Пирамида. - Не официальный сайт BRGU.SU

Тема: «Пирамида».
Урок проведен в 11 «Б» классе школы № 4 г. Брянска (2007 г.).
Класс работает по учебнику Л.С.Атанасяна.
Урок провела: студентка 5 курса физикоматематического факультета Брянского
государственного университета им.
И.Г.Петровского Т.Н.Фатикова.
Учитель: учитель высшей категории
Е.Г.Шапарева.
Методист: кандидат педагогических наук, доцент
кафедры
методики
обучения
математике
и
информационных
технологий
Брянского
государственного университета им. Петровского
И.Е.Малова.
Цели урока:
1) ввести определение и обозначения пирамиды, её элементов;
2) сформировать у учащихся умение строить произвольные пирамиды и в зависимости от
условий задачи;
3) ввести определение правильной пирамиды;
4) изучить свойства правильных пирамид;
5) изучить формулы площади полной и боковой поверхности пирамиды;
6) доказать теорему о площади боковой поверхности правильной пирамиды.
Тип урока: урок изучения нового материала.
План урока:
1. Актуализация знаний о призме с целью составления плана изучения пирамиды.
2. Изучение нового материала:
а) введение определения и обозначения пирамиды, её элементов,
б) введение и усвоение алгоритма построения произвольной пирамиды,
в) введение определения и свойств правильной пирамиды,
г) изучение формул площади полной и боковой поверхности произвольной
пирамиды, правильной пирамиды.
3. Решение задачи на вычисление длин боковых ребер пирамиды.
4. Постановка домашнего задания и подведение итогов.
Ход урока
1. Актуализация знаний о призме с целью составления плана изучения
пирамиды.
Учитель: На пошлом уроке вы знакомились с многогранником, который называется
призма. Что вы узнали о призме? (по мере ответов учащихся на доске делается запись):
1. Определение.
2. Обозначение.
3. Элементы.
4. Построение.
5. Виды.
6. Свойства.
7. Формулы Sпов.
8. Формула V.
Сегодня на уроке мы познакомимся ещё с одним многогранником, который
называется пирамида.
Комментарий. На этом этапе решалась задача актуализировать знания о призме для того,
чтобы наметить план изучения новой темы.
2. Изучение нового материала.
Учитель: Откройте тетради и запишите тему урока: Пирамида.
Что о пирамиде мы должны узнать?
Учащиеся: определение, обозначение, элементы, построение, виды, свойства, формулы
Sпов., формула V.
а) Введение определения и обозначения пирамиды, её элементов.
Учитель: Начнём с определения. Запишите: 1. Определение (аналогичная запись делается
на доске).
Рассмотрим многоугольник A1A2…An. Возьмем точку Р, не лежащую в плоскости
этого многоугольника. Соединим точку Р с вершинами многоугольника. Получим n
треугольников PA1A2, PA2A3,…, PAnA1. (учитель проговаривает одновременно с
построением чертежа (рис.1)).
Р
Р
Ап
Ап
А1
А3
Н
А1
А3
А2
А2
Рис.1.
Рис.2.
Многогранник, составленный из n-угольника A1A2…An и n треугольников PA1A2,
PA2A3,…, PAnA1, называется пирамидой.
Итак, что мы узнали о пирамиде?
Учащиеся: определение.
Учитель: Что нужно еще знать?
Учащиеся: обозначение
Учитель: Запишите: 2. Обозначение.
Пирамида обозначается большими латинскими буквами, начиная с точки Р:
PA1A2…An.
Что нужно еще знать?
Учащиеся: элементы
Учитель: Запишите в тетради: 3.Элементы.
Учитель проговаривает:
Название элемента и его
обозначение для данной пирамиды
Многоугольник, с которого мы начинали Основание – A1A2…An.
построение пирамиды, называется основанием.
Точка,
которую
выбирали
вне
плоскости Вершина пирамиды – P.
многоугольника, называется вершиной пирамиды.
Отрезки, которые соединяют вершину пирамиды с Боковые ребра – PA1, PA2, PA3, …,
вершинами основания, называются боковыми PAп.
ребрами
Образовавшиеся треугольники – боковые грани Боковые грани пирамиды – PA1A2,
пирамиды.
PA2A3,…, PAnA1.
Проведём из вершины пирамиды перпендикуляр к плоскости основания – PH
(учитель дополняет чертеж (ри.2.)). Он называется высотой пирамиды. Запишите еще
один элемент пирамиды.
Высота пирамиды – PH.
Есть задачи, в которых есть некоторое условие, которое позволяет определить
основание высоты или проекцию вершины пирамиды. Если же в задаче этого условия нет,
то эту точку выбираем в плоскости основания произвольно.
