациями вязкоупругой среды в частотной области:
Cijkl ()  Cijkl (0) 1  Re ijkl ()  i Im ijkl () ,


Наличие вещественной и мнимой частей у компонент тензора влечет за собой
наличие вещественной и мнимой частей у фазовых скоростей, то есть:




V j2 (, n)  V j2 (0, n) 1  Re  j (, n)  i Im j (, n) , j  1, 2 ,3
Будем считать, что мы можем измерить эти комплексные скорости для некоторых
направлений на каждой временной частоте. Тогда задача отыскания компонент
тензора ставится следующим образом:


Восстановить параметры  ijkl ( ) по комплексным скоростям (распространения

и затухания) измеренным по ряду направлений:  i (, nm ), m  1,..., M
Как можно видеть, этот подход обеспечивает одинаковый тип симметрии (тип
анизотропии) и для скоростей и для поглощения.
Мы разработали и применили этот подход для VTI сред со слабой анизотропией
[7] и доказали, что он приводит к классической постановке задачи теории
возмущений применительно к симметричной проблеме собственных значений и
требуется как минимум пять независимых измерений для каждой временной
частоты: четыре для qP или qSV и одно для qSH. Затем необходимо построить
рациональную аппроксимацию функции добротности посредством применения
обобщенной стандартной линейной модели твёрдого тела, как это сделано в [3].
Ограничение расчетной области:
Поскольку метод акустического каротажа в первую очередь нацелен на
определение структуры околоскважинного пространства и не ставит задач
определения сейсмических объектов на радиальном удалении
большем
нескольких длин волн, естественным будет ограничить область вычислений
одним – двумя метрами от скважины. В вертикальном направлении размер
расчетной области определяется размерами акустического прибора и не
превышает, как правило, десяти – пятнадцати метров. Таким образом, целевая
область имеет форму цилиндра, вытянутого по вертикали. Условия на границах
целевой области должны обеспечивать минимальный уровень артефактов с тем,
чтобы не исказить информативные волновые поля. Наиболее распространенным
способом постановки таких условий на границах расчетной области является
метод идеально согласованного слоя (PML, от английского Perfectly Matched
Layer) [6], отлично зарекомендовавший себя в изотропных средах. Но для
некоторых анизотропных сред он ведет к возникновению неустойчивых решений,
допускающих экспоненциальный рост. Критерий устойчивости PML приведён в
работе [1]:
PML в направлении r устойчив, если проекции векторов групповой и фазовой
скоростей на это направление имеют один знак (Рис.1). Если этот критерий
удовлетворяется, то можно применять стандартный PML. В противном случае,
область вычислений расширяется на оптимальных сетках [4]. Основным
преимуществом таких сеток
является возможность использования весьма
крупных шагов (3 точки на длину волны) и обеспечение низкого уровня
паразитных отражений на границе между регулярной и оптимальной сетками.
Численные эксперименты:
Первый эксперимент демонстрирует неустойчивость PML для среды, состоящей
из скважины заполненной жидкостью и трех горизонтальных слоев с толщинами
1 м, 2 м и 1 м (сверху вниз):
1.
isotropic   2200kg / m 3 , VP  3400m / s , VS  2500m / s ,   0 ,   0 и
   0;
2.
VTI   2500kg / m 3 , VqP  4400m / s , VqSV  2500m / s ,   0.091 ,   0.046
и    0.688 ;
3.
VTI   1800kg / m 3 , VqP  3500m / s , VqSV  2400m / s ,   0.215 ,   0.28
и    0.359 .
Индикатрисы фазовых и групповых скоростей в среде 2 представлены на Рис.2.
На Рис.3 представлены произведения радиальных и вертикальных компонент
фазовой и групповой скоростей. Как видно, для волн qSV существуют углы, при
которых произведения и радиальных и вертикальных компонент отрицательны.
Следовательно, для этой среды PML по обоим направлениям неустойчив. На
