5. электромагнитна индукци

3.11. Количество электричества, протекающего в контуре
при изменении магнитного потока
3.11.1. Тонкое кольцо радиусом r = 1 м, обладающее электрическим
сопротивлением R = 0,273 Ом в однородном магнитном поле с индукцией В = 1 Тл. Плоскость кольца составляет с вектором индукции угол 
= 300. Магнитное поле внезапно пропадает, какое количество электричества протечёт, при этом, по кольцу?
Решение
1. Определим изменение магнитного потока магнитного потока, пронизывающего
рамку, при исчезновении поля
(1)
    Br 2 cos .
2. Величина ЭДС индукции, возникающая при изменении магнитного потока
 Br 2 cos 
i 

.
(2)
t
t
3. Индукционный ток, возникающий в кольце
i
Q Br 2  cos 
i


,
R
t
Rt
(3)
Br 2  cos  10 2 10 2  3,14  0,87
Q

 1мКл.
R
0,273
3.11.2. Проволочное кольцо радиусом r = 0.1 м находится в магнитном поле с индукцией В = 1 мкТл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости кольца. Кольцо поворачивают на 180 0 вокруг оси,
совпадающей с его диаметром, и перпендикулярной В. Какое количество электричества протечёт по кольцу, если сопротивление кольца
равно R = 10 3 Ом
Решение
1. При поворачивании кольца по нему потечёт индукционный ток
i
2r 2 B Q
,
(1)
i


R
tR
t
2Br 2 6,28 10 6 10 2
Q 

 63 мкКл .
(2)
R
10 3
253
3.11.3. Круговой виток с током, замкнутый на баллистический
гальванометр, внесли в пространство между полюсами постоянного
магнита. Гальванометр, при этом, зафиксировал протекание в цепи
заряда Q = 10 мкКл. Найти величину магнитного потока, ели цепь обладает сопротивлением R = 10 Ом.
Решение
1. Воспользуемся уравнением (1) предыдущей задачи
i
2r 2 B Q
,
(1)
i


R
tR
t
где 2r2B = Ф  магнитный поток.
2. Уравнение (1) с учётом введённых обозначений можно переписать
следующим образом

 Q,    QR ,   10 4 Вб .
(2)
R
3.11.4. Катушка, замкнутая на баллистический гальванометр,
находится в межполюсном пространстве электрического магнита.
Катушка содержит N = 100 витков диаметром d = 3,57 см, с общим
сопротивлением R = 1 Ом. Сопротивление гальванометра равно r = 10
Ом. При включении питания электромагнита по цепи прошёл электрический заряд Q = 100 мкКл. Определить величину индукции магнитного
поля.
Решение
1. Определим площадь поперечного сечения
катушки
d 2
s
 110 3 м 2 .
(1)
4
2. Магнитный поток через катушку при расположении её плоскости перпендикулярно вектору
магнитной индукции поля электромагнита
  NBs .
(2)
3. Запишем далее уравнение индукционного тока, возникающего при
появлении магнитного поля
i
NBs
Q
QR  r 
i


, B 
,
(3)
R  r t R  r  t
Ns
10 4 10
B
 0,01 Тл .
(4)
100 10 3
254
3.11.5. Круговой виток радиусом r = 1м расположен перпендикулярно магнитному полю с индукцией В = 0,1Тл. В разрыв витка вставлен
гальванометр с внутренним сопротивлением R = 100 Ом. Какой заряд
пройдёт через гальванометр при повороте контура на 900?
Решение
1. Определим величину магнитного
потока через контур, расположенный нормально к вектору индукции В
 1  r 2 B .
(1)
2. Когда плоскость контура будет параллельна В, то Ф2 = 0, т.е. Ф = r2B.
3. Воспользуемся далее уравнением (1)
задачи 3.11.3
i
i
R

