Рассчитанные зависимости скоростей зарождения дислокаций

ЗАРОЖДЕНИЕ ДИСЛОКАЦИЙ В АЛЮМИНИИ
С ПРИМЕСЯМИ МЕДИ
Брюханов И.А. 1,2, Ковалев В.Л. 1,2
1
Механико-математический факультет МГУ, Москва
2
НИИ механики МГУ, Москва
Аннотация
Методом среднего времени жизни метастабильного состояния на
основе молекулярно-динамических расчетов исследовалось влияние
примесей меди на процесс зарождения дислокаций в сплавах алюминия с
медью. Найденные зависимости скоростей зарождения дислокаций от
сдвиговых напряжений в алюминии, в твердом растворе алюминия с медью и
в алюминии с зоной Гинье − Престона представлены в аррениусовском виде.
Показано, что с увеличением концентрации примесей уменьшаются значения
активационных параметров в этих зависимостях. Обнаружено, что
активационные параметры скорости зарождения дислокаций в алюминии с
зоной Гинье − Престона имеют более слабую зависимость от температуры,
чем в других рассмотренных случаях.
Введение
Благодаря хорошей пластичности и высоким прочностным свойствам
сплавы алюминия широко используются в машиностроении и авиастроении.
В отличие от чистого алюминия у сплава на диаграмме напряжение −
деформация за пределом упругости есть зона упрочнения. Эффективная
прочность сплава достигается в процессе старения, который организуется
при производстве алюминиевых сплавов. Обнаружено, что в процессе
старения сплава алюминия с медью атомы меди образуют наноразмерные
метастабильные зоны, известные как зоны Гинье-Престона (ГП зоны) [1−2].
Помимо ГП зон медь может случайным образом замещать атомы алюминия в
кристаллической решетке, образуя твердый раствор. Свойство упрочнения
сплавов связано с тем, что примесные атомы в алюминии в процессе
деформирования тормозят движение дислокаций − элементарных
переносчиков пластической деформации. В результате их торможения в
материале образуются устойчивые дислокационные структуры, которые не
позволяют телу терять прочностные свойства. Зарождение дислокаций в
сплавах может происходить либо гомогенно, то есть в идеальной
кристаллической решетке алюминия, либо гетерогенно − вблизи
неоднородностей среды, например, таких как примесные зоны, поры,
границы зерен. Детальное изучение таких механизмов пластической
деформации, как зарождение, размножение и движение дислокаций, является
актуальной задачей.
Ударно-волновые эксперименты позволяют определять свойства
пластичности и разрушения материалов в широком диапазоне скоростей
деформаций от 103 до 1010 с-1 [3]. Основные экспериментальные результаты
по зарождению дислокаций были получены методом наноиндентирования [46]. Если размер индентора меньше среднего расстояния между
дислокациями, то при введении его в материал возникают локальные
напряжения в области, в которой нет существующих дислокаций. Это
приводит к тому, что в материале появляются напряжения близкие к
теоретическому пределу на сдвиг. Метод наноиндентирования позволяет
определить зависимость критических нагрузок от глубины проникновения.
Зависимость скорости зарождения дислокаций от напряжений обычно
аппроксимируется в аррениусовском виде. При математическом
моделировании ударно-волновых экспериментов в последнее время
используется модель упругого тела с дислокациями [7 − 10].
Теоретические вопросы, связанные с движением и размножением
дислокаций, рассматривались, например, в работах [11,12]. Для определения
скорости зарождения дислокаций используются метод переходного
состояния [13,14] и метод, основанный на стохастическом распределении
времен жизни метастабильного состояния [15,16]. Недостатком метода
переходного состояния является то, что он позволяет находить
активационные параметры процесса зарождения только при нулевой
температуре.
