Повторим математику быстро

О.Н.Пирютко
Повторим математику быстро
10-11 классы
1
Предисловие
Книга написана для тех, кто самостоятельно хочет повторить школьную
математику за 10-й - 11-й классы.
Как нужно работать с книгой?
В книге 20 тем, содержащих весь программный курс математики 10-11
классов школы. По каждой из тем попробуйте сначала написать тест, он
называется “проверочным”, затем проверьте ответы ( они написаны под
тестом в перевёрнутом виде). Если вы не можете выполнить задание или
сделали в нём ошибку, в следующем разделе (“Улучшите свои знания”) под
тем же номером, что и задание, вы найдёте правило и ( самое главное!)
алгоритм его применения с подробными примерами. Вам станет ясно, в чём
же была проблема. Далее проверьте себя по разделу “Наиболее часто
встречающиеся ошибки” и, наконец, выполните контрольный тест, а ответы
сверьте с приведёнными в конце книги.
Эта книга также будет полезна учащимся 10-11 классов как справочник– помощник, т.к. содержит основной теоретический курс математики и
подробные указания его применения.
В предлагаемых основных материалах нет сложных заданий,
рассчитанных на изучение математики на повышенном уровне, но она может
быть первым этапом в подготовке к различным видам тестирования и другим
конкурсным испытаниям.
В дополнительных материалах содержится информация, которой нужно
владеть для выполнения заданий повышенного уровня. Приводится тест по
всему курсу математики 10-11 классов. Задания, отмеченные * повышенной
сложности.
Автор.
2
Алгебра и начала анализа
Тема 1
Тригонометрические функции
Проверочный тест
1. Найдите:
а) область определения функций,
б) множество значений функций:
-3sinx;
tgx+5;
cos2x.
2. Определите период функций:
а) sin2x; б) cos 0,5x; в) tg7x.
3. Выясните, какие из функций являются четными, какие – нечетными, а
какие – ни четными, ни нечетными:
а) tg2x; б) sinx∙cos 3x;
в)⅓cosx; г)sinx+cosx.
4. Определите знак произведения:
а) sin50° · cos60° · sin 188° · cos 189° ;
б) tg2 · sin4.
5. Что больше: а)sin 37° или sin 67°; б)cos 54° или cos45°; в)tg59° или
tg13°?
6. Постройте графики функций:
а)sin2x; б)cos х/2; б) tg ¼x.
Ответы:
1. а) х – любое число; х ≠ π/2 +πk , k – целое число; х – любое число.
б) [-3; 3]; (-∞; +∞); [-1; 1] .
2. а)π/2; б)2π; в)2π/7.
3. в)четная функция; а),б) – нечетные функции, г) не является ни четной
функцией, ни нечетной.
4. а)“плюс”; б)“минус”.
5. а)sin 67° > sin 37°; б)cos45° >cos 54°;в) tg59° >tg13°.
3
6.
Y
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Y
1
X
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
20
16
12
8
4
-16
-12
-8
-4
0
-4
-8
-12
-16
-20
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Y
X
4
8
4
12
16
Улучшите свои знания
1.a)Область определения(D) тригонометрических функций :
D(sin x) = (-∞; +∞); D(cosx) = (- ∞; +∞); D(tgx) : х ≠ π/2 +πk , k – целое
число.
Примеры
Найдите область определения функций:
1. 2sin5x; 2. -cos4x; 3. tg3x.
Решение.
Так как область определения функции y = sint – все действительные числа,
т. е. t  (-∞; +∞),то 5x тоже принадлежит этому промежутку, 5x (-∞; +∞),
значит, х  (-∞; +∞). D(2sin5x) = (-∞; +∞).
1.Так как область определения функции y = cost – все действительные
числа, т. е. t  (-∞; +∞),то 4x тоже принадлежит этому промежутку,
4x  (-∞;+∞), значит, х  (-∞; +∞). D(-cos4x) = (- ∞ ; +∞).
Так как область определения функции y = tgt все действительные числа,
кроме t = π/2 +πk, где k – целое число, то 3х ≠ π/2 + πk , k – целое число, т.е.
х ≠ π/6+πk/3, k – целое число. D(tg3x) : х ≠ π/6 +πk/3 , k – целое число.
b) Множество значений (E) тригонометрических функций:
E(sinx) = [-1; 1] ; E(cosx) = [-1; 1] ; E (tgx) = (-∞; +∞).
Примеры
Найдите множество значений функций:
1. 2sin5x; 2.-cos4x; 3. tg3x.
Решение.
1. Так как множество значений функции sint – отрезок [-1; 1], то
-1 ≤sin5x≤1, т.е. -2≤2sin5x≤2, значит, Е(2sin5x) =[-2;2].
2. Так как множество значений функции cost – отрезок [-1; 1], то
-1 ≤сos4x ≤1, т.е. -1 ≤ -сos4x ≤1, значит, Е (-cos4x) =[-1;1].
3. Так как множество значений функции tg t - вся числовая прямая:
(-∞;+∞), то и Е (tg 3x) = (-∞; +∞).
2. Функция f(x) называется
периодической с периодом Т (Т≠0) , если для
любого х из области определения функции х ± Т тоже принадлежит области
определения функции, и f(х ± Т) = f(x).
Свойства:
1. Если Т – период функции f(x), то kT – тоже период f(x), где k –
произвольное целое число.
5
2. Если Т – период функции f(x), то период функции f(mx) (m –
некоторое действительное число, не равное нулю) равен Т/m.
Период функций sinx и cosx равен 2π, период функции tgx равен π.
Примеры
Определите период функции: 1. sin2x; 2. tg7x.
Решение.
1. Так как период функции sinx равен 2π, то период функции sin2x равен
2π/2=π.
2. Так как период функции tgx равен π, то период функции tg7x равен π/7.
3. Функция f(x) называется четной, если для любого x из области
определения функции f(x) -x также принадлежит области определения и
f(x) = f(-x).
Функция f(x) называется нечетной, если для любого x из области
определения функции f(x), - x также принадлежит области определения и
f(-x) = - f(x).
Примеры
Установите четность или нечетность функции:
1. y= x²-|x|; 2.y =x³ - x; 3. y = 3√x+5; 4.y = x - x².
Решение.
1. Область определения данной функции – все действительные числа,
f(-x)= (-x)²-|-x| = x²- |x| = f(x), значит, функция y= x²-|x| четная.
2. Область определения данной функции – все действительные числа,
f(-x) = (-x)³ -(- x) = - x³ + x =-( x³ - x) = - f(x).
3. Область определения данной функции – все неотрицательные
действительные числа. Значит, если x  D(3√x+5), тo
– x  D(3√x+5),т.е.данная функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Область определения данной функции – все действительные числа,
f(-x)= -x- (-x)² =-x -x² =-(x+x²) ≠ - f(x) ≠ f(x), значит, данная функция не
является ни четной, ни нечетной.
Функции sinx и tgx являются нечетными, функция cosx – четная:
sin(-x)=-sinx; tg(-x) = -tgx; cos(-x) =cosx.
Примеры
Выясните, какие из этих функций являюся четными, какие – нечетными,
а какие – ни четными , ни нечетными:
1. y = -2 sin 6x +tg4x;
2. y = 4cos 3x + 3;
3. y = sinx + cosx.
Решение.
6
1. f(-x) =-2sin 6(-x )+tg4(-x) = 2 sin 6x - tg4x= -(-2 sin 6x +tg4x) =- f(x),
функция является нечетной.
2. f(-x) = 4cos 3(-x) + 3 =4cos 3x + 3= f(x), функция является четной.
3. f(-x) = sin(-x) + cos(-x) =-sinx +cosx ≠ - f(x) ≠ f(x), значит, функция не
является ни четной, ни нечетной.
4.Промежутки знакопостоянства и нули функции.
Промежутки знакопостоянства функции – числовые промежутки, на
которых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или
отрицательной).
y
Промежутки знакопостоянства функции sinx:
sinx
sinx > 0 х  (2πk; π +2πк), k – любое целое
число;
sinx < 0 х  (π +2πк; 2πk), k – любое целое
х
число.
Промежутки знакопостоянства функции cosx:
сosx > 0 х  (-π/2 +2πk; π/2 +2πк), k – любое
целое число;
cosx < 0 х  (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k – любое
целое число.
y
cosx
х
y
Промежутки знакопостоянства функции tgx:
tgx > 0
х  (πk; π/2 +πк), k – любое целое число;
tgx <0
х  (-π/2 +πк; πk), k – любое целое число.
tgx
Нулями функции называются значения аргумента, при которых значение
функции равно нулю.
Нули функции sinx: sinx=0, x= πк, k – любое целое число.
Нули функции cosx: cosx= 0, x = π/2 +πк, k – любое целое число.
Нули функции tgx: tgx =0, x= πк, k – любое целое число.
Примеры
Определить знак произведения:
1. sin57° · cos80° · sin 108° · cos 139° ;
2.tg67°∙sin73° ∙cos 246°;
3. tg4 · sin2· cos1.
Решение.
7
x
1. Так как угол 57° принадлежит первой четверти (т.е. 0° <57°< 90°), то
sin57° > 0. Угол 80° также принадледит первой четверти, значит,
cos80°. Углы 108° и 139° принадлежат второй четверти, т.е.
sin 108° >0, cos 139° <0. Значит, sin57° · cos80° · sin 108° · cos 139° <0,
как произведение трех положительных и одного отрицательного чисел.
2. Углы 67° и 73° принадлежат первой четверти, угол 246° - третьей,
значит, tg67°>0, sin73° >0, cos 246°<0, т.е. tg67°∙sin73° ∙cos 246° <0.
3. Так как π ≈ 3.14, то π < 4 < 3π/2, то угол 4 радиана принадлежит
третьей четверти, т.е. tg4 > 0. Аналогично, угол 2 радиана
принаддежит второй четверти, т.е. sin 2 > 0, и угол 1радиан
принаддежит первой четверти, cos1>0. Значит, tg4 · sin2· cos1 >0.
5. Функция f(x) называется возрастающей
на множестве М, если для любых
двух значений аргумента из множества М (х1 и x2), большему значению
аргумента соответствует большее значение функции (если х1>x2, то
f(x1)>f(x2), а если х1<x2, то f(x1)<f(x2)).
Функция f(x) называется убывающей на множестве М, если для любых
двух значений аргумента из множества М (х1 и x2), большему значению
аргумента соответствует меньшее значение функции (если х1>x2, то
f(x1) <f(x2), а если х1<x2, то f(x1) >f(x2)).
Функция, только возрастающая или только убывающая на множестве М,
называется монотонной на этом множестве.
Функция y=sinx возрастает на промежутках (- π/2 +2πк; π/2+2πk), k – любое
целое число.
Функция y=cosx возрастает на промежутках (- π+2πк; 2πk), k – любое целое
число.
Функция y=sinx убывает на промежутках (π/2 +2πк; 3π/2+2πk), k – любое
целое число.
Функция y=cosx убывает на промежутках (2πк; π+2πk), k – любое целое
число.
Функция y=tgx возрастает на промежутках (- π/2 +2πк; π/2+2πk), k – любое
целое число.
Примеры
Что больше:
1. sin 37° или sin 67°; 2. cos 54° или cos45°; 3. tg59° или tg13°?
Решение.
1. Так как функция y=sinx возрастает на промежутке (-90°; 90°),
и 37°  (-90°; 90°), 67°  (-90°; 90°), и 37° < 67°, то sin 37° < sin 67°.
8
2. Так как функция y=cosx убывает на промежутке (-90°; 90°),
и 54°  (-90°; 90°), 45°  (-90°; 90°), и 54° > 45°, то cos 54° < cos 45°.
3. Так как функция y=tgx возрастает на промежутке (-90°; 90°), то
tg59° > tg13°.
6. График функции y=sinx (рис.4):
2
Y
1
X
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
-2
рис.4
График функции y=cosx (рис.5):
2
Y
1
X
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
-2
рис.5
График функции y=tgx (рис.6):
10
8
6
4
2
-7
-6
-5
-4
-3
-2
Y
-1 -20
-4
-6
-8
-10
X
1
2
3
4
5
6
7
рис.6
Примеры
1. Построим график функции y=sin2x. Период этой функции равен
2π/2=π. Построим синусоиду на этом периоде (рис.7).
9
Y
1
X
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Рис.7
2. Построим график функции y=cos ⅔x. Период cos ⅔x равен 3π.
Построим график на этом периоде (рис.8).
Y
1
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-1
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
Рис.8
3. Построим график функции y=tg7x. Период tg7x равен π/7. Построим
график на этом периоде (рис.9).
Y
2
1
X
-2
-1
0
-1
1
2
-2
рис.9
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1. sin47° < sin157° - неверно, так как 47° и 157° принадлежат разным
промежуткам монотонности. Чтобы выяснить, какое из чисел sin47° или
sin107° больше, надо заменить углы 47° и 107° на углы принадлежащие
одному промежутку монотонности:
воспользуемся формулой sinα = sin(180° - α) для α =157°, sin157°= sin23°.
Далее, так как 47° (-90°; 90°), 73° (-90°; 90°) и sinx возрастает на
промежутке (-90°; 90°), то sin 47° > sin23°, т.е. sin47° > sin157°.
10
2. tg 2 > 0 – неверно. Правильно будет: угол 2 радиана принадлежит
промежутку (π/2; π), значит, tg 2 < 0.
Контрольный тест
1. Найдите:
а) область определения функции:
x3
;
sin x
cos 2 x
;
2x  1
tg(3x+ π/4);
б) множество значений функции:
-2сos2x; ⅓ sinx +1; tgx .
2. Найдите период функции:
3,4sin 11x +2; tg(πх); сos(0.4x+ π/6).
3. Выясните, какие из этих функций являюся четными, какие –
нечетными, а какие – ни четными , ни нечетными:
xcosx;
sin(x+ 1); tg(x 2 ).
4. Определить знак значения выражения:
sin( 47)
;
cos 160tg318
sin129°cos95°tg260°;
5. Расположите в порядке возрастания числа:
а) sin π/12; sin 10π /9; sin 2,1 π; б) cos π/5; cos2,3 π; cos1,4 π;
в) tg π/7; tg2,9 π; tg4 π.
6. Укажите, на каком из рисунков изображен график функции у= cos3x.
а)
б)
2
Y
2
Y
X
-4
-2
0
2
X
4
-4
-2
в)
-2
0
-2
г)
11
2
4
Y
Y
4
4
2
2
X
0
-2
X
2
-2
0
-2
-2
-4
-4
2
Тема 2
Основные тригонометрические тождества
Проверочный тест:
1. Найдите:
а) sinx и tgx, если сosx =1/5, x  [- π/2;0].
б) cosx, если tgx=2, x  [ π; 3π/2].
2. а) Найдите sin(α+β), если sinα =3/5, а cosβ=⅓ , α  [π/2; π], β  [0; π/2],
б) Упростите:
cos110 cos 40  sin 110 sin 40
.
sin 35 cos15  cos 35 sin 15
3. а) Найдите: сos 210°; sin(-135°); tg (11π/6).
б) Упростите:
sin( 10)  cos 347  tg195
.
cos 255  cos 280  sin 77
4. а) Найдите sin2α; cos2α; tg2α, если tgα=5, α  [0; π/2]
2
7
б) Найдите sinx, cosx, tgx, если cos2x= , x  [π/2; π].
5. Упростите:
sin
cos

8

12
 sin
3
8
 cos

24
12
Ответы:
1. а) б)
2 6
; 2 6 ;
5
1
;
cos 15
4. а)
б) 
1
5
;
5
12
5
; - ;- ;
13 13 12
2.а)
б)
38 2
;
15
5
;14
б) 1;
3
14
;-
3. а) -
5
;
3
3
2
1
;- ; - ;
2
2
3
2 sin
5.
cos

16 .

48
Улучшите свои знания
1.Тригонометрические функции одного и того же аргумента
1. sin²x + cos²x =1
- сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же аргумента равна 1.
По этой формуле, зная значения синуса какого – нибудь угла (например,
sinx =1/3), можно найти косинус этого же угла (cos²x =1- sin²x =1-(1/3)²=
=1-1/9=8/9, cosx=±2
2
. Знак cosx зависит от того, в какой четверти
3
находится угол х.
Зная значения косинуса какого – нибудь угла, по этой формуле можно
найти синус этого же угла: найдем sinx, если сosx=1/5, x  [- π/2;0];
sin²x=1-cos²х =24/25, sinx=-2
sin x
2.
cos x
6
, так как при x  [- π/2;0] sinx<0.
5
cos x
 ctgx
sin x
 tgx,
где x≠ πn, n – любое целое число;
где x≠ πn, n – любое целое число
3. ctg²x +1 = 1/ sin²x, x≠ πn, n – любое целое число.
По этой формуле, зная значения котангенса какого – нибудь угла
(например, ctgx =4), можно найти синус этого же угла, т.е. sinx.
(sinx=
1
1
=  , знак зависит от того, в какой четверти находится угол
2
17
1  ctg x
х)
4. tg²x +1 = 1/ cos²x, x≠π/2+ πn, n – любое целое число.
По этой формуле, зная значения тангенса какого – нибудь угла (например,
tgx =5, x  [π/2; π] ), можно найти косинус этого же угла, т.е. cosx.
13
(cosx = -
5.
1
1  ctg x
2
=
1
26
, знак «- », так как при x  [π/2; π] cosx<0)
tgx∙ctgx=1, x≠π/2∙n, n – любое целое число.
Пример:
Найдите значения всех тригонометрических функции угла x, если
tgx =0.75, x  [π; 3/2π]
Решение.
Из формулы tgx∙ctgx=1 найдем ctgx=1/tgx =1:0.75 = 4/3.
Из формулы tg²x +1 = 1/ cos²x найдем cosx = -
1
tg 2 x  1

1
0.2 75  1
 0.8 ,
знак «- » , берется потому, что при x  [π; 3/2π] cosx<0.
Из формулы
sin x
 tgx найдем sinx = cosx∙tgx =- 0.8∙0.75 = -0.6.
cos x
2.Формулы суммы и разности одноименных
тригонометрических функций
1. Синус суммы двух углов:
sin(x +y) =sinxcosy + sinycosx
2. Синус разности двух углов:
sin(x -y) =sinxcosy - sinycosx
3. Косинус суммы двух углов:
cos(x+y) = cosxcosy – sinx siny
4. Косинус разности двух углов:
cos(x-y) = cosxcosy + sinx siny
5. Тангенс суммы двух углов:
tg(x+y) =
tgx  tgy
, где
1  tgx  tgy
x+y≠ π/2+ πn, x≠π/2+πk, y≠π /2+πm, n,m,k – целые числа.
6. Тангенс разности двух углов:
tg(x-y) =
tgx  tgy
, где
1  tgx  tgy
x- y≠ π/2+ πn, x≠π/2+πk, y≠π /2+πm, n,m,k –целые числа.
Примеры:
а) Найдите cos(x+y), если sinx =3/5, а cosy=⅓ , x  [π/2; π], y  [0; π/2].
Решение.
14
Запишем формулу cos(x+y) = cosx cosy – sinx siny. В правой части этой
формулы значения cosx и siny не известны .Найдем их:
cosx = -
3
=  1   
5
2
1 sin x
2
4
  , siny =
5
2
1  cos 2 y = 1   1   2 2 .
 3
3
Подставим найденные значения в формулу cos(x+y) = cosxcosy – sinx siny,
3 2 2
46 2

.
5 3
15
cos110 cos 40  sin 110 sin 40
б) Упростите выражение:
.
sin 35 cos15  cos 35 sin 15
4 1
5 3
получим: cos(x+y)=    
Решение.
Замечаем, что в числителе представленной дроби записана правая часть
формулы косинуса разности двух углов, т.е.
cos 110°cos40° +sin 110° sin 40° = cos(110° – 40°)= cos70°.
В знаменателе представленной дроби записана правая часть формулы
синуса разности двух углов, т.е.
sin 35°cos15° – cos35°sin15°=sin(35° – 15°) = sin 20°. Тогда получим:
cos110 cos 40  sin 110 sin 40 cos 70 0 sin 20 0
=