r 2 B Q
r 2 B 3,14 1 0,1

,  Q 

 3,14 мКл .
tR
t
R
100
(2)
3.11.6. На расстоянии а = 1 м от длинного прямолинейного проводника по которому течёт постоянный ток силой I = 1000 А находится
кольцо радиусом r = 1 см. Кольцо расположено так, что через его поверхность проходит максимальный магнитный поток. Определить
количество электричества, которое протечёт по кольцу при внезапном
исчезновении тока в проводнике. Электрическое сопротивление кольца
равно R = 10 Ом.
Решение
1. Определим величину магнитной индукции
на удалении а от проводника
 I
B 0 ,
(1)
2a
2. Магнитный поток пронизывающий поверхность кольца, при расположении его плоскости
перпендикулярно вектору магнитной индукции В
I
 Ir 2
  Bs  0  r 2  0
.
(2)
2a
2a
3. Индукционный ток в кольце в этом случае определится уравнением
i
i
R

 0 Ir 2
 Ir 2 12,56 10 7 10 3 10 4
Q

,  Q  0

 6,28 нКл .
2atR t
2aR
20
255
3.12. Самоиндукция и взаимоиндукция
3.12.1. Ток силой I = 1 А течёт по катушке индуктивностью L = 10
мкГн. При отсоединении катушки от источника, сила тока уменьшилась до нулевого значения за время t  100 мкс. Определить среднюю
величину ЭДС самоиндукции <i>.
Решение
1. ЭДС самоиндукции в цепи с индуктивностью определяется уравнением
di
I
1
  i  L  L
 10 7 4  1мВ .
(1)
dt
t
10
3.12.2. Сила тока в катушке с индуктивностью L = 10 мГн линейно
увеличивается на I = 0,1 A за t = 1 c. Определить среднее значение
ЭДС самоиндукции <i>.
Решение
1. В соответствии с уравнением (1) предыдущей задачи
di
I
0,1
  i  L  L
 10 2
 1мВ .
dt
t
1
(2)
3.12.3. Сила тока в катушке с индуктивностью L = 2 мГн изменяется по закону i(t) = I0sin(2t), где I0 = 10 A  амплитудное значение
силы тока,  = 50 Гц  частота питающей катушку сети. Определить
среднее значение ЭДС самоиндукции за время, в течение которого сила
тока в катушке меняется от минимального до максимального значения.
Решение
1. Определим период изменения силы тока в индуктивности
1
T   0,02 c .
(1)

2. Сила тока меняется от 0 до I0 за время, равное четверть периода,
поэтому
4I
  i  L 0  4LI 0   4  2 10 3 10  50  4 B .
(2)
T
256
3.12.4. Катушка с собственным сопротивление R1 = 0,5 Ом и индуктивностью L = 4 мГн соединена параллельно с сопротивлением R2 =
2,5 Ом, по которому течёт постоянный ток силой I = 1 A. Определить
количество электричества, индуцированного в катушке при отключении цепи от источника питания.
Решение
1. ЭДС самоиндукции в цепи определится как
i
  i   L
.
(1)
t
2. Индукционный ток
 i 
.
(2)
i
R1  R 2
3. Количество электричества, индуцированное в цепи при её отключении от источника питания
Q
I
LI
4 10 3 1
(3)
 L
, Q 

 1,33 мКл .
t
R1  R 2
R1  R 2
3
3.12.5. Соленоид представляет собой диэлектрический каркас в виде
цилиндра длиной l = 0,5 м и площадью основания s = 410  4 м. На цилиндр в один слой виток к витку намотан провод радиусом d = 210 4 м.
Определить индуктивность соленоида.
Решение
1. Индуктивность соленоида, содержащего N витков, определяется
как
L  0n 2V ,
(1)
где n = N/l  количество витков, приходящееся на единицу длины соленоида, V = ls  объём каркаса соленоида
N

1
n 
 .
(2)
 d d
2. Подставим значение n и V в уравнение (1)
s 12 ,56 10 7  0,5  4 10 4
L  0 2 
 6,28 мГн .
(3)
d
4 10 8
257
3.12.6. Соленоид длиной l = 1 м и сечением s = 210  3 м обладает
индуктивностью L = 1,6 мГн. Определить число витков n, приходящееся на 1 см его длины.
Решение
1. Запишем уравнение индуктивности соленоида
L   0 n 2 s ,
где n  приведённое к длине число витков, V = ls  объём каркаса.
2. Определим из уравнения приведённое число витков n
n
(1)
L
1,6 10 3
1
1

