ЕГЭ. Задачи части С-5

Задачи части «С-5» ЕГЭ по математике
Задача № 1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
неравенств имеет решения

a
2
2
 ( x  2a )  ( y  a ) 
6 5

x  2 y  1

(1)
(2)
Решение.
1. Неравенство (1) на координатной плоскости (XOY) задает круг с
центром в точке О1(2а;а) радиуса
R
a
6 5
2. Неравенство (2) на координатной плоскости образует полуплоскость с
границей по прямой, проходящей через точки А(1;0), В(0;0,5)
y
1
1
x
2
2
3. Система имеет решения, если круг и полуплоскость имеют общие
точки. Для этого расстояние от центра круга до прямой y = 0,5x-0,5
должно быть не больше радиуса круга.
4. Данное расстояние есть расстояние между параллельными прямыми
y=0,5x
и y=0,5x-0,5, так как прямая y=kx проходит через точку
О1(2а;а), а значит
k  tg 
a 1
1
 , тогда y= x
2a 2
2
y
O1
a
O
B B1
A
2a
x
5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO с вершинами О(0;0),
А(1;0), В(0;-0,5). Его катеты равны ОА=1, ОВ=0,5, тогда высота ОВ1,
опущенная на гипотенуза, есть расстояние между параллельными
прямыми, равна:
OB1 
OA  OB 1 0,5 1
5



AB
5
5
5
2
6. Таким образом, система имеет решения, если
a
1

;
5 6 5
a  6; или а   -;-6   6;  
Ответ: а   -;-6  6;  
Задача № 2. Найдите все значения а, при каждом из которых система
уравнений имеет решения
 x 2  (4a  5) x  3a 2  5a  0,

 2
2

 x  a  25.
Решение.
1.
Разложим на множители левую
часть неравенства, решив квадратное уравнение x2+(4a+5)+3a2+5a=0.
x1=-a, x2=-(3a+5), тогда неравенство примет вид: (x+3a+5)(x+a)<0. Оно
задает пару вертикальных углов в плоскости OXa.
2.
Уравнение
окружность с центром в точке (0;0) радиусом 5.
3.
Решение данной системы – это
точки дуг окружности, лежащих в указанных вертикальных углах.
Найдем абсциссы концов дуг:
x2+a2=25
-
 x  3a  5  0,
 2
2
 x  a  25.
 x  3a  5,
 2
2
9a  30a  25  a  25.
 x  a  0,
или  2
2
 x  a  25.
a= 
5 2
2
Решим уравнение относительно а.
10a 2  30a  0;
10а (а  3)  0; а=0 или а=-3
 5 2
  5 2
Таким образом, а   
; 3    0;

2
2 

 
x
0
a
Задача № 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
система имеет единственное решение

 x  2 y  1  11,

2
2

( x  a)  ( y  2a)  a  2.
Решение.
1.
Неравенство
|x+2y+1|≤11 задает на плоскости (XOY) полосу, граница которой – пара
параллельных прямых, у которых угловые коэффициенты одинаковы:
11  x  2 y  1  11
12  x  2 y  10
x  2 y  12 и x+2y=10
x
x
y=-  12;
y=-  10.
2
2
2.
Уравнение (x-a)2+(y2a)2=a+2 описывает круг с центром в точке М(а;2а) и радиусом
R=
а) если а+2<0, то система не имеет решений, таким образом при а<-2
решений нет;
б) если а+2=0, то есть а=-2, то уравнение имеет вид:
(x+2)2+(y+4)2=0. Удовлетворять неравенству |x+2y+1|≤11 будет
единственная точка с координатами (-2;-4).
11  x  2 y  1  11
11  2  8  1  11
11  9  11
Таким образом, при а=-2 система имеет единственное решение.
в) если а+2>0, то есть а>-2, тогда уравнение (x-a)2+(y-2a)2=a+2 задает
окружность с центром в точке М (а;2а) и радиусом R=
k  tg 
y 2a

2
x a
Определим нахождение центра окружности
М(а;2а) на прямой y=kx, где
Прямая y=2x перпендикулярна прямым
x
x
у    12 и y=-  10
2
2
и пересекает их в точках с координатами A(-2,4;-4,8) и B(2;4), которые
определяются из решения систем уравнений:
 x  2 y  12

 y  2x
 x  2 y  10
и 
 y  2x
3.
Система имеет
единственное решение, если окружность касается параллельных прямых
внешним образом полосы в точках А или В:
а) если касается полосы в точке А, то а=-2,4, но при а<-2 решений нет,
следовательно это невозможно.
б) если окружность касается полосы в точке В, только тогда, если а>2 и
МВ=R. Расстояние МВ найдем при условии, что М(а;2а), В(2;4), из
уравнения (а-2)2+(2а-4)2=а+2;
5а2-21а+18=0; а=3; а=1,2.
Условию а>2 удовлетворяет лишь значение а=3.
Таким образом, единственное решение возможно при а=-2 и а=3.