 1 , cos 70° = sin20°,т.к. 20°
sin 35 cos15  cos 35 sin 15
sin 20 0 sin 20 0
дополняет 70° до 90°.
3. Формулы приведения
Формулы приведения позволяют от тригонометрических функций
аргумента π/2·n +α, перейти к тригоометрическим функциям аргумента α.
Например, sin(π/2+α) = cos α, cos(π+α) = - cos α.
Правило:
а) если в формуле приведения (например, cos(5π/2+α) ) аргумент α
прибавляется к числу π/2(или вычитается из числа π/2), взятого нечетное
число раз( в нашем случае 5раз ), то название функции меняется на
кофункцию: синус- на косинус, косинус- на синус, тангенс- на котангенс
(в нашем случае название функции косинус изменится на синус);
б) если в формуле приведения (например, cos(3π +α) ) аргумент α
прибавляется к числу π/2(или вычитается из числа π/2), взятого четное
число раз( в нашем случае – 6 раз, 3π =6· π/2 ), то название функции не
меняется;
в) знак приведенной функции определяется по знаку приводимой функции
в соответствующее четверти, считая угол α острым ( так как 5π/2+α
принадлежит второй четверти, а во второй четверти косинус принимает
отрицательные значения, то cos(5π/2+α)=-sinα; угол 3π +α принадлежит
третьей четверти, а в третьей четверти косинус принимает отрицательные
значения, значит, cos(3π +α)=-cos α).
Примеры
а) Найдите: сos 210°; sin(-135°); tg (11π/6).
15
Решение.
сos 210°= cos(180˚+30˚) =-cos30˚=- 3 /2, так как 180˚=90˚·2(π/2 взято
четное число раз), то название функции не меняется; угол 180˚+30˚
находится в третьей четверти , значения косинуса в ней отрицательны,
поэтому перед приведенной функцией поставлен «- ».
sin(-135°) =-sin(90° +45°)=- cos45° = - 2 /2
tg (11π/6) = tg (2π- π/6)=-tg π/6=- 3 /3
б) Упростите выражение:
cos 310 cos 40  sin 310 sin 40
sin 350 cos 50  cos 350 sin 50
Решение.
cos 310 cos 50  sin 310 sin 50 cos(310 0  50 0 ) cos 260
=
=
=
sin 390 cos 20  cos 390 sin 20 sin( 390 0  20 0 ) sin 370
cos( 270  10)  sin 10
 1
=
=
sin 10
sin( 360   10)
4.a)Формулы двойного аргумента
1. Синус двойного аргумента: sin2x = 2sinxcosx
2. Косинус двойного аргумента: cos2x = cos2 x - sin2 x
3. Тангенс двойного аргумента:
2tgx
x
x 
, x   k , k  Z , x   n, n  Z ,
tg2x =
2
4 2
1  tg 2 x
Пример
Найдите sin2α; cos2α; tg2α, если tgα=5, α  [0; π/2]
Решение.
Запишем формулу синуса двойного аргумента: sin2α = 2sinαcosα.
В правой части этой формулы не известны sinα и соsα.
Из формулы tg² α +1 = 1/ cos² α найдем cos α .
соs α =
sinα.
1
tg   1
2

1
5 1
2

1
26
sinα = 1  cos 2   1 
. Из формулы sin2 α +соs2 α=1 найдем
1
5
. Подставим найденные значения

26
26
sinα и соs α в формулу синуса двойного аргумента: sin2α = 2sinαcosα =
=2
1
5
26
26
2
5
5
 .
26 13
cos2α найдем из формулы косинуса двойного аргумента:
1 25
24
12


 .
26 26
26
13
sin 
5  12 
5
 :     .
tg2α =
cos  13  13 
12
соs 2α = cos2α – sin2α =
16
б)Формулы половинного аргумента
1  cos x
2
x
1  cos x

2
2
x
2
1.Синус половинного аргумента: six  
2.Косинус половинного аргумента: cos
3.Тангенс половинного
x
2
аргумента:tg 
1  cos x
sin x
1  cos x


.
1  cos x 1  cos x
sin x
x  n, n  Z
Пример
Решение.
1
7
Найдите sinx, cosx, tgx, если cos2x= , x  [π/2; π].
По формуле синуса половинного аргумента найдем sinx= 
1
2
2
7 
1  cos 2 x
=
2
5
. Выбираем знак «+», так как x  [π/2; π](вторая четверть), sinx
14
в этой четверти положительный.
По формуле косинуса половинного аргумента найдем соsx= 

1  cos 2 x
=
2
2
7   9   3 , выбираем знак «-», так как x  [π/2; π](вторая
2
14
14
1
четверть), cosx в этой четверти отрицательный.
tgx =
sin x
5 
3 
5

: 
.

cos x
14 
3
14 
5. Формулы cуммы и разности одноименных
тригонометрическихфункций (синуса и косинуса).
1.Сумма синусов двух углов:
sinx +siny =2sin x  y cos x  y
2
2
2. Разность синусов двух углов:
sinx - siny =2sin x  y cos x  y
2
2
3. Сумма косинусов двух углов:
cosx +cosy =2cos x  y cos x  y
2
2
4. Разность косинусов двух углов:
cosx – cosy = -2 sin
x y
sin x  y
2
2
17
Пример
Упростите:
sin
cos

8

12
 sin
3
8
 cos

24
Решение.
К числителю дроби применим формулу разности синусов, а к
знаменателю –формулу суммы косинусов, получим:
1   3 
1   3 
3


2 sin  
 cos  

sin cos
2
8
8
2
8
8



 
8
8 =
8
4 




1 
 
1   
cos  cos
2 cos    cos    cos cos
16
24
12
24
2  12 24 
2  12 24 
sin

 sin


8
16
По формуле синуса двойного аргумента заменим: sin =2 sin
соs

4

2
, получим
2
sin
cos

8

16
cos
cos

4 =

24

16
,а
2

2 sin
16
16 2 
16 .



cos cos
cos
16
48
48
2 sin

cos
cos

Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1.По значению sinα = - , α   ;
3
5

3 
. Найдите соsα.
2 
3
4
3
cоsα = 1  sin   1      , этот ответ неверный, т.к. α   ;  ,
5
 5
 2 
2
2
а в этом промежутке значения косинуса отрицательны.
2
3
4
Правильно будет: cоsα = - 1  sin    1       .
5
 5
2
2.Примените формулы приведения к выражениям а) sin(3π-α) ;б) tg(x а)sin(3π-α) = cosα. Это неверно, название функции не меняется, так как
3
π).
2

2
3
3
3
б) tg(x - π) = ctgx, это неверно, верно будет: tg(x - π) =- tg( π-x) =-ctgx
2
2
2
3π =6 , 6 – четное число. Верно будет: sin(3π-α) = sinα.
Контрольный тест
1.Вычислите cos105˚- sin195˚+sin(-135˚).

2.Найдите sin   x  , если tgx = 2, x   ;   .
4

 2 
3
18
3.Упростите выражение:
sin 2
.
1  cos 2
4.Вычислите, не пользуясь таблицами: sin 22,5˚.
Тема 3
Tригонометрические уравнения
Проверочный тест:
1
1
1.Вычислите: а) arcsin     arccos     arctg(1) .
 2
 2
б) arcsin  1  arccos  1  arctg(  3 ) .
2.Решите уравнение:
а) sinx =
3
1
; б)cosx = - ; в) tgx =
2
2
3.
3.Решите уравнение:
а) sin2 x + cosx +1= 0; б) sin2 x +2sinxcosx - 3cos2x = 0;
в) 3sinx +4cosx = 2.
Ответы:


2
;

11
1.а) 4 б)   . 2. а) (-1)k 3  k , k  Z .б)  3  2k , k  Z ; . в)  k , k  Z ;
3
6
2.а)   k , k  Z б) arctg(-3)+πn, n  Z ;

4
 k , k  Z .в)  1 arcsin
k
2
4
 arctg  k , k  Z .
5
3
Улучшите свои знания
1.Обратные тригонометрические функции
  
Арксинусом числа a называется угол, заключенный в промежутке  ;  ,
 2 2
  
синус которого равен a: аrcsin a = α, sin α=a,    ;  .
 2 2
19
Примеры
Вычислите: а) arcsin0,5; б) arcsin(-0,5);
 



, так как sin = 0,5,   ;  .
6
6
6  2 2
 



б) arcsin(-0,5)= - , так как sin    = -0,5, -   ;  .
6
6  2 2
 6
а)arcsin0,5=
Арккосинусом числа a называется угол, заключенный в промежутке 0;  ,
косинус которого равен a: аrcсоы a = α, cosα=a,   0;  .
Примеры
Вычислите: а) arccos0,5; б) arccos (-0,5);



, так как cos = 0,5,  0; 
3
3
3
2
2
2
б) arccos(- 0,5)=
, так как cos = - 0,5,
 0; 
3
3
3
а) arccos 0,5=
Арктангенсом числа a называется угол, заключенный в промежутке
  
  
  ;  тангенс которого равен a: аrctg a = α, tgα=a,     ; 
 2 2
 2 2
Примеры
Вычислите: а) arctg1; б) arctg (-1);


4
4
а)arctg1= , так как tg
б) arctg(-1) = -
 1,

  
   ; .
4  2 2

   
, так как tg(- )  1,    ; .
4
4
4  2 2

2.Простейшие тригонометрические уравнения
Уравнение sinx = a, x- неизвестная переменная, a-некоторое постоянное
число.
а)Если a>1 или a< -1 , то уравнение sinx = a не имеет решений.
Например, уравнения sinx = 4, sinx = -2,4 не имеют решений.
б)Ecли a= 1, то решение уравнения : x=

2
 2n, n  Z .

 2n, n  Z .
2
г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x= n, n  Z .
д) Ecли a  1, то x=(-1)narcsina+πn, n  Z .
в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x= -
Например, решение уравнения sinx = 0,3 записывается в виде
x=(-1)narcsin0,3+πn, n  Z .
Уравнение соsx = a, x- неизвестная переменная, a-некоторое постоянное
число.
а)Если a>1 или a< -1 , то уравнение cosx = a не имеет решений.
Например, уравнения cosx = 1,4, sinx = -2,5 не имеют решений.
20
б)Ecли a = 1, то решение уравнения: x= 2n, n  Z .
в) Ecли a= -1, то решение уравнения: x=   2n, n  Z .
г) Ecли a= 0, то решение уравнения: x=

 n, n  Z .
2
д) Ecли a  1, то x=  arccosa+2πn, n Z .
Например, решение уравнения cosx = 0,3 записывается в виде
x=  arccos0,3+2πn, n Z .
Уравнение tgx = a, x- неизвестная переменная, a-некоторое постоянное
число.
Решение уравнения x=arctga + πn, n Z .
Например, решение уравнения tgx=3, будет x=arctg3 + πn, n Z .
Замечание: если a=0, то x= πn, n Z .
Примеры
Решите уравнение:
а) sinx = 3; б) sinx = -
2
2
; в) cosx = -2,3; г) cosx = - ; д) tgx =
2
2
3.
а) Так как 3>1, то решений нет. Ответ: решений нет.
б) x =(-1)k arcsin(x =(-1)k+1
2

)+ k , k  Z . x =(-1)k    + k , k  Z ,
2
 4


+ k , k  Z . Ответ: (-1)k+1 + k , k  Z .
4
4
в) Так как -2,3>1, то решений нет; Ответ: решений нет.

г) x=  arccos  

Ответ: 
2 
3
 2n, n  Z , x= 
 2n, n  Z ;

2 
4
3
 2n, n  Z ;
4
д) tgx = 3 , x = arctg 3 + k , k  Z . x =


+ k , k  Z . Ответ: + k , k  Z .
3
3
3.Виды тригонометрических уравнений:
1.Уравнения, приводимые к квадратным
Такие тригонометрические уравнения можно привести к виду
af2(x)+bf(x)+c= 0,
где a,b,c – некоторые действительные числа,a ≠0, f(x)- одна из
тригонометрических функций.
Например, 4sin2x +5 sinx+1 = 0.
Обозначим sinx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:
4t2 +5t +1 = 0, это квадратное уравнение относительно t, найдем его корни.
D=9, t1= -1;t2=-0,25.
21
Подставим найденные значения t1 и t2 в равенство (1).
Получим простейшие тригонометричкские уравнения sinx =-1,sinx =- 0, 25.

Решение первого уравнения x= -  2n, n  Z . Решение второго уравнения
2
x =(-1)k+1arcsin0,25+ k , k  Z .
Ответ: -

2
 2n, n  Z ; (-1)k+1arcsin0,25+ k , k  Z .
Пример
Решить уравнение sin2 x + cosx +1= 0.
Решение
sin2 x + cosx +1= 0, заменяя sin2 x = 1- cos 2x, получим 1- cos 2x+ cosx +1= 0,
cos 2x - cosx -2= 0.
Обозначим cosx = t, (1)тогда данное уравнение можно записать в виде:
t2 -t -2 = 0, это квадратное уравнение относительно t найдем его корни.
D=9, t1= -1; t2 =2
Подставим найденные значения t1 и t2 в равенство (1).
Получим простейшие тригонометричкские уравнения cosx = -1, cosx = 2.
Решение первого уравнения x= -   2n, n  Z .
Второе уравнение решений не имеет, т.к. 2>1.
Ответ:   2n, n  Z ,
2.Однородные тригонометрические уравнения ( второй степени).
Такие уравнения можно привести к виду a∙sin2x+bsinxcosx+ k∙аcos2x= 0,
a,b,k – некоторые действительные числа, a≠0, k≠0.
Например, 4sin2x +5sinx cosx+cos2x = 0.
Чтобы решить такое уравнение, надо:
1. Разделить почленно обе части уравнения на cos 2x ≠ 0,т.е.
sin 2 x
sin x cos x cos 2 x
0


4 2 5
;
2
2
cos x
cos x
cos x cos 2 x
sin 2 x
sin x
 1  0, 4tg 2x +5tgx+1=0.
2.Выполнить преобразования: 4 2  5
cos x
cos x
3.Решить квадратное уравнение относительно tgx, tgx =t.
4t 2 +5t +1 = 0,
D=9, t1= -1;t2=- 0,25.
tgx = -1, tgx = - 0,25.
x = arctg(-1)+πk, k  Z или x = arctg(-0,25)+πn, n  Z ,

+πk, k  Z или x = - arctg 0,25+πn, n  Z .
4

Ответ: - +πk, k  Z ; - arctg0,25+πn, n  Z
4
x=-
Пример
Решить уравнение 4sin2x +sin2x -3 = 0.
Решение
22
Заменим в данном уравнении sin2x по формуле двойного аргумента на
2sinxcosx, а 3- на 3sin2x +3сos2x , т.к. sin2x +сos2x =1, получим:
4sin2x +2sinxcosx-3sin2x -3сos2x =0, sin2x +2sinxcosx-3сos2x =0.
Последнее уравнение – однородное. Решим его:
sin 2 x
sin x cos x
cos 2 x
0
;

2

3

2
2
2
cos x
cos x
cos x cos 2 x
sin 2 x
sin x
2.
2
 3  0, tg2x +2tgx - 3= 0.
2
cos x
cos x
1.
3. tgx =t, t2 +2t - 3= 0. D=16, t1= 1;t2= -2 .
tgx = 1, tgx = - 2.
x = arctg1+πk, k  Z или x = arctg(-2)+πn, n  Z ,

+πk, k  Z или x = - arctg 2+πn, n  Z .
4

Ответ: +πk, k  Z ; - arctg2+πn, n  Z
4
x=
3.Уравнение вида
asinx+bcosx=c
Чтобы решить уравнение такого вида ( например, 3sinx+4cosx=2), можно
1.Записать его в виде sin(x +t) =
c
a 2  b2
2
( в нашем случае sin(x +t) =
32  42
,
2
5
sin(x +t) = ).
2.Решить простейшее тригонометрическое уравнение: sin(x +t) =
c
a 2  b2
2
5
k
x = (-1) arcsin0,4 – t +πk, k  Z ;
( в нашем случае sin(x +t) = , x+t = (-1)k arcsin0,4 +πk, k  Z ;
3. Определить t, t = arctgb/a ( в нашем случае t = arctg4/3);
4. Записать ответ: x = (-1)k arcsin0,4 – arctg4/3+πk, k  Z .
Пример
Решите уравнение 2sinx +cosx = 1.
Решение
1. sin(x +t) =
1
2 2  12
1
2. x+t = (-1)k arcsin
, sin(x +t) =
5
1
5
;
+πk, k  Z , x = (-1)k arcsin
kZ;
3. t = arctg1/2;
4. k  Z , x = (-1)k arcsin
1
5
-arctg0,5 +πk, k  Z /
4.Некоторые другие виды тригонометрических уравнений
23
1
5
-t+πk,
Примеры
Решите уравнение:

3
а) sin(3x+ ) = 0,5; б) sin2x + cosx = 0 ; в)sinx + cosx = 0.
Решение

3
а) sin(3x+ ) = 0,5.

3
Обозначим 3x+ = t, получим: sint = 0,5- простейшее
уравнение, его решение t =(-1)k

3

3
3x+ , получим 3x + = (-1)k

+ k , k  Z . Заменим t на
6

+ k , k  Z .
6
Решим это уравнение относительно х:

3

6
3x = - + (-1)k + k , k  Z , разделим все члены правой

9
части уравнения на 3, получим x = - + (-1)k

9
Ответ: - + (-1)k
 k
+ ,k  Z .
18 3
 k
+ ,k  Z .
18 3
б) sin2x – cosx = 0.
Заменим в данном уравнении sin2x по формуле синуса
двойного аргумента на 2sinxcosx, получим
2sinxсos + cosx = 0.
Затем вынесем cosx за скобки, получим: cosx (2sinx-1) = 0,
откуда сosx = 0 или 2sinx -1=0;

x =  k , k  Z или sinx = 0,5;
2

x =  k , k  Z или x = (-1)k
2
Ответ:

2
 k , k  Z ; (-1)k

+ n, n  Z .
6

+ n, n  Z .
6
в) sinx + cosx = 0.
Это уравнение можно рассматривать как однородное
уравнение первой степени относительно функций синуса и
косинуса. Чтобы решить это уравнение :
1. Разделим почленно обе части уравнения на
cosx,получим:
sin x cos x
0


cos x cos x cos x
2.Выполним преобразования:
tgx +1 = 0, tgx = -1 .
24
3.Решим простейшее уравнение tgx = -1, x= 
Ответ: 

4

4
 n, n  Z .
 n, n  Z .
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1.arccos(-0,5) = =
2
,
3


, это неверно. Правильно будет так: arccos(-0,5) = π - =
3
3
т.к.арккосинусом числа -0,5 называется угол, заключенный в промежутке
0;  , косинус которого равен -0,5.
2. Решение уравнения cos4x = 0,5, x = 
будет: x = 

12


12
 2k , k  Z , это неверно, правильно
2k
 k
, k  Z, x   
, k  Z.
4
12 2
3.При решении уравнения 2sinx +cosx = 1 получают 2
sin x cos x

 1 , это неcos x sin x
верно, уравнение 2sinx +cosx = 1 не однородное относительно sinx и cosx,
его решение приведено в п.3.
Контрольный тест
1.Вычислите: аrccos(-1) + arcsin(-1) + arctg(-1).