Что еще мы узнали о пирамиде?
Учащиеся: элементы
Учитель: Перечислите их.
Учащиеся: основание, вершина, боковые ребра, боковые грани, высота.
Комментарий. Учитель следует намеченному с учащимися плану, постоянно к нему
обращаясь. Определение пирамиды является конструктивным, поэтому его введение
осуществляется дважды: через построение чертежа и через соответствующую запись.
Аналогично, при введение элементов пирамиды активно используется чертеж. При
построении высоты пирамиды оговаривается необходимость учитывать условия задач, что
служит пропедевтикой успешности их решения.
б) Введение и усвоение алгоритма построения произвольной пирамиды.
Учитель: Теперь, когда вы знаете элементы пирамиды, расскажите последовательность
построения пирамиды?
Учащиеся: Строим основание пирамиды, определяем основание высоты, строим высоту,
строим боковые ребра (учитель помогает учащимся, используя чертеж).
Учитель: В тетрадях запишите: 4. Построение.(Алгоритм записывается на доске)
1. Строим основание пирамиды.
2. Определяем проекцию вершины или основание высоты (из условия задачи).
3. Строим высоту, тем самым определяем вершину пирамиды.
4. Строим боковые ребра.
Как мы определяем проекцию вершины?
Учащиеся: По условию задачи.
Учитель: Верно, в задаче должно быть указано условие для выбора проекции. А если
этого условия нет?
Учащиеся: Основание высоты выбираем в любой точке плоскости основания пирамиды.
Учитель: В тетрадях запишем: Задача 1: построить пирамиду, о которой известно, что в
основании – прямоугольник; а вершина проектируется в центр описанной окружности.
Как мы будем строить такую пирамиду?
Учащиеся: Строим основание пирамиды в виде параллелограмма, определяем основание
высоты, строим высоту, строим боковые ребра.
Учитель: Как определим основание высоты?
Учащиеся: Из условия: вершина проектируется в центр описанной окружности. В
прямоугольнике он совпадает с точкой пересечения диагоналей.
(по ответам учащихся пирамида строится на доске).
S
В
А
С
О
Рис. 3.
D
Комментарий. На этом этапе учащиеся не только составили алгоритм построения
пирамиды, но и усвоили его с помощью предложенной задачи. Большинство задач,
связанных с пирамидой, вызывают затруднения у учащихся из-за ошибок в чертеже,
поэтому составленный алгоритм важен для решения задач. При обозначении построенной
пирамиды учитель изменяет буквы, так как обозначение не является существенным
признаком пирамиды.
в) Введение определения и свойств правильной пирамиды.
Учитель: Посмотрим на план. Какой пункт следующий?
Учащиеся: Виды.
Учитель: Мы уже рассмотрели один вид пирамид – произвольные пирамиды.
Рассмотрим еще один. Запишите в тетрадях:
5.Правильная пирамида.
Вспомните, каким условиям должна удовлетворять правильная призма.
Учащиеся: 1.Основание - правильный многоугольник
2. Боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.
Учитель: Для правильной пирамиды также должны выполняться два условия. Запишем
определение правильной пирамиды и выделим их.(определение записывается на доске).
Пирамида называется правильной, если её основание – правильный
многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания,
является её высотой.
Что называется центром правильного многоугольника?
Учащиеся: центр вписанной в него (или описанной около него) окружности
Учитель: Каким условиям удовлетворяет правильная пирамида?
Учащиеся: 1. Основание – правильный многоугольник, 2. Отрезок, соединяющий
вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.
Учитель: Как же построить правильную пирамиду? Решим задачу 2: Построить
правильную треугольную пирамиду.
С чего начнем построение?
Учащиеся: с основания.
Учитель: Изобразим тонкими линиями основание в виде произвольного треугольника.
Что теперь?
Учащиеся: Определяем проекцию вершины.
Учитель: Где находится проекция вершины в правильной пирамиде?
Учащиеся: В центре описанной окружности?
Учитель: Где располагается центр окружности, описанной около правильного
треугольника?
Учащиеся: В точке пересечения медиан.
Учитель: Проводим две медианы (этого достаточно, чтобы найти центр?). Найдем
проекцию вершины. Что теперь?
Учащиеся: Проводим высоту пирамиды и строим ее вершину. Затем строим боковые
ребра.
М
В
А
О
Рис. 4.
С
Итак, как же мы строим правильную пирамиду?
Учащиеся: 1) строим основание; 2) строим центр основания – это будет проекция
вершины пирамиды; 3) строим высоту и тем самым определяем вершину пирамиды;
4)строим боковые ребра.
