Домашнее задание № 3.2 Определить переходную и

Домашнее задание № 3.2
1. Определить переходную и импульсную характеристику цепи. Входное напряжение U1 (t )
подключено к зажимам 1-1’. Выходное напряжение U 2 (t ) снимается с зажимов 2-2’.
2. Пользуясь любой из найденных характеристик, определить реакцию цепи U 2 (t ) на
заданное входное воздействие U1 (t ) . U  10 В : длительность импульса t1 следует
выбрать равной постоянной времени цепи,
3. Построить временную зависимость U 2 (t ) . Рассчитать значения U 2 (0 ) , U 2 (t1 ) , U 2 (t1 ) ,
U 2 ()
R1
10 Ом
R2
10 Ом
1. Определим переходную и импульсную характеристики цепи.
Входное сопротивление цепи:
C2
20 мкФ
1
C2 p
R2
R  R2  R1 R2C2 p
Z вх ( p)  R1 
 R1 
 1
1
R2C2 p  1
R2C2 p  1
R2 
C2 p
R2 
Ток I1 ( p ) равняется:
I1 ( p ) 
U1 ( p )
R2C2 p  1
 U1 ( p )
Z вх ( p )
R1  R2  R1 R2C2 p
Выходное напряжение найдём по второму закону Кирхгофа:
U 2 ( p )  U1 ( p )  I1 ( p ) R1  U1 ( p )  U1 ( p )
 U1 ( p )
R2C2 p  1
R1 
R1  R2  R1 R2C2 p
R1  R2  R1 R2C2 p  R1 R2C2 p  R1
R2
 U1 ( p )
R1  R2  R1 R2C2 p
R1  R2  R1 R2C2 p
Тогда передаточная функция цепи:
W ( p) 
U 2 ( p)
R2

U1 ( p ) R1  R2  R1 R2C2 p
Подставляя числовые значения, получим:
W ( p) 
U 2 ( p)
10

U1 ( p ) 20  0.002 p
Переходная характеристика цепи h(t ) - это реакция цепи на единичное входное воздействие:
0, t  0
1(t )  
1, t  0
Изображение единичной функции
1
, поэтому мы можем найти изображение выходного
p
напряжение при таком воздействии на входе цепи:
U 21 ( p)  W ( p) 
1
10

p p(20  0.002 p)
Теперь найдём оригинал этого изображения выходного напряжения – это и будет переходная
характеристика цепи. Изображение имеет вид дроби
N ( p)
, где корни уравнения M ( p )  0
M ( p)
равняются p1  0 c 1 и p2  104 c 1 . Повторяющихся корней нет. Производная знаменателя:
M '( p)  20  0.004 p
Так как дробь
N ( p)
мы можем представить в виде дроби:
M ( p)
N ( p) m N ( pk ) 1

M ( p) k 1 M '( pk ) p  pk
То в нашем случае:
M '(0)  20
M '  104   20  0.002 104  20
N (0)  N  104   10
Таким образом:
U 21 ( p) 
10
0.5
0.5


p(20  0.002 p)
p p  104
Оригинал U 21 ( p) , который и будет переходной функцией, имеет вид:
h(t )  0.5 1  e 10000t 
Импульсная характеристика четырёхполюсника определяется как реакция на входное
воздействие, представляющее собой дельта-функцию  (t ) . Изображение дельта-функции
равняется 1, поэтому изображение выходного напряжения имеет вид:
U 2 ( p)  W ( p) 1 
10
5 103

20  0.002 p p  104
Оригинал этого напряжения будет импульсной характеристикой цепи:
h (t )  5 103  e10000t
Импульсная характеристика - это производная от переходной характеристики:
h (t ) 
dh d
 0.5(1  e 10000t )  5 103 e 10000t
dt dt
2. Определим реакцию цепи U 2 (t ) на заданное входное воздействие.
Входное воздействие имеет вид:
Где t1 - постоянная времени цепи. Постоянная времени цепи определяет время, в течении
которого напряжение на выходе уменьшается в e раз. В нашем случае t1 
1
 104 с
4
10
Это входное воздействие можно рассматривать как 3 следующих друг за другом этапа:
- скачок входного напряжения в момент времени   0 от 0 до U  10 В
- постоянное значение U1 (t )  U  10 В при 0    t1
- скачок входного напряжения в момент времени   t1 от U  10 В до 0
Воспользуемся для определения реакции цепи (нахождения U 2 (t ) ) интегралом Дюамеля:
при 0  t  104 c :
t1
U 2 (t )  (U  0)h(t )   0 h(t   )d  5  5e10
4
t
0
Первое слагаемое обусловлено скачком в момент времени   0 , второе слагаемое постоянным значением напряжения на входе цепи в период времени 0    t1 , равняется 0,
так как U1 '(t )  0 .
при t  104 c
t1
U 2 (t )  (U  0)h(t )   0 h(t   )d  (0  U )h(t  t1 )  5e 10 t  5e 10
4
4
( t 104 )
0
Третье слагаемое обусловлено скачком напряжения в момент   t1 . Воспользовавшись
единичной функцией 1(t ) , можем записать для t  0 :
U 2 (t )  5  5e10 t  5 1 t 104   5e10
4
4
( t 104 )
1t 104 
Входной сигнал имеет вид:
0, t  0