 800  8
.
7
3
 0 s
12 ,56 10 1  2 10
м
см
(2)
3.12.7. Какое количество витков провода диаметром d = 0,4 мм в
один слой намотано на цилиндрическую катушку с диаметром основания D = 0,02 м, имеющую индуктивность L = 1 мГн?
Решение
1. Запишем уравнение индуктивности соленоида
2
 N
   D
L  0   V  0  
,

 d  4
и выразим из него длину соленоида
4Ld 2
.

 0 D 2
2. Число витков соленоида определится как

4Ld
4 110 3  4 10 4
N 

 1014 .
d  0 D 2 12,56 10 7  3,14  4 10 4
2
2
(1)
(2)
(3)
3.12.8. Соленоид выполнен на немагнитном цилиндрическом каркасе,
на который намотано1 N = 750 витков провода. Индуктивность соленоида составила L1 = 25 мГн. Для увеличения индуктивности соленоида
до L2 = 36 мГн обмотку при сохранении её длины намотали более тонким проводом. Определить число витков N2.
Решение
1. Запишем уравнение индуктивности соленоида для двух случаев
2
N 
L1   0  1  V ,
  
2
N 
L2  0  2  V .
  
258
(1)
2. Поделим почленно уравнения (1) друг на друга и найдём количество витков более тонкого провода N2
L 2 N 22
N
 2 , 2 
L1 N 1
N1
L2
L2
36
,  N 2  N1
 750
 900 .
L1
L1
25
(2)
3.12.9.Соленоид индуктивностью L = 4 мГн содержит N = 600 витков. Найти величину магнитного потока Ф при силе тока, протекающего по обмотке I = 12 А.
Решение
1. Индуктивность соленоида может быть выражена через, пронизывающий его магнитный поток
N
,
(1)
L
I
откуда
LI 4 10 3 12


 80 мкВб .
(2)
N
600
3.12.10. Индуктивность катушки без сердечника составляет L = 20
мГн. Определить величину потокосцепления , когда по обмотке течёт ток силой I = 5 А.
Решение
1. Потокосцепление контура определяется уравнением
  LI  2 10 2  5  0,1 Вб .
(1)
3.12.11. Индуктивность соленоида L = 3 мГн без сердечника обеспечивается N = 1000 витками провода. Определить величины потокосцепления  и магнитного потока Ф при протекании по обмотке тока
силой I = 1 А.
Решение
1. Потокосцепление соленоида определится уравнением (1) предыдущей задачи
  LI  3 10 3 1  3 мВб .
(1)
2. Потокосцепление, т.е. полный магнитный поток, сцепленный со
всеми витками катушки соленоида равен
 3 10 3
   N,   

 3 мкВб .
(2)
N
10 3
259
3.12.12. Соленоид площадью поперечного сечения s = 510  4м2 содержит N = 1200 витков провода, создающих в центральной внутренней области магнитное поле с индукцией В = 0,01 Тл при силе тока I =
2 А. Определить индуктивность соленоида.
Решение
1. Определим величину магнитного потока и потокосцепление
  Bs ,   N  LI ,
откуда следует, что
BsN 10 2  5 10 4 1200
L

 3 мГн .
I
2
(1)
(2)
3.12.13. Соленоид, образованный цилиндрическим немагнитным каркасом с площадью поперечного сечения s = 10  3м2, на который намотано N = 1000 витков проволоки. При пропускании по катушке тока
генерируется магнитное поле с индукцией B = 1,5 Тл. Определить среднюю величину ЭДС индукции <i>, возникающей в соленоиде при уменьшении силы тока до нуля за  = 500 мкс.
Решение
1. Определим величину магнитного потока через поперечное сечение соленоида
  NBs .
(1)
2. Средняя величина ЭДС индукции определится как
 NBs 10 3 1,5 10 3
  i 