Учитель: Теперь следующая задача 3: Изменится ли чертеж, выполненный к задаче 1,
если потребуется построить правильную четырехугольную пирамиду (учащиеся дают
объяснения тому, что чертеж (рис. 3) можно считать изображением правильной
четырехугольной пирамиды, единственное, что надо добавить, что основанием является
квадрат, значит, надо указать равенство сторон основания).
Учитель: Следующий пункт плана: 6. Свойства правильной пирамиды.
1-е свойство касается боковых ребер пирамиды (показывается модель правильной
пирамиды). Сравните их. Каким свойством они обладают?
Учащиеся: Они равны.
Учитель: Верно. Запишем: 1-е свойство. Боковые рёбра правильной пирамиды равны.
(записывается на доске)
Как доказать их равенство? Вспомните, как доказывается равенство отрезков?
Учащиеся: Из равенства треугольников.
Учитель: Какие треугольники можно рассмотреть, чтобы доказать, например, равенство
ребер АМ и СМ? (доказательство ведется по рисунку правильной пирамиды из задачи 2).
М
М
d
В
А
О
Рис. 5.
В
А
а
С
О
Рис. 6.
С
Учащиеся: Δ МАО, Δ МОВ.
Учитель: Как докажем их равенство?
Учащиеся: Это прямоугольные треугольники, один катет общий – МО, а другие катеты
являются радиусами окружности, описанной около основания. Значит, треугольники
равны по двум катетам. (Ответы учащихся сопровождаются изменениями на чертеже;
после проведенного доказательства на рисунке отмечается равенство боковых сторон).
Учитель: 2-е свойство касается боковых граней пирамиды. Что представляет собой
каждая грань?
Учащиеся: Равнобедренный треугольник.
Учитель: Как вы думаете, каким ещё свойством обладают эти грани?
Учащиеся: Они равны.
Учитель: Верно. Запишем в тетради: 2-е свойство. Боковые грани правильной пирамиды
являются равными равнобедренными треугольниками. (записывается на доске)
Доказательство (устно).
Учащиеся: Боковые грани являются равнобедренными треугольниками по определению,
так как мы доказали равенство боковых ребер. Боковые грани равны между собой по
третьему признаку равенства треугольников: в основании лежит правильный
многоугольник, а равенство других сторон мы доказали в свойстве 1.
Учитель: Итак, что о правильной пирамиде вы узнали?
Учащиеся: Узнали определение, алгоритм построения, свойства.
Комментарий. На этом этапе учащиеся изучают определение правильной пирамиды через
сравнение с определением правильной призмы, выделяя в соответствующих определениях
два существенных условия. Усвоение определения осуществляется через составление
алгоритма построения правильной пирамиды и решение задачи на построение правильной
треугольной пирамиды. Ведение с учащимися учебного диалога обеспечивает усвоение и
ранее изученного материала урока. Интересным является задание на использование ранее
построенного чертежа, так как это позволяет выделить общее и особенное в различных
задачах. К выделению и доказательству свойств правильной пирамиды привлекаются
учащиеся через постановку общих вопросов и привлечение моделей: «Первое свойство
касается боковых ребер. Каким свойством они обладают?», «Второе свойство касается
боковых граней. Что собой представляет каждая боковая грань? Каким еще свойством
обладают боковые грани?». К доказательству свойств правильной пирамиды также
привлекаются учащиеся через постановку общих вопросов: «Как обычно доказывают
равенство отрезков?», «Какие треугольники можно рассмотреть?», «Можно ли доказать
их равенство?».
г) Изучение формул площади полной и боковой поверхности произвольной пирамиды,
правильной пирамиды.
Учитель: Осталось узнать о площади поверхности. Запишите: 7. Формулы Sпов.
Рассмотрим 2 случая.
1 случай: произвольная пирамида.
Из чего складывается площадь полной поверхности пирамиды?
Учащиеся: Из площади основания и площади боковой поверхности.
Учитель: Можно записать: Sполн. = Sосн .+ Sбок.
Из чего складывается площадь боковой поверхности пирамиды?
Учащиеся: Из суммы площадей боковых граней.
Учитель: Таким образом: Sбок. = S1 + S2 + … + Sn , где S1, S2,…, Sn – площади боковых
граней.
2 случай: правильная пирамида.
Как найти площадь полной поверхности правильной пирамиды?
Учащиеся: Так же как и произвольной, то есть Sполн. = Sосн. + Sбок.
Учитель: Выведем формулу Sбок. для правильной пирамиды.
Так как боковые грани правильной пирамиды равные равнобедренные
треугольники, то их площади равны, и мы можем записать: Sбок. = S1 + S2 +…+ Sn = S1∙n, где
n – число боковых граней.
Как вычисляется площадь одной грани, например S1?
Учащиеся: S1 равна половине произведения основания треугольника на высоту,
проведенную к этому основанию.