2.Решите уравнение : а) sin   x  = 0,5 ; б) tgx = 2; в) cos  x    
4
1
2

4
2
.
2
3.Решите уравнение:
а) 8sin x + cos2x +7= 0; б) sin2 x +2sinxcosx - 3cos2x +2 = 0;
в) 3sinx - 4cosx = 0.
Тема 4
Производная
Проверочный тест:
1.Найдите производную функции а) f(x) = 2x +5; б) f(x) = (3x -7)(4x+9);
в)f(x) =
1  2x
, г) f(x) =3x5.
4x  5
2.Найдите f '(2), если а) f(x) = 8x +5; б) f(x) = (3x -7)(4x+9);
25
в)f(x) =
1  2x
; г) f(x) =3x5.
4x  5
3.Найдите f '(x), если а) f(x) = 2 x ; б) f(x) = 3 x  5 ;
1
в)f(x) = (1-3x)4 ; г) f(x) = ( 2 x  5) 2 .
4.Найдите f '(x), если а) f(x) = sinx ;б) f(x) = cos2x ;
2
3
в)f(x) = tg3x; г) f(x) = ctg x .
Ответы:
 14
; г)15x4.
2
( 4 x  5)
 14
2. a) 8; б) 47; в)
; г) 240.
169
1
3
3
1. a) 2; б)24x-1; в)
4
.
( 2 x  5) 3
2x
2 3x  5
3
2
4. a) cosx; б) -2sinx; в)
; г) 
.
2
cos x
3 sin 2 x
3. a)
; б)
; в) -12(1-3x) ; г)
Улучшите свои знания
1.Производная суммы, произведения, частного, степени.
а)производная суммы двух функций (U и V) вычисляется по формуле
(U + V)' = U' + V',
в предположении, что производные слагаемых(U' и V') существуют.
Иначе: производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме
производных этих функций.
Замечания
1.1 Производная постоянной равна нулю: с'=0.
1.2 Производная от x равна 1 (x'=1).
1.3 Производная от kx+b равна k ( kx+b) ' = k.
1.4 Постоянный множитель можно выносить за занак производной,
например, (2x)'=2(x)'=2
Например, (2x+5)' = (2x) '+ 5' = 2+0 =2.
б)производная поизведения двух функций (U и V) вычисляется по
формуле
(U ∙ V)' = U'V + V'U,
в предположении, что производные множителей (U' и V') существуют.
26
Например, ((3x -7)(4x+9))' = (3x-7)'(4x+9) +(3x-7)(4x+9)' =3(4x+9)+4(3x-7) =
12x+27 +12x-28 = 24x -1.
в)производная частного двух функций (U и V) вычисляется по формуле

U V  V U
U 
,
  
V2
V 
в предположении, что производные U и Vсуществуют и V≠0.
Например,

(1  2 x )(4 x  5)  (4 x  5)(1  2 x )  2(4 x  5)  4(1  2 x )
 1  2x 



 
( 4 x  5) 2
( 4 x  5) 2
 4x  5 
 8 x  10  4  8 x
 14

2
( 4 x  5)
( 4 x  5) 2
в)производная степени xα
(xα)'=αxα -1.
Например, (5x8)'= 5(x8)' = 40x7.
2.Производная функции в точке
Чтобы вычислить производную функции в точке, надо:
1.Найти производную функции по правилам.
2. В найденную производную подставить данное значение аргумента.
Например:
Найдите f'(2), если f(x) =3 x5.
1. f'(x)=(3x5)'=15x4
2. f'(2)=15∙24=240.
3.Производная сложной функции
Производная сложной функции f'(g(x)) равна производной
промежуточной функци (y=g(x)), умноженной на производную функции
(f'(y)).
f'(g(x)) = f'(y) g'(x).
Чтобы найти производную сложной функции, надо:
1.Определить функцию f(y);
2. Определить функцию y =g(x);
3. Найти f'(y) g'(x).
Замечание3.1
f'(kx+b) =kf'(y), y=kx+в
Например:
Найдите ((1-3x)4)'
1.f(y) = y4
2.y=1-3x
27
3. 4(1-3x)3 (1-3x)' = -12(1-3x)3.
4.Производная тригонометрических функций
(sinx)'=cosx; (cosx)'= - sinx; tgx =
1
1
; ctgx=  2 .
2
cos x
sin x
Например, sin'(4x+7)=4cos(4x+7).
Примеры
Найдите производную функции а) f(x) = (2x +5)4; б) f(x) = (3x2 -7)(4x2+9);
в) f(x) =
1  2x 2
; г) f(x) =3cos(2x-1); д) f(x) =
4x 2  5
6x  7 .
Решение
а)Функция f(x) = (2x +5)4 сложная, вида f(kx+b). Найдем ее производную по
замечанию 3.1:
((2x +5)4 )' = 2∙4(2x+5)3 =8(2x+5)3.
б) Найдем производную функции (3x2 -7)(4x2+9) по правилу нахождения
производной произведения:
((3x2 -7)(4x2+9))' = (3x2-7) '(4x2+9) + (4x2+9)'(3x2-7) =3(4x2+9) +4(3x2-7) =
24x2 -1.
в) Найдем производную функции
1  2x 2
по правилу нахождения
4x 2  5
производной частного:

 1  2x 2 
(1  2 x 2 )(4 x 2  5)  (1  2 x 2 )( 4 x 2  5)  4 x(4 x 2  5)  (1  2 x 2 )8 x
 2
 


(4 x 2  5) 2
(4 x 2  5) 2
 4x  5 
 16 x 3  20 x  8 x  16 x 3
28 x


2
2
(4 x  5)
(4 x 2  5) 2
г) f'(x) =(3cos(2x-1))'= 3(cos(2x-1))', (постоянный множитель можно выносить
за
знак производной ), далее 3(cos(2x-1))' = -3∙2sin(2x-1), ( производная
cosy = - siny и f'(kx+b) = kf'(y), поэтому возникает коэффициент 2).
Окончательно имеем: f'(x) = -6sin(2x-1).
д) f'(x) = ( 6 x  7 )' = ((6x-7)0,5)' =0,5∙6( 6x -7)0,5-1 =3(6x -1)-0,5,
28
для нахождения этой производной выполнили следующее :
1. представили квадратный корень в виде степени с показателем 0.5;
2. применили формулу для отыскания производной степени ((уt )'=tyt-1);
3. использовали замечание 3.1( появился множитель 6).
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1.( 1-2x)'≠ 2, верно будет так: ( 1-2x)'=-2.
2. (x-3)' ≠-3x-2, правильно будет так: (x-3) ' ≠-3x – 4.
3. sin' (3x-8) ≠ cos(3x-8), правильно будет так: sin'(3x-8) =-3cos(3x-8).

 1 
1
4.    
, правильно будет так:
2 x
 x
1
1


2x x .
2 x3

 1 

 = (x-0,5)' = - 0,5x -1,5 =
 x
Контрольный тест
1.Найдите производную функции:
а) f(x) = 3 x +4x3;
б) f(x) =
1  sin x
;
1  sin x
в) f(x) = tg(2x+1) – x;
г) f(x) =(-x3 -2)(1- x4).
2. Вычислите f'(x0), если f(x) = (2x-8)5, x0 = 3;
3. Решите неравенство: f'(2) >x-5, если f(x) = sin(2x-4).
29
Тема 5
Применение производной к решению задач
Проверочный тест:
Найдите промежутки монотонности функции y = x3-27x.
Найдите точки экстремума функции y = x3-27x.
Исследуйте функцию y = x3-3x2 на монотонность и экстремумы.
Исследуйте функцию y = 0,75x4 – x3 –3x2 и постройте ее график.
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции
f(x) = – 2x3 –3x2 +4 на промежутке [-2; -0,5]
6. Прямолинейное движение точки задано уравнением
s(t) = 2t2 -8t -10 ( s в метрах, t в секундах)
Найдите скорость движения в момент времени, равный 8 с.
7. Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной к
графику функции у = x2 в точке с абсциссой x0 = 0,5.
8. Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции
y = x3+1 в точке ( 1; 2).
1.
2.
3.
4.
5.
Ответы:
1. На промежутках (-  ; -3) и (3;  ) функция возрастает, на промежутке
(-3 ; 3) функция убывает.
2. x= -3 – точка максимума, x=3 –точка минимума .
3. На промежутках (-  ; 0) и (2;  ) функция возрастает, на промежутке
(0 ; 2) функция убывает, x= 0 – точка максимума, x=2 –точка
минимума.
10
8
6
4
2
Y
X
-4 -2
-20 2 4
-4
-6
-8
4.
5. Наибольшее значение функции равно 8, наименьше значение функции
равно 3.
6.24м/c.
7. 45˚.
30
8. y = 3x – 1;
Улучшите свои знания
1. Применение производной к определению промежутков монотонности
Если функция имеет положительную производную в каждой точке
интервала ( a;b), то она возрастает на этом интервале.
Если функция имеет отрицательную производную в каждой точке
интервала ( a;b), то она убывает на этом интервале.
Промежутки возрастания и убывания функции называются промежутками
ее монотонности.
Если функция монотонна на интервале (a; b) и непрерывна в точках a и b,
то она монотонна на отрезке[ a; b] .
Чтобы найти промежутки монотонности функци f(x) (например, f(x)=
x3-27x) , надо:
1. Найти D(f) ( для f(x)= x3-27x – это вся числовая прямая).
2. Найти f'(x) ( (x3-27x)' = 3x2 -27).
3. Решить неравенсва
f'(x)> 0 ( 3x2 -27>0, 3(x2 -9)>0,x  (;3)  (3;) ),
f'(x)< 0 (3x2 -27<0, 3(x2 -9)<0, x  (3;3) ).
4.Записать ответ:
решения неравенства f'(x)> 0 – это промежутки возрастания,
(на промежутках (-  ; -3) и (3;  ) функция f(x)= x3-27x возрастает);
решения неравенства f'(x)< 0 –это промежутки убывания
(на промежутке (-3; 3 ) функция f(x)= x3-27x убывает).
2.Применение производной
для отыскания точек экстремума
(точек максимуиа и минимуиа ) функции
Чтобы найти точки экстремума функции функци f(x)(например,
f(x)= x3-27x), надо:
1. Найти
2. Найти
производную функции ( (x3-27x)' = 3x2 -27).
точки, в которых производная равна нулю или
не существует f'(x) = 0, ( 3x2 -27=0, 3(x2 -9) = 0, x2 -9 = 0,(x3)(x+3)=0, x=3, x=-3). f'(x) существует на всей области определения
функции f(x)= x3-27x.
31
3.
Проверить знак производной слева и
справа от найденных точек и непрерывность функции в
этих точек
4.
Если функция непрерывна в точке, а
производная меняет знак с «+» на «-» при переходе
через эту точку, то эта точка – точка максимума
( x= -3, точка максимума).
5.
Если функция непрерывна в точке, а
производная меняет знак с «-» на «+» при переходе
через эту точку, то эта точка – точка минимума
( x= -3, точка минимума).
3.Отыскание промежутков монотонности и точек экстремума
функции.
Промежутки монотоности и точки экстремума чаще всего находят
совместно.
Чтобы найти промежутки монотонности и точки максимума и
минимума функции (например, y = x3-3x2 ) , надо:
1.Найти область определения функции D(f)( для f(x)= x3-3x2 –
это вся числовая прямая).
2.Найти производную функции ( (x3-3x2)' = 3x2 -6x).
3.Найти точки, в которых производная равна нулю или не
существует
f'(x) = 0, ( 3x2 -6x=0, 3x(x -2) = 0, x=0, x=2). f'(x) существует на всей
области определения функции f(x)= x3-3x2.
4.Проверить знак производной слева и справа от
найденных точек и непрерывность функции в этих
точках
5.Заполнить таблицу:
0 - точка
2 -точка
(-  ;0)
(0;2)
(2;+  )
х
максимума
f'(x)
f(x)
+
возрастает
минимума
0
0, max
убывает
0
-4, min
+
возрастает
4. Общая схема исследования функции и построения графика функции.
Общее исследование функции ( например, y = 0,75x4 – x3 –3x2) можно
выполнить по схеме:
32
1.Найти область определения функции ( для f(x)= 0,75x4 -x3 -3x2
это вся числовая прямая).
2.Установить четность или нечетность функции
( f(-x)= 0,75(-x)4 – (-x)3 –3(-x)2 =0,75x4 + x3 –3x2 ≠ f(x) ≠-f(x), функция не
является ни четной , ни нечетной).
3. Установить периодичность функции.
(Функция y = 0,75x4 – x3 –3x2 не являетя периодической )
4.Найти нули функции( точки пересечения графика с осью
OX), для этого решить уравнение f(x)=0. ( 0 = 0,75x4 – x3 –
3x2 , x2( 0,75x2 – x –3)=0, x1=0, x2 ≈-1,4, x3≈ 2,8 )
5. Найти точку пересечения графика с осью OY, для
этого вычислить значение функции в точке 0, т.е.
f(0). ( f(0)= 0,75·04 – 03 –3·02 = 0)
6.Найти промежутки монотонности и точки экстремума.
(f'(x) = 0, 3x3-3x2 -6x = 0, x(x2 –x -2) =0, x1=0, x2 =2, x3 =-1, f(-1)=1,25,
f(0)=0, f(2)=-8)
x
f’(x)
f(x)
(-  ;-1)
убывает
-1
0
1,25
min
6. Используя
(-1;0)
0
+
0
возрастает 0-max
(0;2)
убывает
2
0
-8
min
(2;  )
+
возрастает
результаты исследования, построить
график.
На первом рисунке отметили точки пересечения графика функции с осями
координат ( пункты исследования 4 и 5).
На втором рисунке отметили экстремумы (пункт исследования 6).
На третьем – достроили график на промежутках возрастания и убывания
функции (пункт исследования 6) .
Y
Y
8
Y
8
4
8
4
4
X
-3 0
-4
-8
3
X
-3 0
-4
X
-3 0
-4
3
-8
-8
33
3
5. Применение производной для нахождения наибольшего и
наименьшего значений функции.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на
отрезке [a;b], надо: ( например, f(x) = -2x3 - 6x2 +5 на [ -1;1] ).
1.Найти производную функции;( f'(x) = -6x2 -12x)
2. Найти точки, в которых производная равна нулю или
не существует ( критические точки функции); ( f'(x) = 0;
-6x2 -12x=0, -6x(x+2)=0, x =0, x=-2)
3.Выбрать из этих точек те, которые принадлежит
промежутку [a;b];( только точка x =0 принадлежит промежутку
[ -1;1] )
4.Вычислить значения функции в выбранных критических
точках и на концах промежутка [a;b];( f(0) =5; f(-1) =1;
f(1) =-3.)
5.Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение функции f(x) = -2x3 -6x2 +5 на [ -1;1] равно 5;
наименьше значение функции f(x) = -2x3 -6x2 +5 на [ -1;1] равно-3.
6.Применение производной для определения мгновенной скорости.
Если движение точки задано уравнением s(t), то в момент времети to
скорость ее движения равна s'(t).
Например, прямолинейное движение точки задано уравнением
s(t) = 2t2 -8t -10м. Найдите скорость движения в момент времени t =3c.
Решение.
1.Вычислим s' (t)= (2t2 -8t -10)' = 4t -8.
2.Найдем значение s' (2), s' (3)= 4∙3-8 =4м/c – это скорость движения в
момент времени 3с.
7.Применение производной к решению геометрических задач
Чтобы найти тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной,
проведенной к графику функции f(x) в точке (x0 ; f(x0), нужно
1.Найти производную функции ( f'(x) );
2.Найти значение производной в точке x0( f'(x0) );
3. Полученное значение будет равно тангенсу угла
наклона, т.е. tgα = f'(x0).
Например: Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведенной
к графику функции у = x2 в точке с абсциссой x0 = 0,5.
1. Найдем производную функции f(x) = x2, f''(x) = 2x.
2. Найдем значение производной в точке x0 = 0,5, f''(0,5) = 1.
34
3. Тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс равен 1.
Можно определить угол наклона касательной к оси абсцисс:
он равен 45˚, т.к. tg45˚ = 1.
8.Уравнение касательной к графику функции f(x)
в точке (x0 ; f(x0))
Чтобы составить уравнение касательной к графику функции f(x) в
точке (x0 ; f(x0)), надо
1.Записать уравнение касательной к графику функции в
точке f(x) в точке (x0 ; f(x0)):
у =f'(x0)x- f'(x0)x0 + f(x0);
2. Найти значение производной в точке x0( f'(x0) );
3. Найти значение функции в точке x0( f(x0) );
4.Подставить найденные значения в уравнение пункта 1.
Например:
Составьте уравнение касательной, проведенной к графику функции
y = x3+1 в точке ( 1; 2).
1. Запишем уравнение касательной:
у =f'(x0)x- f'(x0)x0 + f(x0);
2.Найдем значение производной в точке x0 =1:
f'(x) = 3x2, f'(1)=3;
3.Найдем значение функции в точеке x0 =1: f(1) =2;
4. Подставим найденные значения в уравнение:
у =3x - 3∙1 + 2;
у =3x – 1- это уравнение касательной, проведенной к графику функции
y = x3+1 в точке ( 1; 2).
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1. Найдите промежутки монотонности функции f(x) =
 x 2  10 x  16
;
x2
Ответ: функция возрастает на промежутках (- ∞; 0) и (3,2; +∞),
функция убывает на промежутке (0; 3,2) .
Этот ответ неверный, ошибка в решении неравенств f' (x)>0 и f' (x)< 0.

  x 2  10 x  16 
 10 x  32
 
f' (x) = 
;
2
x
x3


Решением неравенства f' (x)>0 будет промежуток (0; 3,2);
решением неравенства f' (x)< 0, будут промежутки (- ∞; 0) и (3,2; +∞)
35
Правильный ответ: функция убывает на промежутках (- ∞; 0) и (3,2; +∞),
функция возрастает на промежутке (0; 3,2) .
2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 2x3-6x на
отрезке [0; 1,5].
Ответ: наибольшее значение функции на этом отрезке равно 4.Этот ответ
неверный, ошибка в том, что критическая точка -1 не принадлежит
отрезку [0; 1,5].
Правильный ответ: наибольшее значение функции на этом отрезке равно
0; наименьшее значение функции на этом отрезке равно -4.
Контрольный тест
1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции
 x 2  10 x  1
у=
;
x2
2. Исследуйте функцию и постройте ее график у= 0, 5x4 +8x.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = x3-3x
на отрезке [0; 1,5].
4. Составьте уравнения касательных, проведенных к графику функции
y = x2- 1 в точках ее пересечения с осью Ox.
Тема 6
Первообразная и интеграл
Проверочный тест:
1. Верно ли, что функция y= sinx + x4 -7 первообразная для функции
y = cosx + 4x3 на промежутке (-∞; ∞)?
2.Найдите первообразную функции f(x) = x2, график которой проходит через
точку (3; 6).
3.Найдите первообразную функции а) f(x) = x10; б) f(x) = x8 – cosx;
в) f(x) = 3sinx; г) f(x) = sin(7x+2);
4.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = x2 +4, y=0, x = 2,
x =4.
36
2
1
2
1
0


5.Вычислите определенный интеграл: а)  x 2 dx; б)  (2 x  1) 3 dx ; в)  sin( 3x  )dx .
3
Ответы:
1.верно; 2.F(x)=
3.a) F ( x) 
x3
 3;
3
cos(7 x  2)
x11
x9
 c;
 c ;б)F(x) =
 sin x  c ; в)F(x)=-3cosx+c; г) F(x) = 7
11
9
4. 26⅔ ;5. а)2⅓; б) 0; в) -1;
Улучшите свои знания
1. Понятие первообразной функции
Функция F(x)( например,5x2) называется первообразной для функции
f(x) (10x) на заданном промежутке, если для всех х из этого
промежутка F'(x)= f(x)( (5x2)' =10x) .
Пример:
Верно ли, что функция Y(x)= 0,5sin2x + x5 -3 первообразная для функции
y(x) = cos2x + 5x4 на промежутке (-∞; ∞)
Решение: Проверим, будет ли функция Y= 0,5sin2x + x5 -3 первообразной
для функции y = cos2x + 5x4 на промежутке (-∞; ∞).
Для этого:
1. Найдем область определения функцииY: D(Y)= (-∞; ∞).
2. Найдем производную функции Y= 0,5sin2x + x5 -3 : (0,5sin2x + x5 -3)'=
=cos2x + 5x4 ;
3.Получили: Y'(x) =y(x) для всех x из промежутка (-∞; ∞), значит, функция
Y(x)= 0,5sin2x + x5 -3 первообразная для функции y(x) = cos2x + 5x4 на
промежутке (-∞; ∞).
2.Основное свойство первообразной
Если функция F(x) первообразна для функции f(x )на некотором
промежутке, то любая другая первообразная для функции f(x) на этом
промежутке имеет вид F(x)+С, где С – произвольная постоянная
величина.
Пример
Найдите первообразную функции f(x) = x2, график которой проходит через
точку (3; 6).
Решение
Общий вид первообразных функции f(x) = x2 – это F(x) = x
3
3
так как график функции F(x) =
C,
x3
 C проходит через точку(3; 6), то F(3) =6,
3
т.е.
37
6=9+С, откуда С=-3.
Таким образом, первообразная, график которой проходит через точку (3;6)
имеет вид F(x) =
x3
3.
3
3.Основные правила нахождения первообразной
xn
+С
n 1
x7
Например первообразная x6 равна
+С.
7
а) Первообразная степени xn равна
б) Первообразная суммы двух функций равна сумме первообразных
этих функций.
Например, первообразная функции x2+sinx равна сумме первообразных
x3
 cos x  C .
функций x и sinx, т. е.
3
2
в) Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной
x7
+С.
7
1
г) Первообразная функции f(kx+c) равна F (kx  b)  C , где к≠0.
k
1
Например, первообразная функции sin(5x+2) равна - cos(5x+2)+C.
5
Например, первообразная 5 x6 равна 5
4.Площадь криволинейной трапеции
Чтобы найти площадь криволинейной трапеции,ограниченной
графиком непрерывнрй неотрицательной функции f(x), прямыми x=a, x=b
и оью абсцисс, надо:
1. Найти одну из первообразных функции f(x), например, F(x);
2. Вычислить значение первообразной F(x)в точке b ,т.е. F(b);
3. Вычислить значение первообразной F(x) в точке a, т.е. F(a);
4.Найти разность( приращение первообразной) F(b)- F(a)=S –это и
будет площадь криволинейной трапеции.
Например,
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = x2 +4, x = 2, x =4,у=0.
Построим фигуру, ограниченную линиями
у = x2 +4 - парабола, x = 2, x =4 - - прямые, параллельные оси OY, у=0 – ось
OX. Фигура, ограниченная этими линиями, является криволинейной
трапецией. Найдем ее площадь.
1. Найдем одну из первообразных функции f(x)= x2 +4 например,
38
F(x)=
x3
 4x ;
3
43
1
 4  4  21 ;
3
3
3
2
2
3.Вычислить значение первообразной F(x) в точке 2, т.е. F(2)=
 2  4  10 ;
3
3
2Вычислить значение первообразной F(x)в точке 4 ,т.е. F(4) =
4.Найдем S=21⅓ - 10⅔ =10⅔.
5.Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.
Определенный интеграл функции f(x), непрерывной на отрезке
[a;b], записывается в виде
b
 f ( x)dx , читается « интеграл от a до b
a
функции f(x)dx».
Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона –
Лейбница:
b
 f ( x)dx =F(b)-F(a).
a
Обычно для удобства вычисления записывают так:
b
b
 f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) ,
a
символ
b
читается: « двойная подстановка от a до b», f(x) – называется
a
подинтегральной функцией, f(x)dx- подинтегральным выражением.
Чтобы вычислить определенный интеграл, надо
1. Проверить, является ли функция f(x) непрерывной на отрезке[a;b];
2. Для непрерывной функции найти ее первообразную F(x);
3. Вычислить значения первоообразной в точках a и b: F(b)и F(a);
4. Вычислить разность F(b)- F(a).
Например,
1.Функция f(x)=x2 непрерывна на отрезке [1;2];
x3
;
3
23
13
3.F(2)= , F(1)= ;
3
3
3
1
2 13
4. F(2)- F(1)= - =2 .
3
3 3
2.F(x)=
Короче эта запись ведется в одну строчку:
39
2
2
 x dx 
1
x 3 2 2 3 13 7
1