Процесс гомогенного зарождения дислокаций в алюминии
исследовался в работе [15]. Найденные значения активационной энергии и
объема для скорости гомогенного зарождения значительно превышали
величины, полученные при наноиндентировании. Поэтому в [15] был сделан
вывод, что при наноиндентировании происходит гетерогенное зарождение
дислокаций. Гетерогенное зарождение дислокаций со свободной
поверхности изучалось в работе [13]. Влияние примесных атомов в виде
твердого раствора на критическое напряжение и зарождение дислокаций
исследовалось в работах [17,18].
Данная работа посвящена изучению процессов зарождения дислокаций
в сплавах. Методом среднего времени жизни метастабильного состояния на
основе молекулярно-динамических расчетов (МД расчетов) исследовалось
влияние зоны ГП и твердого раствора меди на скорость зарождения
дислокаций в алюминии. Определены скорости гомогенного и гетерогенного
зарождения дислокаций в зависимости от сдвигового напряжения и
температуры. Полученные результаты согласуются с расчетами [15] и
экспериментами по наноиндентированию [4 − 6].
Молекулярно-динамическое моделирование примесей меди
в алюминии
Для исследования процесса гомогенного зарождения дислокаций
использовалась молекулярно-динамическая модель [15]. При этом форма
расчетной ячейки выбиралась близкой к кубической. Как показано в [15],
начиная с некоторого, размер системы практически не влияет на свойства
процесса гомогенного зарождения. В данной работе рассматривалась
система, состоящая из 311040 атомов. Размер этой системы приближенно
равен 17x17x17 нм3. По всем трем направлениям выставлялись
периодические граничные условия для исключения влияния свободной
поверхности на процесс зарождения.
Для моделирования зоны ГП применялась молекулярно-динамическая
модель [19,20]. Она следует из модели бездефектного алюминия посредством
замены части атомов Al, образующих диск ориентации (100) толщиной в
один атом, на атомы меди Cu. Диаметр диска d составлял около 4 нм.
Молекулярно-динамическая модель твердого раствора строилась из
модели бездефектного алюминия посредством замены части атомов Al на
атомы Cu случайным образом. Исследовались системы с концентрациями Cu
равными 0.1, 0.5, 1, 5 %. Это позволило изучить влияние количества
растворенной меди на скорость зарождения дислокаций.
Использовался потенциал взаимодействия атомов Al и Cu из [19]. Он
является обобщением традиционного потенциала погруженного атома (EAM)
с включением угловых взаимодействий. Данный потенциал был
параметризован на основе экспериментальных данных по параметру решетки
фазы θ' (матрица алюминия с метастабильной фазой Al2Cu), энергиям
образования вакансий в фазах θ' и θ и их упругих модулей. Ранее такой
потенциал использовался в работе [7] для исследования влияния зоны ГП на
движение краевой дислокации.
Минимизация энергий систем алюминия с ГП зоной и твердого
раствора алюминия с медью производилась методом градиентного спуска
[21].
Все МД расчеты были проведены в пакете программ LAMMPS [22].
Метод нахождения скорости зарождения дислокаций
Применялся метод нахождения скорости зарождения дислокации
[15,16]. Для моделирования напряженного состояния система подвергалась
однократному сдвигу вдоль направления вектора частичной дислокации в
гранецентрированной кубической (ГЦК) решетке алюминия b=-a/6[21̅1̅], где
a – период решетки. Величина сдвига определяет касательное или сдвиговое
напряжение σxy, возникающее в системе, которое рассчитывалось по теореме
вириала во всей расчетной ячейке [23]. Температура системы задавалась с
помощью соответствующего максвелловского распределения скоростей
атомов. При заданной температуре и фиксированной деформации в
термостате Ланжевена [24] проводились молекулярно-динамические расчеты
уравнений движения атомов системы. Шаг интегрирования уравнений
движения атомов задавался равным 1 фс. Исследовалось поведение систем
при температурах 300, 500, 700 К.