U1 (t )  U , 0  t  t1
0, t  t

1
U1 (t )  U 1(t ) 1(t  t1 ) 
Найдём изображение входного напряжения U1 (t ) :
U1 ( p) 

4
U U 104 p 10
 e

1  e10 p
p p
p

Определим реакцию цепи на такое входное воздействие. Изображение выходного
напряжения U 2 ( p) :

4

1  e 10 p
10
10
104 p
4
U 2 ( p )  W ( p )U1 ( p ) 

1 e
 5 10 
20  0.002 p p
p  p  104 


Рассмотрим дробь:
N ( p)
1

M ( p ) p  p  104 
Корни уравнения M ( p )  0 , откуда p1  0 и p2  104 . Первая производная
M '( p)  2 p  104 . Таким образом:
N (0)  N (104 )  1
M '(0)  104
M '(104 )  104
1
104
104


p
p  104
p  p  104 
Таким образом:
1  e
U ( p)  5 10 
4
2
104 p
5
p  p  104 
p
5
5 104 p
5
104 p

e

e
p  104 p
p  104
Оригинал выходного напряжения имеет вид:
U 2 (t )  5  5e10 t  5 1(t  104 )  5e10
4
4
( t 104 )
1(t  104 )
Что совпадает с выходным напряжением, полученным с использованием переходной
характеристики цепи.
3. Построим графически зависимость U 2 (t ) . Рассчитаем значения U 2 (0 ) , U 2 (t1 ) ,
U 2 (t1 ) , U 2 ()
График напряжения U 2 (t ) :
Рассчитаем значения U 2 (t ) в моменты времени t  0 , t1 , t1 ,  . Для этого воспользуемся
аналитическим выражением для U 2 (t ) .
U 2 (t )  5  5e10 t  5 1(t  104 )  5e10
4
4
( t 104 )
1(t  104 )
Для t  0 :
U 2 (0)  5  5  0 В
Так как выходное напряжение – это напряжение на конденсаторе, поэтому согласно законам
коммутации оно не может измениться скачком, а для t  0 оно было равно нулю, так как
входное напряжение было равно нулю. Таким образом, U (0 )  U (0 )  0 В .
Для моментов времени t  t1 и t  t1 также U (t1 )  U (t1 ) , потому что выходное
напряжение – это напряжение на конденсаторе, и оно не может измениться скачком, согласно
законам коммутации.
4
U (t1 )  U (t1 )  U (104 )  5  5e 10 10  5 1(104  104 )  5e 10
4
4
(10 4 10 4 )
 1
 5 1    3.16 В
 e
Заметим, что, если бы входное напряжение представляло собой единичный скачок
амплитудой U  10 В бесконечной длительности, то напряжение на конденсаторе для t  
равнялось бы напряжению на резисторе R2 в установившемся процессе:
U Cm 
U
R2  5 В . Но так как длительность единичного импульса ограниченно
R1  R2
временем t1 , равным постоянной времени цепи, то конденсатор не успевает зарядиться до
этого значения, и успевает зарядиться только до значения, на
U Cm
меньшее, а при t  t1
e
разряжается через резистор R2 .
Для t   :
U 2 ( )  5  5  0 В
При t   входное напряжение равняется нулю, поэтому при t  t1 конденсатор
разряжается через резистор R2 и напряжение на нем, которое равняется выходному,
стремится к нулю.
Ответ:
Переходная характеристика цепи:
h(t )  0.5 1  e 10000t 
Импульсная характеристика цепи:
h (t )  5 103 e10000t
Реакция цепи U 2 (t ) на заданное входное воздействие:
U 2 (t )  5  5e10 t  5 1(t  104 )  5e10
4
U 2 (0)  0 В
U (t1 )  U (t1 )  3.16 В
U 2 ()  0 В
4
( t 104 )
1(t  104 )