  2 .
3 1
3 3 3
3
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1. Найдите первообразную функции f(x) = (2x+5)3.
Решение
F(x)= ⅓(2x+5)3 +C- это неправильный ответ. Правильный ответ:
F(x)= 1/6(2x+5)3 +C, т.к. f(kx+b)= (2x+5)3, то первообразную найдем по
1 (2 x  5) 3
(2 x  5) 3
правилу 3г): F(kx+b) =
C 
 C.
2
3
6
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x2, y=4.
Решение
S= F(2)-F(-2)=
2 3  2 3  16
1
    
 5 - это неправильный ответ.
3  3 3
3
Правильно будет: S= 4∙4-5⅓=10⅔. Действительно, фигура, ограниченная
линиями y=x2, y=4 ( рис.) не является криволинейной трапецией. Чтобы
найти ее площадь, надо из площади квадрата ABCD вычесть площадь
криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=x2, y=0, x=2, x=-2.
3. Вычислить определенный интеграл:
3
3
 x dx 
1
x 4 3 3 4 14
81
1
80
5

 


 - это неправильный ответ.
4 1 4 4 256 256 256 16
3
Правильно будет:  x 3 dx 
1
x 4 3 3 4 14 81 1 80

 
 
 20 , следует зпметить,
41 4 4
4 4 4
что четвертая степень вычисляется только от числителя дроби.
Контрольный тест
1.Найдите первообразную функции y= sinx, график которой проходит через

точку  ;2  .
3

2.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y= cosx , y= 0,5.
3.Вычислите определенный интеграл:
2
а)  (3x  1) 2 dx ; б)
0
3

1
x dx ; в)
0
1
 cos

2
x
dx .
4
40
Тема 7
Корень n-ой степени из числа
Проверочный тест:
1.Верно ли, что а) 6 64  2; б) 4 625  5; в) 3 8  2 ?
2.Решите уравнение: а) x4 =0,0016; б) x6 = 64; в) x5 =32.
3.Упростите выражение : а) 12 6253 ; б) 3 3 3 9; в)
3
3
4
256
; г)
3
2 5 4 2 5 12 2 ;
д) 212 .
4.Решите уравнение 4 x 4  6 .
4 3
5.Упростите выражение : 5  2 6  3 8 .
Ответы:
1.а)верно; б) неверно; в)верно. 2. а)0,2; -0,2; б)2;-2; в)2.
3. .а)5; б)3; в)0,25; г)8;д)2. 4. 2; -2; 5. 3.
Улучшите свои знания
1.Арифметическим корнем n- ой степени из числа a называется
неотрицательное число, n- ая степень которого равна a.
Обозначается n a  x, x n  a, x  0 .
Например, 4 16  2 -это равенство верно, так как 24 =16, 2>0, но
4
16  2 , так как – 2<0.
2.Корнем n- ой степени из числа a называется число, n- ая степень
которого равна a.
Например, корень четвертой степени из числа 16 – это число 2, а также и
число -2, так как 24 =16 и (-2)4 =16. Корень пятой степени из числа 32
только один, он равен 2, так как 25=32.
а) Решить уравнение x4 =15.
По определению корня четвертой степени число x – корень четвертой
степени из числа 15.
41
Таких корней два - арифметический и ему противоположный 4 15и  4 15
Ответ:  4 15.
б) Решить уравнение x6 =0, 000001.
По определению корня шестой степени число x – корень шестой степени
из числа 0, 000001.
Таких корней два - арифметический и ему противоположный
6
0,000001и  6 0,000001 или 0,1 и -0,1.
Ответ: 0,1 и -0,1.
в) Решить уравнение x5 =243.
По определению корня пятой степени число x – корень пятой степени из
числа 243, т. е. 3.
Ответ: 3.
3.Свойства корней n- ой степни
Для любого натурального n, целого k и любых неотрицательных чисел a
и b выполняются равенства:
а)
mk
a nk  m a n , к>0, например,
12
6253  4 625  5 .
б) n ab  n a n b , например, 3 3 3 9  3 3  9  3 27  3
в) n
a

b
n
a
n
b
, b  0, например,
3
3
4
256
3
4
1
1
3
 .
256
64 4
г) m a n  mk a nk , k>0, например, ) 3 2 5 4 2 5 12 2 = 12 2 20 12 215 12 2  12 2 36  2 3  8
д) k n a  nk a , например,
4 3
212  12 212  2 .
4. Основные тождества
а)Для любого действительного числа a и для n – четного верно
равенство:
n
a, если  a  неотрицательное
an  
 a.
.
 a, если  n  отрицательное
б)Для любого действительного числа a и для n – нечетного верно
равенство:
n
an  a .
Например,
6
36  3, 6 (3) 6  3, 5 (3) 5  3, 5 35  3.
42
в)Для любого неотрицательного числа a и n –натурального верно
равенство:
 a
n
n
 a.
Например,
разложить на множители x-4, где x>0.
2
2
Представим x в виде  x  , тогда получим x-4=  x  -4 = ( x  2)( x  2).
Примеры
1. Решите уравнение : x 2  5 .
Решение : по основному тождеству 4а) x 2  x , значит, данное уравнение
заменим на равносильное │x│=5, откуда x=5 или x =-5.
Ответ: 5, -5.
2.Упростите выражение 5  2 6  3 8 .
Решение :
52 6 3
 3
2
8  3  2 3 2  2  6 23 
2 3
2
 2
2
 2  ( 3  2)2  2
 3  2  2  3.
3. Упростите выражение
1
11  2
1

11  2
.
Решение :
1.Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряженное
выражение, получим:
1  ( 11  2)
( 11  2)( 11  2)

1  ( 11  2)
( 11  2)( 11  2)

11  2  11  2
( 11)  2
2
2
4
 .
7
4.Упростите выражение:
2 6  20
2 5  24
=
(11  2 30 
2( 6  5 )
2( 6  5 )
2 6  45
2 5  46
(5  2 5  6  6) 
2 6  2 5
2 5  2 6
(( 5 ) 2  2 5  6 
( 6  5 ) 2  ( 6  5 )( 6  5 )  ( 6 ) 2  ( 5 ) 2  6  5  1 .
5. Сравните числа:
3
7 и 4 10 .
Решение :
43
 6 )
2
3
7  12 7 4  12 2401, 4 10  12 10 3  12 1000 , 12 2401  12 1000 , значит
3
7 >
4
10 .
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1. 4 (2) 4  2 , правильно будет : 4 (2) 4  2 .
2. 4 a 6  a 3 при a <0, правильно будет: 4 a 6   a 3 .
3. 4 ab  4 a 4 b при a<0 и b<0, правильно будет: 4 ab  4  a 4  b
4. 3 3 3  6 3 , правильно будет 2 3 3  6 23 6 32  6 72 .
Контрольный тест
1.Решите уравнение :
а) 3 x 3  7; б) 6 x 6  6,8; в)x4 =7; г) x5 =5.
2.Упростите выражение :
3
10  6 3  4  2 3 .
3.Сравните значения выражений:
9
5 7

22
7 5

1
7 5
3
и  4 3 64  6 2 3  .


Тема 8
Степень с рациональным показателем
Проверочный тест:
1. Представьте степень с рациональным показателем в виде корня:
3
4

4
3
4
1
а) 2 ; б)5 ; в) 0,10,1 ; г) 7 3 ;
1
1

9 2
2.Вычислите :    125 3 ;
 16 
44

3
 2 2
3.Найдите значение выражения а) 6 6 ; б) 16 : 16 ; в)  3 3  ;
 
1
4

1
3
2
3
3
4
1
6
1
3
2 
1
г)   125 1  ; д)  6  ;
8
3

7

4.Разложите на множители:
3
1
3
а) a - a 2 ; б) a-b; ( a, b – положительные числа); в) a 2  b 2 ,( a, b –
положительные числа).
x 1
5.Сократите дробь
2
3
.
1
3
x  x 1
Ответы:
1.
а) 4 2 3 ; б) 3 54 ; в) 10 0,11 ;г ) 3 713 ;
10
3
1
1
1
1
1
1
1
2.а)0,95. 3.а) 6; б) 2 ;в) ; г) 10; д)24,5. 4.а) a 2 (a 2  1) ; б) (a 2  b 2 )( a 2  b 2 );
3
1
1
1
1
1
в) (a 2  b 2 )( a  a 2 b 2  b) ; 5. x 3  1 .
Улучшите свои знания
1. Степенью положительного числа a с рациональным показателем

m
m
,
n

m – целое, n – натуральное  a n  называется корень n- ой степени из

числа a n, т.е.
Например,
3
4
4
8 = 8

m
n
a  n am .
3
; 6 24

3
5
 5 24 3 .
2. Вычислить значение степени с рациональным показателем можно,
если степень с рациональным показателем заменить корнем.
1
Например, 27 3  3 27  3 ; 64

2
3
 3 64  2  3 4 3 
2
 4 2 
1
.
16
3.Свойства степени с рациональным показателем и положительными
основаниями :
а) при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели
45
m
p
m p

q
складываются, т.е. a n a q  a n
.
б) при делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя
степени делимого вычитается показатель степени делителя, т.е.
p
q
m
n
a :a  a
m p

n q
4
.
1
4 1

Например, 2 3 2 3  2 3 3  21  2 .
в) при возведении степени в степень основание остается прежним, а
k
 mn  p
n p
показатели перемножаются , т.е.  a   a .
 
mk
5
 6 3
Например,  a 5   a 2 .
 
г) при возведении в степень произведения в эту степень возводится
каждый сомножитель, а результаты перемножаются, т.е.
ab n
m
m
m
 anbn .
2
3
2
3
Например, 27  64  27 64  144 .
2
3
д) ) при возведении в степень частного в эту степень
возводится,делимое и делитель а результаты делятся, т.е.
m
n
m
n
a
a
   m .
b
bn
2
2
Например, 27 : 64 3  27 3 : 64 3 
2
9
.
16
4.Разложение на множители
При разложении на множители выражений с рациональными
показателями используются те же методы, что и для многочленов:
а) Вынесение общего множителя за скобки ( за скобки выносится
множитель с наименьшим показателем)
1
2
Например, разложите на множители: a  a .
2
1
2
1
2
a  a  a (a
2
2
1
2
1
2
3
2
 1)  a (a  1) .
б) Применение формул сокращенного умножения.
46
Например, разложите на множители a-b.
 1 2  1
 
a-b =   a 2    b 2
  

2





1
1
 1

  12
2  2
2 


a

b
a

b
 


 



в) Применение способа группировки.
Например, разложите на множители:
1
2
a b a b
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
 1
  1
 1
  1
  1
 1

a  b  a 2  b 2  a  b    a 2  b 2    a 2  b 2  a 2  b 2    a 2  b 2    a 2  b 2  a 2  b 2  1

 

 
 


г)Упрощение выражений с рациональными показателями.
При упрощении выражений, содержащих рациональные показатели
выполняются общие правила и алгоритмы для упрощения дробно –
рациональных выражений.
ab
Например, сократите дробь:
3
2
a b
a b
3
2
a b
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(a  b )( a  b )

1
2
1
2
1
2
1
2
a b

1
2
.
3
2
1
2
1
2
(a  b )( a  ab  b )
a  ab  b
.
1
2
Наиболее часто встречающиеся ошибки:
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1
2
1
2
1
4
1
2
1
2
1. 2 2  2 , правильно будет: 2 2  21  2 .
1
3
1
3
1
3 1

3
2. 5 4 : 5 3  5 4 , правильно будет: 5 4 : 5 3  5 4
1
5
 5 12
1
1
1
3
3. a 2  a 2  a 2 (a 4  1) , правильно будет: a 2  a 2  a 2 (a 2  1).
4. 6

1
3
 6 , правильно будет 6
3

1
3
1
1
 1 3
  3 .
6
6
Контрольный тест
1.Найдите значение выражения:

0,001
1
3
1
 
8

2
3
4
 32 5 .
2.Вычислите:
1
2
3
4

3
4
4  16  16 32
2
5
2
5
: 32 .
47
3.Выполните указанные действия:
x 1
x 0,5
2
:
 0,5 .
0,5
1, 5
x  x 1 x 1 x
Тема 9
Показательная функция
Проверочный тест:
1. Найдите с точностью до десятых значение функции y= 2 x при x= 2
2.Сравните с нулем числа:
2
а) 0,0 4 ;б)  
7
0 , 6
2
; в) 7,40,11 ; г)125,34-34.
3. Сравните числа:
а) (1,2)-15 и (1,2)-14;
б) (0,131)2,4 и (0,131)1,8;
в)  2 и  3 .
4. Сравните с единицей числа :
2
а)0,0 4 ;б)  
7
2
0 , 6
; в) 7,40,11 ; г)125,34-34.
5. На рисунке изображен график функции y  a x . Сравните a c единицей.
а) ; б).
6. Решите уравнение :
а)33x-2 =36-x ; б) 9x -8∙3x - 9 =0.
7.Решите неравенство:
а) 0,2x >0,04; б) 7x-3 < 49.
Ответы:
1. 2,7.
2
2.а) 0,0 4 >0;б)  
7
0 , 6
2
>0; в) 7,40,11 >0; г)125,34-34>0.
3.а) (1,2)-15 <(1,2)-14;б) (0,131)2,4 < (0,131)1,8;в) 
2
4.а)0,0 4 2 >1 ;б)  
7
2
< 3 .
0 , 6
>1; в) 7,40,11>1; г)125,34-34<1.
5.а)a<1; б)a>1. 6.а)2; б) 2; 7а)(- ∞;2); б) (- ∞;5).
48
Улучшите свои знания
Функция, заданная формулой y = a x , где a>0, x  R называется
показательной.
Свойства показательной функции
1. D( a x )=(-∞; +∞), это означает, что для любого положительного a и
любого действительного x можно найти a x .
Например, 2 2 вычисляется через десятичные приближения числа 2 с
любой степенью точности. 1,4142< 2 <1, 4143, 21,4142  2 2  21,4143 .
Найдем с помощью калькулятора 21,4142  2, 6651, 21,4143  2, 66530,
Значит, 2 2 =2,665…
2.E(ax )=( 0, +∞), это означает, что функция y=ax для любого
положительного a и любого действительного x принимает только
положительные значения.
2
Например, 0,0 4 2 >0;  
7
0 , 6
>0; 7,40,11 >0; 125,34-34>0.
3.Если основание показательной функции y= ax больше 1, то она
возрастает на всей области определения.
Если основание показательной функции y= ax больше нуля, но меньше
1, то она убывает на всей области определения.
Например, значение функции y=1,2x (a=1,2>1) при x= -15 меньше, чем ее
значение при х= -14, а , значение функции y=0,131x (0<a<1) при x= 2,4
меньше, чем ее значение при х =1,8
(1,2)-15 <(1,2)-14; (0,131)2,4 < (0,131)1,8.
4.Если a>1, то ax >1 при x>0 и 0<ax <1 при x<0.
Если 0<a<1, то ax <1 при x>0 и 0<ax <1 при x>0.
Если a=0, то ax =1, для любого положительного основания a.
2
Например, 0,0 4 >1(a=0,04<1, x= -2<0) ;  
7
2
0 , 6
>1(a= 2/7<1, x=-0,6<0) ;
7,40,11>1(a=7,4>1, x=0,11>0) ; 125,34-34<1(a=125,34>1 , x=-34<0).
5.На рис. изображен график функции y=ax для a>1.
49
Y
6
4
2
X
-4
-2
0
2
На рис. изображен график функции y= ax для a<1.
50
4
Y
6
4
2
X
-4
-2
0
2
4
6.Показательные уравнения
а) уравнение вида af(x)=ag(x),где а>0 сводится к решению уравнения
f(x)= g(x).
Например, уравнение 33x-2 =36-x равносильно уравнению 3x-2=6- x
(функция y=3t возрастающая и равным значениям функции соответствуют
равные значения аргумента), далее: 4x=6+2, 4x=8, x=2.
б) уравнение Aa2x+Bax+C=0 c помощью подстановки y=ax сводится к
квадратному уравнению Ay2+By+C=0.
Например, решить уравнение:
9x -8∙3x - 9 =0.
9x -8∙3x - 9 =0, 32x -83x -9=0, пусть 3x =y, тогда данное уравнение будет
иметь вид: y2 -8y – 9=0. Найдем корни этого уравнения, получим: y=9 или
y=-1.Cледовательно, 3x =9 или 3x =-1. Уравнение 3x =9 имеет один корень,
равный 2, уравнение 3x =-1 не имеет решений.
Ответ: 2.
7.Показательные неравенства
а) Если a>1, то неравенство af(x)> ag(x) равносильно неравенству
f(x)> g(x),( неравенство af(x)< ag(x) равносильно неравенству f(x)< g(x))
51
Например, неравенство 33x-2 >36-x равносильно неравенству 3x-2>6-x,
решая это неравенство(4x>8, x>2), получим x  (2;) .
б) Если 0< a<1, то неравенство af(x)> ag(x) равносильно неравенству
f(x< g(x),( неравенство af(x)< ag(x) равносильно неравенству f(x)> g(x))
Например, неравенство 0,33x-4 <0,36- 2x равносильно неравенству
3x-4>6-2x, решая это неравенство(5x>10, x>2), получим x (2;) .
Наиболее часто встречающиеся ошибки:
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1. 0,1x >0,12(1), x>2(2). Из неравенства (1) не следует неравенство (2) .
Правильно будет: 0,1x >0,12 , x<2 .
2.Решить неравенство: 9x -8∙3x - 9 >0.
(⅓)2x -8∙(⅓) x -9>0, пусть (1/3)x =y, тогда данное неравенство будет иметь
вид:
y2 -8y – 9>0.
Найдем корни уравнения y2 -8y – 9=0, получим: y=9 или
y=-1.Cледовательно, (1/3)x =9 или (1/3)x =-1. Уравнение (1/3)x =9 имеет
один корень, равный -2, уравнение (1/3)x =-1 не имеет решений, учитывая
знак неравенства, получим ответ x>-2. Это решение неверно.
Правильное решение:
y2 -8y – 9>0 решим это неравенство методом итервалов, получим y>9
или y <-1. Возвращаясь к замене, получим (1/3)x >9 или(1/3)x <-1.
Решение первого неравенства: x< -2, x  (-∞;-2)( основание показательной
функции 1/3 <1), второе неравенство решений не имеет.
Ответ: (-∞;-2).
Контрольный тест
1.Решить уравнение:
x
1
1
а)    3 ; б) (0,5)x =
; в) 2x+1 +2x =6;
64
9
 