Механизм и скорость зарождения дислокаций
При нагрузках в материалах образуются дислокационные зародыши,
которые представляют собой скопления точечных дефектов. При некоторых
условиях размер дислокационного зародыша может быстро увеличиваться со
временем и образовывать, так называемую, дислокационную петлю.
Для идентификации структурных нарушений кристаллической решетки
каждому атому присваивался параметр центральной симметрии P,
характеризующий локальное окружение каждого атома [25]. Этот параметр
задавался следующей формулой
где
и
– векторы связей выбранного атома с шестью парами
ближайших противолежащих соседей в ГЦК решетке.
Для атомов алюминия, находящихся в идеальной кристаллической
решетке
Å2, для атомов, составляющих дислокационную петлю,
Å2, для атомов дефекта упаковки
Å2. Более
подробно вопросы,
обсуждаются в [26].
касающиеся
методов
идентификации
структуры,
Для оценки скорости расширения дислокационной петли определялись
момент времени возникновения τр дислокационной петли и момент времени
τп, когда дислокационная петля заполняла всю плоскость скольжения. При
помощи визуализации определялся диаметр d дислокационной петли в
момент τр. Вследствие того, что дислокационная петля распространяется во
все стороны одновременно, то скорость ее расширения определялась по
формуле
где L – сторона кубической ячейки.
Скорость расширения дислокационной петли зависит как от
температуры, так и от приложенных сдвиговых напряжений. Значения
сдвигового напряжения в расчетной ячейке при определении скорости
движения дислокационной петли вычислялись в момент времени τр.
Скорость зарождения дислокаций J определяет среднее количество
зародышей образовавшихся в системе в единицу времени на один атом.
Способ нахождения величины J основан на определении среднего времени
жизни метастабильного состояния из молекулярно – динамических расчетов.
Для того чтобы определить среднее время жизни проводилась серия МД −
расчетов систем, соответствующих одному термодинамическому состоянию,
но имеющих разные микросостояния. Такой набор систем был получен путем
реализации различных распределений Максвелла по скоростям атомов в
начальный момент времени, соответствующий одной и той же температуре.
Из найденной зависимости сдвигового напряжения от деформации в каждом
МД расчете определялось время жизни τi как время до начала быстрого
уменьшения
значения
сдвигового
напряжения.
Для
каждого
термодинамического состояния рассчитывалось от тридцати до ста
независимых времен жизни его микросостояний. По полученному набору
величин τi строилась функция распределения. Среднее время жизни τср
определялось из аппроксимации полученной функции экспоненциальной
зависимостью. Более подробно этот этап вычислений описан ниже в данной
работе.
Заметим, что время расчета каждой системы должно превышать время
динамической памяти τm, характеризующее время разбегания исходно
близких траекторий каждого микросостояния [27]. В рассматриваемых
системах время динамической памяти τm приблизительно равно 3 пс [15].
Поэтому не рассматривались значения времен жизни метастабильного
состояния τi, меньшие времени динамической памяти τm=3 пс.
Скорость зарождения дислокаций можно рассчитать следующим
образом:
где N – число атомов в системе.
Результаты расчетов
На рис. 1 на основе одного из МД расчетов представлена визуализация
образования дислокационной петли в алюминии с ГП зоной.
Видно, что в результате движения атомов по всему объему образуются
и исчезают дислокационные зародыши (рис. 1a, 1б). В момент времени 38 пс
вблизи зоны ГП образуется дислокационная петля, размер которой быстро
увеличивается со временем (рис. 1в). Форма дислокационной петли
представляет собой эллипс, вытянутый вдоль направления сдвига. В момент
времени 40 пс (рис. 1г) дислокационная петля полностью занимает плоскость
скольжения в ячейке. Похожий механизм зарождения дислокации ранее был
получен в чистом алюминии в [15].
a
б
в
г
Рис. 1. Визуализация развития дислокационной петли в Al с ГП зоной в
моменты времени a – 35 пс, б – 36 пс, в – 38 пс, г – 40 пс.