 3000 B .
(2)


5 10 4
260
3.13. Экстратоки замыкания и размыкания
3.13.1. В цепи, содержащей индуктивность L = 0,1 Гн, с активным
сопротивлением R = 20 Ом течёт постоянный ток I=50 A. При отключении индуктивности от источника и замыкании концов катушки ток
уменьшается до величины i за время  = 10 мс. Определить значение
силы тока i.
Решение
1. Кода перемычка находится в положении
2, в цепи индуктивности течёт постоянный
ток силой I. При коммутации концы катушки
замыкаются, при этом сила тока за время  по
экспоненциальному закону уменьшается до нуля
i  Ie
R
  
L
 50  e
 20 
 
0 , 01
 0 ,1 
 50  e 2  6,8 A .
(1)
3.13.2. Источник тока замкнули на катушку с индуктивностью L =
1 Гн и активным сопротивлением R = 10 Ом. Определить, за какое
время сила тока в цепи достигнет величины 0,9 первоначального значения.
Решение
1. Запишем уравнение изменения силы тока в функции времени
цепи, содержащей индуктивность L с активным сопротивлением R
заданных условий
R
   

it   I1  e  L   ,


R
  
i( t )
 1 e  L  ,
I
0,9  1  e
R
  
L
,
для
для
(1)
(2)
(3)
откуда

L  ln 0,1 1  2,3

 0,23 c .
R
10
(4)
3.13.3. В цепи, состоящей из индуктивности L = 1 Гн с активным
сопротивлением R = 10 Ом, источник тока отключается без разрыва
цепи (схема к задаче 3.13.1). Найти время , в течение которого сила
261
тока в цепи уменьшится до 10  3 первоначального значения.
Решение
1. Используя уравнение (1) задачи 3.13.1 и заданные условия, получим
R
  
i( t )
 e L ,
(1)
I
0,001  e
R
  
L
,
(2)
откуда

ln 0,001
 0,69 c .
10
(3)
3.134.. Цилиндрическая катушка диаметром D = 0,1 м состоит из
однослойной обмотки медного провода ( = 1,710 8Ом/м) диаметром d
= 10  4 м. По обмотке пропускают постоянный ток силой I = 10 А. Какое количество электричества Q протечёт через обмотку при замыкании её концов?
Решение
1. В начальном состоянии переключатель находится в положении 1, т.е. через
обмотку протекает постоянный ток, сечение катушки пронизывает постоянный по
величине и направлению магнитный поток. При переводе переключателя в положение 2 сила тока, вследствие наличия в цепи индуктивности L исчезает
не мгновенно, а по экспоненциальному закону
(1)
i  IeR L t ,
где R  активное сопротивление, t  время, в течение которого сила тока
изменяется от I до 0.
2. Количество электричества Q за время t определится как
t
dQ  idt , Q   idt .
(2)
0
3. Подставим в уравнение (2) значение силы тока i из уравнения (1),
с учётом того, что при t = ∞ сила тока стремится к нулю, а при t =0 сила
тока составляет I

Q   Ie
0
 R L  t

dt  I  e
0

 R L  t
 L
dt  I  e  R L t .
 R
0
262
(3)
4. Подставим в уравнение (3) пределы интегрирования
IL
.
(4)
Q
R
5. Запишем далее уравнения индуктивности и активного сопротивления катушки далее индуктивность катушки
 D 2 N 2
N2
,
(5)
L  0 2 ss s  0
s
4 s
 0 4 0
,
(6)

s0
d 2
где   удельное сопротивление провода, l0  длина проводника, s0 
сечение провода, d  диаметр провода, N  число витков соленоида, ls 
длина обмотки, ss  площадь поперечного сечения катушки.
6. Подставим уравнения индуктивности и активного сопротивления
в уравнение (4)
 N 2 D 2 d 2
Q  I0 0
.
(7)
4 s  4 0
7. Выразим длину катушки через её диаметр и число витков
(8)
 s  DN .
8. Подставим длину катушки в уравнение (7)
 N 2 D 2 d 2 I  0 Dd 2
(9)
Q 0

I.
16  s DN
16 s
9. Отношение длины катушки к числу витков равно диаметру катушки  s N  D , в этом случае уравнение (9) примет вид
R
 0 Dd 2