2. Решите неравенство:
x
1
1
а)    3 ; б) (0,5)x < ; в) 2x+1 +2x >6;
9
64
3. Решите уравнение:
52
а)52x -6∙5x +5=0; б) 0,22x +0,2x -2 =0.
4. Решите неравенство:
а)52x -6∙5x +5<0; б) 0,22x +0,2x -2 <0.
Тема10
Свойства логарифмов и
функция
логарифмическая
Проверочный тест:
1.Вычислите: а)log216, б)log5125, в)log0,50,25, г)log31.
2.Вычислите: а)4Log47 , б)8Log87,в) 0,1Log0,17.
3.Вычислите:
а) log2⅔ +log21,5; б) log23-log21,5; в) log445.
4.Найдите область определения функци y= log2 (x-6).
5. Сравните числа а) log35 и log37; б) log0,35 и log0,37;
6.Сравните с нулем числа а) log35 ;б) log0,30,4 ; в) log70,1 ;г) log0,64;
7. Определите, на каком из рисунков изображен график функции y=log2 x, а
на каком – график функции y=log0,5 x?
8.Решите уравнение:а)lg(3-x)=-1; б)log3 x + log3 (x-2) =1;
в) log72 x + log7 x =6;
9. Решите неравенство: а)lg(3-x)< -1; б)log0,5 x + log0,5 (3-x) <-1;
в) log72 x + log7 x <6;
Ответы:
1.а) 4;б)3;в)2;г)0. 2.а)7;б)7;в)7; 3.а)0;б)1;в)5. 4.(6;+∞). 5. а) log35 <log37;
б) log0,35 >log0,37. 6. а) log35>0 ;б) log0,30,4>0 ; в) log70,1<0 ;г) log0,64<0.
7. см . рис. 8.а)2,9; б)3; в)343; 1/49. 9.а)(- ∞; 2,9); б)(1;2); в)(1/343; 49).
53
Улучшите свои знания
1.Логарифмом числа b по основанию a, где b>0, a>0, a≠ 1, называется
показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы
получить число b.
Например, log216=4, так как 24=16, log39=2, так как 32 = 9.
Обозначение: logab, читается: логарифм числа b по основантю a.
Если основание a равно 10, то логарифм называется десятичным и
обозначается lgb, если основание равно числу e, то логарифм
называется натуральным и обозначается lnb.
Например, lg100 =2 , так как 102=100, lg0,1 = -1, так как 10 -1=0,1
lne=1, так как e1=e.
2. Основное логарифмическое тождество:
a log b  b , b>0, a>0, a≠1.
Например, 4Log47 =7; 8Log87 =7; 0,1Log0,17=7.
a
3. Свойства логарифмов
а) logab + logac = logabc, где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.
Например, log2⅔ +log21,5= log2 (2/3)∙(1,5) = log21=0.
б) logab - logac = loga (b:c), где b>0, c>0, a>0, a≠ 1.
Например, log23-log21,5= log2 (3:1,5) = log22 =1.
в) logabn =nloga b, где b>0, a>0, a≠ 1.
Например, log445 =5 log44 =5∙1=5.
г) формула перехода от одного основания логарифма к другому
log c b
, где b>0, a>0, a≠ 1, с>0, c≠ 1.
log c a
log 9
2
Например, log29= 3 
.
log 3 2 log 3 2
logab=
4. Функция, заданная формулой y = lоga x , a>0, a≠1 логарифмической.
D(lоga x) =(0;+ ∞)
E(lоga x) =(- ∞;+ ∞)
Например, найдите область определения функции y= log2 (x-6).
Решение: так, как область определения логарифмической функции есть
промежуток (0; +∞) , то функция y= log2 (x-6) определена для всех
значений x, для которых выполняется условие: x-6>0, откуда получим
x>6, x  (6;+∞). Oбласть определения функции y= log2 (x-6) есть
промежуток (6;+∞).
5. .Если основание логарифмической функции y = lоga x больше 1, то
она возрастает на всей области определения.
54
Если основание логарифмической функции y = lоga x больше нуля, но
меньше 1, то она убывает на всей области определения.
Например, cравните числа а) log35 и log37; б) log0,35 и log0,37;
Решение
а) log35 <log37, так как основание логарифмической функции y= log3x
3>1, то логарифмическая функция возрастает на области определения,
значит, так как 5<7, то log35 <log37;
б) log0,35 и log0,37; так как основание логарифмической функции y= log 0,3x
3>1, то логарифмическая функция убывает на области определения,
значит, так как 5<7, то log35 >log37.
6.Если a>1, то logax>0 при x>1 и logax <0 при 0<x<1.
Если 0<a<1, то logax<0 при x>1 и logax >0 при 0<x<1.
Если x=1, то, logax=0 для любого положительного основания a.
Например, сравните с нулем числа а) log35 ;б) log0,30,4 ; в) log70,1 ;
г) log0,64;
Решение
а) log35>0, так как основание логарифмической функции y= log3x
3>1 и x=5 >1.
б) log0,30,4 >0, так как основание логарифмической функции y= log 0,3x
0,3<1 и x=0,4 <1.
в) log70,1<0, так как основание логарифмической функции y= log7x
7>1 и x=0,1 <1.
г) log0,64<0, так как основание логарифмической функции y= log 0,6x
0,6<1 и x = 4 >1.
7. График функции y= logax a>1 изображен на рисунке:
График функции y= logax 0<a<1 изображен на рисунке:
8.Уравнение loga f(x)= loga g(x) равносильно уравнению f(x)= g(x),при
дополнительных условиях g(x)>0, f(x)>0.
Например, решите уравнение а)lg(3-x)=-1; б)log3 x + log3 (x-2) =1;
Решение
а)lg(3-x)=-1, представим -1в виде -1=lg0,1, тогда lg(3-x)= lg0,1, откуда
3-x=0,1,т.е. x=2,9. Проверим, 3 - 2,9 = 0,1>0.
Ответ: 2,9.
б)log3 x + log3 (x-2) =1.
По свойству логарифмов 3а) будем иметь log3 x (x-2) =1, далее x (x-2)=3
( log3 3=1), x2 -2x-3 =0, корни этого уравнения x=3 , x=-1.
Проверим x=3>0, x-2=3-2>0, значит 3 – корень данного уравнения.
Проверит x=-1<0, значит -1 – не корень данного уравнения.
Ответ: 3.
55
в)При решении логарифмических уравнений часто используется
метод введения новой переменной
Например, решите уравнение: log72 x - log7 x =6
Решение
Обозначим log7 x=y, получим y2 + y=6, откуда y2 -y - 6 =0, корни этого
уравнения y= 3, y=-2.
Вернувшись к введенным обозначениям, получим: log7 x=3, log7 x=-2.
Решая последние два уравнения, получим: x=343,x= 1/49.
Ответ: 343; 1/49.
9.Неравенство loga f(x)> loga g(x) равносильно неравенству f(x)> g(x),при
a>1 и дополнительных условиях g(x)>0, f(x)>0.
Неравенство loga f(x)> loga g(x) равносильно неравенству f(x)< g(x),при
0<a<1 и дополнительных условиях g(x)>0, f(x)>0.
Например, решите неравенство:
а)lg(3-x)< -1;
Решение
lg( 3  x)  lg 0,1,
3  x  0
Неравенство lg(3-x)< -1; равносильно системе : 
3  x  0,1
 x  2,9
или 
или
x  3
x  3
решая каждое неравенство системы, получим: 
x  (2,9;3) Ответ: (2,9;3)
б)log0,5 x + log0,5 (3-x) <-1;
Неравенство log0,5 x + log0,5 (3-x) <-1 равносильно системе:
log 0,5 x(3  x)  log 0,5 2,

 x 2  3x  2  0
 x(3  x)  2,
 x  0,
или
или
.


3  x  0
0  x  3
0  x  3

Первое неравенство решим методом интервалов, получим 1<x<2,
1  x  2,
.
0  x  3
тогда система будет иметь вид 
Решение этой системы промежуток (1;2).
Ответ: (1;2).
в) log72 x + log7 x <6;
Решение
Обозначим log7 x через t, log7 x =t, тогда неравенство примет вид
56
t2 + t<6; откуда -3<t<2.
Учитывая то, что log7 x =t, получим неравенство -3<log7 x<2,
1/343<x <49. Решением данного неравенства служит промежуток
(1/343;49).
Наиболее часто встречающиеся ошибки:
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1. Из неравенства log0,5x<log0,57 не следует неравенство x<7!
Правильно будет x>7, так как логарифмическая функция с
основанием 0,5 убывающая.
2. lg3+lg2≠lg5. Правильно будет: lg3+lg2=lg(3∙2)=lg6.
3. lg6 –lg2≠lg4. Правильно будет: lg6-lg2=lg(6:2)=lg3.
4. lg x2 ≠2lg x. Правильно будет: lg x2 =2lg|x|.
Контрольный тест
1.Вычислите: а)log2,56,25, б)log273, в)log131, г)lg 100.
2.Вычислите: а)5Log50,5 , б)6Log648,в) 1,01Log1,010,01.
3.Вычислите:
а) log35 +log30,2; б) log310-log33⅓; в) log0,10,18.
4.Найдите область определения функци y= log0,1 (-x+3).
5. Сравните числа а) log52 и log53; б) log0,59 и log0,57;
6.Сравните с нулем числа а) log27 ;б) log0,20,15 ; в) log60,2 ;г) log0,78;
7. Определите, на каком из рисунков изображен график функции y=log3 x, а
на каком – график функции y=log ⅓x?
57
4
Y
4
2
Y
2
X
0
2
4
6
X
0
8
-2
2
4
-2
a)
б)
8.Решите уравнение:а)log0,1(3-x)=-3; б)log5 x + log5 (x-4) =1;
в) log62 x - log6 x =2;
9. Решите неравенство: а)log0,1(3-x)<-3; б)log5 x + log5 (x-4) >1;
в) log62 x - log6 x <2;
58
6
8
Ответы к контрольным тестам
Тема 1
1. а) х ≠ π/2 +πk , k – целое число; х≠-1/2 ; х ≠ π/12 +π/3 k , k – целое
число;
б) [-2; 2]; [2/3; 4/3]; [-0; +∞) .
2. а) 2π/11; б)1/2; в)5π.
3. четная функция – tg x2 ; нечетная функция - xcosx ; не является ни
четной функцией, ни нечетной – sin(x+1).
4. а)“плюс”; б) “плюс”.
5. а) sin 10π /9; sin π/12; sin 2,1 π; б) cos1,4 π; cos2,3 π; cos π/5; в) tgπ/7;
tg2,9 π; tg4π.
6. б)
Тема 2
1. 
2
3 10
2 2
; 2. 
; 3. tgα; 4.
.
10
2
2
Тема 3
1. π/4. 2. а)(-1)kπ/6 - π/4 + πk; k  Z.б) arctg2 + πk, k Z. в) 