σxy =2.178 ГПа , T=300К. Дискообразная область из атомов белого цвета
в центре ячейки – зона ГП. Черные атомы – атомы с дефектным локальным
окружением
На рис. 2 показан процесс зарождения и развития дислокации в
твердом растворе алюминия с 5% меди. Видно, что в момент времени 44 пс
(рис. 2б) в системе из-за теплового движения атомов возникает
дислокационная петля. В отличие от алюминия с зоной ГП ее форма не имеет
четкой эллипсоидальной формы из-за влияния примесных атомов меди.
Далее происходит медленное немонотонное увеличение размера петли (рис.
2б − 2г). В момент времени 72 пс дислокационная петля резко увеличивается
в размере («разгоняется») и заполняет всю плоскость скольжения к моменту
87 пс (рис. 2г − 2е).
На рис. 3 показаны рассчитанные в данной работе типичные кривые
релаксации сдвиговых напряжений в алюминии с зоной ГП и в твердом
растворе.
а
б
д
в
г
е
Рис. 2. Развитие дислокационной петли при T=300К, σxy =2.078 Гпа
в модели Al с 5% Cu в моменты времени a – 39 пс, б – 44 пс,
в – 55 пс, г – 75 пс, д – 85 пс, е – 87 пс. Белые атомы – атомы меди
Сu, черные – атомы с дефектным локальным окружением.
Показана плоскость, в которой происходит зарождение дислокации
τi
ш
τi
ш
Рис. 3. Релаксация напряжений и время жизни метастабильного
состояния. дислокации при T=300К, σxy =2.078 ГПа: а − в Al с зоной ГП,
в- в Al c 5% Cu. Визуализация моделей представлена на рис. 1
и рис. 2. Вблизи кривых релаксации напряжений указаны номера
рисунков, соответствующих визуализации
Из рис. 3 видно, что имеется продолжительный участок, на котором
сдвиговое напряжение практически не меняется. Это означает, что система
релаксировала к состоянию, которое является метастабильным. Далее
вследствие зарождения дислокационной петли сдвиговое напряжение резко
снижается. Заметим, что на этом участке релаксации напряжения
дислокационная петля расширяется и распространяется до размеров всей
ячейки(см. рис. 1, 2). При этом система выходит на состояние равновесия.
Рис.4. Зависимости скорости распространения дислокационной петли
от сдвигового напряжения при T=300 К для 1 – Al, 2 – Al
с зоной ГП, 3 – 0.1% Cu, 4 – 0,5%Cu, 5 – 1% Cu, 6 – 5%Cu
На рис. 4 даны рассчитанные зависимости скорости дислокационной
петли от среднего сдвигового напряжения в расчетной ячейке для различных
систем.
Отметим, что полученная величина скорости дислокационной петли в
чистом алюминии равна 27 Å/ps . Эта величина хорошо согласуется со
значением 28 Å/ps из [15]. Из рисунка также видно, что примесные атомы
существенно тормозят движение дислокационной петли. Так величина
скорости дислокационной петли сильно уменьшается уже при концентрации
меди равной 5%. Для алюминия с зоной ГП значения скорости
дислокационной петли не столь сильно уменьшаются, хотя и лежат в области
меньших значений сдвигового напряжения по сравнению с чистым
алюминием. Отметим также, что с увеличением концентрации меди в
алюминии уменьшается значение сдвигового напряжения, необходимого для
развития дислокационной петлей с заданной скоростью.
На рис. 5 приведены зависимости количества микросостояний n (в
логарифмическом масштабе) от времени τ, в которых зарождение дислокаций
не произошло к этому моменту времени. Они были построены по набору
рассчитанных независимых времен жизни метастабильного состояния и
соответствуют распределению времени зарождения дислокаций. Видно, что
полученные распределения n при гетерогенном и гомогенном зарождении
дислокаций хорошо описывается пуассоновским распределением.