Учитель: Обозначим основание треугольника буквой a, а высоту боковой грани – d
(рис.6).
Получим: Sбок.= ½ ∙ a ∙ d ∙ n. Какую величину получим, если умножим длину стороны
основания на число сторон?
Учащиеся: Периметр основания.
Учитель: Какая формула получится в итоге?
Учащиеся: Sбок. = ½ ∙ Pосн ∙ d.
Учитель: Таким образом, площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна
половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.
Высота боковых граней правильной пирамиды имеет очень интересное название.
Она называется апофемой. (делается запись на доске)
Таким образом, чему равна площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
Учащиеся: Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине
произведения периметра основания на апофему.
Комментарий. На этом этапе учащиеся усвоили формулы Sбок и Sполн. Для двух случаев
пирамид, благодаря тому, что они собственными рассуждениями пришли к их выводу.
3. Решение задачи на вычисление длин боковых ребер пирамиды.
Задача № 239: Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5
см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если ее высота
проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.
Организация работы с задачей:
Один из учащихся выполняет чертеж с соответствующими комментариями и
наносит все данные и вопрос задачи на построенный чертеж. При необходимости
остальные задают вопросы по выполнения чертежа.
Учитель организует поиск способа решения задачи с помощью вопросов:
Длину какого бокового ребра будем искать в первую очередь? Из какой фигуры?
Что известно о ней? Можно ли будет найти длину бокового ребра?
Можно ли было начинать с другого бокового ребра?
Длину какого бокового ребра будем искать дальше? Из какой фигуры? Что
известно о ней? Можно ли будет найти длину бокового ребра?
Учащихся выполняет вычисления на чертеже.
Комментарий. На этап анализа условия задачи с одновременным построением чертежа
вызван один из учащихся к доске, что позволяет выявить возможные затруднения,
закрепить умение строить пирамиду по условию задачи. То, что после построения чертежа
ученик, работавший у доски, садится на место, позволяет отделить анализ условия задачи
от поиска способа ее решения. Учитель на этапе поиска задает общие вопросы,
помогающие в различных задачах на вычисление, обсуждает вариативность
последовательности решения, что соответствующим образом обогащает опыт учащихся
по решению стереометрических задач. Это первая задача на вычисление элементов
пирамиды и она демонстрирует отношения между различными элементами пирамиды.
4. Постановка домашнего задания и подведение итогов.
Учитель: Подготовить рассказ о пирамиде, опираясь на план ее изучения и ту теорию,
которую мы отразили в тетрадях. Решить задачу № 243. Прочитайте ее условие. Назовите
вершину пирамиды (Учащиеся: точка D). Какое условие задачи помогает определить,
куда проектируется вершина пирамиды? (Учащиеся: ребро АD перпендикулярно к
плоскости основания). В таком случае, куда проектируется вершина пирамиды?
(Учащиеся: в вершину А).
Учитель: С каким многогранником мы сегодня познакомились?
Учащиеся: С пирамидой.
Учитель: Что мы узнали о пирамиде?
Учащиеся: Определение, обозначение, элементы, построение, виды, свойства, формулы
Sпов..
Учитель: Назовите элементы пирамиды.
Учащиеся: Основание, вершина, боковые ребра, боковые грани, высота.
Учитель: Как строится пирамида?
Учащиеся: 1. Строим основание пирамиды. 2. Определяем проекцию вершины или
основание высоты (из условия задачи). 3. Строим высоту, тем самым определяем вершину
пирамиды. 4. Строим боковые ребра.
Учитель: Каким условиям удовлетворяет правильная пирамида?
Учащиеся: 1. Основание – правильный многоугольник, 2. Отрезок, соединяющий
вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.
Учитель: Какими свойствами обладает правильная пирамида?
Учащиеся: 1. Боковые рёбра правильной пирамиды равны. 2. Боковые грани правильной
пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками
Учитель: Скажите формулы Sполн., Sбок. произвольной и правильной пирамид.
Учащиеся: Sполн. = Sосн .+ Sбок., Sбок. = S1 + S2 +…+ Sn,, Sбок. пр.пир. = ½ ∙ Pосн ∙ d.
Комментарий. Задание о подготовке рассказа о пирамиде дает возможность обобщить
изученное на уроке, а опора на план и записи, сделанные на уроке, позволяют успешно
подготовиться к выполнению этой части домашнего задания. Обсуждение ключевых
моментов задач, предложенной на дом, позволяет предотвратить возможные затруднения
учащихся при самостоятельном решении задачи. При подведении итогов урока учащиеся
повторяют основные моменты нового материала, опираясь на составленный в начале
урока план, что служит систематизации изученного на уроке.