3 
  4n, n  Z .
2
2
3. а) - π/2+ 2πk, k  Z. б) -  2k , k  Z ; (-1)k аrcsin0,2+ n, n  Z .
2
в) arctg 4 / 3  n, n  Z .
Тема 4
1.а) -
3
2 x
+12x2; б)
2 cos x
2
; в)
– 1;
2
2
(1  sin x)
cos (2 x  1)
г) 7x6+8x3-3x2; 2. 160;
3. x<7;
Тема 5
1
5
1. На промежутках (-  ; 0) и ( ;  ) функция убывает, на промежутке
(0;
1
) функция возрастает;
5
x=
1
– точка максимума.
5
59
10
Y
8
6
4
2
X
-4
-2 0
-2
2
4
-4
-6
-8
-10
2.
3. Наибольшее значение функции равно -0, наименьше значение функции
равно -2.
4. в точке x=1: y=2x-2; в точке х=-1: y=-2x+2.
Тема 6
1.y=-cosx+2,5; 2.
3 
 ;
2
6
3.а)38; б)2√3 – 2/3; в)1.
Тема 7
1. а) 7; б)6,8; -6,8; в) 4 7 ; - 4 7 ; г) 5 5 ; 2.0;
3. первое больше;
Тема 8
1. -2; 2. 8; 3. x+x0,5+x-0,5+1;
Тема 9
1
4
1.а) x=- ; б) x =6; в) x=1;
1
4
2. а) x <- ; б) x >6; в) x>1; 3. а)0; 1; б) 0;
4. а) (0;1); б) x>0.
Тема 10
1
3
1.а)2; б) ; в)0; г)2;
2.а)0,5; б)48; в) 0,01; 3. а) 0; б) 2; в) 8; 4. (-∞;3);
5. а) log52 < log53; б) log0,59 < log0,57; 6.а) log27>0 ;б) log0,20,15>0 ;
в) log60,2<0 ; г) log0,78<0; 7. а) y=log ⅓x; б) у=log3 x;
8. а) -997; б)5; в) 36; 9. а) (-∞;-997); б) (5; +∞); в) (36; +∞);
60
Стереометрия
Тема1
Аксиомы стереометрии и следствия из них
Проверочный тест
1.Сколько различных плоскостей можно провести через три точки,
не принадлежащие одной прямой ?
2. Две вершины треугольника принадлежат плоскости. Принадлежит ли
этой плоскости третья вершина, если известно, что данной плоскости
принадлежит центр вписанной в треугольник окружности ?
3. Боковая сторона AD трапеции ABCD лежит в плоскости α, прямая BC
пересекает плоскость в точке K. Верно ли, что точка K принадлежит
прямой AD?
4. Точка A не принадлежит прямой a. Сколько различных плоскостей
можно провести через прямую a и точку A?
5. Прямые MN и KL пересекаются в точке O. Принадлежат ли одной
плоскости прямые MK и LN?
6.Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью M, N, P( рис.5a)
Ответы
1.Одну. 2.Принадлежит. 3. Верно, см. рис.1.4.Одну.5. Принадлежат.
6.см .рис.6.
Улучшите свои знания
1. Аксиома – это утверждение, которое принимается без
доказательства.
Обозначение:
точки обозначаются большими буквами латинского алфавита
(A, B, C…);
плоскости – малыми буквами греческого алфавита(α,β,γ,…);
прямые – малыми буквами латинского алфавита (a, b, c…) или двумя
большими буквами латинского алфавита (AB, DC, MN…).
Аксиома 1
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит
плоскость и при том только одна.
61
2.Аксиома 2
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и все точки этой прямой
лежат в этой плоскости.
Пример
Две вершины треугольника принадлежат плоскости. Принадлежит ли
этой плоскости третья вершина, если известно, что данной плоскости
принадлежит центр вписанной в треугольник окружности ?
Решение
Пусть точки A и B – вершины треугольника ABC, O- центр вписанной
окружности ( точка пересечения его биссектрис) в треугольник ABC
(рис.1). По аксиоме 1 через три точки, A, B, O, не принадлежащие одной
прямой ( точка O не принадлежит прямой AB ) проходит плоскость и при
том только одна. Обозначим эту плоскость α.
Так как точки A и O прямойAO принадлежат плоскости α, то по аксиоме 2
все точки прямой AO принадлежат этой плоскости, значит точка K
пересечения прямых AO и BC принадлежит плоскости α.
Так как точки B и K прямой BK принадлежат плоскости α, то по
аксиоме 2 все точки прямой BK принадлежат этой плоскости, значит
точка C пересечения прямых AC и BK принадлежит плоскости α.
Значит, третья вершина треугольника принадлежит плоскости α.
3. Aксиома 3
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую,
содержащую все общие точки этих плоскостей.
Пример
Боковая сторона AD трапеции ABCD лежит в плоскости α, прямая BC
пересекает плоскость в точке K. Верно ли, что точка K принадлежит
прямой AD?
Решение
Плоскости α и ABC имеют две общие точки A и D(рис.2), значит их
пересечение есть прямая AD.
Точка K принадлежит прямой BC, а значит и плоскости ABC.
Значит, точка K- общая точка плоскостей α и ABC. По аксиоме 3, эта
точка принадлежит общей прямой этих плоскостей, т.е. точка K
принадлежит прямой AD.
4.Следствие из аксиом 1
Через прямую и точку, не принадлежащую этой прямой, проходит
плоскость, и при том только одна (рис.3).
5.Следствие из аксиом 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и при том только
одна.
62
Пример
Прямые MN и KL пересекаются в точке O. Принадлежат ли одной плоскости
прямые MK и LN?
Решение
Так как прямые MN и KL пересекаются ( рис.4), то по следствию из аксиом 2
они лежат в некоторой плоскости α. Тогда по аксиоме 2 прямые MK и LN
принадлежат плоскости α.
6. Сечение многогранника плоскостью - это многоугольник, сторонами
которого являются отрезки пересечения граней многогранника с данной
плоскостью.
Алгоритм построения сечения многогранника плоскостью
Чтобы построить сечение многогранника (например, куба
ABCDA1B1C1D1 плоскостью M, N, P( рис.5б)) плоскостью, надо:
1. Найти две точки плоскости, лежащие в одной грани (плоскости грани)(В
нашем примере точки M и N ).
2. Соединить эти две точки и найти точки пересечения полученной прямой
с остальными прямыми этой грани ( в нашем примере прямая MN
пересекает прямую CC 1 в точке X и прямую BC в точке Y).
3. Если получился многоугольник, то построение закончено, если нет, то
нужно вернуться к пункту 1.( В нашем случае многоугольника не
получилось, поэтому вернемся к
п.1, найдем еще две точки, лежащие в одной грани – это точки P и Y в грани
ABCD;
п.2, соединим эти две точки и продолжим полученную прямую до
пересечения с остальными прямыми этой грани, т.е. с прямыми DC и AB.
Получим точки Z и E.
п.3. Многоугольника не получилось, вернемся к
п.1, найдем еще две точки, лежащие в одной грани – это точки Z и X в грани
CC1D1D;
п.2, соединим эти две точки и продолжим до пересечения с остальными
прямыми этой грани, т.е. с прямой DD1 и C1D1 Получим точки F и К.
п.3. Многоугольника не получилось, вернемся к
п.1, найдем еще две точки, лежащие в одной грани: точки K и M в грани
A1C1D1D1; точки F и P в грани AA1D1D; точки E и N в грани AA1B1B;
п.2.Cоединим пары этих точек в гранях, получим замкнутый многоугольник
KMNEPF – это искомое сечение куба.
63
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1Найдите точку пересечения прямой MN и плоскости ABC см. рис.6.
точка F- это ответ неверный, правильный ответ: точка K
2.Посторойте сечение тетраэдра ABCD плоскостью MNK.
На рис.7 сечение построено неверно. Правильное решение приведено на
рис.8.
Контрольный тест
1. Сколько различных плоскостей можно провести через две различные
точки?
2. Две вершины треугольника принадлежат плоскости. Принадлежит ли
этой плоскости третья вершина, если известно, что данной плоскости
принадлежит точка пересечения медиан этого треугольника?
3. Точки M и N принадлежат грани ABCD куба ABCDA1B1C1D1 ( рис.9).
C какими гранями куба пересекается прямая MN?
4. Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью M, N, P( рис.10).
Тема2
Параллельность прямых и плоскостей в
пространстве
Проверочный тест
1. В тетраэдре ABCD точки M,N,P,Q – середины ребер AD,DB, BC,AC,
cоответственно. Найдите периметр четырехугольника MNPQ, если
DC=4см, AB=6см.
2. В тетраэдре ABCD ребра ( рис.12) AC и BD
а)параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются.
Выберите правильный ответ.
3. Прямая a параллельна плоскости α, тогда
а) прямая a паралельна любой прямой этой плоскости; б) прямая a
паралельна какой – либо прямой этой плоскости; в) пересекает
какую – либо прямую этой плоскости.
64
Выберите правильный ответ.
4.Две плоскости параллельны, если
а)прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в
другой плоскости; б) две прямые, лежащие в одной плоскости,
параллельны двум прямымй другой плоскости; в) две пересекающиеся
прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум прямым другой
плоскости .
Выберите правильный ответ.
5.Точки K, M и N – середины ребер АS, SС и BS пирамиды SABCD
соответственно. Найдите длину отрезка ME, если E – точка пересечения
плоскости MNK с ребром SD, а длина ребра CD=7cм.
Ответы
1.10см. 2. в).3.б).4. в). 5. 3,5см.
Улучшите свои знания
1.Определение. Две прямые в называются параллельными, если они лежат
в одной плоскости и не имеют общих точек.
Признак параллельности прямых в пространстве
Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Пример
В тетраэдре ABCD точки M,N,P,Q – середины ребер AD,DB, CB, AC
cоответственно. Найдите периметр четырехугольника MNPQ, если
DC=4см, AB=6см.
Решение
На рис. 11 точки M,N,P,Q – середины ребер AD,DB, CB, AC тетраэдра
ABCD. Покажем, что четырехугольник ABCD – параллелограмм.
Так как точки M и N середины ребер AD и DB, то отрезок MN – средняя
линия треугольника ABD. По свойству средней линии треугольника:
MN=0,5AB, MN‫׀׀‬AB.
Так как точки Q и P середины ребер AC и CB, то отрезок Q P– средняя
линия треугольника ABC. По свойству средней линии треугольника: Q P
=0,5AB, Q P‫׀׀‬AB.
Так как MN‫׀׀‬AB и Q P‫׀׀‬AB, то по признаку параллельности прямых в
пространстве MN‫׀׀‬Q P.
Аналогично показывается, что QM‫׀׀‬NP и MQ=NP=0,5DC. Следовательно,
четырехугольник ABCD – параллелограмм, а длины его сторон
равны: MQ=NP=0,5DC=2см, Q P =MN=0,5AB=3см. Тогда периметр
параллелограмма ABCD равен 10см.
Ответ: 10см
65
2. Определение. Две прямые в называются скрещивающимися, если они
не пересекаются и не параллельны ( не существует плоскости, которой
принадлежат обе прямые)
Признак скрещивающихся прямых
Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в
точке, не принадлежащей первой прямой, то такие прямые
скрещивающиеся.
Пример
В тетраэдре ABCD ребра ( рис.12) AC и BD скрещивающиеся, так как
ребро AC лежит в плоскости ABC, а ребро BD пересекает эту плоскость в
точке B, не принадлежащей прямой AC, то по признаку скрещивающихся
прямых эти прямые скрещивающиеся.
3.Определение
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют
общих точек.
Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая, не принадлежащая плоскости параллельна какой – либо
прямой, лежащей в плоскости, то такие прямая и плоскость параллельны.
Пример
В кубе ABCDA1B1C1D1 прямая A1B1 параллельна плоскости ABC, так как
она параллельна прямой AB, лежащей в плоскости ABC.
4.Определение
Две плоскости называются паралельными , если они не имеют общих точек.
Признак параллельности прямой и плоскости
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости
параллельны.
Пример
В кубе ABCDA1B1C1D1 плоскость A1B1C1 параллельна плоскости ABC,
так как две пересекающиеся прямые, например, A1B1 и C1D1, лежащие в
плоскости A1B1C1, праллельны двум прямым AB и BC, лежащим в
плоскости ABC.
5.Теоремы о параллельных плоскостях
а) Если две пересекающиеся плоскости пересечены третьей, то линии их
пересечения параллельны.
66
б)Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными
плоскостями, параллельны.
Пример
Точки K, M и N – середины ребер АS, SС и BS пирамиды SABCD
(рис.13)соответственно. Найдите длину отрезка ME, если E – точка
пересечения плоскости MNK с ребром SD, а длина ребра CD=7cм.
Решение
Плоскость MNK параллельна плоскости ABC по признаку параллельности
плоскостей ( NK‫ ׀׀‬AB по свойству средней линии треугольника ASB,
MN‫ ׀׀‬BC по свойству средней линии треугольника CSB).
Две паралллельные плоскости MNK и ABC пересечены третьей DSC, тогда
по теореме о параллельных плоскостях ( теорема а)) их линии пересечения
DC и ME параллельны. Так как точка M – середина BS, то отрезок ME –
средняя линия треугольника DSC, тогда по свойству средней линии
треугольника ME=3,5 см.
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1. В тетраэдре MNPQ ребра ( рис.14) MN и PQ параллельны – это
утверждение неверно.
Правильно будет: в тетраэдре MNPQ ребра MN и PQ скрещивающиеся.
2. В кубе ABCDA1B1C1D1 ( рис.15) прямые ВA1 и B1 P параллельны. Это
утверждение неверно.
Правильно будет: в кубе ABCDA1B1C1D1 ( рис.15) прямые ВA1 и B1 P
скрещивающиеся.
3. В кубе ABCDA1B1C1D1 ( рис.15) прямые В1D и BF пересекаются . Это
утверждение неверно.
Правильно будет: в кубе ABCDA1B1C1D1 ( рис.15) прямые В1D и BF
скрещивающиеся.
Контрольный тест
1.Может ли прямая быть параллельна:
а) только одному ребру куба; б) только четырем его ребрам; в) пяти его
ребрам; г) только одной из диагоналей граней куба?
Выберите правильные ответы.
67
2.Каждое ребро тетраэдра ABCD равно a. Найдите периметр сечения,
проходящего через середины трех ребер тетраэдра, имеющих общую точку.
3.Плоскости α и β параллельны. Прямая a лежит в плоскости α, прямая b
лежит в плоскости β. Тогда прямые a и b:
а) могут быть параллельны, б) могут пересекаться; в) могут скрещиваться.
Выберите правильный ответ.
68
Тема 3
Перпендикулярность прямых и плоскостей в
пространстве
Проверочный тест
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 прямая AB перпендикулярна плоскости грани:
а) BC B1C1; б) DAA1D1; в)DD1C1C.
Выберите правильные ответы.
2.Из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр AB и наклонные
AC и AD равной длины, проекции которых образуют между собой прямой
угол. Найдите длины наклонных AC и AD, если расстояние CD=2cм,
AB=4см.
3. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4см. Найдите расстояние от точки B1
до прямой AC.
4. Отрезок AB не пересекает плоскость α . Расстояние от концов отрезка
AB до плоскости α равны соответственно 6 и 10 см. Найдите
расстояние от середины отрезка AB до плоскости α .
5. Если две плоскости перпендикулярны, то
а) любая прямая одной плоскости перпендикулярна любой прямой
другой плоскости; б) прямая в одной плоскости, перпендикулярная
линии пересечения плоскостей, перпендикулярна второй плоскости;
в)любая прямая одной плоскости перпендикулярна какой – либо
прямой другой плоскости. Выберите правильные утверждения.
Ответы
1.а); б); 2. 3 2 ; 3. 2 6 ; 4. 8см; 5. б); в).
Улучшите свои знания
1. Определение
Прямая называется перпендикулярной плоскоси, если прямая
перпендикулянра каждой прямой, лежащей в плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым,
лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Пример
69
Покажем, что в кубе ABCDA1B1C1D1( рис.16) прямая AB
перпендикулярна плоскости грани BC B1C1.
Прямая AB перпендикулярна BC, так как грань ABCD – квадрат,
прямая AB перпендикулярна B1B, так как грань BB1C1C – квадрат, значит,
прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости
грани BC B1C1. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и
плоскости прямая AB перпендикулярна плоскости грани BC B1C1.
2.Определение
Перпендикуляром, проведенным из точки(A) к плоскости (α) называется
отрезок прямой (a) , перпендикулярной плоскости и проходящей через
эту точку, до точки( B) пересечения прямой с плоскостью( рис.17).
Если AB – перпендикуляр к плоскости α (рис.18), а точка С –
произвольная точка этой плоскости, то отрезок AC называется наклонной
к этой плоскости.
Отрезок BC – проекция наклонной на плоскость.
Теорема
Если из одной точки, взятой вне плоскости, проведены к этой плоскости
перпендикуляр и наклонные, то:
а) перпендикуляр короче наклонных;
б) равные наклонные имеют равные проекции;
в) из двух наклонных та больше, проекция которой больше.
Пример
Из точки A к плоскости α проведены перпендикуляр AB и наклонные AC
и AD равной длины, проекции которых образуют между собой прямой
угол. Найдите длины наклонных AC и AD, если расстояние CD=2cм,
AB=4см.
Решение
На рисунке 19 треугольник CBD равнобедренный, так как отрезки CB и
BD – проекции равных наклонных AC и AD. По условию треугольник
CBD прямоугольный. Тогда CB =CDsin45º= 2 cм.
Из прямоугольного треугольника ABC найдем гипотенузу по катетам AB
и BC. AC = 2  16  18  3 2 (cм).
3.Теорема о трех перпендикулярах
Если прямая (a), лежащая в плоскости (α), перпендикулярна проекции
(NK) некоторой наклонной (MN) к плоскости(α), то она перпендикулярна
и самой наклонной( рис.20).
Обратная теорема
70
Если прямая(a), лежащая в плоскости (α), перпендикулярна
наклонной(MN) к плоскости(α), то она перпендикулярна и проекции(NK)
наклонной на эту плоскость.
Пример
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4см. Найдите расстояние от точки B1
до прямой AC.
Решение
На рисунке 21 диагонали грани ABCD куба ABCDA1B1C1D1 пересекаются
в точке O. Так как грань ABCD- квадрат, то его диагонали
перпендикулярны, т.е. AC  OB. Отрезок OB – проекция наклонной B1O
на плоскость ABC.Тогда
по теореме о трех перпендикулярах AC  B1O. Значит, расстояние от
точки B1 до прямой AC – это длина отрезка B1O.
Длину этого отрезка найдем по теореме Пифагора из прямоугольного
треугольника B1BO. B1O = BB12  BO 2 . BB1= 4см, BO = 2 2 cм,
B1O = BB12  BO 2 = 16  8  2 6 (см)
Ответ 2 6 см
4.Теоремы о связи между параллельностью и перпендикулярностью
а)Две прямые(a и b), перпендикулярные одной плоскости(α),
параллельны( рис22).
б) Если одна (a) из двух (a и b) параллельных прямых перпендикулярна
плоскости, то и вторая (b) прямая перпендикулярна этой же плоскости.
Пример
Отрезок AB не пересекает плоскость α . Расстояние от концов отрезка AB
до плоскости α равны соответственно 6 и 10 см. Найдите расстояние от
середины отрезка AB до плоскости α .
Решение
На рисунке 23 отрезки AC и BD перпендикулярны плоскости α. AC=6см,
BD= 10см. Так как прямые AC и BD перпендикулярны плоскости α.,то
AC ‫׀׀‬BD. Проведем через AC и BD плоскость β, которая пересекает
плоскость α по прямой CD.Тогда четырехугольник ACDB – троапеция.
Проведем среднююю линию трапеции MN, по свойству средней линии
она параллельна основаниям трапеции, а по теореме б) отрезок MN
перпендикулярен плоскости α, значит, MN-искомый отрезок. Его длина
равна полусумме длин отрезков AC и BD, как длина средней линии
трапеции MN = 8см.
71
Ответ: 8см
5.Перпендикулярность плоскостей
Определение
Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если угол
между ними равен 90º
Признак перпендикулярности плоскостей
Если плоскость(α) проходит через перпендикуляр(a) к другой
плоскости (β), то такие две плоскости будут перпендикулярны
(рис.24).
Обратная теорема
Если две плоскости перпендикулярны и в одной из них, проведена
прямая, перпендикулярная к их линии пересечения, то эта прямая
перпендикулярна второй плоскости.
Пример1
Докажите, что в кубе ABCDA1B1C1D1 плоскость грани ABCD
перпендикулярна плоскости грани A1ABB1.
Доказательство
Заметим, что плоскость грани ABCD(рис.16) проходит через прямую
BC, перпендикулярную плоскости грани A1ABB1(BC  B1B и BC  AB,
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости BC  B1BA).
Тогда по признаку перпендикулярности двух плоскостей плоскость
грани ABCD перпендикулярна плоскости грани A1ABB1, что и
требовалось доказать.
Пример 2
Если две плоскости перпендикулярны, то
а) любая прямая одной плоскости перпендикулярна любой прямой
другой плоскости; б) прямая в одной плоскости, перпендикулярная
линии пересечения плоскостей, перпендикулярна второй плоскости;
в) любая прямая одной плоскости перпендикулярна какой – либо
прямой другой плоскости. Выберите правильные утверждения.
а) это утверждение неверно, например, что в кубе
ABCDA1B1C1D1(рис16) плоскость грани ABCD перпендикулярна
плоскости грани A1ABB1, но прямая BD грани ABCD не
перпендикулярна прямой A1B грани A1ABB1.
б) это утверждение верно по обратной теореме.
72
в) это утверждение верно, так как прямая в одной плоскости,
перпендикулярная линии пересечения плоскостей, перпендикулярна
второй плоскости, а значит, любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1.Сторона AB правильного треугольника ABC лежит в плоскости α( рис.25)
Тогда высота CD этого треугольника перпендикулярна плоскости α.
Это утверждение неверно, так как для того, чтобы прямая была
перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она была
перпендикулярна двум пресекающимся прямым этой плоскости. Прямая CD
перпендикулярна только одной прямой (AB) плоскости α , значит, она не
перпендикулярна плоскости α.
2. Сторона AB правильного треугольника ABC лежит в плоскости α, а
плоскость ABC и плоскость α перпендикулярны( рис.26). Тогда
сторона AC этого треугольника перпендикулярна плоскости α.
Это утверждение неверно, так как для того, чтобы прямая, лежащая в
одной из перпендикулярных плоскостей, была перпендикулярна другой
плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна к
линии их пересечения. Прямая AC, лежащая в плоскости ABC, не
перпендикулярна к прямой AB.
Контрольный тест
1.Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если
она перпендикулярна лежащим в этой плоскости:
а) двум сторонам треугольника; б) двум сторонам трапеции; в) двум
диаметрам круга?
2.Могут ли быть перпендикулярными к одной плоскости две стороны:
а) треугольника; б) трапеции; в) диагонали шестиугольника?
3.Из першины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами a
и b проведен перпендикуляр к плоскости треугольника. Длина
перпендикуляра равна h. Найдите расстояние от его конца, не
лежащего в плоскости треугольника до гипотенузы.
4. Докажите, что в кубе ABCDA1B1C1D1 плоскость грани ABCD
перпендикулярна плоскости ACC1A1.
73
Тема 4
Углы между прямыми и плоскостями
Проверочный тест
1.В правильном тетраэдре ABCD определите угол между прямой AD и
прямой, содержащей медиану CM треугольника ACB.
2.В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между диагональю DB1 и
плоскостью ABC.
3.В правильном тетраэдре ABCD определите угол между гранями ABC и
ABD.
Ответы
1. arccos
3
1
; 2. arctg
; 3.arccos1/3.
6
2
Улучшите свои знания
1.Определения
а)Угол между пересекающимися прямыми (a) и (b) равен величине
вертикальных не тупых углов (α), образованных этими прямыми (рис.27).
б)Угол между скрещивающимися прямыми (m и n) равен углу между
параллельными им пересекающимися прямыми (m1 и n1) (рис.28).
Пример
В правильном тетраэдре ABCD определите угол между прямой AD и
прямой, содержащей медиану CM треугольника ACB.
Решение
На рис.29 медиана CM треугольника ACB и ребро AD лежат на
скрещивающихся прямых. В плоскости ADB проведем через точку M
прямую, параллельную AD до пересечения с ребром DB в точке K. Тогда
угол между прямой AD и прямой, содержащей медиану CM треугольника
ACB равен углу CMK.
Точка K – cередина отрезка DB. Тогда KM= 0,5a, где a- ребро тераэдра.
3
. В равнобедренном треугольнике CKM ( рис.30) СH –
2
3
3
; < CMK = arccos
;
высота, тогда cos< CMK = MH:CM=
6
6
CK=CM=a
74
2.Определение
Углом (φ) между прямой (AB) и плоскостью(α), не перпендикулярной
данной плоскости, называется угол между прямой и ее проекцией( BC)
на данную плоскость.
Теорема
Угол между прямой и плоскостью наименьший из всех углов,
образованных данной прямой с прямыми, лежащими в плоскости.
Пример
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между диагональю DB1 и
плоскостью ABC
Решение
На рис. 32 в кубе ABCDA1B1C1D1 угол между прямой DB1и плоскостью ABC
– это угол между ее проекциеей DB на плоскость ABC и этой прямой, т.е.
это угол B1DB. Обозначим длину ребра куба через a. Тогда диагональ BD
куба равна a 2 . Из прямоугольного треугольника ABC найдем тангенс угла
B1DB, tg< B1DB = a:a 2 =
Ответ: arctg
1
2
;< B1DB= arctg
1
2
.
1
2
3.Определения
а) Двугранным углом (αaβ) называется фигура, образованная двумя
полуплоскостями (αβ), с общей границей(a), не принадлежащими одной
плоскости ( рис.33).
Плоскости(α и β), образующие двугранный угол, называются гранями.
Общая граница двух полуплоскостей(a) называется ребром двугранного угла.
б) Линейным углом (BAC) двугранного угла (αaβ) называется угол,
образованный лучами( AB и AC) с общим началом( A) на ребре
(a)двугранного угла, проведенными перпендикулярно ребру(AB┴a, AC┴a) в
каждой грани( AB в грани α, AC в грани β),
в) Углом между пересекающимися плоскостями называется величина
наименьшего из двугранных углов, образованных этими плоскостями.
Пример
В правильном тетраэдре ABCD определите угол между гранями ABC и
ABD.
Решение.
На рис.35 в тетраэдре ABCD построен линейный угол двугранного угла с
ребром AB. В грани ABC DM  AB в грани ABD CM  AB. Тогда величина
угла между гранями ABC и ABD равна величине линейного угла DMC.
Этот угол найдем из треугольника DMC по теореме косинусов.
75
Обозначим ребро тетраэдра ABCD через a. Тогда CM= DM=a
3
,
2
a2 = 3/4 a2+ 3/4 a2 - 2∙3/4 a2cos<DMC, откуда cos<DMC= <DMC=arccos 1/3
Ответ: угол между гранями ABC и ABD равен arccos 1/3.
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
В правильном тетраэдре ABCD( рис.29) определите угол между боковым
ребром AD и плоскостью основания ABC.
Угол DAC – это неправильное решение.
Правильно будет: чтобы найти угол между прямой и плоскостью, надо
постороить проекцию прямой на эту плоскость. На рис. 36 - эта проекция
есть отрезок AO ( DO  ABC). Тогда угол между прямой AD и плоскостью
ABC – это угол DAO. Из прямоугольного треугольника ABC получим
cos< DAO= AO:AD. Обозначим ребро тетраэдра a, тогда AO =
cos< DAO=
1
3
, < DAO= arccos
1
3
3
a,
3
. Ответ: угол между боковым ребром AD и
плоскостью основания ABC равен arccos
1
3
.
Контрольный тест
1.В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AB1 и BC1.
2.Из точки O, находящейся на расстоянии 3см от плоскости α,
проведены к этой плоскости две наклонные, OA и OB под углом 60º к ней.
Угол между проекциями этих наклонных на плоскость α равен 120º.
Найдите длину отрезка AB.
3. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями AD1C и ABC.
Тема 5
Многогранные углы
Проверочный тест
1.Существует ли многогранный угол, имеющий плоские углы 80º,
76
130º, 70º, 100º?
2.Существует ли трехгранный угол с плоскими углами 30º, 70º, 100º?
3. В трехгранном угле SABC два плоских угла ASB и ASC равны по 60º,
а третий BSC угол равен 90º. AS= 4см. Найдите расстояние от точки
A до плоскости BSC.
Ответы
1. Не существует. 2. Не существует. 3. 2 2 см.
Улучшите свои знания
1.Определения
Фигура, образованная всеми лучами (SA, SB, SC…), имеющими общее
начало (точка S) и пересекающими некоторый многоугольник (ABC…),
называется многогранным углом SABC…( рис.35.)
Общее начало всех лучей ( точка S) называется вершиной многогранного
угла.
Лучи SA, SB, SC… называются ребрами многогранного угла.
Углы ASB, BSC, CSD… называются плоскими углами многогранного угла
или его гранями.
Каждые две грани, имеющие общее ребро( например, грани BSC и CSD
имеют общее ребро SC), определяют двугранный угол многогранного угла.
Если многоугольник ABCD… является выпуклым, то и многогранный угол
SABC… является выпуклым.
Теорема ( Свойство плоских углов многогранного угла)
Сумма величин всех плоских углов выпуклого многогранного угла
меньше 360º.
Пример
Существует ли многогранный угол, имеющий плоские углы 80º,
130º, 70º, 100º?
Решение
Так как сумма 80º+130º+70º+100º =380º>360º, то по свойству плоских углов
многогранного угла такого многогранного угла не существует.
2. Определения
Многогранный угол, имеющий три плоских угла, называется
трехгранным
Теорема ( Свойство плоских углов трехгранного угла)
Величина каждого плоского угла трехгранного угла меньше суммы величин
двух других плоских углов.
77
Пример
Существует ли трехгранный угол, имеющий плоские углы
30º, 70º, 100º?
Решение
Так как сумма 30º+70º=100º, то по свойству плоских углов трехгранного
угла такого трехгранного угла не существует.
3.Свойство трехгранног угла
Если два плоских угла трехгранного угла равны, то их общее ребро
проектируется на биссектрису третьего плоского угла.
Пример
В трехгранном угле SABC два плоских угла ASB и ASC равны по 60º,
а третий BSC угол равен 90º. AS= 4см. Найдите расстояние от точки
A до плоскости BSC.
Решение
На рис.36 AK  BSC. Нужно найти расстояние AK. В плоскости BSC
проведем KL  BS и KP  CS.
По теореме о трех перпендикулярах получим AL  BS и AP  CS.
Из прямоугольного треугольника ASL с углом ASL, равным 60º находим:
SL = 2cм. По свойству трехгранного угла с двумя равными плоскими
углами точка A проектируется на биссектрису плоского угла BSC, т.е.
SK – биссектриса угла BSC. Тогда из прямоугольного равнобедренного
треугольника SBC найдем SC. SC = 2 2 см. В прямоугольном треугольнике
ASK по теореме Пифагора находим: AK = AS 2  SC 2  16  8  2 2 (см).
Ответ: 2 2 см.
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
В трехгранном угле SABC два плоских угла ASB и ASC равны по 60º,
а третий BSC угол равен 120º AS= 4см. Найдите расстояние от точки
A до плоскости BSC.
Любой числовой ответ в этой задаче является не
вернным, так как такого трехгранного угла существует.
Действительно, по свойству трехгранного угла ASB + ASC > BSC, а по
условию задачи 60º+ 60º = 120º, значит, трехгранного угла с такими
условиями не существует.
Правильный ответ: расстояние найти нельзя.
78
Контрольный тест
1.Существует ли многогранный угол, имеющий плоские углы 85º,
136º, 60º, 110º?
2.Существует ли трехгранный угол с плоскими углами 40º, 75º, 104º?
3. В трехгранном угле два плоских угла равны по 60º, а третий угол равен
90º. Найдите двугранный угол, образованный равными плоскими углами.
79
Тема 6
Многогранники. Призма.
Проверочный тест
1. Является ли призма правильной, если все ее ребра равны?
2. Высота правильной треугольной призмы равна 6см.
Сторона основания равна 4см. Найдите площадь полной поверхности
этой призмы.
3.Основание призмы правильный треугольник со стороной 4cм.
Высота призмы равна 6см. Найдите объем призмы.
Ответы
1. Не является; 2. 8 3 +72см2 .3.24 3 см3.
Улучшите свои знания
1.Определения
а) Многогранником называется ограниченное тело, поверхность
которого
состоит из конечного числа многоугольников
Многоугольники, из которых состоит поверхность многогранника,
называются гранями многогранника.
Общие стороны двух граней называются ребрами многогранника.
Вершины граней назывются вершинами многогранника.
б) Призмой (ABCD… A1B1C1D1 … ) называется многогранник, две грани
которого ABCD… и A1B1C1D1… n-угольники,
лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани( АA1BB1…) –
параллелограмммы ( рис.37).
Многоугольники (ABCD… и A1B1C1D1), лежащие в параллельных
плоскостях, называются основаниями призмы.
Грани – параллелограммы называются боковыми гранями
Отрезок перпендикуляра (HH1) к основанию призмы, заключенный
между основаниями, называется высотой призмы.
Призма (ABCD… A1B1C1D1 … ) называется прямой, если ее боковые
ребра перпендикулярны основаниям ( рис.38).
80
Если боковые грани не перпендикулярны основаниям, то призма
называется наклонной (рис37.).
Призма называется правильной, если она прямая, а основания призмыправильные многоугольники.
Пример
Является ли призма правильной, если все ее ребра равны?
Ответ
Правильная призма – это прямая призма, основания которой – правильные
многоугольники, поэтому если все ребра призмы равны, то призма не
является правильной. Например, призма, у которой основания ромбы, а
боковые ребра равны сторонам этих ромбов не является правильной.
2 Определение
Площадью поверхности многограника называется сумма площадей всех
граней многогранника.
Площадь боковой поверхности призмы –это сумма площадей боковых
граней призмы
Теорема
Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению
периметра основания и высоты призмы, Sбок.пов.= Pосн.H.
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей основания
призмы и ее боковой поверхности, Sполн.пов.= Sосн.+ Pосн.H.
Пример
Высота правильной треугольной призмы равна 6см.
Сторона основания равна 4см. Найдите площадь полной поверхности
этой призмы.
Решение
Так как площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей
основания призмы и ее боковой поверхности, то вычислим площадь
оснований и площадь боковой поверхности призмы.
Так как основания призмы правильный треугольник, то
Sосн. =42 3 /4=4 3 (см2).
Так как призма прямая, то Sбок.пов.= Pосн.H = 12∙6 см2.
Sполн.пов.= 4 3 +72 см2.
Ответ: 4 3 +72 см2.
3.Теорема
Объем призмы равен произведению площади ее основания и высоты,
V.=Sосн H.
Пример
81
Основание призмы правильный треугольник со стороной 4cм.
Высота призмы равна 6см. Найдите объем призмы.
Решение
Так как объем призмы равен произведению площади ее основания и
высоты, то вычислим площадь основания призмы.
Sосн. =42 3 /4= 4 3 см2. Тогда Vпр.= Sосн.H, Vпр.= 4 3 ∙6 = 24 3 (см3).
Ответ: 24 3 см3
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
Является ли призма правильной, если:
а)основания призмы правильный многоугольник; б) боковые ребра призмы
перпендикулярны основанию; в) все ребра призмы равны? Выберите
правильный ответ.
Ответ
Среди приведенных вариантов правильного ответа нет.
а) основания призмы могут быть правильными, а боковые ребра не
перпендикулярны основаниям; б)боковые ребра призмы могут быть
перпендикулярными основаниям, а основания – неправильные
многоугольники; в) наклонная призма, у которой основания правильные
треугольники, а боковые ребра равны сторонам оснований не является
правильной.
Контрольный тест
1. Основанием треугольной призмы является равнобедренный
прямоугольный треугольник. С гипотенузой 4см. Две грани призмы –
равные квадраты. Найдите полную поверхность призмы.
2.Площади двух боковых граней наклонной треугольной призмы равны
40см2 и 30см2 .Угол между этими гранями прямой. Найдите площадь
боковой поверхности этой призмы.
3.Основание наклонной треугольной призмы – правильный треугольник со
стороной 6см. Одна из вершин верхнего основания проектируется в
точку пересечения медиан нижнего. Боковое ребро призмы равно 4см.
Найдите объем пирамиды.
82
Тема 7
Параллелепипед
Проверочный тест
1. Может ли основание наклонного параллелепипеда быть
прямоугольником ?
2. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если три его ребра
имеют длины 5, 7 и 9 см.
3. Найдите диагонали прямого параллелепипеда, если стороны его
основания равны 2 и 5 см, угол между ними 60º, а высота
параллелепипеда равна 6см.
4.В наклонном параллелепипеде одна из вершин верхнего основания
проектируется в центр нижнего, а боковое ребро наклонено к плоскости
основания под углом 45º. Найдите объем прямоугольного
параллелептпеда, если в основании параллелепипеда – квадрат со
стороной 6см.
Ответы
1. да; 2. 155 см; 3. 55cм;5 3см 4.108 2 см3.
Улучшите свои знания
1.Определения
а) Параллелепипедом называется призма, основание которой –
параллелограмм ( рис39).
В параллелепипеде шесть граней и все они параллелограммы.
б) Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра
которого перпендикулярны плоскости основания ( рис.40).
в) Прямоугольным параллелепипедом называется прямой
параллелелепипед, основанием которого служит прямоугольник.
Три неравных ребра прямоугольного параллелепипеда (a,b,c) называются
его измерениями ( рис.41).
Пример
Может ли основание наклонного параллелепипеда быть прямоугольником?
Ответ
Основание наклонного параллелепипеда может быть прямоугольником.
83
Для построения такого параллелепипеда построим прямоугольник и из
каждой его вершины проведем к плоскости прямоугольника равные и
параллельные отрезки наклонных. Концы построенных отрезков соединим.
Получим второе основание параллелепипеда.
2. Теорема
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме
квадратов трех его измерений: d2 = a2+ b2+c2,
Пример
Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если три его ребра
имеют длины 5, 7 и 9 см.
Решение
По теореме 2 d2 = a2+ b2+c2, d2 = 52+ 72+92 =155, d = 155 см.
Ответ: 155 см.
3. Теорема
Диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам
(рис.42).
В прямом параллелепипеде четыре попарно равных диагонали.
Пример
Найдите диагонали прямого параллелепипеда, если стороны его
основания равны 2 и 5 см, угол между ними 60º, а высота
параллелепипеда равна 6см.
Решение
В параллелепипеде ABCD A1B1C1D1 стороны основания AB и BC равны 2 и
5см соответственно, угол ABC равен 60º( рис.43). Найдем длины
диагоналей параллелеограмма ABCD.
Из треугольника ABC по теореме косинусов найдем длину диагонали AC.
AC2 =AB2 + BC2 -2AB∙BCcos< ABC, AC2 =22 + 52 -2∙2∙5cos60º = 19.
Из треугольника ABD по теореме косинусов найдем длину диагонали BD.
BD2 =AD2 + BA2 -2AB∙ADcos< DAB, BD2 =22 + 52 -2∙2∙5cos120º = 39.
Так как параллелепипед прямой, то его боковое ребро равно высоте.
Тогда из прямоугольных треугольников CC1A и BB1D найдем длины
диагоналей AC1 и DB1.
AC12 = AC2 + CC 12 = 19+36 =55, AC1= 55 см.
DB12 = DB2 + AA 12 = 39+36 =75, AC1=5 3 см.
Ответ: 55cм;5 3см .
84
4.Теоремы
а)Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его
измерений: V= abc.
б)Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда Sп.п. с
измерениями a, b, c равна 2(ab+bc+ac)
в)Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна
произведению периметра его основания и высоты, Sб.п.= Pосн.Н.
Объем наклонного параллелепипеда и площадь его поверхности находится
так же как объем и площадь поверхности наклонной призмы.
Пример
В наклонном параллелепипеде одна из вершин верхнего основания
проектируется в центр нижнего, а боковое ребро наклонено к плоскости
основания под углом 45º. Найдите объем прямоугольного
параллелептпеда, если в основании параллелепипеда – квадрат со
стороной 6см.
Решение
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 сторона основания AB равна
6см , высота - A1O, угол A 1AO равен 45º( рис.44).
Площадь основания параллелепипеда равна площади квадрата со стороной a,
т.е. 36см2.
В треугольнике A1AO угол A 1OA равен 90º, угол A 1AO равен 45º, значит
угол OA 1A равен 45º. Тогда треугольник A 1AO прямоугольный
равнобедренный и его катет AO равен высоте A 1O. Катет AO равен половине
диагонали AC квадрата ABCD и равен 3 3 см.
Тогда объем параллелепипеда ABCD A1B1C1D1 равен произведению
площади его основания и высоты, т.е. 108 3 см3.
Ответ:108 3 см3.
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
Параллелепипед будет прямоугольным, если
а) в основании параллелепипеда – прямоугольник;
б) все грани параллелепипеда прямоугольники;
в) три различные грани параллелепипеда прямоугольники;
г) три грани параллелепипеда прямоугольники;
Выберите верные ответы.
а)Если в основании параллелепипеда – прямоугольник, то боковые ребра
могут быть не перпендикулярны основаниям, значит параллелепипед не
прямой, а значит и не прямоугольный.
85
б)если все грани параллелепипеда прямоугольники, то такой параллелепипед
прямоугольный, так как боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны
основанию.
в)если три различные грани параллелепипеда прямоугольники, то и
остальные три грани – прямоугольники, т.е. параллелепипед прямоугольный.
г)если три грани параллелепипеда прямоугольники, то две из них могут
быть противоположными гранями и найдется грань, не являющаяся
прямоугольником.
Верные ответы б) и в).
Контрольный тест
1.В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведены сечения A1BC и CB1D1.
В каком отношении эти плоскости делят диагональ AC1.
2.Верно ли, что если все диагонали параллелепипеда равны, то такой
параллелепипед прямоугольный?
3.Могут ли две боковые грани наклонного параллелепипеда быть
перпендикулярными плоскости основания?
Тема 8
Пирамида
Проверочный тест
1.Основание пирамиды ромб с острым углом 60º и стороной 6 см. Найдите
высоту пирамиды, если она проектируется в точку пересечения диагоналей
ромба, а большее боковое ребро пирамиды равно 9см.
2.Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной
пирамиды?
3.Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания
12см и боковым ребром 8см.
4.Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды
равны 2 и 8 см. Высота пирамиды 4см. Вычислите площадь боковой
поверхности пирамиды.
Ответы
1.3 6 cм; 2.может. 3.48 3 см3; 4.100см2.
86
1 Определения
Пирамидой ( SABCD…) называется многограник, у которого одна грань
( ABCD…) – какой - нибудь многоугольник, а остальные грани (SAB, SBC,
SCD… )– треугольники с общей вершиной (S)(рис.45)
Боковыми гранями пирамиды называются треугольники с общей вершиной
( ∆SAB, ∆SBC, ∆SCD… ).
Вершина пирамиды(S) – общая вершина боковых граней.
Основание пирамиды – многоугольник ( ABCD..).
Боковыми ребрами пирамиды называются ребра, идущие из вершины( SA,
SB, SC..).
Высота пирамиды – перпендикуляр, проведенный из вершины к основанию(
SO).
Тетраэдр – треугольная пирамида ( рис.46).
Пример
Основание пирамиды ромб с острым углом 60º и стороной 6см. Найдите
высоту пирамиды, если она проектируется в точку пересечения диагоналей
ромба, а большее боковое ребро пирамиды равно 9см.
Решение
На рис 47. SABCD – пирамида, ABCD – ее основание, AB = 6cм, <DAB=60º,
SO – высота, SA- большее боковое ребро пирамиды, SA =9см.
Так как основание ABCD ромб с острым углом 60º, то треугольник ABD –
правильный, AC – большая диагональ ромба, поэтому SA- большее боковое
ребро пирамиды. Из треугольника ABD найдем его высоту AO.
AO= 0,5a 3 как высота правильного треугольника со стороной a.Так как
сторона треугольника ABD равна 6см, то:
AO= 0,5∙6 3 =3 3 cм.
Из прямоугольного треугольника ASO найдем высоту SO. SO2=AS2-AO2=
81-27=54; SO = 3 6 cм.
Ответ: 3 6 cм.
2. Определения
Правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой
правильный многоугольник, а высота проектируется в центр основания.
Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды,
проведенная к стороне основания( рис.48).
Теорема
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна
произведению полупериметра ее основания и апофемы Sбок.пир.= рh.
Свойства
87
Боковые ребра правильной пирамиды равны.
Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные
треугольники.
Пример
Может ли правильный многоугольник быть основанием неправильной
пирамиды?
Решение
Так как правильной пирамидой называется пирамида, в основании которой
правильный многоугольник, а высота проектируется в центр основания, то
рассмотрим пирамиду, в основании которой какой- либо правильный
многоугольник (например, квадрат) а высота проектируется не в его центр,
например, в вершину( рис.49). Такая пирамида – неправильная.
Ответ: существует
3. Теоремы
а)Объем пирамиды равен произведению одной третьей площади
основания и высоты:V=1/3Sосн.H.
б) Sбок.пов= S1+S2+…+Sn, где S1,S2, …,Sn – площади боковых граней
пирамиды.
Sпол.пов. =Sбок.пов+Sосн.
Пример
Найдите объем правильной треугольной пирамиды со стороной основания
12см и боковым ребром 8см.
Решение
В правильной пирамиде SABC сторона основания AB=12cм, боковое ребро
SA= 8cм (рис.50). Найдем высоту пирамиды.
В прямоугольном треугольнике SAO известна гипотенуза SA, катет AO
найдем из правильного треугольника ABC. AO= a
3
=4 3 cм. Тогда по
3
теореме Пифагора SO2 = SA2-AO2 = 64-48=16, SO = 4cм. По формуле
определения объема пирамиды будем иметь: V=1/3Sосн.H.
a2 3
Sосн.=
( площадь правильного треугольника).
4
a 2 3 12 2 3