где n0 и τd – параметры аппроксимации.
Для гомогенного зарождения дислокаций аналогичный результат
получен в [15].
Рис. 5. Количество микросостояний n (в логарифмическом масштабе), в
которых зарождение дислокаций не произошло к моменту времени τ. а − Al
с зоной ГП, б − Al с 0.5% Cu; σxy = 2.078 ГПа, T=300 К
При расчете скорости зарождения дислокаций по формуле (3) время τср
выбиралось равным времени τd..
Рассчитанные зависимости скорости зарождения дислокаций от
сдвигового напряжения и температуры
можно аппроксимировать
следующим образом
(5)
где J0 – максимальная скорость зарождения, U – энергия активации, V –
активационный объем, σxy – сдвиговое напряжение в расчетной ячейке.
Максимальная удельная скорость зарождения дислокаций оценивалась
по формуле J0=8πrw/b, где r – радиус дислокационной петли, w – дебаевская
частота, b – вектор Бюргерса [15].
Для исследуемых материалов были выбраны r=5 Å, w=1013 c-1, b=1.65
Å, при которых J0 равно 1015 с-1 [15].
Полученные зависимости скорости зарождения дислокаций в чистом
алюминии и в алюминии с зоной ГП изображены на рис. 6.
Рис. 6. Зависимость скорости зарождения от сдвигового напряжения в
моделях чистого алюминия (закрашенные фигуры) и алюминии с зоной ГП
(прозрачные фигуры) при температурах 300 (кружки), 500 (треугольники),
700 К (ромбы). Линии – аппроксимация по формуле (5)
Видно, что в алюминии с зоной ГП уменьшается наклон кривых
скорости зарождения дислокаций, а значения скорости зарождения, меньшие
106 с-1, достигаются при меньших сдвиговых напряжениях. При этом с
увеличением температуры кривые, как в случае алюминии, так и в случае
алюминия с зоной ГП, смещаются в сторону меньших сдвиговых
напряжений. Аналогичная зависимость критического напряжения от
температуры была получена в работах [15, 28].
На рис. 7 представлены результаты расчетов скорости зарождения
дислокации в случае твердого раствора меди в алюминии.
Рис. 7. Зависимость скорости зарождения от сдвигового напряжения
при температуре T=300К в моделях твердого раствора Al с Cu.
1 − Al, 2 − 0.1% Cu, 3 − 0.5% Cu, 4 − 1% Cu, 5 − 5% Cu
Результаты расчетов показывают, что при увеличении концентрации
меди от 0.1% до 2% кривые скорости зарождения дислокаций в твердом
растворе смещаются в сторону меньших сдвиговых напряжений, и
уменьшается их наклон. Это согласуется с результатом работы [17], в
которой показано, что с увеличением концентрации сурьмы (Sb) в меди от
0.1% до 2% уменьшается критическое напряжение зарождения дислокации
при деформировании с постоянной скоростью.
На рис. 8 приведены значения активационных параметров скорости
зарождения дислокаций всех рассмотренных в данной работе систем при
аппроксимации по формуле (5).
Отметим, что значения активационных параметров U и V во всех
рассмотренных системах существенно зависят от температуры. При этом в
моделях чистого алюминия и твердого раствора эта зависимость оказалась
значительно более сильной, чем в модели алюминия с зоной ГП.
Заметим, что рассчитанные с использованием потенциала ADP
величины активационной энергии U гомогенного зарождения дислокаций
близки к полученным в работе [15] с использованием потенциала EAM [29].
Значения же активационных объемов V отличаются приблизительно на 25%.
Кроме того, полученные в работе [15] при T=300 K: σxy=1.76 ГПа и σxy=2.2
ГПа значения скорости зарождения дислокаций в диапазоне 10 4-106 с-1 лежат
в области гораздо меньших сдвиговых напряжений чем в данной работе. Для
проверки пригодности того или иного потенциала необходимо проводить
сравнение с соответствующими расчетами методом квантовой механики.