I  0 DdI ,
16d
16
7
4
40 10  0,110 10
Q
 1,45 мКл .
2,72 10 7
Q
263
(10)
(11)
3.13.4. Энергия магнитного поля
3.14.1. Найти магнитную энергию W, запасаемую в соленоиде когда
по обмотке течёт ток силой I = 10 А, который обуславливает магнитный поток Ф = 1 Вб.
Решение
1. Энергия, запасаемая магнитным полем определяется уравнением
LI 2
.
(1)
W
2
2. Выразим далее величину магнитного потока через индуктивность
соленоида и силу протекающего по катушке тока

(2)
  LI ,  L  .
I
3. Подставим значение магнитного потока в уравнение энергии
I 2 I
(3)
W

 5 Дж .
2I
2
3.14.2. Соленоид содержит N = 103 витков провода, по которому
течёт постоянный ток силой I = 1 А. Магнитный поток через поперечное сечение соленоида составляет Ф = 0,1 Вб. Определить энергию
магнитного поля W.
Решение
1. Каждый виток катушки соленоида будет вносить свой вклад в
энергетику магнитного поля, численно определяемый уравнением (3)
предыдущей задачи. Энергия, вызванная всеми N витками, запишется
следующим очевидным образом
I
0,11
(1)
WN
 10 3 
 50 Дж .
2
2
3.14.3. Индуктивность в виде железного кольца и N = 200 витков,
провода, намотанного в один слой. При силе тока I = 2,5 А магнитный
поток в железе составляет Ф =0,5 мВб. Определить энергию магнитного поля W.
Решение
1. В соответствие с уравнением (1) задачи (3.14.2)
I 200  5 10 4  2,5
WN

 0,125 Дж .
2
2
264
(1)
3.14.4. На цилиндр из немагнитного материала длиной l =1 м и площадью поперечного сечения s = 10  3 м2 намотан провод, так что на
каждом сантиметре длины уместилось 10 витков в один слой. Определить энергию магнитного поля W, при пропускании по обмотке постоянного тока I = 2 A.
Решение
1. Определим индуктивность катушки
L  0n 2V ,
(1)
где n = 10 м  приведённое число витков, 0 = 410 Ф/м  магнитная постоянная, V = sl  объём соленоида.
2. Запишем уравнение магнитной энергии, запасаемой в соленоиде
LI 2  0 n 2 sI 2 12,56 10 7 10 6 10 3 1 2 2
(2)
W


 2,5 мВб .
2
2
2
3
1
7
3.14.5. Соленоид имеет стальной железный сердечник, по обмотке
которого пропускается постоянный ток силой I = 1 А. На каждом
сантиметре длины цилиндрической катушки умещается 5 витков провода. Найти объёмную плотность энергии магнитного поля в сердечнике.
Решение
1. Определим напряжённость
магнитного поля
H  nI  500 1  5 10 2 А / м . (1)
2. По приведенной зависимости B = f(H), найдём величину
магнитной индукции
(2)
B  1,1Тл .
3. Объёмная плотность энергии магнитного поля в железном сердечнике определится уравнением
BH
500 1,1
МДж


 220
.
(3)
7
2 0 2 12,56 10
м3
3.14.6. Известно, что в железном образце при создании поля с магнитной индукцией В = 1,3 Тл объёмная плотность энергии составляет
 = 200 Дж/м3. Найти магнитную проницаемость железа.
Решение
1. По графику В = f(H) предыдущей задачи найдём, что напряжён265
ность поля в образце составляет Н  1750 А/м.
2. Используя далее уравнение взаимосвязи индукции и напряжённости магнитного поля, определим проницаемость железа
B
1,3
(1)
B   0 H,   

 591 .
 0 H 12,56 10 7 1750
3.14.7. Индукция магнитного поля в стальном образце равна В = 1
Тл. Определить объёмную плотность энергии магнитного поля в образце.