 36 3см 2 V=1/3Sосн.H= 1/3∙36 3 ∙4=48 3 см3
Sосн.=
4
4
Ответ :48 3 см3
4. Определения
88
Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между
основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию ( рис.51).
Основания усеченной пирамиды – грани, лежащие в параллельных
плоскостях (ABC…и A1B1B1…) .
Правильная усеченная пирамида – часть правильной пирамиды.
Свойства
Основания усеченной пирамиды подобные треугольники.
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна
произведению полусуммы периметров ее оснований и апофемы:
Sбок.пов.=(p1+p2)h.
Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле
Vус.пир.= 1/3H( S1+S2+ S 1S 2 ), где S1и S2 площади оснований пирамиды, H – ее
высота.
Пример
Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды
равны 2 и 8 см. Высота пирамиды 4см. Вычислите площадь боковой
поверхности пирамиды.
Решение
Пирамида ABCDA1B1C1D1 – правильная усеченная ( рис.52). AB=8cм, A1B1
2см,
OO1=4cм. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды
вычисляется по формуле: Sбок.пов.=(p1+p2)h. Вычислим длину апофемы MN.
В прямоугольном треугольнике MNP катет MP =OO1=4cм, а катет
NP =NO1-PO1=4cм -1cм=3см. Тогда по теореме Пифагора MN2 = MP2+ PN2,
MN2 = 42+ 32=25, MN =5cм. Sбок.пов.=(p1+p2)h =( 16+4)∙5 =100cм2.
Ответ: 100cм2
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
1.Основанием пирамиды является квадрат. Сколько ее граней могут быть
прямоугольными треугольниками?
а) только одна; б) только две; в) одна, две,три или четыре.
Ответы а) и б) неправильные. На рисунке 53 изображены все случаи для
ответов в пункте в).
Контрольный тест
89
1.Две взаимно перпендикулярные грани треугольной пирамиды –
правильные треугольники со стороной 8см. Найдите высоту пирамиды.
2.В правильной шестиугольной пирамиде высота равна стороне основания и
равна 10см. Найдите площади диагональных сечений пирамиды.
3. В треугольной пирамиде все двугранные углы при основании равны между
собой и равны 60º. Найдите площадь ее боковой проверхности, если в
основании пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 9см.
4. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды
равны 2 и 8 см. Апофема пирамиды 5 см. Вычислите объем этой пирамиды.
90
Тема 9
Цилиндр
Проверочный тест
1.Площадь осевого сечения цилиндра равна 30см2. Площадь основания
цилиндра 25πсм2 Вычислить площадь сечения, параллельного оси и
отстоящего от нее на 3см.
2.Диагональ развертки боковой поверхности равна 6см и образует с
основанием развертки угол 30º. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра.
3. Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной 5 см. Вычислите объем
цилиндра.
Ответы
1. 18см2. 2. 18π 3 см2.3. 31,25π cм3
Улучшите свои знания
1.Определения
Цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника
вокруг прямой, содержащей его сторону( рис.54).Прямая СD- ось
цилиндра.
Образующей цилиндра называется сторона AB прямоугольника ABCD,
при вращении прямоугольника она образует боковую поверхность
цилиндра.
Основания цилиндра – это круги, которые образуются от вращения
сторон DA и BC прямоугольника ABCD
Полная поверхность цилиндра состоит из двух его оснований и боковой
поверхности.
Высота цилиндра – орезок перпендикуляра к основаниям цилиндра,
заключенный между этими основаниями.
Осевое сечение цилиндра - прямоугольник( MNPQ), полученный при
пересечении плоскости, проходящей через ось цилиндра
перепендикулярно его основаниям.
Сечение, проходящее через две образующие цилиндра (рис.56), есть
91
Прямоугольник (KFEL). Оно параллельно оси цилиндра.
Сечение, параллельное основаниям цилиндра( рис.57), есть круг.
Пример
Площадь осевого сечения цилиндра равна 30см2. Площадь основания
цилиндра 25πсм2 Вычислить площадь сечения, параллельного оси и
отстоящего от нее на 4см.
Решение
На рис. 58 площадь сечения ABCД равна 30см2. OE=3см. Нужно найти
площадь сечения MNPQ. По условию площадь основания равна 25πсм2, т.е.
25π =π AO2, AO2=25, AO=5см, AD=10cм, тогда AB = SABCD:AD =3(cм)
Из прямоугольного треугольника OME определим ME. По теореме Пифагора
ME= OM 2  OE 2  25  16  3 (см), MQ = 6см. Тогда площадь прямоугольника
MNPQ равна произведению MN и MQ, т.е.S = 6∙3=18(cм2).
Ответ: 18 cм2
2.Развертка боковой повехности цилиндра есть прямоугольник
(рис.59), длина одной из сторон которого равна высоте цилиндра,
а длина другой стороны – длине окружности основания цилиндра.
Площадь боковой поверхности (Sбок.) цилиндра равна 2πRH, где R –
радиус основания цилиндра, H- его высота, Sбок.=2πRH.
Площадь полной поверхности цилиндра Sп.п. равна сумме площадей
оснований и площади боковой поверхности. Sп.п.= 2πR2 +2πRH.
Пример
Диагональ развертки боковой поверхности равна 6см и образует с
основанием развертки угол 30º. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра.
Решение
На рис.60 диагональ AC образует со стороной AD угол 60º.
Sбок.=2πRH, 2πR – длина окружности основания равна длине AD.
Найдем высоту CD из треугольника ACD, CD – катет, лежащий против угла
30º, он равен половине гипотенузе и равен 3 см.
Из прямоугольного треугольника ADC найдем CD, CD = AСcos30º=3 3 см.
Тогда Sбок.=2πRH=2π3∙3 3 см2=
18π 3 см2.
Ответ: 18π 3 см2
3.Объем цилиндра (V) вычисляется по формуле V= R 2 H , где R – радиус
92
основания цилиндра, H- его высота.
Пример
Осевое сечение цилиндра – квадрат со стороной 5 см. Вычислите объем
цилиндра.
Решение
На рис58. ABCD – осевое сечение цилиндра AB – высота цилиндра,
AD – его диаметр.
Объем цилиндра вычисляется по формуле V= R 2 H . H=AB=5cм,
R = AD:2= 2,5cм, V= R 2 H =π5∙6,25= 31,25π (cм3 )
Ответ: 31,25π cм3
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
Основане цилиндрической бочки радиусом 0,6м и высотой 1,6 м находится
на полу помещения высотой 1,9 м .
Можно ли выкатить бочку из этого помещения?
Ответ «можно» не правильный. Верный ответ: при переворачевании бочки
на боковую поверхность диагональ осевого сечения окажется в какой-то
момент перпендикулярной плоскости помещения, поэтому высота
помещения должна быть не меньше диагонали. Вычислим диагональ
( рис.61).
d= 1,2 2  1,6 2  2( м) >1, 9. Значит, бочку выкатить нельзя.
Контрольный тест
1.Сечением цилиндра, параллельным его оси является прямоугольник со
сторонами 12 и 8 см. Найдите радиус основания цилиндра, если сечение
удалено от оси цилиндра на расстояние 3см.
2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 18 cм2. Найдите площадь его
боковой поверхности.
3.Развертка цилиндра – прямоугольник с диагональю 16см и углом между
диагоналями 60º. Найдите объем цилиндра.
93
Тема 10
Конус
Проверочный тест
1.Площадь осевого сечения конуса равна 30см2. Площадь основания
конуса 25πсм2. Вычислите площадь сечения, которое проходит через две
образующие конуса и пересекает основание конуса по хорде длина
которой 6см.
2.Радиус развертки боковой поверхности конуса равен 6см, а угол развертки
120º. Найдите площадь полной поверхности конуса.
3.Осевое сечение конуса – правильный треугольник со стороной 6 см.
Вычислите объем конуса.
4. Высота усеченного конуса равна 10cм, радиусы оснований относятся как
1:3, угол между образующей и основанием равен 45º. Найдите площадь
поверхности усеченного конуса.
Ответы
1. 6 13 см2. 2.60π см2.3. 24πсм2. 4. π200√2 см2.
Улучшите свои знания
1.Определения
Конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного
треугольника вокруг прямой, содержащей его катет (рис.62).
Прямая СA- ось конуса.
Вершина конуса - это вершина A треугольника ABC.
Образующей конуса называется сторона AB прямоугольного треугольника
ABC, при вращении прямоугольного треугольника она образует боковую
поверхность конуса.
Основания конуса – это круг, который образуется от вращения
стороны BC прямоугольного треугольника ABC.
Полная поверхность конуса состоит из его основания и боковой
поверхности.
94
Высота конуса – орезок перпендикуляра из вершины конуса к плоскости
основания.
Осевое сечение конуса- треугольник (MNP), полученный при
пересечении плоскости, проходящей через ось конуса
перепендикулярно его основанию( рис.63).
Сечение, проходящее через две образующие конуса (рис64.), есть
равнобедренный треугольник (MNS).
Сечение, параллельное основанию конуса ( рис.65), есть круг.
Пример
Площадь осевого сечения конуса равна 25πсм2 .Площадь основания
конуса 25πсм2. Вычислите площадь сечения, которое проходит через две
образующие конуса и пересекает основание конуса по хорде длина
которой 6см.
Решение
На рис.64 треугольник SAB – осевое сечение конуса, SMN – сечение,
проходящее через две образующие, длина хорды MN равна 6 см.
Треугольник SMN – равнобедренный, его основание равно 6см.
Чтобы найти площадь треугольника SMN, найдем его высоту SP.
Зная площадь основания конуса, найдем его радиус. πR2=25π,
R=5cм. Зная радиус основания конуса и площадь его осевого сечения,
найдем его высоту. 30см2=0,5SO∙AB, AB=10cм, SO=6cм.
Из треугольника MPO по теореме Пифагора найдем отрезок OP.
OP= MO 2  MP 2  25  9 =4cм. Из треугольника MPO по теореме Пифагора
найдем отрезок SP. SP= SO 2  OP 2  36  16  52  2 13 (cм).
Вычислим площадь треугольника SMN. SSMN=0,5∙2 13 ∙6 = 13 ∙6(см2).
Ответ: 6 13 см2.
2.Развертка боковой повехности конуса – есть круговой сектор
(рис.65), радиус которого равен образующей конуса, а длина
дуги сектора – длине окружности основания конуса:
L=ОA,
L 360
Ln
=2πR, 
.
180
R
n
Площадь боковой поверхности (Sбок.) конуса равна πRL, где R – радиус
основания конуса , L – его образующая, Sбок.=πRL.
Площадь полной поверхности конуса Sп.п. равна сумме площадей
основаня и боковой поверхности. Sп.п.= πR2 + πRL=πR(R + L).
Примеры
95
1.Радиус основания конуса равен 6см, радиус развертки его боковой
поверхности равен 10см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Решение.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле , Sбок.=πRL.
Так как радиус развертки боковой поверхности конуса равен образующей
конуса, то L=10cм, тогда вычислим площадь боковой поверхности конуса:
Sбок.= πRL= π6∙10=60π (см2).
Ответ: 60π см2.
2. Радиус развертки боковой поверхности конуса равен 6см, а угол
развертки 120º. Найдите площадь полной поверхности конуса.
Решение
Так как площадь боковой поверхности конуса равна площади развертки его
боковой поверхности, то найдем площадь развертки. Так как развертка
конуса – это круговой сектор, а площадь сектора радиуса R и центральным
углом nº вычисляется по формуле Sсек.=
R 2 n
180