Рис. 8. Температурные зависимости активационных энергий U
и активационных объемов V. 1 – Al [16], 2 – Al, 3 − 0.1% Cu,
4 − 0.5% Cu, 5 − 1% Cu, 6 − 5% Cu, 7 – Al с зоной ГП
Сравнение с экспериментальными величинами для некоторых
материалов показывает, что найденная нами величина активационного
объема при гетерогенном зарождении ближе к этим экспериментальным
величинам, чем при гомогенном зарождении. Так в экспериментах по
наноиндентированию для платины были получены значения U=0.28 эВ,
V=10.2 Å3 [4], для Ni3Al величина V=23.5 Å3 [5]. Для сплава FeCoCrNiMn
U=1.72±0.35 эВ, V=34±7 Å3 [6]. В нашей работе при T=300К в модели Al с
зоной ГП было получено V=118 Å3, а в Al с 5% Cu - V=81 Å3, когда как в
чистом алюминии V=270 Å3.
Заключение
Методом определения среднего времени жизни метастабильного
состояния на основе молекулярно-динамических расчетов получены
зависимости скоростей зарождения дислокаций от сдвиговых напряжений в
чистом алюминии, в алюминии с зоной Гинье-Престона диаметром 4 nm и в
твердом растворе алюминия с медью (0.1%, 0.5%, 1%, 5% Cu) при
температурах 300, 500, 700 К.
Рассчитанные зависимости скоростей зарождения дислокаций
аппроксимированы в аррениусовском виде с найденными значениями
активационных параметров (активационной энергии и активационного
объема).
Установлено, что наличие в алюминии зоны Гинье-Престона или
примесных атомов меди уменьшает значения активационных параметров.
Обнаружено, что зависимость активационных параметров от
температуры в алюминии с зоной Гинье-Престона более слабая, чем в чистом
алюминии и в твердых растворах.
Расчеты проведены на суперкомпьютерах Ломоносов и Чебышев МГУ
[30].
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 14-01-00310 a).
Литература
1. Guinier A., Structure of age-hardened aluminum-copper alloys, Nature
142, 569 (1938).
2. Preston G.D. The diffraction of X-rays by age-hardening aluminium
copper alloys, Proc. R. Soc. Lond. A 167, 526 (1938).
3. Zaretsky E. B., Kanel G. I. Effect of temperature, strain, and strain rate
on the flow stress of aluminum under shock wave compression, J. of Applied
Physics, 112, 7, 073504 (2012).
4. C.A. Schuh, J.K. Mason, A.C. Lund. Quantitative insight into
Dislocation nucleation from high-temperature nanoindentation experiments, Nat.
Mater., 4, 617 (2005).
5. Wo P.С., Zuo L., Ngan A.H.W., Time-dependent incipient plasticity
in Ni3Al as observed in nanoindentation, J. Mater. Res., 20. 489 (2005).
6. Zhu C., Lu Z.P., Nieh T.G. Incipient plasticity and dislocation
nucleation of FeCoCrNiMn high-entropy alloy, Acta Materialia, 61, 2993–3001
(2013).
7. Yanilkin A.V., Krasnikov V.S., Kuksin A.Yu., Mayer A.E. Dynamics
and kinetics of dislocations in Al and Al-Cu alloy under dynamic loading, Int. J. of
Plast. 55 (2014) 94–107.
8. Austin R.A., McDowell D.L. A dislocation-based constitutive model
for viscoplastic deformation of fcc metals at very high strain rates, Int. J. Plast. 27
(1), 1–24 (2011).
9. Barton N.R., et all A multiscale strength model for extreme loading
conditions, J. Appl. Phys. 109 (7), 073501 (2011).