BH
850 1,0

2 0 2 12,56 10 7
Решение
1. По приведённому графику зависимости индукции
магнитного поля от напряжённости определим величину Н
= 850 А/м.
2. Используя уравнение (3)
задачи 3.14.5 определим объёмную плотность энергии
магнитного поля
МДж
.
(1)
 338
м3
3.14.8. Обмотка электромагнита с индуктивностью L = 1 Гн и активным сопротивлением R = 10 Ом подключена к источнику постоянного напряжения. Найти время, в течение которого в обмотке выделится количество тепла, численно равное энергии магнитного поля,
сосредоточенного в сердечнике.
Решение
1. Количество тепла, выделяемое при прохождении электрического
тока по проводнику, определяется уравнением
Q  I 2 Rt ,
(1)
где t  время, в течение которого выделяется тепло, I  сила тока.
2. Энергия магнитного поля в цепи, содержащей индуктивность,
определится уравнением
LI 2
W
.
(2)
2
3. Приравняем уравнения (1) и (2), поскольку по условию количество выделившегося тепла численно равно величине энергии поля
266
LI 2
L
1
 I 2 Rt ,  t 

 50 мс .
2
2R 20
3.14.9. Соленоид длиной l = 1 м с площадью поперечного сечения s =
10  3 м2 обладает индуктивностью L = 0,1 Гн. Объёмная плотность
энергии магнитного поля при этом составляет  = 0,1 Дж/м3. Ток,
какой силы протекает по обмотке соленоида?
Решение
1. Объём соленоида V = ls входит в уравнение плотности энергии
магнитного поля
W LI 2


,
(1)
s
s
откуда
I
2s

L
2  0,1 10 3 1
 45 мА .
0,1
(2)
3.14.10. По катушке тороида с воздушным сердечником течёт ток
силой I = 10 А. Объёмная плотность энергии магнитного поля составляет при этом   30 Дж/м3. Определить приведённое число витков n,
обеспечивающих заданный режим.
Решение
1. Плотность энергии магнитного поля тороида может быть определена уравнением
B2
,
(1)

2 0
где В  индукция магнитного поля, 0 = 410  7 Гн/м  магнитная постоянная.
2. Индукция магнитного поля тороида
N
B  0 I ,
(2)

где N  число витков катушки, l  длина катушки.
3. Подставим значение величины магнитной индукции из уравнения
(2) в уравнение (1) с учётом того, что (N/l) = n
2I2n 2 0I2n 2
2
2  30
 0

, n 

 691 м 1 . (3)
2 0
2
0I2
12,56 10 7 100
267
Использованные литературные источники
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачник по физике: Учеб. пособие
для студентов втузов.  5-е изд., перераб. и доп.  М.: Высш.
шк., 1988.  527 с. ил.
Иродов И.Е. задачи по общей физике: Учеб. пособие.  2-е изд.
перераб.  М.: Наука. Гл. ред. физ.  мат. лит. 1988.  416 с., ил.
Воробъёв И.И., Зубков П.И., Кутузова Г.А., Савченко О.Я.,
Трубачёв А.М., Харитонов В.Г. Задачи по физике: Учеб.: пособие под ред. О.Я. Савченко.  2-е изд., перераб.  М.: Наука. Гл.
ред. физ.  мат. лит. 1988.  416 с., ил.
Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С.
Волькенштейн. В 2 кн. Кн. 1.  М.: Олимп ООО Фирма «Издательство АСТ», 1999.  432 с., ил.
Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике:
Учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.  М.:
ООО «Издательство Астрель», ООО «Издательство АСТ»,
2001.  320 с., ил.
Гофман В.К. Законы, формулы, задачи физики. Наукова Думка,
1977.  576 с., ил.
Баканина Л.П., Белонучкин В.Е., Козел С.М., Мазанько И.П.
Сборник задач по физике: Учеб. пособие под ред. С.М. Козела.
 2-е изд. перераб и испр.  М.: Наука, Гл. ред. физ.  мат. лит.
1990.  352 с., ил.
Аганов А.В., Сафиуллин Р.К., Скворцов А.И., Таюрский Д.А.
Физика вокруг нас: Качественные задачи по физике.  3-е изд,
тспр.  М.: Дом педагогики. 1998.  336 с., ил.
268