 36 120
180
=24π(см2). Значит,
Sбок.= 24πсм .
2
Ответ: 24πсм2.
3.Объем конуса(V) вычисляется по формуле V=
1
R 2 H , где R – радиус
3
основания конуса, H- его высота.
Пример
Осевое сечение конуса – правильный треугольник со стороной 6 см.
Вычислите объем конуса.
Решение
На рис.63 треугольник SAB – осевое сечение конуса. Радиус основания
конуса равен половине стороны AB, R=3см . Высота конуса равна высоте
правильного треугольника SAB. Высота правильного треугольника
a 3
, где a – сторона правильного треугольника.
2
6 3
1
 3 3 см. Вычислим теперь объем конуса: V= R 2 H =
Тогда SO =
3
2
1
=  9  3 3   9  3 (см3).
3
Ответ: 9  3 см3.
вычисляется по формуле: h=
4.Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между
основанием и плоскостью, паралельной основанию( рис.66).
AA1- образующая, OO1- высота, круги с центрами O и O1, радиусами R и rоснования .
96
Боковая поверхность усеченного конуса вычисляется по формуле:
Sбок.= πL(R+r), где L- образующая усеченного конуса, Rи r – радиусы
оснований конуса.
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: V=
1
H ( R 2  Rr  r 2 ) ,
3
где R и r – радиусы оснований конуса, H – высота конуса.
Пример
Высота усеченного конуса равна 10cм, радиусы оснований относятся как 1:3,
угол между образующей и основанием равен 45º. Найдите площадь
поверхности усеченного конуса.
Решение
На рис.67 высота OO1 усеченного конуса равна отрезку BK . Угол между
плоскостью нижнего основания конуса и образующий – это угол между
образующей и ее проекцией на плоскость основания, т. е. <BAK =45º.Тогда
треугольник BAK прямоугольный и равнобедренный, значит
AK= BK = 10cм, а AB= 10√2cм. BK= AO1-BO=3-1=2( части), тогда B0=5см,
AO1=15см. По формуле площади поверхности усеченного конуса вычислим
его боговую поверхность: S= π10√2 (15+5)= π200√2 (cм2).
Ответ: π200√2 см2.
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
Угол в развертке боковой поверхности поверхности конуса равен 90º.
Найдите радиус основания конуса, если образующая конуса равна 12см.
Ответ 6 2 см – неправильный. Правильное решение: так как
L 360

=4, отсюда находим: R= 3см – правильный ответ.
R 90
L 360

, то
R
n
Контрольный тест
1.Сечение конуса, параллельное его основанию отстоит от основания конуса
на расстояние 6см и имеет радиус равный 4 см. Найдите высоту конуса,
если радиус основания равен 5см.
2. Объем конуса равен 288πсм3. Вычислите площадь осевого сечения конуса,
если длина окружности основания основания равна 12πсм.
3.Найдите углы осевого сечения конуса, если радиус развертки боковой
поверхности конуса равен 8см, а радиус основания конуса равен 4см.
97
Тема 11
Шар
Проверочный тест
1. Радиус сечения шара плоскостью равен 6cм. Найдите его расстояние от
центра, если радиус шара равен 10см.
2.Плоскость, касательная к к сфере образует с сечением шара, проходящем
через точку касания угол 60º. Найдите длину окружности сечения, если
радиус шара равен 6 см.
3.Площадь поверхности шара равна 16π см2. Найдите объем шара.
Ответы
1. 8см.2. 6√3π cм. 3. 32/3π см3.
Улучшите свои знания
1.Определения
Сферой называется множество всех точек пространства, находящихся на
положительном расстоянии R от данной точки.
Центр сферы – данная точка O(рис.68), отрезок OM –радиус сферы.
Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся на
расстоянии, не больше положительного R от данной точки или
шар – это часть пространства, ограниченная сферой.
Шар можно получить при вращении полукруга вокруг оси, которая
содержит диаметр полукруга.
Теорема
Сечением шара плоскостью является:
1. круг, если расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса
сферы.
2. точка, если это расстояние равно радиусу сферы.
Пример
Радиус сечения шара плоскостью равен 6cм. Найдите его расстояние от
центра, если радиус шара равен 10см.
98
Решение
На рис.69 точка P – центр сечения, MP – его радиус, OP – расстояние от
центра шара до плоскости сечения. Это расстояние найдем из
прямоугольного треугольника OPM по теореме Пифагора.
OP = OM 2  MP 2  100  36  8(cм) .
Ответ: 8см
2.Определения
Касательной плоскостью к шару называется плоскость, имеющая со
сферой единственную общую точку( рис.70).
Теорема
Касательная плоскость перпендикулярна радиусу в конце его, лежащем на
сфере.
Пример
1.Плоскость, касательная к к сфере образует с сечением шара, проходящем
через точку касания угол 60º. Найдите длину окружности сечения, если
радиус шара равен 6 см.
Решение
На рис.71 плоскость α касается шара в точке M. OM – радиус шара.
Сечение шара с центром P образует с плоскостью угол 60º. Это угол MOP
( угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к этим
плоскостям).
Из прямоугольного треугольника OPM най дем отрезок PM- радиус сечения.
PM= OMsin60º. PM = 6∙√3/2=3∙√3(cм). Длину окружности сечения найдем по
формуле: C= 2πR=2∙3∙√3= 6√3π (cм).
Ответ: 6√3π cм.
2.Три точки A, B и C лежат на поверхности шара радиуса 20 cм. Найдите
расстояние от центра шара до плоскости треугольника ABC, если расстояния
между точками равны 16, 34 и 30 см.
Решение
На рис.72 точки A, B, C лежат на поверхности шара. Если расстояние от
центра шара до этой плоскости меньше радиуса шара, то сечение шара
плоскостью есть круг в который вписан треугольник ABC. Так как
99
треугольник ABC прямоугольный, то центр описанной около него
окружности – середина гипотенузы точка M, а радиус этой окружности равен
17см. Значит, радиус сечения равен 17см. Соединим центры шара и сечения.
Отрезок OM – это расстояние от центра шара до плоскости сечения. Найдем
его из прямоугольного треугольника OMA.
OM= OA 2  AM 2  400  289  111 см.
Ответ: 111 см.
3. Теоремы
а)Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:
S= 4πR2, где R – радиус сферы.
б)Объем шара вычисляется по формуле V=4/3πR3, где R – радиус сферы.
Пример
Площадь поверхности шара равна 16π см2. Найдите объем шара.
Решение
Из формулы площади поверхности сферы найдем радиус сферы:
4πR2=16 π, R2=4, R= 2cм.
Объем шара вычислим по формуле V=4/3πR3, V=4/3π23= 32/3π см3.
Ответ: 32/3π см3.
Наиболее часто встречающиеся ошибки
!Проверь, не делаешь ли ты так!
Сравните сумму объемов двух шаров радиуса 2 см с объемом шара радиуса
4см.
Ответ: « объемы равны» неверный.
Правильное решение : объем большего шара равен 4/3π43=256/3πcм3.
Сумма объемов двух меньших шаров равна 2∙4/3 ∙23π =64/3πcм3.
256/3π >64/3π, значит сумма объемов двух шаров радиуса 2 см меньше
объема шара радиуса 4см.
100
Контрольный тест
1.Сфера касается граней двугранного угла, величина которого равна 60º.
Найдите радиус сферы, если расстояние от ее центра до граней
двугранного угла равно 26см.
2.Два параллельных сечения шара плоскостью имееют радиусы 3 и 4 см.
Найдите расстояния между сечениями, если радиус шара равен 5см.
3. Найдите отношение объмов двух шаров, если радиус одного из них в три
раза больше радиуса второго.
101
Ответы
Тема1
1.Бесконечно много. 2.Принадлежит.3.Со всеми, кроме ABCD и A1B1C1D1.
4.см . рис.10a.
Тема 2
1. а), в), г)- не может, б) – может.2.1,5a; 3. а), в).
Тема 3
1.а) верно; б) неверно; в) верно. 2. а) нет; б) да; в) да.3. h 2 
Тема 4
1.60º.2.3см.3.arctg√2.
Тема 5
1.не существует. 2. существует. 3.аrccos1/4.
Тема 6
1.40см2.2.120см2.3.18√3см3.
Тема 7
1.1:1:1. 2. Верно. 3.могут.
Тема 8
1.4√3см. 2.16√15см. 3.54см2. 4.112см2
Тема 9
1.5см или 3√5см. 2. 18π cм2. 3. 384π см3 или 256√3 π см3 .
Тема10
1.30см. 2.26см. 3.60º, 60º,60º.
Тема11
102
a 2b 2
.
a2  b2
1.52см. 2. 1 или 7см. 3.27:1.
103
Дополнительные сведения
Темы 1-3
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в
сумму
1.sinxcosy=0,5(sin(x+y)+ sin(x-y))
2.coxcosy=0,5(cos (x+y)+ cos(x-y))
3.sinxsiny=0,5(cos (x-y)+ cos(x+y))/
Тригонометрические функции тройного аргумента
1.sin3x =3sinx- 4sin3x
2.cos3x =4cos3x- 3cosx

3tgx  tg 3 x
3. tg3x =
, x  n, n  Z , x    k , k  Z .
3
3
tgx  3tg x
Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного
угла
x
x
1  tg 2
2 , x   (2n  1), n  Z . cosx =
2 , x   (2n  1), n  Z .
sin x =
x
x
1  tg 2
1  tg 2
2
2
x
2tg
2 , x   (2n  1), n  Z , x    n, n  Z
tgx =
x
2
1  tg 2
2
2tg
Выражение аsinx +bcosx
аsinx +bcosx = a 2  b 2 sin(x+φ), где φ = arcsin
Обратные тригонометрические функции
sin(arcsina) =a, a   1;1
 
arcsin(sinx)=x, x   ;  .
 2 2
cos(arccosa)=a, a  1;1
arccos(cos x)=x, x  0;  .
tg(arctga) =a, a  R
 
arctga(tgx) = x , x    ;  .
 2 2
ctg(arcctga)=a, a, a  R
104
b
a2  b2
.
arcctg(ctgx)=x, x  0;   .
arcsina + arccosa = π/2, a   1;1
arcctga + arcctga = π/2, a  R .
Темы 4-7
Производная
1.( ex)́ = ex.
2.( ax)́ = axlna.
3.( lnx)́ = 1/x.
4.( loga x)= 1/xlna.
1
5. ( arcsinx)́=
1 x2
1
6. ( arccosx)́ =-
.
1 x
1
.
7.(arctgx)́ =
1 x2
2
.
Интеграл
1.  sin xdx   cos x  c
2.  cos xdx  sin x  c
1
x
3.  dx  ln x  c
1
4.
 cos
5.
 sin
6.
2
x
2
x
1

dx  tgx  c
dx  ctgx  c
1
1 x2
dx  arcsin x  c
1
dx  arctgx  c
1 x2
ax
c
8.  a x dx 
ln a
9.  e x dx  e x  c.
7. 
Темы 8-10
1
r
1. logarx= log a x, x>0, a>0, a  1 .
2. logarxr=log a x, x>0, a>0, a  1 .
3. clogab = blogac, a>0, a  1 , b>0, c>0, b  1 , c  1 .
105
4.
5.
6.
7.
(logab >0)  ((a-1)(b-1)>0), a>0, a  1 , b>0.
(logab <0)  ((a-1)(b-1)<0), a>0, a  1 , b>0.
(ax >1))  ((a-1)x >0), a>0, a  1 .
(ax <1))  ((a-1)x <0), a>0, a  1 .
Темы 11-14
Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей
1.Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и
вторая прямая пересекает эту плоскость.
2.Если одна из двух параллельных плоскостей пересекает плоскость, то и
вторая плоскость пересекает эту плоскость.
3. Если прямая, пересекает одну из параллельных плоскостей, то она
пересекает и другую.
4.Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.
5. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то линия
их пересечения перпендикулярна этой плоскости .
Темы 15-20
Теорема косинусов для трехгранного угла
Если α,β,γ –это плоские углы трехгранного угла, а <A, <B,< C – его
двугранные углы, лежащие против этих плоских углов соответственно,то
cos γ = cosαcos β+ sinαsinβcos<C.
Теорема синусов для трехгранного угла
sin 
sin 
sin 


.
sin  A sin  B sin  C
Формулы для вычисления площадей поверхностей и объемов
многоранников
1.Площадь проекции многоугольника, расположенного в плоскости α, на
плоскость β равна Scosφ, где S – площадь многоугольника, а φ угол между
плоскостями α и β.
2. Если все двугранные углы при основании пирамиды равны, то площадь ее
боковой поверхности равна площади основания, деленной на косинус
двугранного угла при основании: Sбок.пов= Sосн.: cos α .
3.Объем многогранника, описанного около шара радиуса r равен
произведению одной третьей площади полной поверхности многогранника и
радиуса шара, т.е.
V= 1/3 Sпол.пов r.
106
4.Объем тетраэдра
V= 1/6abdsinφ, где a, b, - противоположные ребра тетраэдра, d- расстояние
между ними, φ - угол между ними.
5.Объемы тетраэдров, имеющих общий трехгранный угол, относятся как
произведения трех ребер тетраэдров, выходящих из вершины этого
трехгранного угла.
Объемы и поверхности частей шара
1.Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:
V=1/3πh2( 3R-h), где h- высота сегмента, R – радиус шара.
2. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:
V=2/3πR2h, где h- высота сегментной поверхности, R – радиус шара.
3.Площадь сегментной поверхности вычисляется по формуле:
S=2πRh, где h- высота сегментной поверхности, R – радиус шара.
Итоговый тест
1.Значение выражения sin( arcsin(-0,5) + arccos(-0, 5) - arctg1) равно:
а)-1; б) 0; в)1; г)-2.
Выберите правильный ответ.
2*.Значение выражения arcsin(sin10) равно:
а) 10; б) не существует; в)10-3π; г)другой ответ.
3*.Корни уравнения log sinx(x2-x-5)=0
а)-2 и 3; б) -2; в)2 и -3. г)3.
Выберите правильный ответ.
4.Число корней уравнения sinπx+ 3 cosπx =1, принадлежащих промежутку
[-2; 2] равно:
а) 3; б) 2; в)1; г)4.
Выберите правильный ответ.
4.Наибольшее и наименьшее значение выражения
sin 4 x  cos 4 x
равны
sin 6 x  cos 6 x
а) 6 и 4; б) 2и 1; в)1 и 0; г)4 и 3.
5.Корни уравнения 3 5 x 35x  45
а)1 и 3; б) 4; в)3; г)-3.
6*.Число целых решений неравенства log0,3 log0,8  2 x  1   0 равно
а)2; б)3; в)0; г)1.
7*.Значение выражения log4 -2 3 ( 3  1) равно
а)2; б) 1,5 3; в)0,5; г)1.
107
 3x  2 
8.Решение неравенства f΄(x)>0, где f(x)= -x3+5x2-3x есть промежуток:
а) [1/3; 3] ; б) [-1/3; -3]; в) (1/3; 3);г) (-1/3; -3).
9.В треугольной пирамиде все двугранные углы при основании равны 30º, а
основание – прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 см.
Площадь полной поверхности пирамиды в см2 равна:
а)24; б) 3+2√3; в)6√3; г)12.
10*.В треугольной пирамиде все плоские углы при вершине прямые, боковые
ребра равны 4, 3 и 3 см. Тогда радиус вписанного в пирамиду шара равен:
a)
8
11  41
;б)
4
11  41
;в) 8/11 ;г) 4/11.
Ответы
1.в); 2.в); 3.г); 4.б); 5.в);6.а); 7.в);8.в); 9.б); 10.а)
108
Оглавление
Предисловие ........................................................................................................ 2
Тема 1
Тригонометрические функции ........................................................................... 3
Тема 2
Основные тригонометрические тождества..................................................... 12
Тема 3
Tригонометрические уравнения ...................................................................... 19
Тема 4
Производная....................................................................................................... 25
Тема 5
Применение производной к решению задач .................................................. 30
Тема 6
Первообразная и интеграл ................................................................................ 36
Тема 7
Корень n-ой степени из числа .......................................................................... 41
Тема 8
Степень с рациональным показателем............................................................ 44
Тема 9
Показательная функция .................................................................................... 48
Тема10
Свойства логарифмов и логарифмическая функция ................................ 53
Ответы к контрольным тестам......................................................................... 59
Тема1
Аксиомы стереометрии и следствия из них ................................................... 61
Тема2
Параллельность прямых и плоскостей в пространстве ................................. 64
Тема 3
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве ........................ 69
Тема 4
Углы между прямыми и плоскостями ............................................................ 74
Тема 5
Многогранные углы .......................................................................................... 76
Тема 6
Многогранники. Призма................................................................................... 80
Тема 7
Параллелепипед ................................................................................................. 83
Тема 8
Пирамида............................................................................................................ 86
Тема 9
Цилиндр.............................................................................................................. 91
Тема 10
Конус .................................................................................................................. 94
109
Тема 11
Шар ..................................................................................................................... 98
Ответы .............................................................................................................. 102
Дополнительные сведения ............................................................................. 104
110