Рис.5а представлены результаты численного моделирования с использованием
PML для ограничения расчетной области, а на Рис.5b для этих целей
использовано расширение расчетной области с помощью оптимальных сеток.
На Рис.6 представлен график зависимости относительной ошибки на оси r  0 от
числа точек используемых при расширении расчетной области. Как видно,
относительная ошибка при использовании 150 точек в расширении составляет
0.1%.
Основной целью следующего эксперимента является наблюдение расщепления
поперечных головных волн на стенке скважины. Для этого была выбрана модель
среды, содержащая скважину диаметром в один метр, заполненную жидкостью и
помещённую в упругую VTI среду со следующими параметрами:
  2500kg / m3 , VqP  3928m / s, VqS  2055m / s,   0.334,   0.575,  *  0.73 .
Для неаксиально расположенного источника падающая P волна, генерирует
головную qP волну и две головные qSV (медленная) и qSH (быстрая). Источник
располагался на удалении 0.45 метра от оси скважины. На Рис.7 представлены
сейсмограммы записанные приемниками, расположенными по окружности на
стенке скважины на вертикальном удалении от источника равном 1 метру. Первая
трасса соответствует приемнику расположенному наиболее близко к источнику.
Сравнивая сейсмограммы Рис.7а (VTI) и Рис.7b (изотропия), можно достоверно
выделить быструю qSH волну.
Благодарности:
Работа была выполнена совместно с Научно-исследовательским центром
компании Schlumberger в г.Москве и частично при поддержке грантов РФФИ 0605-64748, 07-05-00538 и 08-05-00265.
Рис.1. Критерий устойчивости PML.
a)
b)
Рис.2. Медленность (a) и групповая скорость (b) для VTI среды: qP (син.) и qSV
(крас.)
a)
b)
Рис.3. признак устойчивости PML для VTI среды: qP (син.) и qSV (красн.)
b)
a)
Рис.5. Численное моделирование (a) PML (100 точек) ,(b) оптимальное
расширение (150 точек).
Рис.6. Относительная ошибка от Рис. 7. Фазовые скорости в модели
числа точек в расширении
для разделения сдвиговых волн
a)
b)
Рис. 7. Радиальные смещения на стенке скважины. (a) VTI. Числами обозначены
первые вступления:
1 – головная P-волна: 2 – головная qSV, 3 – головная qSH. (b) Изотропия. Звёздочками
обозначены первые вступления P- и S-головных волн
Список литературы
1.
Becache, E. Stability of Perfectly Matched Layers, Group Velocities and Anisotropic Waves/
Becache, E. Fauqueux, S. Joly P.// INRIA, Rapport de recherche n° 4304, Novembre 2001, 35p.
2.
Biot, M.A. Propagation of elastic waves in a cylindrical bore containing a fluid/ Biot, M.A. //
Journal of Applied Physics, 1952, 23, 997 -1005.
3.
Blanch, J.O. Modeling of a constant Q: Methodology and algorithm for an efficient and
optimally inexpensive viscoelastic technique./ Blanch J.O., Robertsson J.O.A., Symes W.W. //
Geophysics, 1995, 60(1), 176 - 184..
4.
Lisitsa, V. 2005. Optimal grids for numerical solution of a wave equation in heterogeneous
media/ Lisitsa, V.// Siberian journal of numerical mathematics, 2005, 8(3), pp.219 – 229.
5.
Qing, H. L. A 3D cylindrical PML/FDTD method for elastic waves in fluid-filled pressurized
boreholes in triaxially stressed formations/ Qing Huo Liu, Sinha Bikash K.// Geohysics, 2003, 68(5), 350
– 357.
6.
Kostin, V. 3D Synthetic Acoustic Log for Viscoelastic Media: Finite-Difference Approach/
Kostin V., Pissarenko D., Reshetova G., Tcheverda V.// Extended abstracts of 69th EAGE Conference and
Technical Exposition, London, 11 – 14 June 2007, P096.
7.
8.
Thomsen, L. Weak elastic anisotropy/ L.Thomsen// Geophysics, 1986, 51(10), 1954 – 1966.
Virieux, J. Velocity-stress finite-difference method/ Virieux, J.// Geophysics, 1986, 51, 889 –
901
9.
Zhu, Y. Physical modeling and analysis of P-wave attenuation anisotropy in transversely
isotropic media/ Y.Zhu, I.Tsvankin, P.Dewangan, K. van Wijk// Geophysics, 72(1), D1 – D7, 2007.