10.Johnson J.N., et all, Dislocation Dynamics and Single-Crystal
Constitutive Relations: Shock-Wave Propagation and Precursor Decay, J. Appl.
Phys. 41 (6), 2330–2339 (1970)
11.Hirth J., Lothe J., Theory of Dislocations. Wiley, New York (1982).
12.Suzuki T., Takeuchi S., Yoshinaga H. Dislocation Dynamics and
Plasticity. Springer, Berlin. (1991).
13.Zhu T., et all, Temperature and strain-rate dependence of surface
dislocation nucleation, Phys. Rev. Lett., 100, 025502 (2008).
14. McPhie M.G., Berbenni S., Cherkaoui M. Activation energy for
nucleation of partial dislocation from grain boundaries, Comp. Mat. Science, 62
169–174 (2012).
15. Норман Г.Э., Янилкин А.А. Гомогенное зарождение дислокаций
// ФТТ. Т. 53. Вып. 8 (2011).
16. Ryu S., Kang K., Cai W. Entropic effect on the rate of dislocation
nucleation, Proc. of the Nat. Academy of Sciences. 108, 13, 5174−5178 (2011).
17. Rajgarhia R.K., Spearot D.E., Saxena A. Plastic deformation of
nanocrystalline copper-antimony alloys, Modelling Simul. Mater. Sci. Eng., 17,
055001 (2009).
18. Amigo N. et all, Comp. Mat. Sci. Atomistic simulation of single
crystal copper nanowires under tensile stress: Influence of silver impurities in the
emission of dislocation, 87, 76–82 (2014).
19. Apostol F., Mishin Y. Interatomic potential for the Al-Cu system,
Phys. Rev. B, 83, 054116 (2011).
20. Singh C.V., Warner D.H. An Atomistic-Based Hierarchical
Multiscale Examination of Age Hardening in an Al-Cu Alloy, Acta Mater. 58,
5797–5805 (2010).
21. Fletcher R., Reeves C.M. Function minimization by conjugate
gradients, The Computer Journal 7(2), 149−154 (1964).
22. Plimpton S.J. Fast Parallel Algorithms for Short-Range Molecular
Dynamics, J. Comp. Phys. 117, 1−19 (1995).
23. Norman G.E., Stegailov. V.V., Mol. Simul. 30, 397 (2004).
24. M. P. Allen and D. J. Tildesley, Computer simulation of liquids
(Clarendon Press, Oxford, 1990).
25. Kelchner C.L., Plimton S.J., Hamilton J.C. Dislocation nucleation
and defect structure during surface indentation, Phys. Rev. B, 58, 17 (1998).
26. Stukowski A. Structure identification methods for atomistic
simulations of crystalline materials, Mod. and Sim. in Mat. Sc. and Eng., 20, 4,
045021 (2012).
27. Kuksin A.Yu., Norman G.E., Stegailov V.V., et all, Standards for
molecular dynamics modelling and simulation of relaxation, Mol. Sim., 31, 14–15,
15–30, 1005−117 (2005).
28. Tschopp M.A., Spearot D.E., McDowell D.L. Atomistic simulations
оf homogeneous dislocation nucleation in single crstal copper, Modelling
Simul. Mater. Sci. Eng.15, 693–709 (2007).
29. Liu X.-Y., Xu Wei, Foiles S.M., Adams. J.B. Atomistic studies of
segregation and diffusion in Al-Cu grain boundaries, Appl. Phys. Lett., 72, 1578
(1998).
30. Voevodin Vl.V., Zhumatiy S.A., Sobolev S.I., Antonov A.S.,
Bryzgalov P.A., Nikitenko D.A., Stefanov K.S., Voevodin Vad.V. Practice of
Lomonosov Supercomputer // Open Systems J. – Moscow: Open Systems Publ.,
2012, no.7.[http://www.osp.ru/os/2012/07/13017641/] (In Russian).